Una bifurcación global de órbitas periódicas en sistemas dinámicos a trozos

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Una Bi u caci´on Global de ´ O bi as Pe i´odicas en Sis emas Din´amicos Lineales a T ozos V. Ca mona1, E. Ponce1, J. Ros1 1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada II, Uni . de Se illa. e-mail [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed]. Palab as cla e: Sis emas lineales a ozos, ´o bi as pe i´odicas, bi u caci´on global Resumen P esen amos en es a comunicaci´on, en p ime luga , un mecanismo pa a explica la apa ici´on de un ciclo l´ımi e bizonal en un ci cui o en puen e de Wien pola izado de o - ma asim´e ica modelado median e unciones lineales a ozos. Damos exp esiones pa a la ampli ud y el pe iodo de la oscilaci´on bizonal y las compa amos con las ob enidas expe imen almen e. Seguidamen e, mos amos, modi icando el alo de una esis en- cia en el ci cui o, la con inuaci´on del ciclo l´ımi e bizonal cuando ocupa las es zonas de linealidad. El ciclo l´ımi e con in´ua exis iendo has a un de e minado alo de la esis encia. En ese momen o, desapa ece con ampli ud ini a y pe iodo in ini o debido a una bi u caci´on de ca ´ac e global que ocu e cuando el ´unico pun o de equilib io es ´a sob e una de las l´ıneas de sepa aci´on. 1. In oducci´on F en e al uso habi ual de ap oximaciones lineales en el es udio de p oblemas en inge- nie ´ıa, es cada ez m´as pa en e la necesidad de ecu i a modelos no lineales pa a da una explicaci´on igu osa de la complejidad din´amica que p esen an los sis emas ´ısicos en la p ´ac ica. En es e sen ido, el an´alisis de sis emas no lineales ha ecibido un ue e impulso en los ´ul imos decenios g acias, en e o as disciplinas, a la consolidaci´on de la mode na eo ´ıa geom´e ica y de bi u caciones de sis emas din´amicos. Uno de los oscilado es elec ´onicos m´as comunes, ´u il pa a una g an gama de ecuen- cias, es el oscilado en puen e de Wien. Debe su nomb e al ´ısico alem´an M. Wien que lo in en ´o en 1891. Se a a de un sis ema que p esen a sime ´ıa al cambio de signo de sus a iables de es ado. Aqu´ı es udia emos una a ian e sin sime ´ıa, al como se mues a en la Figu a 1. Fue implemen ado con ´exi o, desde el pun o de is a oscila o io, po Bill Hewle 1 V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros C2Rs R1 R2 C1 R Vo + + - - + - + - EB Figu a 1: Esquema del ci cui o elec ´onico puen e de Wien asim´e ico. y Da e Packa d ( undado es de HP) en 1939, siendo el p ime p oduc o come cializado po la mul inacional HP bajo el nomb e HP200A. Aplicando las leyes de Ki chho al ci cui o de la Figu a 1 ob enemos las ecuaciones R1C1˙ VC1=−VC1−VC2+V0, C1˙ VC1−C2˙ VC2=VC2−EB R2 (1) donde, las a iables de es ado VC1yVC2son las ensiones en los condensado es C1y C2, mien as que V0= (VC2) es la ensi´on de salida del ampli icado ope acional y ˙ Vdeno a la de i ada con espec o a la a iable empo al s. Se han o mulado di e sas p opues as pa a modela la no linealidad del ampli icado ope acional. En [11] se conside a la unci´on di e enciable V0= (VC2) = 2E πa c an ³πα 2EVC2´, donde Ees el ol aje de sa u aci´on del ampli icado ope acional y α= 1 + R Rses la ganancia del ci cui o equi alen e al ampli icado ope acional. O o modelo es el lineal a ozos p opues o po K iegsmann en [9] basado en la o mulaci´on V0= (VC2) = ½Esgn (αVC2−E) , si |αVC2|> E, αVC2, si |αVC2| ≤ E. Es a o mulaci´on es la que se conside a en es e abajo po se la que se ajus a m´as ielmen e al compo amien o eal del ci cui o. Realizando en (1) el eescalado x1=VC2/E, x2=VC1/E y eniendo en cuen a que 1 E µE αx1¶= sa (x1) := ½sgn(x) si |x|>1, xsi |x|⩽1, llegamos al sis ema no sim´e ico lineal a ozos con es zonas ˙x=Ã−³1 R1C2+1 R2C2´−1 R1C2 −1 R1C1−1 R1C1!x+µα R1C2 α R1C1¶sa (x1) + µα R2C2 EB E 0¶.(2) En lo que sigue p e endemos analiza la exis encia de ciclos l´ımi e en el sis ema (2). En p ime luga , nos cen a emos en las oscilaciones bizonales, dando exp esiones pa a la ampli ud y pe iodo del ciclo l´ımi e esul an e. Pa a ello, la segunda secci´on de es e 2 Bi u caci´on Global de ´ O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos abajo es ´a dedicada al es udio de los sis emas lineales a ozos con dos zonas y al an´alisis de la bi u caci´on oco-cen o-ciclo l´ımi e. U ilizando la eo ´ıa desa ollada en la segunda secci´on jus i ica emos, en la e ce a, el nacimien o de la oscilaci´on bizonal en el ci cui o, dando exp esiones pa a la ampli ud y el pe iodo de es a oscilaci´on. En la ´ul ima secci´on, mos amos, modi icando el alo de una esis encia en el ci cui o, la con inuaci´on del ciclo l´ımi e bizonal cuando ocupa las es zonas de linealidad. En onces, las exp esiones de ampli ud y pe iodo ob enidas dejan de ene alidez, aunque el ciclo l´ımi e con in´ua exis iendo has a un de e minado alo de la esis encia. En ese momen o, el ciclo l´ımi e desapa ece, debido a una bi u caci´on de ca ´ac e global que ocu e cuando el ´unico pun o de equilib io del sis ema es ´a sob e una de las l´ıneas de sepa aci´on en e las di e en es egiones lineales. Pa a es e alo de la esis encia, el pun o de equilib io es globalmen e a ac i o, no es able, y el sis ema posee un con inuo de homoclinas, lo que explica la desapa ici´on del ciclo l´ımi e con ampli ud ini a y pe iodo in ini o. 2. Sis emas lineales a ozos con dos zonas de linealidad Realiza emos en es a secci´on un b e e epaso sob e las o mas m´as simple de esc ibi ( o mas can´onicas) las ecuaciones de los sis emas con inuos lineales bizonales. Tambi´en da emos a conoce aquellos esul ados que p edicen la exis encia de un ´unico ciclo l´ımi e asin ´o icamen e es able, p opo cionando exp esiones anal´ı icas pa a la ampli ud y el pe- iodo del ciclo l´ımi e. Comenzamos eco dando que, sin p´e dida de gene alidad, cualquie sis ema din´amico con inuo lineal a ozos plano con dos zonas puede esc ibi se en la o ma: ˙x =½B1x+csi x1≤0 B2x+csi x1>0(3) donde x= (x1, x2)T,c∈R2y las ma ices B1,B2compa en sus dos ´ul imos columnas. Aho a p esen amos una de las o mas can´onicas m´as comunes pa a los sis emas bi- zonales. La p ueba del siguien e esul ado puede e se, po ejemplo, en [3]. Teo ema 1 Si las p ime as componen es de las segundas columnas de las ma ices B1y B2son no nulas, en onces exis e un cambio lineal de a iables que ans o ma el sis ema (3) en la o ma can´onica de Li´ena d ˙x =           µ −1 d0¶x+µ0 a¶si x1≤0 µT−1 D0¶x+µ0 a¶si x1>0 a∈ {−1,0,1}.(4) La hip´o esis eque ida en el Teo ema 1 ga an iza, desde el pun o de is a de la eo ´ıa de con ol ( e [1] y [2]), la obse abilidad del sis ema (3). Obse emos que, ijado el signo de aen la o ma can´onica (4), el sis ema lineal a ozos con dos zonas queda de inido a pa i de los cua o pa ´ame os T,D, yd( azas y de e minan es de las ma ices que de inen al sis ema). No obs an e, si el signo de alguno de ´es os es ´a de e minado, a´un podemos educi el n´ume o de pa ´ame os. En el siguien e 3 V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros esul ado suponemos que el signo de Des conocido y con ayuda de un eescalado en el iempo, y un cambio lineal de a iable conseguimos elimina dicho pa ´ame o. Adem´as, es di ec o e que el sis ema (4) posee un ´unico pun o de equilib io si y s´olo si D·d > 0. P oposici´on 2 Supongamos que D > 0. En onces, ealizando un adecuado eescalado en el iempo y un cambio lineal de a iables, el sis ema (4) puede eesc ibi se en la o ma: ˙x =           µ −1 d0¶x+µ0 a¶, si x1≤0 µT−1 1 0 ¶x+µ0 a¶, si x1>0 a∈ {−1,0,1}.(5) El sis ema (5) siemp e iene un pun o de equilib io (¯x1,¯x2) = (1, T ). Tend ´a un segundo pun o de equilib io (¯x1,¯x2) = ¡1 d, d¢si d < 0. A con inuaci´on, p esen amos un esul ado que ca ac e iza la exis encia de ciclos l´ımi e en el sis ema (5). Nos emi imos a los abajos [2], [6] o [12] pa a lec u a de su demos aci´on. S´olo p esen amos el caso a < 0, pe o ob iamen e un cambio na u al pe mi i ´ıa da el esul ado pa a a > 0. N´o ese que si a= 0, en onces (5) no posee ciclos l´ımi e. Teo ema 3 Si d > 0,a=−1, < 0,T > 0, en onces (5) posee ciclos l´ımi e si y s´olo si 2/d > T yT < 2. Adem´as, el ciclo l´ımi e es ´unico y asin ´o icamen e es able. El Teo ema 3 p opo ciona las condiciones pa a la exis encia de una oscilaci´on es able, pe o no con empla la explicaci´on del po qu´e de la apa ici´on del ciclo l´ımi e es able (es deci , de la oscilaci´on). Noso os in en a emos explica en las siguien es p´aginas uno de los mecanismos que jus i ican la apa ici´on del ciclo l´ımi e es able. Pues o que los esul ados que a con inuaci´on se i ´an enunciado end ´an su aplicaci´on di ec a sob e las ecuaciones que modelan nues o ci cui o en puen e de Wien, ealiza emos algunos cambios adecuados en el sis ema (5) pa a que la aplicaci´on de los esul ados al ci cui o se ealice de la o ma m´as di ec a posible. Realiza emos el con enien e cambio de a iables pa a aslada la ec a de sepa aci´on x1= 0 a la de ecuaci´on x1=−1 y el pun o de equilib io del sis ema al o igen. P oposici´on 4 Supongamos que a=−1pa a el sis ema (5). En onces, exis e un cambio de a iables que ans o ma al sis ema (5) en la o ma: ˙x =           µ −1 d0¶µ x1 x2¶+µ −T d−1¶si x1≤ −1 µT−1 1 0 ¶µ x1 x2¶si x1>−1 (6) As´ı, es di ec o obse a que el pun o de equilib io es es able si T≤0(asin ´o icamen e es able si T < 0) e ines able si T > 0. Adem´as, el pun o de equilib io es un oco si y s´olo si T2−4<0 y T6= 0; y es un cen o cuando T= 0. Si aho a suponemos que |T|<2, en onces T2−4<0 y el o igen es un oco o un cen o. Si adem´as T < 0, en onces nos encon amos con un oco asin ´o icamen e es able. 4 Bi u caci´on Global de ´ O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos Cuando T= 0, el oco se con ie e en un cen o (es able, pe o no asin ´o icamen e es able) y al pasa a T > 0 el o igen es un oco ines able (el pun o de equilib io ha pe dido la es abilidad). As´ı, nos encon amos con una bi u caci´on en T= 0 y po an o, con un cambio cuali a i o en la din´amica del sis ema. Si suponemos que |T|es su icien emen e peque˜no, en onces, cuando T > 0, el Teo ema 3 ga an iza la exis encia de una ´o bi a pe i´odica aislada asin ´o icamen e es able, pues T2−4<0y /d > T 2. Es e ciclo l´ımi e nace de la ´ul ima ´o bi a pe i´odica de cen o lineal que es angen e a la ec a de sepa aci´on x1=−1. Se conoce, po an o, es a bi u caci´on con el nomb e de oco-cen o-ciclo l´ımi e y ha sido explo ada con ´exi o en sis ema planos izonales con sime ´ıa [7], idimensionales izonales con sime ´ıa ( e [8]) y en sis emas idimensionales con dos zonas ( e [4]). La exis encia del ciclo l´ımi e es ´a ga an izada po el Teo ema 3, pe o su nacimien o desde la ´o bi a pe i´odica angen e a la ec a x1=−1 cuando T= 0 equie e el uso y an´alisis de las denominadas ecuaciones de cie e. Supongamos que el ciclo l´ımi e exis en e in e seca a la ec a de sepa aci´on en los pun os (−1, y0) y (−1, y1) con y1> y0. En onces, la soluci´on del sis ema lineal homog´eneo de la zona de echa con condici´on inicial (−1, y0)T alcanza ´a en un iempo s1el pun o (−1, y1). Es deci , exp ·µ T−1 1 0 ¶s1¸µ 1 y0¶=µ1 y1¶(7) De o ma an´aloga, la soluci´on del sis ema lineal en la zona de echa con condici´on inicial (−1, y1)Tdebe ´a alcanza el pun o (−1, y0) en un iempo s2. As´ı, exp ·µ −1 d0¶s2¸µ −1 d y1− d+T¶=µ−1 d y0− d+T¶(8) Las ecuaciones (7)-(8) con o man las denominadas ecuaciones de cie e. Sus soluciones, cuando se imponen algunas condiciones na u ales nos p opo cionan las o bi as pe iodicas bizonales del sis ema (6). Pa a la esoluci´on de las ecuaciones de cie e (7)-(8) se aplica, despu´es de una adecuada simpli icaci´on, el Teo ema de la Funci´on Impl´ıci a. Pa a ello, se oman como incogni as las a iables (T, s1, y0, s0, y1) y se comp ueba i ialmen e que (0,2π, 0,0,0) es una soluci´on de las ecuaciones de cie e, que co esponde a la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na del cen o lineal angen e a la ec a de sepa aci´on x1=−1. Se puede p oba que al mo e Thacia alo es T > 0 apa ece una ama de soluciones de las ecuaciones de cie e que pa en del pun o (0,2π, 0,0,0) y que se co esponden con ciclos l´ımi es del sis ema (6). Po es e mo i o, se dice que el ciclo l´ımi e nace de la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na del cen o lineal. Enunciamos es as consecuencias en el siguien e esul ado que esume algunas ya dadas. Teo ema 5 Asumamos que < 0,d > 0,|T|<2. En onces: (a) El o igen es el ´unico pun o de equilib io del sis ema (6). (b) Si T < 0, el o igen es un equilib io globalmen e asin ´o icamen e es able de (6). (c) Si T= 0, el sis ema (6) posee una con igu aci´on de cen o lineal es ingido a la zona x1≥ −1. De la ´o bi a pe i´odica m´as ex e na de es e cen o su ge un ciclo l´ımi e pa a 5 V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros T > 0su icien emen e peque˜no que con inua exis iendo si 0< T < m´ın n2,− √do. La ampli ud A(medida como el m´aximo de x1) y el pe iodo P ienen los siguien es desa ollos en se ie de po encias de T1 3: A= 1 + (12π)2 3 8 2 3 T2/3+(12π4)1 3(75+24d+28 2) 480 4 3 T4/3+(12π)2 3 12 5 3 T5/3+··· P= 2π+π(d−1) T−(122π5)1 3[(d−1)2+ 2] 10 5 3 T5/3+··· 3. Oscilaci´on bizonal pa a el ci cui o: exp esiones de la am- pli ud y el pe iodo. En es a secci´on analiza emos la oscilaci´on bizonal en el ci cui o de la Figu a 1. Pa a ello, necesi amos ealiza unos adecuados cambios de a iables en el sis ema de ecuaciones (2). La idea es conside a que el ci cui o es bizonal y esc ibi lo en la o ma (6) pa a aplica el Teo ema 5. El cambio de a iables u1=x1, u2=x2 R1C2−x1 R1C1−αEB R2C2E ans o ma (2) en µ˙u1 ˙u2¶=µ− −1 d0¶µ u1 u2¶+µα R1C2 0¶sa (u1) + µ0 −α R1R2C1C2 EB E¶(9) donde =1 R1C1 +1 R1C2 +1 R2C2 yd=1 R1R2C1C2 . Pa a asegu a que el pun o de equilib io del sis ema (9) se encuen a en la zona cen al y m´as ce ca de la on e a izquie da debemos impone −1< αEB/E < 0. Aho a bien, pues o que el en´omeno que que emos analiza inicialmen e s´olo in oluc a a las zonas cen al e izquie da, podemos supone que el compo amien o del ci cui o es bizonal y la on e a de linealidad es la ec a u1=−1. El siguien e cambio de a iables τ=√ds, x1=Eu1−αEB E+αEB , x2=1 √d u2− +α R1C1−αEB R2C2E 1 + αEB E− +α R1C2 √d ans o ma el sis ema (9), es ingido a las zonas izquie da y cen al, en el sis ema dx dτ =                Ã− √d−1 1 0 !µx1 x2¶+Ã−α √dR1C2 0!si x1≤ −1 Ã− +α R1C2 √d−1 1 0 !µx1 x2¶si x1>−1 (10) La condici´on de bi u caci´on pa a el sis ema (10) es R =Rs³C2 C1+R1 R2´. Si aho a elegimos el ampli icado ope acional LF412CN con una alimen aci´on de 9 ol ios, de mane a que el ol aje de sa u aci´on es E= 8,2 ol ios, y EB=−1V, R1=R2= 2,2 kΩ, C1=C2= 320 kpF, Rs= 9,78 kΩ, en onces el alo c ´ı ico de bi u caci´on es R = 6 Bi u caci´on Global de ´ O bi as Pe i´odicas en Sis emas Lineales a T ozos 19560 Ω. Po an o, la aplicaci´on del Teo ema 5 nos asegu a la apa ici´on en el ci cui o de una oscilaci´on pe i´odica bizonal au oman enida pa a alo es de la esis encia R supe io es al alo c ´ı ico y su icien emen e ce canos a ´el. Adem´as, eniendo en cuen a los cambios an e io es es posible da exp esiones pa a la ampli ud y pe iodo de es a oscilaci´on. En la Figu a 2 se mues a la ampli ud y el pe iodo de la oscilaci´on con dos y es ´e minos no nulos de las se ies y su compa aci´on con los da os expe imen ales medidos en el labo a o io. De las dos g ´a icas expues as queda pa en e la bondad del modelo lineal a ozos elegido y la ap oximaci´on de las se ies ob enidas. E iden emen e, nues os c´alculos y conclusiones son ´alidas po que la oscilaci´on no in ade la e ce a zona de linealidad. 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 x 104 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 R (Ohmios) Ampli ud (Vol ios) 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 x 104 0.0275 0.028 0.0285 0.029 0.0295 0.03 0.0305 0.031 0.0315 0.032 R (Ohmios) Pe iodo (Seg.) Figu a 2: Ampli ud y pe iodo de la oscilaci´on pe i´odica al a ia R . Se mues a la com- pa aci´on en e los esul ados expe imen ales medidos en el labo a o io (x x x), y los e- sul ados cuando se oman s´olo dos (- - -) o es (· · ·) ´e minos no nulos de las se ies ob enidas. 4. Oscilaci´on en las es zonas y bi u caci´on global La bi u caci´on oco-cen o-ciclo l´ımi e p esen ada en el Teo ema 5 jus i ica el nacimien- o de la oscilaci´on pe i´odica en el ci cui o i iendo en las zonas izquie da y cen al. Hemos obse ado que al aumen a el pa ´ame o de bi u caci´on R el ciclo l´ımi e aumen a de ama˜no, llegando a in adi la zona de echa de linealidad. Es o sucede pa a R ≃24,8 kΩ, po lo que a pa i de es e alo las exp esiones de ampli ud y pe iodo ob enidas dejan de ene alidez. Si seguimos aumen ando el pa ´ame o de bi u caci´on, la oscilaci´on con inua ocupando las es zonas de linealidad y el pun o de equilib io del sis ema pasa de oco a nodo pa a R = 39,12 kΩ, siguiendo en la zona cen al y mo i´endose hacia la on- e a izquie da. En la simulaci´on ealizada se obse a la desapa ici´on de la oscilaci´on pa a R ≃69,7 kΩ con ampli ud ini a y pe iodo in ini o. Es e compo amien o puede asocia- se al cambio de es abilidad del equilib io y, en es e caso, dicho cambio sucede cuando el pun o de equilib io oca la on e a izquie da. En el modelo ma em´a ico es e en´omeno se p oduce cuando se sa is ace la condici´on E+αEB= 0, lo que nos lle a a p edeci el alo R = 70,416 kΩ y es o con i ma la p ecisi´on del modelo lineal a ozos adop ado. La desapa ici´on de la ´o bi a pe i´odica es ´a elacionada con una bi u caci´on de ca ac e global asociada a una de las denominadas bounda y equilib ium bi u ca ions ( e [5]). En es e caso pa icula , el pun o de equilib io es globalmen e a ac i o, no es able, y el sis ema posee un con inuo de homoclinas asociadas al pun o de equilib io. Na u almen e, 7 V. Ca mona, E. Ponce, J. Ros es o explica la desapa ici´on del ciclo l´ımi e con ampli ud ini a y pe iodo in ini o. En la Figu a 3 hemos ep esen ado algunas de las ´o bi as del sis ema adimensional cuando el pun o de equilib io se encuen a en la on e a. Figu a 3: Re a o de ases del sis ema cuando el equilib io es ´a en una on e a. Ag adecimien os Los au o es es ´an pa cialmen e inanciados po el p oyec o MTM2006-00847 del Min- is e io de Educaci´on y Ciencia y po el p oyec o EXC/2005/FQM-872 de la Jun a de Andaluc´ıa. Re e encias [1] S. Ba ne y R.G. Came on, In oduc ion o Ma hema ical Con ol Theo y, Ox o d Uni e si y P ess, New Yo k, 1985. [2] Ca mona, V. [2002] Bi u caciones en Sis emas Din´amicos Lineales a T ozos. Tesis Doc o al. Uni- e sidad de Se illa [3] Ca mona, V., F ei e, E., Ponce, E. & To es, F. (2002) On Simpli ying and Classi ying Piecewise Linea Sys ems. IEEE T ans. Ci cui s Sys ems I Fund. Theo y Appl., 49, 609–620. [4] Ca mona, V., F ei e, E., Ponce, E., Ros, J. and F. To es, Limi cycle bi u ca ion in 3D con inu- ous piecewise linea sys ems wi h wo zones: applica ion o Chua’s ci cui , In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos, 15, (2005), 3153–3164. [5] di Be na do, M. Pagano, D.J. and Ponce, E. Non-hype bolic bounda y equilib ium bi u ca ions in plana Filippo sys ems: a case s udy app oach, apa ece ´a en In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos. [6] E. F ei e, E. Ponce, F. Rod igo y F. To es, Bi u ca ion Se s o Con inuos Piecewise Linea Sys ems wi h Two Zones, In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos, Vol. 8, No. 11 (1998), pp. 2073– 2097. [7] F ei e, E., Ponce E. and Ros,. J. Limi cycle bi u ca ion om a cen e in symme ic piecewise linea sys ems, In e na ional Jou nal o Bi u ca ion and Chaos, 9, (1999), 895–907. [8] F ei e, E., Ponce E. & Ros,. J. The Focus-Cen e -Limi Cycle Bi u ca ion in Symme ic 3D Piecewise Linea Sys ems, Siam Jou nal o Applied Ma hema ics 65. (2005), 1933–1951. [9] K iegsmann, G.A. [1987] The apid bi u ca ion o he Wien b idge oscilla o , IEEE T ans. Ci cui s Sys . 34, 1093–1096. [10] R. Lum and L.O. Chua, Gene ic p ope ies o con inuous piecewise-linea ec o ields in R2, IEEE T ans. Ci cui s Sys . 38, 1043–1066. [11] Mees, A.I. & Chua, L.O. [1979] The Hop bi u ca ion heo em and i s applica ions o nonlinea oscilla ions in ci cui s and sys ems, IEEE T ans. Ci cui s Sys . 26, 235–254. [12] F. Rod igo, Compo amien o Din´amico de Oscilado es Elec ´onicos del Tipo Van de Pol–Du ing, Tesis Doc o al, 1997, Uni e sidad de Se illa. 8