XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Una Bi u caci´on Global de ´
O bi as Pe i´odicas en Sis emas
Din´amicos Lineales a T ozos
V. Ca mona1, E. Ponce1, J. Ros1
1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada II, Uni . de Se illa. e-mail [email p o ec ed], [email p o ec ed],
[email p o ec ed].
Palab as cla e: Sis emas lineales a ozos, ´o bi as pe i´odicas, bi u caci´on global
Resumen
P esen amos en es a comunicaci´on, en p ime luga , un mecanismo pa a explica la
apa ici´on de un ciclo l´ımi e bizonal en un ci cui o en puen e de Wien pola izado de o -
ma asim´e ica modelado median e unciones lineales a ozos. Damos exp esiones pa a
la ampli ud y el pe iodo de la oscilaci´on bizonal y las compa amos con las ob enidas
expe imen almen e. Seguidamen e, mos amos, modi icando el alo de una esis en-
cia en el ci cui o, la con inuaci´on del ciclo l´ımi e bizonal cuando ocupa las es zonas
de linealidad. El ciclo l´ımi e con in´ua exis iendo has a un de e minado alo de la
esis encia. En ese momen o, desapa ece con ampli ud ini a y pe iodo in ini o debido
a una bi u caci´on de ca ´ac e global que ocu e cuando el ´unico pun o de equilib io
es ´a sob e una de las l´ıneas de sepa aci´on.
1. In oducci´on
F en e al uso habi ual de ap oximaciones lineales en el es udio de p oblemas en inge-
nie ´ıa, es cada ez m´as pa en e la necesidad de ecu i a modelos no lineales pa a da una
explicaci´on igu osa de la complejidad din´amica que p esen an los sis emas ´ısicos en la
p ´ac ica. En es e sen ido, el an´alisis de sis emas no lineales ha ecibido un ue e impulso
en los ´ul imos decenios g acias, en e o as disciplinas, a la consolidaci´on de la mode na
eo ´ıa geom´e ica y de bi u caciones de sis emas din´amicos.
Uno de los oscilado es elec ´onicos m´as comunes, ´u il pa a una g an gama de ecuen-
cias, es el oscilado en puen e de Wien. Debe su nomb e al ´ısico alem´an M. Wien que lo
in en ´o en 1891. Se a a de un sis ema que p esen a sime ´ıa al cambio de signo de sus
a iables de es ado. Aqu´ı es udia emos una a ian e sin sime ´ıa, al como se mues a en la
Figu a 1. Fue implemen ado con ´exi o, desde el pun o de is a oscila o io, po Bill Hewle
1
V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros
C2Rs
R1
R2
C1
R
Vo
+
+
-
-
+
-
+
-
EB
Figu a 1: Esquema del ci cui o elec ´onico puen e de Wien asim´e ico.
y Da e Packa d ( undado es de HP) en 1939, siendo el p ime p oduc o come cializado
po la mul inacional HP bajo el nomb e HP200A.
Aplicando las leyes de Ki chho al ci cui o de la Figu a 1 ob enemos las ecuaciones
R1C1˙
VC1=−VC1−VC2+V0, C1˙
VC1−C2˙
VC2=VC2−EB
R2
(1)
donde, las a iables de es ado VC1yVC2son las ensiones en los condensado es C1y C2,
mien as que V0= (VC2) es la ensi´on de salida del ampli icado ope acional y ˙
Vdeno a
la de i ada con espec o a la a iable empo al s.
Se han o mulado di e sas p opues as pa a modela la no linealidad del ampli icado
ope acional. En [11] se conside a la unci´on di e enciable
V0= (VC2) = 2E
πa c an ³πα
2EVC2´,
donde Ees el ol aje de sa u aci´on del ampli icado ope acional y α= 1 + R
Rses la
ganancia del ci cui o equi alen e al ampli icado ope acional. O o modelo es el lineal a
ozos p opues o po K iegsmann en [9] basado en la o mulaci´on
V0= (VC2) = ½Esgn (αVC2−E) , si |αVC2|> E,
αVC2, si |αVC2| ≤ E.
Es a o mulaci´on es la que se conside a en es e abajo po se la que se ajus a m´as
ielmen e al compo amien o eal del ci cui o.
Realizando en (1) el eescalado x1=VC2/E, x2=VC1/E y eniendo en cuen a que
1
E µE
αx1¶= sa (x1) := ½sgn(x) si |x|>1,
xsi |x|⩽1,
llegamos al sis ema no sim´e ico lineal a ozos con es zonas
˙x=Ã−³1
R1C2+1
R2C2´−1
R1C2
−1
R1C1−1
R1C1!x+µα
R1C2
α
R1C1¶sa (x1) + µα
R2C2
EB
E
0¶.(2)
En lo que sigue p e endemos analiza la exis encia de ciclos l´ımi e en el sis ema (2).
En p ime luga , nos cen a emos en las oscilaciones bizonales, dando exp esiones pa a
la ampli ud y pe iodo del ciclo l´ımi e esul an e. Pa a ello, la segunda secci´on de es e
2
Bi u caci´on Global de ´
O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos
abajo es ´a dedicada al es udio de los sis emas lineales a ozos con dos zonas y al an´alisis
de la bi u caci´on oco-cen o-ciclo l´ımi e. U ilizando la eo ´ıa desa ollada en la segunda
secci´on jus i ica emos, en la e ce a, el nacimien o de la oscilaci´on bizonal en el ci cui o,
dando exp esiones pa a la ampli ud y el pe iodo de es a oscilaci´on. En la ´ul ima secci´on,
mos amos, modi icando el alo de una esis encia en el ci cui o, la con inuaci´on del
ciclo l´ımi e bizonal cuando ocupa las es zonas de linealidad. En onces, las exp esiones
de ampli ud y pe iodo ob enidas dejan de ene alidez, aunque el ciclo l´ımi e con in´ua
exis iendo has a un de e minado alo de la esis encia. En ese momen o, el ciclo l´ımi e
desapa ece, debido a una bi u caci´on de ca ´ac e global que ocu e cuando el ´unico pun o
de equilib io del sis ema es ´a sob e una de las l´ıneas de sepa aci´on en e las di e en es
egiones lineales. Pa a es e alo de la esis encia, el pun o de equilib io es globalmen e
a ac i o, no es able, y el sis ema posee un con inuo de homoclinas, lo que explica la
desapa ici´on del ciclo l´ımi e con ampli ud ini a y pe iodo in ini o.
2. Sis emas lineales a ozos con dos zonas de linealidad
Realiza emos en es a secci´on un b e e epaso sob e las o mas m´as simple de esc ibi
( o mas can´onicas) las ecuaciones de los sis emas con inuos lineales bizonales. Tambi´en
da emos a conoce aquellos esul ados que p edicen la exis encia de un ´unico ciclo l´ımi e
asin ´o icamen e es able, p opo cionando exp esiones anal´ı icas pa a la ampli ud y el pe-
iodo del ciclo l´ımi e.
Comenzamos eco dando que, sin p´e dida de gene alidad, cualquie sis ema din´amico
con inuo lineal a ozos plano con dos zonas puede esc ibi se en la o ma:
˙x =½B1x+csi x1≤0
B2x+csi x1>0(3)
donde x= (x1, x2)T,c∈R2y las ma ices B1,B2compa en sus dos ´ul imos columnas.
Aho a p esen amos una de las o mas can´onicas m´as comunes pa a los sis emas bi-
zonales. La p ueba del siguien e esul ado puede e se, po ejemplo, en [3].
Teo ema 1 Si las p ime as componen es de las segundas columnas de las ma ices B1y
B2son no nulas, en onces exis e un cambio lineal de a iables que ans o ma el sis ema
(3) en la o ma can´onica de Li´ena d
˙x =










µ −1
d0¶x+µ0
a¶si x1≤0
µT−1
D0¶x+µ0
a¶si x1>0
a∈ {−1,0,1}.(4)
La hip´o esis eque ida en el Teo ema 1 ga an iza, desde el pun o de is a de la eo ´ıa
de con ol ( e [1] y [2]), la obse abilidad del sis ema (3).
Obse emos que, ijado el signo de aen la o ma can´onica (4), el sis ema lineal a
ozos con dos zonas queda de inido a pa i de los cua o pa ´ame os T,D, yd( azas
y de e minan es de las ma ices que de inen al sis ema). No obs an e, si el signo de alguno
de ´es os es ´a de e minado, a´un podemos educi el n´ume o de pa ´ame os. En el siguien e
3
V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros
esul ado suponemos que el signo de Des conocido y con ayuda de un eescalado en el
iempo, y un cambio lineal de a iable conseguimos elimina dicho pa ´ame o. Adem´as, es
di ec o e que el sis ema (4) posee un ´unico pun o de equilib io si y s´olo si D·d > 0.
P oposici´on 2 Supongamos que D > 0. En onces, ealizando un adecuado eescalado en
el iempo y un cambio lineal de a iables, el sis ema (4) puede eesc ibi se en la o ma:
˙x =










µ −1
d0¶x+µ0
a¶, si x1≤0
µT−1
1 0 ¶x+µ0
a¶, si x1>0
a∈ {−1,0,1}.(5)
El sis ema (5) siemp e iene un pun o de equilib io (¯x1,¯x2) = (1, T ). Tend ´a un segundo
pun o de equilib io (¯x1,¯x2) = ¡1
d,
d¢si d < 0.
A con inuaci´on, p esen amos un esul ado que ca ac e iza la exis encia de ciclos l´ımi e
en el sis ema (5). Nos emi imos a los abajos [2], [6] o [12] pa a lec u a de su demos aci´on.
S´olo p esen amos el caso a < 0, pe o ob iamen e un cambio na u al pe mi i ´ıa da el
esul ado pa a a > 0. N´o ese que si a= 0, en onces (5) no posee ciclos l´ımi e.
Teo ema 3 Si d > 0,a=−1, < 0,T > 0, en onces (5) posee ciclos l´ımi e si y s´olo si
2/d > T yT < 2. Adem´as, el ciclo l´ımi e es ´unico y asin ´o icamen e es able.
El Teo ema 3 p opo ciona las condiciones pa a la exis encia de una oscilaci´on es able,
pe o no con empla la explicaci´on del po qu´e de la apa ici´on del ciclo l´ımi e es able (es
deci , de la oscilaci´on). Noso os in en a emos explica en las siguien es p´aginas uno de
los mecanismos que jus i ican la apa ici´on del ciclo l´ımi e es able.
Pues o que los esul ados que a con inuaci´on se i ´an enunciado end ´an su aplicaci´on
di ec a sob e las ecuaciones que modelan nues o ci cui o en puen e de Wien, ealiza emos
algunos cambios adecuados en el sis ema (5) pa a que la aplicaci´on de los esul ados al
ci cui o se ealice de la o ma m´as di ec a posible. Realiza emos el con enien e cambio de
a iables pa a aslada la ec a de sepa aci´on x1= 0 a la de ecuaci´on x1=−1 y el pun o
de equilib io del sis ema al o igen.
P oposici´on 4 Supongamos que a=−1pa a el sis ema (5). En onces, exis e un cambio
de a iables que ans o ma al sis ema (5) en la o ma:
˙x =










µ −1
d0¶µ x1
x2¶+µ −T
d−1¶si x1≤ −1
µT−1
1 0 ¶µ x1
x2¶si x1>−1
(6)
As´ı, es di ec o obse a que el pun o de equilib io es es able si T≤0(asin ´o icamen e
es able si T < 0) e ines able si T > 0. Adem´as, el pun o de equilib io es un oco si y s´olo
si T2−4<0 y T6= 0; y es un cen o cuando T= 0.
Si aho a suponemos que |T|<2, en onces T2−4<0 y el o igen es un oco o un
cen o. Si adem´as T < 0, en onces nos encon amos con un oco asin ´o icamen e es able.
4
Bi u caci´on Global de ´
O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos
Cuando T= 0, el oco se con ie e en un cen o (es able, pe o no asin ´o icamen e es able)
y al pasa a T > 0 el o igen es un oco ines able (el pun o de equilib io ha pe dido la
es abilidad).
As´ı, nos encon amos con una bi u caci´on en T= 0 y po an o, con un cambio
cuali a i o en la din´amica del sis ema. Si suponemos que |T|es su icien emen e peque˜no,
en onces, cuando T > 0, el Teo ema 3 ga an iza la exis encia de una ´o bi a pe i´odica
aislada asin ´o icamen e es able, pues T2−4<0y /d > T 2. Es e ciclo l´ımi e nace
de la ´ul ima ´o bi a pe i´odica de cen o lineal que es angen e a la ec a de sepa aci´on
x1=−1. Se conoce, po an o, es a bi u caci´on con el nomb e de oco-cen o-ciclo l´ımi e y
ha sido explo ada con ´exi o en sis ema planos izonales con sime ´ıa [7], idimensionales
izonales con sime ´ıa ( e [8]) y en sis emas idimensionales con dos zonas ( e [4]).
La exis encia del ciclo l´ımi e es ´a ga an izada po el Teo ema 3, pe o su nacimien o
desde la ´o bi a pe i´odica angen e a la ec a x1=−1 cuando T= 0 equie e el uso y
an´alisis de las denominadas ecuaciones de cie e. Supongamos que el ciclo l´ımi e exis en e
in e seca a la ec a de sepa aci´on en los pun os (−1, y0) y (−1, y1) con y1> y0. En onces,
la soluci´on del sis ema lineal homog´eneo de la zona de echa con condici´on inicial (−1, y0)T
alcanza ´a en un iempo s1el pun o (−1, y1). Es deci ,
exp ·µ T−1
1 0 ¶s1¸µ 1
y0¶=µ1
y1¶(7)
De o ma an´aloga, la soluci´on del sis ema lineal en la zona de echa con condici´on inicial
(−1, y1)Tdebe ´a alcanza el pun o (−1, y0) en un iempo s2. As´ı,
exp ·µ −1
d0¶s2¸µ −1
d
y1−
d+T¶=µ−1
d
y0−
d+T¶(8)
Las ecuaciones (7)-(8) con o man las denominadas ecuaciones de cie e. Sus soluciones,
cuando se imponen algunas condiciones na u ales nos p opo cionan las o bi as pe iodicas
bizonales del sis ema (6).
Pa a la esoluci´on de las ecuaciones de cie e (7)-(8) se aplica, despu´es de una adecuada
simpli icaci´on, el Teo ema de la Funci´on Impl´ıci a. Pa a ello, se oman como incogni as las
a iables (T, s1, y0, s0, y1) y se comp ueba i ialmen e que (0,2π, 0,0,0) es una soluci´on
de las ecuaciones de cie e, que co esponde a la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na del cen o
lineal angen e a la ec a de sepa aci´on x1=−1. Se puede p oba que al mo e Thacia
alo es T > 0 apa ece una ama de soluciones de las ecuaciones de cie e que pa en
del pun o (0,2π, 0,0,0) y que se co esponden con ciclos l´ımi es del sis ema (6). Po es e
mo i o, se dice que el ciclo l´ımi e nace de la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na del cen o lineal.
Enunciamos es as consecuencias en el siguien e esul ado que esume algunas ya dadas.
Teo ema 5 Asumamos que < 0,d > 0,|T|<2. En onces:
(a) El o igen es el ´unico pun o de equilib io del sis ema (6).
(b) Si T < 0, el o igen es un equilib io globalmen e asin ´o icamen e es able de (6).
(c) Si T= 0, el sis ema (6) posee una con igu aci´on de cen o lineal es ingido a la zona
x1≥ −1. De la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na de es e cen o su ge un ciclo l´ımi e pa a
5

V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros
T > 0su icien emen e peque˜no que con inua exis iendo si 0< T < m´ın n2,−
√do.
La ampli ud A(medida como el m´aximo de x1) y el pe iodo P ienen los siguien es
desa ollos en se ie de po encias de T1
3:
A= 1 + (12π)2
3
8 2
3
T2/3+(12π4)1
3(75+24d+28 2)
480 4
3
T4/3+(12π)2
3
12 5
3
T5/3+···
P= 2π+π(d−1)
T−(122π5)1
3[(d−1)2+ 2]
10 5
3
T5/3+···
3. Oscilaci´on bizonal pa a el ci cui o: exp esiones de la am-
pli ud y el pe iodo.
En es a secci´on analiza emos la oscilaci´on bizonal en el ci cui o de la Figu a 1. Pa a
ello, necesi amos ealiza unos adecuados cambios de a iables en el sis ema de ecuaciones
(2). La idea es conside a que el ci cui o es bizonal y esc ibi lo en la o ma (6) pa a aplica
el Teo ema 5.
El cambio de a iables u1=x1, u2=x2
R1C2−x1
R1C1−αEB
R2C2E ans o ma (2) en
µ˙u1
˙u2¶=µ− −1
d0¶µ u1
u2¶+µα
R1C2
0¶sa (u1) + µ0
−α
R1R2C1C2
EB
E¶(9)
donde =1
R1C1
+1
R1C2
+1
R2C2
yd=1
R1R2C1C2
.
Pa a asegu a que el pun o de equilib io del sis ema (9) se encuen a en la zona cen al
y m´as ce ca de la on e a izquie da debemos impone −1< αEB/E < 0.
Aho a bien, pues o que el en´omeno que que emos analiza inicialmen e s´olo in oluc a
a las zonas cen al e izquie da, podemos supone que el compo amien o del ci cui o es
bizonal y la on e a de linealidad es la ec a u1=−1. El siguien e cambio de a iables
τ=√ds, x1=Eu1−αEB
E+αEB
, x2=1
√d
u2− +α
R1C1−αEB
R2C2E
1 + αEB
E− +α
R1C2
√d
ans o ma el sis ema (9), es ingido a las zonas izquie da y cen al, en el sis ema
dx
dτ =















Ã−
√d−1
1 0 !µx1
x2¶+Ã−α
√dR1C2
0!si x1≤ −1
Ã− +α
R1C2
√d−1
1 0 !µx1
x2¶si x1>−1
(10)
La condici´on de bi u caci´on pa a el sis ema (10) es R =Rs³C2
C1+R1
R2´.
Si aho a elegimos el ampli icado ope acional LF412CN con una alimen aci´on de 9
ol ios, de mane a que el ol aje de sa u aci´on es E= 8,2 ol ios, y EB=−1V, R1=R2=
2,2 kΩ, C1=C2= 320 kpF, Rs= 9,78 kΩ, en onces el alo c ´ı ico de bi u caci´on es R =
6
Bi u caci´on Global de ´
O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos
19560 Ω. Po an o, la aplicaci´on del Teo ema 5 nos asegu a la apa ici´on en el ci cui o de
una oscilaci´on pe i´odica bizonal au oman enida pa a alo es de la esis encia R supe io es
al alo c ´ı ico y su icien emen e ce canos a ´el. Adem´as, eniendo en cuen a los cambios
an e io es es posible da exp esiones pa a la ampli ud y pe iodo de es a oscilaci´on. En la
Figu a 2 se mues a la ampli ud y el pe iodo de la oscilaci´on con dos y es ´e minos no
nulos de las se ies y su compa aci´on con los da os expe imen ales medidos en el labo a o io.
De las dos g ´a icas expues as queda pa en e la bondad del modelo lineal a ozos elegido
y la ap oximaci´on de las se ies ob enidas. E iden emen e, nues os c´alculos y conclusiones
son ´alidas po que la oscilaci´on no in ade la e ce a zona de linealidad.
1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3
x 104
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
R (Ohmios)
Ampli ud (Vol ios)
1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3
x 104
0.0275
0.028
0.0285
0.029
0.0295
0.03
0.0305
0.031
0.0315
0.032
R (Ohmios)
Pe iodo (Seg.)
Figu a 2: Ampli ud y pe iodo de la oscilaci´on pe i´odica al a ia R . Se mues a la com-
pa aci´on en e los esul ados expe imen ales medidos en el labo a o io (x x x), y los e-
sul ados cuando se oman s´olo dos (- - -) o es (· · ·) ´e minos no nulos de las se ies
ob enidas.
4. Oscilaci´on en las es zonas y bi u caci´on global
La bi u caci´on oco-cen o-ciclo l´ımi e p esen ada en el Teo ema 5 jus i ica el nacimien-
o de la oscilaci´on pe i´odica en el ci cui o i iendo en las zonas izquie da y cen al. Hemos
obse ado que al aumen a el pa ´ame o de bi u caci´on R el ciclo l´ımi e aumen a de
ama˜no, llegando a in adi la zona de echa de linealidad. Es o sucede pa a R ≃24,8 kΩ,
po lo que a pa i de es e alo las exp esiones de ampli ud y pe iodo ob enidas dejan de
ene alidez. Si seguimos aumen ando el pa ´ame o de bi u caci´on, la oscilaci´on con inua
ocupando las es zonas de linealidad y el pun o de equilib io del sis ema pasa de oco
a nodo pa a R = 39,12 kΩ, siguiendo en la zona cen al y mo i´endose hacia la on-
e a izquie da. En la simulaci´on ealizada se obse a la desapa ici´on de la oscilaci´on pa a
R ≃69,7 kΩ con ampli ud ini a y pe iodo in ini o. Es e compo amien o puede asocia-
se al cambio de es abilidad del equilib io y, en es e caso, dicho cambio sucede cuando el
pun o de equilib io oca la on e a izquie da. En el modelo ma em´a ico es e en´omeno se
p oduce cuando se sa is ace la condici´on E+αEB= 0, lo que nos lle a a p edeci el alo
R = 70,416 kΩ y es o con i ma la p ecisi´on del modelo lineal a ozos adop ado.
La desapa ici´on de la ´o bi a pe i´odica es ´a elacionada con una bi u caci´on de ca ac e
global asociada a una de las denominadas bounda y equilib ium bi u ca ions ( e [5]).
En es e caso pa icula , el pun o de equilib io es globalmen e a ac i o, no es able, y el
sis ema posee un con inuo de homoclinas asociadas al pun o de equilib io. Na u almen e,
7
V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros
es o explica la desapa ici´on del ciclo l´ımi e con ampli ud ini a y pe iodo in ini o. En la
Figu a 3 hemos ep esen ado algunas de las ´o bi as del sis ema adimensional cuando el
pun o de equilib io se encuen a en la on e a.
Figu a 3: Re a o de ases del sis ema cuando el equilib io es ´a en una on e a.
Ag adecimien os
Los au o es es ´an pa cialmen e inanciados po el p oyec o MTM2006-00847 del Min-
is e io de Educaci´on y Ciencia y po el p oyec o EXC/2005/FQM-872 de la Jun a de
Andaluc´ıa.
Re e encias
[1] S. Ba ne y R.G. Came on, In oduc ion o Ma hema ical Con ol Theo y, Ox o d Uni e si y P ess,
New Yo k, 1985.
[2] Ca mona, V. [2002] Bi u caciones en Sis emas Din´amicos Lineales a T ozos. Tesis Doc o al. Uni-
e sidad de Se illa
[3] Ca mona, V., F ei e, E., Ponce, E. & To es, F. (2002) On Simpli ying and Classi ying Piecewise
Linea Sys ems. IEEE T ans. Ci cui s Sys ems I Fund. Theo y Appl., 49, 609–620.
[4] Ca mona, V., F ei e, E., Ponce, E., Ros, J. and F. To es, Limi cycle bi u ca ion in 3D con inu-
ous piecewise linea sys ems wi h wo zones: applica ion o Chua’s ci cui , In e na ional Jou nal o
Bi u ca ion and Chaos, 15, (2005), 3153–3164.
[5] di Be na do, M. Pagano, D.J. and Ponce, E. Non-hype bolic bounda y equilib ium bi u ca ions in
plana Filippo sys ems: a case s udy app oach, apa ece ´a en In e na ional Jou nal o Bi u ca ion
and Chaos.
[6] E. F ei e, E. Ponce, F. Rod igo y F. To es, Bi u ca ion Se s o Con inuos Piecewise Linea Sys ems
wi h Two Zones, In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos, Vol. 8, No. 11 (1998), pp. 2073–
2097.
[7] F ei e, E., Ponce E. and Ros,. J. Limi cycle bi u ca ion om a cen e in symme ic piecewise linea
sys ems, In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos, 9, (1999), 895–907.
[8] F ei e, E., Ponce E. & Ros,. J. The Focus-Cen e -Limi Cycle Bi u ca ion in Symme ic 3D Piecewise
Linea Sys ems, Siam Jou nal o Applied Ma hema ics 65. (2005), 1933–1951.
[9] K iegsmann, G.A. [1987] The apid bi u ca ion o he Wien b idge oscilla o , IEEE T ans. Ci cui s
Sys . 34, 1093–1096.
[10] R. Lum and L.O. Chua, Gene ic p ope ies o con inuous piecewise-linea ec o ields in R2, IEEE
T ans. Ci cui s Sys . 38, 1043–1066.
[11] Mees, A.I. & Chua, L.O. [1979] The Hop bi u ca ion heo em and i s applica ions o nonlinea
oscilla ions in ci cui s and sys ems, IEEE T ans. Ci cui s Sys . 26, 235–254.
[12] F. Rod igo, Compo amien o Din´amico de Oscilado es Elec ´onicos del Tipo Van de Pol–Du ing,
Tesis Doc o al, 1997, Uni e sidad de Se illa.
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