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Equa ion Chap e 1 Sec ion 1
T abajo Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en
F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Au o : Ma ín Pé ez Capo e
Tu o : Jesús Vázquez Valeo
Dp o. Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
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T abajo Fin de G ado
Ingenie ía Ae oespacial
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en
F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Au o :
Ma ín Pé ez Capo e
Tu o :
Jesús Vázquez Valeo
Dp o. de Ingenie ía Mecánica y Fab icación
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2018
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
P oyec o Fin de G ado: Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Au o :
Ma ín Pé ez Capo e
Tu o :
Jesús Vázquez Valeo
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:

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Se illa, 2018
El Sec e a io del T ibunal
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
A mi amilia
A mis maes os
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Resumen
Es e abajo consis e en el es udio del ac o de in ensidad de ensiones (F.I.T.) en modo I en e ing, pa a un
con ac o cilínd ico. Se in oduci á b e emen e el enómeno e ing, los e ec os que p oduce en los componen es
en que se da, así como una se ie de palia i os pa a comba i lo. Pos e io men e, pa iendo de la con igu ación del
ensayo de e ing co espondien e pa a el calculo de 𝐾𝐼, y de las ensiones en la supe icie de con ac o de la
p obe a dadas po la li e a u a, se calcula á el campo de ensiones in e io a ella median e dos mé odos di e en es.
Se basa án en las ecuaciones de Flaman y una se ie de ecuaciones analí icas que se adap a án a pa i de la
li e a u a pa a el caso que nos ocupa.
Pos e iomen e, se calcula á la dis ibución de ensiones axiales 𝜎𝑥𝑥(𝑠) a lo la go de la g ie a, la cual pe mi i á
calcula el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼. Finalmen e se ep esen a án e in e p e a án los esul ados
ob enidos. Pa a ealiza es os cálculos se emplea una se ie de unciones p og amadas en MATLAB y que se
encuen an adjun as en los anexos de la memo ia.
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[3] En la ac ualidad se dispone de a ios ipos de palia i os pa a comba i los e ec os de es e enómeno. En e
es os, des aca el uso de lub ican es, ecub imien os y a amien os supe iciales ales como el Sho Peening y el
Lase Peening.
-Los lub ican es son muy u ilizados y se enca gan de educi el coe icien e de icción en las supe icies de
con ac o de los componen es, de modo que educen las ensiones angenciales p oducidas y, consecuen emen e,
educen el daño p oducido.
-Los ecub imien os ambién son muy u ilizados y pueden mejo a an o el compo amien o en e al desgas e y
a iga simple como en e a a iga po e ing. Algunos disminuyen el coe icien e de icción en las supe icies
de con ac o, mien as que o os mejo an el compo amien o de los componen es en e al desgas e.
-También se emplean una se ie de écnicas basadas en in oduci ensiones esiduales de comp esión en los
componen es en que que emos e i a que se p oduzca es e enómeno. En e es as écnicas des acan los
a amien os supe iciales Sho Peening y Lase Peening que, además de modi ica el es ado ensional, pueden
in oduci modi icaciones en la ugosidad supe icial.
Fig 1.3 Esquema Lase Shock Peening [10]
1.2 Fa iga po e ing
[1] El caso que se analiza á en es e abajo es el de a iga po e ing. Se a a de un caso pa icula de e ing,
en el que uno de los componen es se encuen a bajo la acción de una ensión global. En la siguien e igu a se
mues a la di e encia en e e ing y la a iga po e ing:
Fig 1.4 Di e encia en e e ing y a iga po e ing [1]

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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
En el caso de a iga po e ing, una ez iniciada una g ie a debido a unas ca gas de con ac o no mal P y
angencial Q, és a pod á p opaga se debido a la acción de una ensión global oscila o ia σ. El p incipal obje i o
de es e abajo se á e alua el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼 a lo la go de esa g ie a, bajo unas condiciones
de e minadas que se indica án más adelan e.
Fig 1.5 Con igu ación de un ensayo a a iga po e ing [7]
Exis en muchas a iables que a ec an al compo amien o en e a la a iga po e ing, siendo las más
impo an es las que a ec an a las ensiones p oducidas en la supe icie de con ac o, pues de e minan la ida a
a iga po e ing de un componen e. En e es as a iables se conside a án pa a el p oblema a es udia : la
geome ía de las zonas de con ac o, las p opiedades mecánicas de los ma e iales implicados, el coe icien e de
ozamien o en la supe icie de con ac o, las ca gas de con ac o N y Q, así como la ensión global oscila o ia σ.
No se conside a án o os ac o es igual de impo an es ales como la empe a u a, las ensiones esiduales en los
ma e iales o las condiciones del ambien e.
1.3 Ensayos de e ing
[1] Median e los ensayos de e ing puede a e igua se cómo se compo a cada ma e ial en e a es e enómeno,
puede analiza se los p ocesos de iniciación y p opagación de g ie as, así como el papel que juega cada uno de
los ac o es an e io men e mencionados en la ida a a iga po e ing. Se pueden dis ingui dos ipos de ensayos,
los que se ealizan con componen es eales y los que se ealizan con geome ías sencillas.
-En los ensayos con componen es eales se eplica de la o ma más iel posible las condiciones en las que
abaja án es os componen es, pa a analiza como se ía su compo amien o en se icio. Pe mi en an icipa su
compo amien o o analiza las causas de un allo o mal compo amien o obse ado du an e su ida ú il. En e
los incon enien es que p esen a es e ipo de ensayos des acan su al o cos e económico y el hecho de que solo
apo an in o mación pa a el ma e ial y las condiciones del ensayo empleadas. Es muy di ícil ex apola los
esul ados ob enidos de un caso conc e o hacia o os. Además, la geome ía de es os componen es suele se muy
complicada, de modo que el empleo de he amien as numé icas equie e de mucho iempo de p ocesamien o.
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Fig 1.6 F e ing es
-En los ensayos con geome ías sencillas, la geome ía de los componen es analizados y que in e ienen en el
ensayo son muy simples. Suele con a se con soluciones analí icas que pe mi en ob ene el es ado de ensiones y
de o maciones en la supe icie de con ac o, lo que simpli ica eno memen e el es udio del compo amien o de
es os componen es en es e ipo de ensayos.
Es e abajo se cen a á en los ensayos con geome ías sencillas, en conc e o en el ensayo de con ac o cilínd ico.
Pa a el ensayo de con ac o cilínd ico se dispone de soluciones analí icas, con la simpli icación añadida de que
es e p oblema puede se a ado de o ma bidimensional.
El mon aje del ensayo que se a a á se á muy simila al mon aje de e ing ealizado po Nishioka y Hi akawa,
Hoeppne y Goss, Nowell y Szolwinski. Se a a una máquina de ensayos que cons a de un ac uado , el cuál
some e a una ca ga cíclica, de ensión o de o sión, a una p obe a.
Fig 1.7 Ensayo de e ing de Nishioka y Hi akawa [1]
Es a p obe a se encuen a ca gada la e almen e median e dos elemen os ijos de con ac o. Es os elemen os de
con ac o le aplican a la p obe a una ca ga no mal cons an e, de modo que al aplica el ac uado la ca ga cíclica
sob e la p obe a, se desa olla una ue za angencial cíclica.
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2 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN LA
SUPERFICIE DE CONTACTO
2.1 Ensayo de a iga po e ing
Se pa e del siguien e ensayo de e ing:
Fig 2.1 Esquema del ensayo
Se a a de un ensayo con geome ía sencilla, de con ac o cilínd ico. Po an o, es posible ob ene soluciones
analí icas y a a el p oblema de o ma bidimensional. Se aplica una ca ga no mal de comp esión N sob e la
supe icie de con ac o. Al mismo iempo ac úa una ca ga angencial Q de sen ido a iable inducida po la
aplicación de una ensión global oscila o ia σ. Po lo an o, end emos dos supe icies en con ac o con
desplazamien os ela i os en e ellas de pequeña ampli ud.
2.2 Tensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a
[4] El caso a es udia es el siguien e, de modo que en el bo de “a”, el lími e de la zona de con ac o de ambos
cilind os, se p oduzca la ape u a de una g ie a pa a pos e io men e calcula el .i. . Así, una ez iniciada una
g ie a po e ec o de las ca gas de con ac o N y Q, es a pod á p opaga se debido a la ensión global oscila o ia
σ.
Fig 2.2 Si uación pa a la ape u a de la g ie a
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Las ensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a son las siguien es:
Fig 2.3 Tensiones en la supe icie de con ac o
𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝜎𝑦𝑦𝑁(𝑥,0)=−𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎) (1)
𝜎𝑥𝑦(𝑥,0)=
{
𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0)=−𝜇∙𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎)
𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙√1−(𝑥+𝑒
𝑐)2, 𝑥∈(−𝑐−𝑒,𝑐−𝑒) (2)
𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) son las ensiones no males de comp esión asociadas a la ca ga no mal N, mien as que 𝜎𝑥𝑦(𝑥,0) son
las ensiones angenciales asociadas a la ca ga angencial Q y la ensión global oscila o ia 𝜎, dependiendo
además de N. Pos e io men e jus i ica emos es as exp esiones pa a las ensiones supe iciales.
La descomposición de las ensiones 𝜎𝑥𝑦(𝑥,0) en 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) y 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0) se debe a conside a el caso de
deslizamien o pa cial. La supe icie de con ac o es á limi ada en e -a y a, mien as que la zona adhe ida es á
limi ada en e -c-e y c-e, conside ando un desplazamien o “e” debido a la ensión global σ, espec o al caso en
que és a no ac úa.
El é mino 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) ep esen a las ensiones angenciales p oducidas sob e la supe icie de con ac o de la
p obe a suponiendo el caso deslizamien o global, en que oda la zona de con ac o se encuen a deslizando. Pa a
conside a el caso de deslizamien o pa cial, en que una pa e de la zona de con ac o es á adhe ida y o a
deslizando, se emplea el é mino 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0). Es a ensión supe icial es á o ien ada en sen ido opues o a la de
deslizamien o global, oponiéndose a ella y ac uando sob e la zona adhe ida.
Si no se conside a el desplazamien o “e” debido a la ensión global oscila o ia se end ía:
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Fig 2.4 Tensiones angenciales en la supe icie de con ac o sin conside a e
Si se conside a dicho desplazamien o queda á:
Fig 2.5 Tensiones angenciales en la supe icie de con ac o conside ando e
[1] Pa a a e igua si nos encon amos en el caso de deslizamien o global o deslizamien o pa cial, y en caso de
encon a nos en el caso de deslizamien o pa cial pode cuan i ica su se e idad, empleamos el é mino Q/N.
- Si 𝑄 𝑁
⁄=𝜇, es amos en el caso de deslizamien o global.
- Si 𝑄 𝑁
⁄≤𝜇, es amos en el caso de deslizamien o pa cial.
Pa a de e mina el desplazamien o “e” de la zona de adhesión debida a la ensión global oscilan e σ, en el caso
de deslizamien o pa cial, espec o a la supe icie de con ac o, empleamos la siguien e exp esión:
𝑒= 𝜎∙𝑎
4∙𝜇∙𝑝0 (3)
[4] Pa a ob ene las exp esiones de las ensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a se han conside ado
a ios aspec os. En p ime luga , el ensayo que se es á analizando es de con ac o cilínd ico. Cuando se ienen
dos cilind os en con ac o de la misma longi ud, la pa e cen al se encuen a bajo condiciones de de o mación
plana, mien as los ex emos, al es a lib e de acciones de acción, se encuen an bajo condiciones de ensión
plana.
Fig 2.6 Dos cilind os en con ac o de la misma longi ud [4]

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Nos cen a emos en la pa e cen al del con ac o cilínd ico que se encuen a bajo condiciones de de o mación
plana, en que la de o mación en la di ección z es desp eciable, y la ensión, aplicando la ley de Hooke, puede
exp esa se como: 𝜎𝑧𝑧=𝜈∙(𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑦𝑦) (4)
Po an o, como se indicó an e io men e, se puede ob ene una solución analí ica dada la sencillez de la
geome ía, y abaja con un p oblema bidimensional de de o mación plana.
2.2.1 Exp esiones de las ensiones no males de comp esión 𝝈𝒚𝒚(𝒙,𝟎) sob e la supe icie de con ac o
de la p obe a
[4] Pa a ob ene las exp esiones de las ensiones no males en la supe icie de con ac o de la p obe a debido a la
ca ga no mal N, 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0), se han omado 2 hipó esis:
- La ca ga no mal N, aplicada en la zona de con ac o de la p obe a de amaño 2a, es lo su icien emen e
pequeña pa a que es a zona de con ac o sea meno en compa ación con los adios de los cilind os, R1 y
R2. Es a es icción del amaño de la supe icie de con ac o ambién nos pe mi e ap oxima los cue pos
en con ac o como semiplanos. Además, supone que el adio de cu a u a de la p obe a es mucho mayo
que la del punzón del ensayo pe mi e exp esa la dis ibución de las ensiones sob e la supe icie de
con ac o de o ma pa abólica, alcanzándose sus alo es máximos en x=0 pa a el caso de 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) y
𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0), y en x=-e pa a el caso 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,𝑦) debido al desplazamien o ela i o "e”. Es os alo es
máximos se ían espec i amen e: −𝑝0,−𝜇∙𝑝0,𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎 .
Fig 2.7 Con ac o en e los cue pos [4]
- No deben apa ece acciones de cizalladu a supe icial. Es o puede cumpli se de dos modos. O bien
ambos cue pos ienen las mismas cons an es elás icas, o bien el coe icien e de icción debe desapa ece .
Se oma la p ime a opción como e á a con inuación.
Ope ando, se llega a las exp esiones:
𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝜎𝑦𝑦𝑁(𝑥,0)=−𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 ,𝑥∈(−𝑎,𝑎) (1)
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𝑝0=𝑘∙𝑎
𝐴 (5)
𝑎=√2∙𝑁∙𝐴
𝜋∙𝑘 (6)
𝑘=1
𝑅1+1
𝑅2 (7)
𝐴=1−𝜈1
𝜇1+1−𝜈2
𝜇2≡2∙(1−𝜈12
𝐸1+1−𝜈22
𝐸2) (8)
El signo nega i o de la exp esión de 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) se debe a que es as ensiones ac úan en sen ido opues o al eje y
de inido. Pa a ob ene las exp esiones de k y A, se supond á que las p opiedades mecánicas de los ma e iales de
ambos cilind os son iguales, como se ió que e a necesa io pa a el cumplimien o de la segunda hipó esis, y que
el adio del cilind o de la p obe a sea su icien emen e g ande, pa a ap oxima el p oblema al caso degene ado
de con ac o en e un cilind o y un plano. 𝜈1=𝜈2=𝜈 (9)
𝜇1=𝜇2=𝜇 (10)
𝐸1=𝐸2=𝐸 (11)
𝑅2≫1 (12)
Finalmen e, quedan del siguien e modo: 𝑘=1
𝑅 (13)
𝐴=4∙(1−𝜈2
𝐸) (14)
Se puede obse a como la ensión 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) depende de la ca ga no mal de comp esión aplicada, de las
p opiedades mecánicas de los ma e iales y de la geome ía de és os. Además, se puede e como el amaño de
la supe icie de con ac o de la p obe a depende di ec amen e de la ca ga aplicada N y del adio del cilind o de
aplicación. De es e modo, como se indicó an e io men e, pa a una ca ga N su icien emen e pequeña se consigue
que es a zona de con ac o sea su icien emen e pequeña en compa ación con los adios de ambos cilind os.
𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝑓(𝑁,𝐸,𝜈,𝑅,𝑥) (15)
2.2.2 Exp esiones de las ensiones angenciales 𝝈𝒙𝒚𝑸𝑮(𝒙,𝟎) en la supe icie de con ac o de la p obe a
Sus exp esiones son muy simila es a las co espondien es a 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0). A pa i de la ley de icción de Coulomb,
que indica que la ue za de icción es p opo cional a la ue za no mal, e independien e de la elocidad, y que
es a á aplicada en oda la zona de con ac o 2a, pa a la condición de deslizamien o global, se ob iene:
𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0)=−𝜇∙𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎) (2)
El signo nega i o de es a exp esión se debe a la o ien ación de es as ensiones espec o al sis ema de e e encia
escogido.
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2.2.3 Exp esiones de las ensiones angenciales 𝝈𝒙𝒚𝑸𝑷(𝒙,𝒚) en la supe icie de adhe ida de la p obe a
La exp esión de las ensiones 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0), cuya con ibución jun o a 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,𝑦) de inen las ensiones
angenciales en la supe icie de con ac o debido a las ca gas Q y N, y la ensión global cíclica σ, bajo condiciones
de deslizamien o pa cial es la siguien e:
𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙√1−(𝑥+𝑒
𝑐)2, 𝑥∈(−𝑐−𝑒,𝑐−𝑒) (2)
Se puede obse a que es as ensiones solo ac úan en la zona adhe ida, de amaño 2c, que es á desplazada una
dis ancia “e” espec o al caso en que no ac úa la ensión global σ. Cabe des aca :
- El é mino 𝑐𝑎 se emplea pa a que los alo es de es á ensiones 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,𝑦) sean p opo cionales a la zona
adhe ida de amaño 2c en la que ac úan, espec o a la que le co esponde ía si ac uase sob e oda la zona de
con ac o de amaño 2a.
- El é mino x+e indica que la dis ibución pa abólica de es as ensiones es á desplazada una dis ancia “e”,
alcanzándos su alo máximo en x=-e.
- El signo posi i o se debe a que se opone a las ensiones co espondien es al caso de deslizamien o global an es
desc i o.
Po o o lado, el alo de “c” que ca ac e iza la zona adhe ida se ob iene de la siguien e exp esión:
𝑐=𝑎∙√1−|𝑄
𝜇∙𝑁| (16)
Además, como señalamos an e io men e, el desplazamien o “e” debido a la ensión global se puede ob ene a
pa i de: 𝑒= 𝜎∙𝑎
4∙𝜇∙𝑝0 (3)
Como se ió an es, la elación 𝑄 (𝜇∙𝑁)
⁄ de e mina la condición de deslizamien o global o pa cial, y cuan i ica
la se e idad de es e úl imo.
- Si 𝑄
𝜇∙𝑁≪1 →𝑐≈𝑎, de modo que la zona adhe ida se á p ác icamen e oda la supe icie de con ac o.
Pa a un alo muy pequeño de la ca ga angencial Q, espec o a un alo ijado de la ca ga no mal N,
nos encon a íamos en el caso de deslizamien o pa cial con una g an supe icie adhe ida.
- Si 𝑄
𝜇∙𝑁≈1 → 𝑐≈0, de modo que la zona adhe ida es desp eciable, y nos encon a íamos en el caso
de deslizamien o global.
Po an o, un alo al o de Q acili a el deslizamien o, mien as que un alo bajo lo impide. Además, un alo
al o del coe icien e de ozamien o y de la ca ga no mal N a o ece el caso de deslizamien o pa cial.
Po o o lado, el desplazamien o “e” solo depende de la ensión global oscila o ia σ y la ca ga axial N, no
dependiendo de la ca ga angencial Q. Es e desplazamien o se á mayo cuan o más g ande sea es a ensión σ.
Po an o, se llega a la conclusión de que es la elación en e las ca gas Q y N las que de e minan el deslizamien o,
mien as que es la ensión global σ y la ca ga axial N las que condicionan el desplazamien o “e”.
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Además, se puede obse a que espec o las ca gas Q y N y la ensión σ se cumple lo siguien e:
- La ensión 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) solo depende de la ca ga N.
- La ensión 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) solo depende de la ca ga N.
- La ensión 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0) depende de la ca gas N y Q, y la ensión 𝜎.
Así pues:
- La ca ga N de e mina la magni ud del alo de es as ensiones, la condición de deslizamien o global o
pa cial, y la se e idad de es a úl ima si p ocede, y el desplazamien o “e” p oducido.
- La ca ga Q de e mina la condición de deslizamien o global y pa cial, y la se e idad de es a úl ima si
p ocede.
- La ensión global oscila o ia σ de e mina el desplazamien o “e” p oducido.
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4 CÁLCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE
TENSIONES
El siguien e paso del abajo se á calcula el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼 en modo I, que ca ac e iza la
in ensidad del campo de ensiones en el bo de de la g ie a. Apo a dos clases de in o mación:
-Si la g ie a es es able.
-La elocidad de p opagación de la g ie a.
4.1 P incipio de Bueckne
[6] El p incipio de Bueckne o p incipio de supe posición pe mi e educi cualquie p oblema de un sólido
elás ico some ido a ca gas ex e nas 𝜎(𝑠) con una g ie a, a uno en el que las ca gas aplicadas apa ezcan como
una dis ibución de acciones a lo la go de las ca as de la g ie a 𝜎𝐺(𝑠).
Fig 4.1 P incipio de supe posición [6]
𝐾𝐼1=𝐾𝐼2+𝐾𝐼3 (45)
El ac o de in ensidad de ensiones del caso 2 es nulo, pues no hay g ie a; po lo que queda:
𝐾𝐼1=𝐾𝐼3 (46)
4.2 Funciones de peso
[6] El mé odo de las unciones de peso desa ollado po Bueckne y Rice pe mi e calcula el ac o de
in ensidad de ensiones de un plano con una g ie a de longi ud “a” bajo un sis ema de ca gas ex e no como:
𝐾𝐼=∫𝜎(𝑠)∙ℎ(𝑎,𝑠)∙𝑑𝑠
𝑎
0 (47)
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Donde ℎ(𝑎,𝑠) es la unción de peso y 𝜎(𝑠) ep esen a la dis ibución de ensiones en el luga de la g ie a del
cue po suje o a un sis ema de ca gas ex e no, an es de que se o me la g ie a. El p incipio de Bueckne nos
pe mi i ía educi el p oblema a es udia al caso de la g ie a some ida a la dis ibución de ensiones 𝜎(𝑠).
4.3 Pa icula ización
El p oblema a es udia es el de una g ie a de bo de de longi ud “l” pe pendicula al bo de de un plano semi-
in ini o bajo la acción de un pa de ue zas concen adas P, como puede e se en la siguien e igu a:
Fig 4.2 Esquema de la g ie a de bo de bajo un pa de ca gas pun uales [6]
Bueckne ob u o la siguien e exp esión pa a el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼.
𝐾𝐼=𝑃∙[√2
𝜋∙(𝑙−𝑠)∙(1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2)] (48)
Sin emba go, ealmen e es amos in e esados en el siguien e caso:
Fig 4.3 Esquema de la g ie a de bo de bajo una dis ibución de ensiones [6]
De es e modo, la exp esión de ini i a que se emplea á pa a ob ene el ac o de in ensidad de ensiones se á la
siguien e:
𝐾𝐼=∫𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠)∙ℎ(𝑙,𝑠)∙𝑑𝑠
𝑙
0 (49)
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Donde la componen e 𝜎𝑥𝑥 del campo de ensiones in e io a la p obe a es la enca gada de ab i la g ie a,
cuando és a es e aluada en el lími e de la zona de con ac o x=a de los cilind os de nues o p oblema, y la
unción de peso h (l, s) depende de la longi ud de la g ie a l y de la coo denada s donde se aplica 𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠).
𝐾𝐼=∫𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠)
𝑙
0∙[√2
𝜋∙(𝑙−𝑠)∙(1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙𝑑𝑠 (50)
Es a exp esión pe mi e e alua el alo del 𝐾𝐼 de una g ie a de longi ud l, en la que se aplica una dis ibución
de ensiones 𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠) a lo la go de ella. Sin emba go, se calcula á y ep esen a á el 𝐾𝐼 pa a es a g ie a cuando
la longi ud l a ia en e 0 y a, el alo del lími e de la zona de con ac o en e ambos cilind os.
Se emplea á la unción de MATLAB FITgene al.m adjun a en los anexos pa a calcula el ac o de in ensidad
de ensiones.
4.4 Adimensionalización de las exp esiones y ep esen ación de los esul ados
A con inuación, amos a adimensionaliza las exp esiones que de inen el ac o de in ensidad de ensiones
asociado a cada una de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁,𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝑦 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 po sepa ado, ob enidas median e el mé odo de las
ecuaciones analí icas.
1. 𝑲𝑰𝑵 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑵. 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑎,𝑠)=𝑝0∙𝑓(𝑠𝑎)
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0(𝑠𝑎)∙𝑤(𝑠)
√𝑎∙𝑑𝑠
𝑙
0
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1
√𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙1
√𝑎∙𝑑𝑠
𝑙
0=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1
√𝑙−𝑠∙1
√𝑎∙(𝑎𝑙)2
𝑙
0
∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠
=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙𝑎
𝑙2∙√1
𝑙𝑎−𝑠𝑎
𝑙
0
∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠 (51)
Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑎 →𝑑𝑠=𝑎∙𝑑𝑠′ (52)
Se ob iene:
36
36
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0(𝑠′)∙√2𝜋∙(𝑎𝑙)2∙√1
𝑙𝑎−𝑠′∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠′)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠′)2]
𝑙/𝑎
0∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑎) (53)
Se ep esen a 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎 en e 𝑙𝑎, de modo que es a g á ica ob enida pa a el ac o de in ensidad de ensiones
asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁 es única. Se ob iene:
Fig 4.4 G á ica de 𝑲𝑰𝑵
𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂
El alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑁 asociado a 𝜎𝑥𝑥𝑁 se compo a de o ma asin ó ica. Pa e
de un alo inicial ce o, pa a el caso de que la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima a ce o.
Finalmen e, iende a un alo nega i o cons an e cuando la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima al
alo de la longi ud de la zona de con ac o de los cilind os “a”.
{
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎→0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→0
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎→−0.5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→𝑎
𝐾𝐼𝑁<0 (54)
Que el alo de 𝐾𝐼𝑁 sea nega i o nos indica que la componen e 𝜎𝑥𝑥𝑁 iende a ce a la g ie a.
2. 𝑲𝑰𝑸𝑮 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮.
𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺(𝑎,𝑠)=𝜇∙𝑝0∙𝑓(𝑠𝑎) (55)
𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙𝑤(𝑠)
√𝑎∙𝑑𝑠
𝑙
0 (56)
37
37
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
𝐾𝐼𝑁
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1
√𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙1
√𝑎∙𝑑𝑠
𝑙
0=∫𝜎𝑥𝑥𝑁
𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙𝑎
𝑙2∙√1
𝑙𝑎−𝑠𝑎
𝑙
0
∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠 (57)
Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑎 →𝑑𝑠=𝑎∙𝑑𝑠′ (58)
Se ob iene:
𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫ 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝜇∙𝑝0(𝑠′)∙√2𝜋∙(𝑎𝑙)2∙√1
𝑙𝑎−𝑠′
𝑙/𝑎
0∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠′)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑎) (59)
Se ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e 𝑙𝑎 de modo que es a g á ica ob enida pa a el ac o de in ensidad de ensiones
asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 es única. Se ob iene:
Fig 4.5 G á ica de 𝑲𝑰𝑸𝑮
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂
El alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑄𝐺 asociado a 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 se compo a de o ma asin ó ica,
pa iendo de un alo inicial nulo pa a el caso de que la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima a ce o,
al como ocu ía en la g á ica an e io . Sin emba go, aho a iende a un alo posi i o cons an e de alo
unidad cuando la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima al alo de la longi ud de la zona de con ac o
de los cilind os a.

38
38
{
𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎→0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→0
𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎→1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→𝑎
𝐾𝐼𝑄𝐺>0 (60)
Que el alo de 𝐾𝐼𝑄𝐺 sea posi i o nos indica que la componen e 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 iende a ab i la g ie a.
3. 𝑲𝑰𝑸𝑷 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 espec o a 𝒄𝒂
𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃(𝑎,𝑠)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙𝑎+𝑒
𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒
𝑐) (61)
𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒
𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒
𝑐)∙𝑤(𝑠)
√𝑐∙𝑑𝑠
𝑙
0 (62)
𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒
𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒
𝑐)∙√2𝜋∙1
√𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]
𝑙
0∙1
√𝑐∙𝑑𝑠
=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒
𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒
𝑐)∙√2𝜋∙𝑐
𝑙2∙√1
𝑙𝑐−𝑠𝑐
𝑙
0
∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠𝑐)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠𝑐)2]∙𝑑𝑠 (62)
Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑐 →𝑑𝑠=𝑐∙𝑑𝑠′ (63)
Se ob iene: 𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒
𝑐∙𝑓(𝑠′,𝑎+𝑒
𝑐)∙√2𝜋∙(𝑐𝑙)2∙√1
𝑙𝑐−𝑠′
𝑙/𝑐
0
∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠′)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑐,𝑎𝑐,𝑎+𝑒
𝑐) (64)
Pa a ob ene un p ime esul ado, se supond á que la excen icidad es nula, cuya con ibución a la solución
inal es pequeña. Ello eque i á que la ensión global oscila o ia ambién lo sea, según la exp esión:
𝑒= 𝜎∙𝑎
4∙𝜇∙𝑝0 (3)
Cabe des aca que la ca ga angencial Q debido a σ se es á conside ando, así como el segmen o de supe icie
adhe ida comp endida en e -c y c. Lo que se es á desp eciando es el desplazamien o e, ya que en nues as
ecuaciones pa imos de un alo Q de en ada que no es unción de σ, aunque se deba a ella, dependiendo solo
de la ca ga global el alo del desplazamien o e.
De es e modo, se simpli ica el p oblema no ablemen e, ob eniendo:
39
39
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑓(𝑠′,𝑎𝑐)∙√2𝜋∙(𝑐𝑙)2∙√1
𝑙𝑐−𝑠′∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠′)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′
𝑙/𝑐
0=𝑓(𝑙𝑐,𝑎𝑐) (65)
Po an o, podemos ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑐 como unción de 𝑙𝑐 pa a a ios alo es de 𝑎
𝑐, de inida és a úl ima po la
exp esión: 𝑐𝑎=√1−|𝑄
𝜇∙𝑁| (16)
Ope ando podemos obse a que: 𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑐=𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑎∙√𝑎
√𝑐
𝑙𝑐=𝑙𝑎∙𝑎𝑐
De es e modo, al calcula el ac o de in ensidad de ensiones pa a a ios alo es cons an es de 𝑎
𝑐, podemos
ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es cons an es de 𝑎
𝑐. Así, se ob ienen las siguien es g á icas:
Fig 4.6 G á ica de 𝑲𝑰𝑸𝑷
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
Es os esul ados, al igual que los an e io men e p esen ados, no cambian pa a modi icaciones en las p opiedades
mecánicas de los ma e iales (E y ν) y la geome ía (R) pa a unos alo es dados de 𝑐𝑎 mien as man engamos nula
la excen icidad, y po an o la ca ga global oscila o ia.
Se puede obse a como el compo amien o de es as g á icas es dis in o al de las dos an e io es. El alo del
ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑄𝑃 asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 pa e de ce o cuando la longi ud de la
g ie a iende a ce o, y inalmen e iende a un alo nega i o cons an e, dependiendo de la elación 𝑄
𝜇∙𝑁, endiendo
a ce a la g ie a. Cuan o mayo es el cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁, meno es el cocien e 𝑐𝑎. Es deci , que cuan o meno sea el
coe icien e de ozamien o de la supe icie de con ac o, meno se á el amaño de la zona adhe ida, y po an o el
alo absolu o del ac o de in ensidad de ensiones asociado al caso de deslizamien o pa cial se á meno . Po
an o, la cu a más al a de la g á ica que co esponde al meno alo del coe icien e de ozamien o iene una
40
40
con ibución meno a ce a la g ie a. Los alo es alcanzados po 𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 cuando la longi ud de la g ie a se
ap oxima a la longi ud de la zona de con ac o en e cilind os a, a ían en e 0 y -1 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁 endiendo a 1 y a 0
espec i amen e (sin zona adhe ida, c=0, o con oda la supe icie de con ac o es ando adhe ida, c=a).
A con inuación, amos a ep esen a el ac o de in ensidad de ensiones asociado a la con ibución conjun a de
𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺,𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝑦 𝜎𝑥𝑥𝑁.
4. Rep esen ación de 𝑲𝑰𝑸 espec o a 𝒄𝒂
𝐾𝐼𝑄=𝐾𝐼𝑄𝐺+𝐾𝐼𝑄𝑃 (66)
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Es o es equi alen e a ep esen a 𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎
en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, es ando es e úl imo ac o de in ensidad de ensiones asociado a las ensiones
𝜎𝑥𝑥𝑄=𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 , cumpliéndose: 𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝑙𝑎,𝑎𝑐) (67)
Ob enemos:
Fig 4.7 G á ica de 𝑲𝑰𝑸
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
Las g á icas ob enidas son el esul ado de la suma de las dos an e io es, co espondien es al caso de
deslizamien o global y pa cial. Pa a el caso de que 𝑄
𝜇∙𝑁 ienda a ce o, la con ibución nega i a del ac o de
in ensidad de ensiones del caso de deslizamien o pa cial es mayo , y po an o, el alo del ac o de in ensidades
conjun o 𝐾𝐼𝑄 iende a su meno alo , siendo 𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎>0 en odo momen o.
Po an o, espec o a la con ibución conjun a de 𝜎𝑥𝑥𝑄, su ac o de in ensidad de ensiones asociado 𝐾𝐼𝑄 es
41
41
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
siemp e posi i o, endiendo a ab i la g ie a, siendo mayo su alo cuan o meno es la con ibución debida a
𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃. Es deci , la ape u a de la g ie a se á mayo cuan o meno sea la zona adhe ida, y, po an o, meno sea
el coe icien e de ozamien o de la supe icie de con ac o µ o la ca ga N.
5. Rep esen ación de 𝑲𝑰 espec o a 𝒄𝒂
𝐾𝐼=𝐾𝐼𝑁+𝐾𝐼𝑄=𝐾𝐼𝑁+𝐾𝐼𝑄𝐺+𝐾𝐼𝑄𝑃 (68)
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁
𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Es o es equi alen e a ep esen a
𝐾𝐼
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, es ando es e úl imo ac o de in ensidad de ensiones asociado a las
ensiones 𝜎𝑥𝑥=𝜎𝑥𝑥𝑁+𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 . Ob enemos:
Fig 4.8 G á ica de 𝑲𝑰
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
Cabe des aca que a iaciones en el coe icien e de icción µ en la supe icie de con ac o, modi ican el é mino
𝐾𝐼𝑁
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 aún pa a un alo cons an e de 𝑐𝑎, cumpliéndose:
𝐾𝐼𝑁
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝜇) (69)
Po an o: 𝐾𝐼
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝜇,𝑙𝑎,𝑎𝑐) (70)
Po ello, amos a ep esen a 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, anulándose aho a la dependencia
di ec a con el coe icien e de icción µ.
𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝑙𝑎,𝑐𝑎) (71)
48
48
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=1
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=1 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene:
Fig 4.18 G á ica 𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒
Al aumen a el cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁 se educe la con ibución a ce a la g ie a de las ensiones asociadas al caso de
deslizamien o pa cial, es deci , la zona adhe ida es más pequeña. Po an o, las di e encias en e las cu as
asociadas a 𝐾𝐼𝑄 debido a di e en es alo es de 𝜎
𝜇∙𝑝0 son meno es.
Rep esen ación de 𝑲𝑰 espec o a 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene:
Fig 4.19 G á ica 𝑲𝑰𝑵
𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑

49
49
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Al igual que en la g á ica an e io , se puede obse a como la ensión global cíclica aumen a el alo del ac o
de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼, a o eciendo la ape u a de la g ie a. Cabe des aca que, en nues o modelo, al
pa i de un alo de la ca ga angencial Q cons an e de en ada, la ca ga global cíclica solo a ec a al alo de la
excen icidad, que solo in e iene en la dis ibución de ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃. Po an o, un aumen o de la
excen icidad debido al inc emen o de la ca ga global p oduce una disminución de la con ibución a ce a la
g ie a de 𝐾𝐼𝑄𝑃. No in e iene en 𝐾𝐼𝑁 ni en 𝐾𝐼𝑄𝐺, de modo que el aumen o del ac o de ensiones 𝐾𝐼 es debido
únicamen e a la educción del alo absolu o de 𝐾𝐼𝑄𝑃.
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene:
Fig 4.20 G á ica 𝑲𝑰𝑵
𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.75
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.75 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.5,1,1.5 𝑦 2. Se ob iene:
Fig 4.21 G á ica 𝑲𝑰𝑵
𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟕𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟓,𝟏,𝟏.𝟓 𝒚 𝟐
50
50
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=1
Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁
𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄
𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=1 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene:
Fig 4.22 G á ica 𝑲𝑰𝑵
𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸
𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒
El cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁 educe el amaño de la zona adhe ida y, po an o, la con ibución a ce a la g ie a de las
ensiones asociadas al caso de deslizamien o pa cial. Dado que en el modelo que empleamos la ensión global
oscila o ia solo ac úa pa a aumen a el alo de la excen icidad, modi icando solo las ensiones del caso de
deslizamien o pa cial, las di e encias en e las cu as pa a di e en es alo es del cocien e 𝜎
𝜇∙𝑝0 son meno es.
4.5 Rep esen ación de las ensiones axiales 𝝈𝒙𝒙 a lo la go de la g ie a
Pa a pode in e p e a de o ma adecuada los esul ados, se ep esen a á de o ma adimensional, como en el
apa ado an e io , las ensiones 𝜎𝑥𝑥(𝑠) a lo la go de la longi ud de la g ie a. La coo denada “s” ep esen a á la
p o undidad de la g ie a en que se calcula 𝜎𝑥𝑥(𝑠). Se emplea á un p og ama en MATLAB denominado
sigxxg ie a.m.
1. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑵(𝒔) a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el lími e de la zona
de con ac o en e los cilind os x=a.
𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0=𝑓(𝑠𝑎) (68)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0 en e a 𝑠𝑎. Se ob iene la siguien e g á ica, que es única:
51
51
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Fig 4.23 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑵(𝒔)
𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂
Las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑠) gene adas a lo la go de la g ie a pa en de ce o en la supe icie de con ac o de la
p obe a (s=0). A pa i de ahí, se p oduce un aumen o d ás ico de es a ensión en el sen ido de una comp esión,
alcanzándose su alo máximo en el 25% de la longi ud de la g ie a. A pa i , el alo de es as ensiones se
educe con una pendien e cons an e, aunque no llega anula se en el ondo de la g ie a de longi ud a,
alcanzándose un alo 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0=−0.2. Es as ensiones de alo nega i o son de comp esión a lo la go de oda la
g ie a, de modo que con ibuyen a ce a la.
2. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de
con ac o x=a. 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎) (69)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎. Se ob iene la siguien e g á ica, que es única:
Fig 4.24 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮(𝒔)
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂
El alo de ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑠) a lo la go de la g ie a es posi i o, de modo que se a a de ensiones de acción
que ienden a ab i la g ie a. Es a dis ibución de ensiones p esen a un compo amien o asin ó ico, que pa e de
52
52
un alo inicial en la supe icie de con ac o de la p obe a de 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0=2, siendo és e el máximo alo alcanzado
a lo la go de la g ie a. A pa i de ahí, comienza a educi se el alo de es as ensiones de acción a medida
que se ap oxima al ondo de la g ie a en s=a, donde alcanza un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺
𝜇∙𝑝0=0.2 ce cano a ce o.
3. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de
con ac o x=a.
Pa a el caso de excen icidad y ca ga global oscila o ia nulas:
𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (70)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, en conc e o, pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25,0.5,0.75 𝑦 1.
Ob enemos:
Fig 4.25 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷(𝒔)
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
El alo de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃(𝑠) es nega i o a lo la go de la g ie a, de modo que se a a de ensiones de
comp esión que ienden a ce a la g ie a. El alo de es as ensiones pa e de un alo nega i o dis in o de ce o
en la supe icie de con ac o de la p obe a, y se educe su alo en alo absolu o a lo la go de la g ie a,
endiendo asin ó icamen e a alo es nega i os ce canos a ce o en el ondo de la g ie a s=a.
Valo es mayo es del cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁 educen la con ibución de es as ensiones de comp esión. Al aumen a es e
cocien e se educe la supe icie adhe ida, de modo que se educe la con ibución de es as ensiones.
4. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de zona de
con ac o x=a pa a el caso de excen icidad nula.
𝜎𝑥𝑥𝑄
µ∙𝑝0=𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (71)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene:
53
53
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
Fig 4.26 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸(𝒔)
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
Dado que los alo es posi i os de las ensiones de acción 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 son mayo es que los alo es de comp esión
asociados a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃, el alo de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄 es posi i o a lo la go de oda la g ie a,
a ándose po an o de ensiones de acción que acili an la ape u a de la g ie a. Su compo amien o es de
nue o asin ó ico, pa iendo de un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 posi i o en la supe icie de con ac o de la p obe a, siendo és e
el alo máximo que alcanza la cu a. Pos e io men e el alo de es as ensiones de acción iende a ce o a
medida que se ap oxima al ondo de la g ie a en s=a.
Po o o lado, se puede obse a que un aumen o del cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁 p oduce un aumen o de es as ensiones de
acción, debido a que una educción de la supe icie de con ac o educe la con ibución de las ensiones de
comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial.
5. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de
con ac o x=a, pa a el caso de excen icidad nula.
𝜎𝑥𝑥
µ∙𝑝0=𝜎𝑥𝑥𝑁+𝜎𝑥𝑥𝑄
µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐,𝜇) (72)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene:
Fig 4.27 G á ica 𝝈𝒙𝒙(𝒔)
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏

54
54
Teniendo en cuen a que: 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (73)
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene:
Fig 4.28 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑵
𝒑𝟎+𝝈𝒙𝒙𝑸
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏
El compo amien o de las ensiones 𝜎𝑥𝑥 es de nue o asin ó ico, pa iendo de un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑁
𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 posi i o
en la supe icie de con ac o de la p obe a, y educiéndose su alo has a ap oxima se a ce o a media que se
ap oxima al ondo de la g ie a en s=a. El alo de es as ensiones es posi i o a lo la go de oda la g ie a pa a
alo es del cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁>0.5, de modo que se a a de ensiones de acción que ienden a ab i la g ie a.
Además, de o ma simila a como ocu ía en el caso an e io , el alo de es as ensiones de acción es mayo
pa a mayo es alo es del cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁, de modo que la educción de la supe icie adhe ida disminuye la
con ibución de las ensiones de comp esión asociadas a las ensiones del caso de deslizamien o pa cial.
Finalmen e, amos a analiza el e ec o de la ensión global cíclica σ y la excen icidad e en es as dis ibuciones
de ensiones.
6. In luencia de 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎 en la dis ibución de ensiones 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 a lo la go de una g ie a de longi ud
l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a.
Conside ando la excen icidad y ca ga global oscila o ia se iene:
𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐,𝜎
𝜇∙𝑝0) (74)
Se ep esen a 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑄
𝜇∙𝑁 y de 𝜎
𝜇∙𝑝0 conside ando la siguien e es icción, al
como se hizo en el apa ado an e io :
55
55
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
𝜎
𝜇∙𝑝0<4∙(1−√1− 𝑄
𝜇∙𝑁) (67)
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25
-Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene:
Fig 4.29 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑
El inc emen o de la ca ga global oscila o ia conlle a el aumen o de la excen icidad e, educiendo el amaño de
la zona adhe ida y la con ibución de las ensiones de comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial.
Además, se puede obse a como la pendien e de es as cu as es mayo pa a meno es alo es de la ensión
global, p oduciéndose un co e en e las g á icas.
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene:
Fig 4.30 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕
56
56
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.75
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.75 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.5,1,1.5 𝑦 2. Se ob iene:
Fig 4.31 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟕𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟓,𝟏,𝟏.𝟓 𝒚 𝟐
Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=1
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=1 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene:
Fig 4.32 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒
Se puede obse a como las ensiones de comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial
disminuyen a medida que aumen a el cocien e 𝑄
𝜇∙𝑁, así como es as disminuyen pa a mayo es alo es de la
ca ga global oscila o ia.
57
57
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
7. In luencia de 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎 en la dis ibución de ensiones 𝝈𝒙𝒙𝑸 a lo la go de una g ie a de longi ud
l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a.
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene:
Fig 4.33 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑
Las cu as es án muy p óximas en e sí y se c uzan en o no al 40% de la longi ud de la g ie a. Las cu as
pa en de un alo inicial y ienden a ce o de o ma asin ó ica hacia el ondo de la g ie a. El alo de es as
ensiones es posi i o siemp e, a ándose po an o de ensiones de acción. Pa a mayo es alo es de la ca ga
global oscila o ia es as ensiones pa en de un mayo alo inicial y ienen una pendien e nega i a más
acusada.
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5
Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄
𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄
𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎
𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene:
Fig 4.34 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸
𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸
𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈
𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕
-Caso: 𝑄
𝜇∙𝑁=0.75
64
64
[sigxx,p0,sigxxN,sigxxQ,sigxxQG,sigxxQP]=sigxxin e io (N,Q,mu,ps,E,R,sig
ac,-s);
SIGXX(i,1)=sigxx;
SIGXXN(i,1)=sigxxN;
SIGXXQ(i,1)=sigxxQ;
SIGXXQG(i,1)=sigxxQG;
SIGXXQP(i,1)=sigxxQP;
SIGXXNyQG(i,1)=sigxxN+sigxxQG;
i=i+1;
end
GG=SIGXX.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KIG(j,1)= apz(yc,GG);
GN=SIGXXN.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KIN(j,1)= apz(yc,GN);
GQ=SIGXXQ.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KIQ(j,1)= apz(yc,GQ);
GQG=SIGXXQG.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KIQG(j,1)= apz(yc,GQG);
GQP=SIGXXQP.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KIQP(j,1)= apz(yc,GQP);
GNyQG=SIGXXNyQG.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1-
yc./l).^2));
KINyQG(j,1)= apz(yc,GNyQG);
D(j,1)=l;
j=j+1;
end
igu e(1);
g id;
plo (D./a,KIN./p0./sq (a));
xlabel('l/a');
ylabel('KIN/p0/sq (a)');
igu e(2);
g id;
plo (D./a,KIQG./p0./mu./sq (a));
xlabel('l/a');
ylabel('KIQG/p0/mu/sq (a)');
end

65
65
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
5.5 P og ama QmuN.m
clea all; close all; clc;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.8,0.8,100,100,0);
mu1=0.8;
D1=D;
a1=a;
p01=p0;
KIG1=KIG;
KIQ1=KIQ;
KIQP1=KIQP;
KIQG1=KIQG;
KIN1=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.4,0.7,500,5,0);
mu2=0.4;
D2=D;
a2=a;
p02=p0;
KIG2=KIG;
KIQ2=KIQ;
KIQP2=KIQP;
KIQG2=KIQG;
KIN2=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.26,0.5,20,4,0);
mu3=0.26;
D3=D;
a3=a;
p03=p0;
KIG3=KIG;
KIQ3=KIQ;
KIQP3=KIQP;
KIQG3=KIQG;
KIN3=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2000000001,0.5,20,4,0);
mu4=0.2000000001;
D4=D;
a4=a;
p04=p0;
KIG4=KIG;
KIQ4=KIQ;
KIQP4=KIQP;
KIQG4=KIQG;
KIN4=KIN;
igu e(1);
plo (D1./a1,KIG1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIG2./mu2./p02./sq (a2),D3./a
3,KIG3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIG4./mu4./p04./sq (a4));
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('l/a');
ylabel('KI/mu/p0/sq (a)');
igu e(2);
plo (D1./a1,KIQP1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQP2./mu2./p02./sq (a2),D3.
/a3,KIQP3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQP4./mu4./p04./sq (a4));
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('l/a');
ylabel('KIQP/mu/p0/sq (a)');
66
66
igu e(3);
plo (D1./a1,KIQ1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQ2./mu2./p02./sq (a2),D3./a
3,KIQ3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQ4./mu4./p04./sq (a4));
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('l/a');
ylabel('KIQ/mu/p0/sq (a)');
igu e(4);
plo (D1./a1,(KIN1+KIQG1+KIQP1)./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,(KIN2+KIQG2+KIQP
2)./mu2./p02./sq (a2),D3./a3,(KIN3+KIQG3+KIQP3)./mu3./p03./sq (a3),D4./a
4,(KIN4+KIQG4+KIQP4)./mu4./p04./sq (a4));
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('l/a');
ylabel('KI/mu/p0/sq (a)');
igu e(5);
plo (D1./a1,(KIN1)./p01./sq (a1)+(KIQG1+KIQP1)./mu1./p01./sq (a1),D2./a2
,(KIN2)./p02./sq (a2)+(KIQG2+KIQP2)./mu2./p02./sq (a2),D3./a3,(KIN3)./p0
3./sq (a3)+(KIQG3+KIQP3)./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,(KIN4)./p04./sq (a4)
+(KIQG4+KIQP4)./mu4./p04./sq (a4));
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('l/a');
ylabel('KIN/p0/sq (a)+KIQ/mu/p0/sq (a)');
5.6 P og ama excen icidad.m
clea all; close all; clc;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,9.22);
mu1=0.2002;
D1=D;
a1=a;
p01=p0;
KIG1=KIG;
KIQ1=KIQ;
KIQP1=KIQP;
KIQG1=KIQG;
KIN1=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,18.44);
mu2=0.2002;
D2=D;
a2=a;
p02=p0;
KIG2=KIG;
KIQ2=KIQ;
KIQP2=KIQP;
KIQG2=KIQG;
KIN2=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,27.663);
mu3=0.2002;
D3=D;
a3=a;
67
67
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
p03=p0;
KIG3=KIG;
KIQ3=KIQ;
KIQP3=KIQP;
KIQG3=KIQG;
KIN3=KIN;
[D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,36.88);
mu4=0.2002;
D4=D;
a4=a;
p04=p0;
KIG4=KIG;
KIQ4=KIQ;
KIQP4=KIQP;
KIQG4=KIQG;
KIN4=KIN;
igu e(1);
plo (D1./a1,KIQP1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQP2./mu2./p02./sq (a2),D3.
/a3,KIQP3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQP4./mu4./p04./sq (a4));
legend('sigma/mu/p0=0.15','sigma/mu/p0=0.3','sigma/mu/p0=0.45','sigma/mu/p
0=0.53');
xlabel('l/a');
ylabel('KIQP/mu/p0/sq (a)');
i le('Q/mu/N=0.25');
igu e(2);
plo (D1./a1,KIQ1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQ2./mu2./p02./sq (a2),D3./a
3,KIQ3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQ4./mu4./p04./sq (a4));
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('l/a');
ylabel('KIQ/mu/p0/sq (a)');
i le('Q/mu/N=1');
igu e(3);
plo (D1./a1,KIN1/p01/sq (a1)+KIQ1/mu1/p01/sq (a1),D2./a2,KIN2/p02/sq (a
2)+KIQ2/mu2/p02/sq (a2),D3./a3,KIN3/p03/sq (a3)+KIQ3/mu3/p03/sq (a3),D4
./a4,KIN4/p04/sq (a4)+KIQ4/mu4/p04/sq (a4));
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('l/a');
ylabel('KIN/p0/sq (a)+KIQ/mu/p0/sq (a)');
i le('Q/mu/N=1');
5.7 Función sigxxg ie a.m
unc ion[SIGXXG,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(N,Q,mu,
ps,E,R,sig ac);
A=4*((1-ps^2)/E);
k=1/R;
a=sq ((2*N*A)/(pi*k));
c=a*sq (1-abs(Q/(mu*N)));
68
68
p0=k*a/A;
e=sig ac*a/mu/p0/4;
x=a;
l=a;
i=1;
o y=l/10000:l/10000:l
[sigxx,p0,sigxxN,sigxxQ,sigxxQG,sigxxQP]=sigxxin e io (N,Q,mu,ps,E,R,sig
ac,-y);
SIGXXG(i,1)=sigxx;
SIGXXN(i,1)=sigxxN;
SIGXXQ(i,1)=sigxxQ;
SIGXXQG(i,1)=sigxxQG;
SIGXXQP(i,1)=sigxxQP;
YG(i,1)=y;
i=i+1;
end
% igu e(1);
%plo (YG,SIGXXG);
% igu e(2);
%plo (YG/a,SIGXXG/mu/p0);
%xlabel('l/a');
%ylabel('sigxx/mu/p0');
%w=in e p1(YG,SIGXXG,YG,'linea ');
% igu e(3);
%plo (YG,w);
igu e(1);
plo (YG/a,SIGXXN/p0);
xlabel('s/a');
ylabel('sigxxN/p0');
igu e(2);
plo (YG/a,SIGXXQG/mu/p0);
xlabel('s/a');
ylabel('sigxxQG/mu/p0');
igu e(3);
plo (YG/a,SIGXXQP/mu/p0);
xlabel('l/a');
ylabel('sigxxQP/mu/p0');
5.8 P og ama QmuNg ie a.m
clea all; close all; clc;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.8,0.5,1
00,1,0);
mu1=0.8;
YG1=YG;
a1=a;
p01=p0;
SIGXXQP1=SIGXXQP;
SIGXXQ1=SIGXXQ;
69
69
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
SIGXX1=SIGXX;
SIGXXN1=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.4,0.5,1
00,1,0);
mu2=0.4;
YG2=YG;
a2=a;
p02=p0;
SIGXXQP2=SIGXXQP;
SIGXXQ2=SIGXXQ;
SIGXX2=SIGXX;
SIGXXN2=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.26,0.5,
100,1,0);
mu3=0.26;
YG3=YG;
a3=a;
p03=p0;
SIGXXQP3=SIGXXQP;
SIGXXQ3=SIGXXQ;
SIGXX3=SIGXX;
SIGXXN3=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,0);
mu4=0.2002;
YG4=YG;
a4=a;
p04=p0;
SIGXXQP4=SIGXXQP;
SIGXXQ4=SIGXXQ;
SIGXX4=SIGXX;
SIGXXN4=SIGXXN;
igu e(1);
plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP
3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04);
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQP/mu/p0');
igu e(2);
plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./
mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04);
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQ/mu/p0');
igu e(3);
plo (YG1./a1,SIGXX1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXX2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXX3./mu3
./p03,YG4./a4,SIGXX4./mu4./p04);
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXX/mu/p0');
igu e(4);
plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./
mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX
Q4./mu4./p04);

70
70
legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0');
5.9 P og ama excen icidadg ie a.m
clea all; close all; clc;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,9.22);
mu1=0.2002;
YG1=YG;
a1=a;
p01=p0;
SIGXXQP1=SIGXXQP;
SIGXXQ1=SIGXXQ;
SIGXX1=SIGXX;
SIGXXN1=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,18.44);
mu2=0.2002;
YG2=YG;
a2=a;
p02=p0;
SIGXXQP2=SIGXXQP;
SIGXXQ2=SIGXXQ;
SIGXX2=SIGXX;
SIGXXN2=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,27.863);
mu3=0.2002;
YG3=YG;
a3=a;
p03=p0;
SIGXXQP3=SIGXXQP;
SIGXXQ3=SIGXXQ;
SIGXX3=SIGXX;
SIGXXN3=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,36.88);
mu4=0.2002;
YG4=YG;
a4=a;
p04=p0;
SIGXXQP4=SIGXXQP;
SIGXXQ4=SIGXXQ;
SIGXX4=SIGXX;
SIGXXN4=SIGXXN;
igu e(1);
plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP
3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQP/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
71
71
Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
igu e(2);
plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./
mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQ/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
igu e(3);
plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./
mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX
Q4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
5.10 P og ama sigma en eQmuN.m
clea all; close all; clc;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,9.22);
mu1=0.2002;
YG1=YG;
a1=a;
p01=p0;
SIGXXQP1=SIGXXQP;
SIGXXQ1=SIGXXQ;
SIGXX1=SIGXX;
SIGXXN1=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,18.44);
mu2=0.2002;
YG2=YG;
a2=a;
p02=p0;
SIGXXQP2=SIGXXQP;
SIGXXQ2=SIGXXQ;
SIGXX2=SIGXX;
SIGXXN2=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,27.863);
mu3=0.2002;
YG3=YG;
a3=a;
p03=p0;
SIGXXQP3=SIGXXQP;
SIGXXQ3=SIGXXQ;
SIGXX3=SIGXX;
SIGXXN3=SIGXXN;
[SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0.
5,100,1,36.88);
mu4=0.2002;
YG4=YG;
a4=a;
p04=p0;
72
72
SIGXXQP4=SIGXXQP;
SIGXXQ4=SIGXXQ;
SIGXX4=SIGXX;
SIGXXN4=SIGXXN;
igu e(1);
plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP
3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQP/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
igu e(2);
plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./
mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXQ/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
igu e(3);
plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./
mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX
Q4./mu4./p04);
legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4');
xlabel('s/a');
ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0');
i le('Q/mu/N=1');
73
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Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico
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