Estudio del factor de Intensidad de tensiones en fretting con un contacto cilíndrico

1 Equa ion Chap e 1 Sec ion 1 T abajo Fin de G ado Ingenie ía Ae oespacial Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Au o : Ma ín Pé ez Capo e Tu o : Jesús Vázquez Valeo Dp o. Ingenie ía Mecánica y Fab icación Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2018 2 3 3 T abajo Fin de G ado Ingenie ía Ae oespacial Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Au o : Ma ín Pé ez Capo e Tu o : Jesús Vázquez Valeo Dp o. de Ingenie ía Mecánica y Fab icación Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2018 4 5 5 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico P oyec o Fin de G ado: Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Au o : Ma ín Pé ez Capo e Tu o : Jesús Vázquez Valeo El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os: P esiden e: Vocales: Sec e a io: Acue dan o o ga le la cali icación de: 6 Se illa, 2018 El Sec e a io del T ibunal 7 7 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico A mi amilia A mis maes os 8 9 9 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Resumen Es e abajo consis e en el es udio del ac o de in ensidad de ensiones (F.I.T.) en modo I en e ing, pa a un con ac o cilínd ico. Se in oduci á b e emen e el enómeno e ing, los e ec os que p oduce en los componen es en que se da, así como una se ie de palia i os pa a comba i lo. Pos e io men e, pa iendo de la con igu ación del ensayo de e ing co espondien e pa a el calculo de 𝐾𝐼, y de las ensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a dadas po la li e a u a, se calcula á el campo de ensiones in e io a ella median e dos mé odos di e en es. Se basa án en las ecuaciones de Flaman y una se ie de ecuaciones analí icas que se adap a án a pa i de la li e a u a pa a el caso que nos ocupa. Pos e iomen e, se calcula á la dis ibución de ensiones axiales 𝜎𝑥𝑥(𝑠) a lo la go de la g ie a, la cual pe mi i á calcula el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼. Finalmen e se ep esen a án e in e p e a án los esul ados ob enidos. Pa a ealiza es os cálculos se emplea una se ie de unciones p og amadas en MATLAB y que se encuen an adjun as en los anexos de la memo ia. 16 [3] En la ac ualidad se dispone de a ios ipos de palia i os pa a comba i los e ec os de es e enómeno. En e es os, des aca el uso de lub ican es, ecub imien os y a amien os supe iciales ales como el Sho Peening y el Lase Peening. -Los lub ican es son muy u ilizados y se enca gan de educi el coe icien e de icción en las supe icies de con ac o de los componen es, de modo que educen las ensiones angenciales p oducidas y, consecuen emen e, educen el daño p oducido. -Los ecub imien os ambién son muy u ilizados y pueden mejo a an o el compo amien o en e al desgas e y a iga simple como en e a a iga po e ing. Algunos disminuyen el coe icien e de icción en las supe icies de con ac o, mien as que o os mejo an el compo amien o de los componen es en e al desgas e. -También se emplean una se ie de écnicas basadas en in oduci ensiones esiduales de comp esión en los componen es en que que emos e i a que se p oduzca es e enómeno. En e es as écnicas des acan los a amien os supe iciales Sho Peening y Lase Peening que, además de modi ica el es ado ensional, pueden in oduci modi icaciones en la ugosidad supe icial. Fig 1.3 Esquema Lase Shock Peening [10] 1.2 Fa iga po e ing [1] El caso que se analiza á en es e abajo es el de a iga po e ing. Se a a de un caso pa icula de e ing, en el que uno de los componen es se encuen a bajo la acción de una ensión global. En la siguien e igu a se mues a la di e encia en e e ing y la a iga po e ing: Fig 1.4 Di e encia en e e ing y a iga po e ing [1] 17 17 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico En el caso de a iga po e ing, una ez iniciada una g ie a debido a unas ca gas de con ac o no mal P y angencial Q, és a pod á p opaga se debido a la acción de una ensión global oscila o ia σ. El p incipal obje i o de es e abajo se á e alua el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼 a lo la go de esa g ie a, bajo unas condiciones de e minadas que se indica án más adelan e. Fig 1.5 Con igu ación de un ensayo a a iga po e ing [7] Exis en muchas a iables que a ec an al compo amien o en e a la a iga po e ing, siendo las más impo an es las que a ec an a las ensiones p oducidas en la supe icie de con ac o, pues de e minan la ida a a iga po e ing de un componen e. En e es as a iables se conside a án pa a el p oblema a es udia : la geome ía de las zonas de con ac o, las p opiedades mecánicas de los ma e iales implicados, el coe icien e de ozamien o en la supe icie de con ac o, las ca gas de con ac o N y Q, así como la ensión global oscila o ia σ. No se conside a án o os ac o es igual de impo an es ales como la empe a u a, las ensiones esiduales en los ma e iales o las condiciones del ambien e. 1.3 Ensayos de e ing [1] Median e los ensayos de e ing puede a e igua se cómo se compo a cada ma e ial en e a es e enómeno, puede analiza se los p ocesos de iniciación y p opagación de g ie as, así como el papel que juega cada uno de los ac o es an e io men e mencionados en la ida a a iga po e ing. Se pueden dis ingui dos ipos de ensayos, los que se ealizan con componen es eales y los que se ealizan con geome ías sencillas. -En los ensayos con componen es eales se eplica de la o ma más iel posible las condiciones en las que abaja án es os componen es, pa a analiza como se ía su compo amien o en se icio. Pe mi en an icipa su compo amien o o analiza las causas de un allo o mal compo amien o obse ado du an e su ida ú il. En e los incon enien es que p esen a es e ipo de ensayos des acan su al o cos e económico y el hecho de que solo apo an in o mación pa a el ma e ial y las condiciones del ensayo empleadas. Es muy di ícil ex apola los esul ados ob enidos de un caso conc e o hacia o os. Además, la geome ía de es os componen es suele se muy complicada, de modo que el empleo de he amien as numé icas equie e de mucho iempo de p ocesamien o. 18 Fig 1.6 F e ing es -En los ensayos con geome ías sencillas, la geome ía de los componen es analizados y que in e ienen en el ensayo son muy simples. Suele con a se con soluciones analí icas que pe mi en ob ene el es ado de ensiones y de o maciones en la supe icie de con ac o, lo que simpli ica eno memen e el es udio del compo amien o de es os componen es en es e ipo de ensayos. Es e abajo se cen a á en los ensayos con geome ías sencillas, en conc e o en el ensayo de con ac o cilínd ico. Pa a el ensayo de con ac o cilínd ico se dispone de soluciones analí icas, con la simpli icación añadida de que es e p oblema puede se a ado de o ma bidimensional. El mon aje del ensayo que se a a á se á muy simila al mon aje de e ing ealizado po Nishioka y Hi akawa, Hoeppne y Goss, Nowell y Szolwinski. Se a a una máquina de ensayos que cons a de un ac uado , el cuál some e a una ca ga cíclica, de ensión o de o sión, a una p obe a. Fig 1.7 Ensayo de e ing de Nishioka y Hi akawa [1] Es a p obe a se encuen a ca gada la e almen e median e dos elemen os ijos de con ac o. Es os elemen os de con ac o le aplican a la p obe a una ca ga no mal cons an e, de modo que al aplica el ac uado la ca ga cíclica sob e la p obe a, se desa olla una ue za angencial cíclica. 19 19 2 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN LA SUPERFICIE DE CONTACTO 2.1 Ensayo de a iga po e ing Se pa e del siguien e ensayo de e ing: Fig 2.1 Esquema del ensayo Se a a de un ensayo con geome ía sencilla, de con ac o cilínd ico. Po an o, es posible ob ene soluciones analí icas y a a el p oblema de o ma bidimensional. Se aplica una ca ga no mal de comp esión N sob e la supe icie de con ac o. Al mismo iempo ac úa una ca ga angencial Q de sen ido a iable inducida po la aplicación de una ensión global oscila o ia σ. Po lo an o, end emos dos supe icies en con ac o con desplazamien os ela i os en e ellas de pequeña ampli ud. 2.2 Tensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a [4] El caso a es udia es el siguien e, de modo que en el bo de “a”, el lími e de la zona de con ac o de ambos cilind os, se p oduzca la ape u a de una g ie a pa a pos e io men e calcula el .i. . Así, una ez iniciada una g ie a po e ec o de las ca gas de con ac o N y Q, es a pod á p opaga se debido a la ensión global oscila o ia σ. Fig 2.2 Si uación pa a la ape u a de la g ie a 20 20 Las ensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a son las siguien es: Fig 2.3 Tensiones en la supe icie de con ac o 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝜎𝑦𝑦𝑁(𝑥,0)=−𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎) (1) 𝜎𝑥𝑦(𝑥,0)= { 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0)=−𝜇∙𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎) 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙√1−(𝑥+𝑒 𝑐)2, 𝑥∈(−𝑐−𝑒,𝑐−𝑒) (2) 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) son las ensiones no males de comp esión asociadas a la ca ga no mal N, mien as que 𝜎𝑥𝑦(𝑥,0) son las ensiones angenciales asociadas a la ca ga angencial Q y la ensión global oscila o ia 𝜎, dependiendo además de N. Pos e io men e jus i ica emos es as exp esiones pa a las ensiones supe iciales. La descomposición de las ensiones 𝜎𝑥𝑦(𝑥,0) en 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) y 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0) se debe a conside a el caso de deslizamien o pa cial. La supe icie de con ac o es á limi ada en e -a y a, mien as que la zona adhe ida es á limi ada en e -c-e y c-e, conside ando un desplazamien o “e” debido a la ensión global σ, espec o al caso en que és a no ac úa. El é mino 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) ep esen a las ensiones angenciales p oducidas sob e la supe icie de con ac o de la p obe a suponiendo el caso deslizamien o global, en que oda la zona de con ac o se encuen a deslizando. Pa a conside a el caso de deslizamien o pa cial, en que una pa e de la zona de con ac o es á adhe ida y o a deslizando, se emplea el é mino 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0). Es a ensión supe icial es á o ien ada en sen ido opues o a la de deslizamien o global, oponiéndose a ella y ac uando sob e la zona adhe ida. Si no se conside a el desplazamien o “e” debido a la ensión global oscila o ia se end ía: 21 21 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Fig 2.4 Tensiones angenciales en la supe icie de con ac o sin conside a e Si se conside a dicho desplazamien o queda á: Fig 2.5 Tensiones angenciales en la supe icie de con ac o conside ando e [1] Pa a a e igua si nos encon amos en el caso de deslizamien o global o deslizamien o pa cial, y en caso de encon a nos en el caso de deslizamien o pa cial pode cuan i ica su se e idad, empleamos el é mino Q/N. - Si 𝑄 𝑁 ⁄=𝜇, es amos en el caso de deslizamien o global. - Si 𝑄 𝑁 ⁄≤𝜇, es amos en el caso de deslizamien o pa cial. Pa a de e mina el desplazamien o “e” de la zona de adhesión debida a la ensión global oscilan e σ, en el caso de deslizamien o pa cial, espec o a la supe icie de con ac o, empleamos la siguien e exp esión: 𝑒= 𝜎∙𝑎 4∙𝜇∙𝑝0 (3) [4] Pa a ob ene las exp esiones de las ensiones en la supe icie de con ac o de la p obe a se han conside ado a ios aspec os. En p ime luga , el ensayo que se es á analizando es de con ac o cilínd ico. Cuando se ienen dos cilind os en con ac o de la misma longi ud, la pa e cen al se encuen a bajo condiciones de de o mación plana, mien as los ex emos, al es a lib e de acciones de acción, se encuen an bajo condiciones de ensión plana. Fig 2.6 Dos cilind os en con ac o de la misma longi ud [4] 22 22 Nos cen a emos en la pa e cen al del con ac o cilínd ico que se encuen a bajo condiciones de de o mación plana, en que la de o mación en la di ección z es desp eciable, y la ensión, aplicando la ley de Hooke, puede exp esa se como: 𝜎𝑧𝑧=𝜈∙(𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑦𝑦) (4) Po an o, como se indicó an e io men e, se puede ob ene una solución analí ica dada la sencillez de la geome ía, y abaja con un p oblema bidimensional de de o mación plana. 2.2.1 Exp esiones de las ensiones no males de comp esión 𝝈𝒚𝒚(𝒙,𝟎) sob e la supe icie de con ac o de la p obe a [4] Pa a ob ene las exp esiones de las ensiones no males en la supe icie de con ac o de la p obe a debido a la ca ga no mal N, 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0), se han omado 2 hipó esis: - La ca ga no mal N, aplicada en la zona de con ac o de la p obe a de amaño 2a, es lo su icien emen e pequeña pa a que es a zona de con ac o sea meno en compa ación con los adios de los cilind os, R1 y R2. Es a es icción del amaño de la supe icie de con ac o ambién nos pe mi e ap oxima los cue pos en con ac o como semiplanos. Además, supone que el adio de cu a u a de la p obe a es mucho mayo que la del punzón del ensayo pe mi e exp esa la dis ibución de las ensiones sob e la supe icie de con ac o de o ma pa abólica, alcanzándose sus alo es máximos en x=0 pa a el caso de 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) y 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0), y en x=-e pa a el caso 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,𝑦) debido al desplazamien o ela i o "e”. Es os alo es máximos se ían espec i amen e: −𝑝0,−𝜇∙𝑝0,𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎 . Fig 2.7 Con ac o en e los cue pos [4] - No deben apa ece acciones de cizalladu a supe icial. Es o puede cumpli se de dos modos. O bien ambos cue pos ienen las mismas cons an es elás icas, o bien el coe icien e de icción debe desapa ece . Se oma la p ime a opción como e á a con inuación. Ope ando, se llega a las exp esiones: 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝜎𝑦𝑦𝑁(𝑥,0)=−𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 ,𝑥∈(−𝑎,𝑎) (1) 23 23 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 𝑝0=𝑘∙𝑎 𝐴 (5) 𝑎=√2∙𝑁∙𝐴 𝜋∙𝑘 (6) 𝑘=1 𝑅1+1 𝑅2 (7) 𝐴=1−𝜈1 𝜇1+1−𝜈2 𝜇2≡2∙(1−𝜈12 𝐸1+1−𝜈22 𝐸2) (8) El signo nega i o de la exp esión de 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) se debe a que es as ensiones ac úan en sen ido opues o al eje y de inido. Pa a ob ene las exp esiones de k y A, se supond á que las p opiedades mecánicas de los ma e iales de ambos cilind os son iguales, como se ió que e a necesa io pa a el cumplimien o de la segunda hipó esis, y que el adio del cilind o de la p obe a sea su icien emen e g ande, pa a ap oxima el p oblema al caso degene ado de con ac o en e un cilind o y un plano. 𝜈1=𝜈2=𝜈 (9) 𝜇1=𝜇2=𝜇 (10) 𝐸1=𝐸2=𝐸 (11) 𝑅2≫1 (12) Finalmen e, quedan del siguien e modo: 𝑘=1 𝑅 (13) 𝐴=4∙(1−𝜈2 𝐸) (14) Se puede obse a como la ensión 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) depende de la ca ga no mal de comp esión aplicada, de las p opiedades mecánicas de los ma e iales y de la geome ía de és os. Además, se puede e como el amaño de la supe icie de con ac o de la p obe a depende di ec amen e de la ca ga aplicada N y del adio del cilind o de aplicación. De es e modo, como se indicó an e io men e, pa a una ca ga N su icien emen e pequeña se consigue que es a zona de con ac o sea su icien emen e pequeña en compa ación con los adios de ambos cilind os. 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0)=𝑓(𝑁,𝐸,𝜈,𝑅,𝑥) (15) 2.2.2 Exp esiones de las ensiones angenciales 𝝈𝒙𝒚𝑸𝑮(𝒙,𝟎) en la supe icie de con ac o de la p obe a Sus exp esiones son muy simila es a las co espondien es a 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0). A pa i de la ley de icción de Coulomb, que indica que la ue za de icción es p opo cional a la ue za no mal, e independien e de la elocidad, y que es a á aplicada en oda la zona de con ac o 2a, pa a la condición de deslizamien o global, se ob iene: 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0)=−𝜇∙𝑝0∙√1−(𝑥𝑎)2 , 𝑥∈(−𝑎,𝑎) (2) El signo nega i o de es a exp esión se debe a la o ien ación de es as ensiones espec o al sis ema de e e encia escogido. 24 24 2.2.3 Exp esiones de las ensiones angenciales 𝝈𝒙𝒚𝑸𝑷(𝒙,𝒚) en la supe icie de adhe ida de la p obe a La exp esión de las ensiones 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0), cuya con ibución jun o a 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,𝑦) de inen las ensiones angenciales en la supe icie de con ac o debido a las ca gas Q y N, y la ensión global cíclica σ, bajo condiciones de deslizamien o pa cial es la siguien e: 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙√1−(𝑥+𝑒 𝑐)2, 𝑥∈(−𝑐−𝑒,𝑐−𝑒) (2) Se puede obse a que es as ensiones solo ac úan en la zona adhe ida, de amaño 2c, que es á desplazada una dis ancia “e” espec o al caso en que no ac úa la ensión global σ. Cabe des aca : - El é mino 𝑐𝑎 se emplea pa a que los alo es de es á ensiones 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,𝑦) sean p opo cionales a la zona adhe ida de amaño 2c en la que ac úan, espec o a la que le co esponde ía si ac uase sob e oda la zona de con ac o de amaño 2a. - El é mino x+e indica que la dis ibución pa abólica de es as ensiones es á desplazada una dis ancia “e”, alcanzándos su alo máximo en x=-e. - El signo posi i o se debe a que se opone a las ensiones co espondien es al caso de deslizamien o global an es desc i o. Po o o lado, el alo de “c” que ca ac e iza la zona adhe ida se ob iene de la siguien e exp esión: 𝑐=𝑎∙√1−|𝑄 𝜇∙𝑁| (16) Además, como señalamos an e io men e, el desplazamien o “e” debido a la ensión global se puede ob ene a pa i de: 𝑒= 𝜎∙𝑎 4∙𝜇∙𝑝0 (3) Como se ió an es, la elación 𝑄 (𝜇∙𝑁) ⁄ de e mina la condición de deslizamien o global o pa cial, y cuan i ica la se e idad de es e úl imo. - Si 𝑄 𝜇∙𝑁≪1 →𝑐≈𝑎, de modo que la zona adhe ida se á p ác icamen e oda la supe icie de con ac o. Pa a un alo muy pequeño de la ca ga angencial Q, espec o a un alo ijado de la ca ga no mal N, nos encon a íamos en el caso de deslizamien o pa cial con una g an supe icie adhe ida. - Si 𝑄 𝜇∙𝑁≈1 → 𝑐≈0, de modo que la zona adhe ida es desp eciable, y nos encon a íamos en el caso de deslizamien o global. Po an o, un alo al o de Q acili a el deslizamien o, mien as que un alo bajo lo impide. Además, un alo al o del coe icien e de ozamien o y de la ca ga no mal N a o ece el caso de deslizamien o pa cial. Po o o lado, el desplazamien o “e” solo depende de la ensión global oscila o ia σ y la ca ga axial N, no dependiendo de la ca ga angencial Q. Es e desplazamien o se á mayo cuan o más g ande sea es a ensión σ. Po an o, se llega a la conclusión de que es la elación en e las ca gas Q y N las que de e minan el deslizamien o, mien as que es la ensión global σ y la ca ga axial N las que condicionan el desplazamien o “e”. 25 25 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Además, se puede obse a que espec o las ca gas Q y N y la ensión σ se cumple lo siguien e: - La ensión 𝜎𝑦𝑦(𝑥,0) solo depende de la ca ga N. - La ensión 𝜎𝑥𝑦𝑄𝐺(𝑥,0) solo depende de la ca ga N. - La ensión 𝜎𝑥𝑦𝑄𝑃(𝑥,0) depende de la ca gas N y Q, y la ensión 𝜎. Así pues: - La ca ga N de e mina la magni ud del alo de es as ensiones, la condición de deslizamien o global o pa cial, y la se e idad de es a úl ima si p ocede, y el desplazamien o “e” p oducido. - La ca ga Q de e mina la condición de deslizamien o global y pa cial, y la se e idad de es a úl ima si p ocede. - La ensión global oscila o ia σ de e mina el desplazamien o “e” p oducido. 32 32 33 33 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 4 CÁLCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIONES El siguien e paso del abajo se á calcula el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼 en modo I, que ca ac e iza la in ensidad del campo de ensiones en el bo de de la g ie a. Apo a dos clases de in o mación: -Si la g ie a es es able. -La elocidad de p opagación de la g ie a. 4.1 P incipio de Bueckne [6] El p incipio de Bueckne o p incipio de supe posición pe mi e educi cualquie p oblema de un sólido elás ico some ido a ca gas ex e nas 𝜎(𝑠) con una g ie a, a uno en el que las ca gas aplicadas apa ezcan como una dis ibución de acciones a lo la go de las ca as de la g ie a 𝜎𝐺(𝑠). Fig 4.1 P incipio de supe posición [6] 𝐾𝐼1=𝐾𝐼2+𝐾𝐼3 (45) El ac o de in ensidad de ensiones del caso 2 es nulo, pues no hay g ie a; po lo que queda: 𝐾𝐼1=𝐾𝐼3 (46) 4.2 Funciones de peso [6] El mé odo de las unciones de peso desa ollado po Bueckne y Rice pe mi e calcula el ac o de in ensidad de ensiones de un plano con una g ie a de longi ud “a” bajo un sis ema de ca gas ex e no como: 𝐾𝐼=∫𝜎(𝑠)∙ℎ(𝑎,𝑠)∙𝑑𝑠 𝑎 0 (47) 34 34 Donde ℎ(𝑎,𝑠) es la unción de peso y 𝜎(𝑠) ep esen a la dis ibución de ensiones en el luga de la g ie a del cue po suje o a un sis ema de ca gas ex e no, an es de que se o me la g ie a. El p incipio de Bueckne nos pe mi i ía educi el p oblema a es udia al caso de la g ie a some ida a la dis ibución de ensiones 𝜎(𝑠). 4.3 Pa icula ización El p oblema a es udia es el de una g ie a de bo de de longi ud “l” pe pendicula al bo de de un plano semi- in ini o bajo la acción de un pa de ue zas concen adas P, como puede e se en la siguien e igu a: Fig 4.2 Esquema de la g ie a de bo de bajo un pa de ca gas pun uales [6] Bueckne ob u o la siguien e exp esión pa a el ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼. 𝐾𝐼=𝑃∙[√2 𝜋∙(𝑙−𝑠)∙(1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2)] (48) Sin emba go, ealmen e es amos in e esados en el siguien e caso: Fig 4.3 Esquema de la g ie a de bo de bajo una dis ibución de ensiones [6] De es e modo, la exp esión de ini i a que se emplea á pa a ob ene el ac o de in ensidad de ensiones se á la siguien e: 𝐾𝐼=∫𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠)∙ℎ(𝑙,𝑠)∙𝑑𝑠 𝑙 0 (49) 35 35 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Donde la componen e 𝜎𝑥𝑥 del campo de ensiones in e io a la p obe a es la enca gada de ab i la g ie a, cuando és a es e aluada en el lími e de la zona de con ac o x=a de los cilind os de nues o p oblema, y la unción de peso h (l, s) depende de la longi ud de la g ie a l y de la coo denada s donde se aplica 𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠). 𝐾𝐼=∫𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠) 𝑙 0∙[√2 𝜋∙(𝑙−𝑠)∙(1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙𝑑𝑠 (50) Es a exp esión pe mi e e alua el alo del 𝐾𝐼 de una g ie a de longi ud l, en la que se aplica una dis ibución de ensiones 𝜎𝑥𝑥(𝑎,𝑠) a lo la go de ella. Sin emba go, se calcula á y ep esen a á el 𝐾𝐼 pa a es a g ie a cuando la longi ud l a ia en e 0 y a, el alo del lími e de la zona de con ac o en e ambos cilind os. Se emplea á la unción de MATLAB FITgene al.m adjun a en los anexos pa a calcula el ac o de in ensidad de ensiones. 4.4 Adimensionalización de las exp esiones y ep esen ación de los esul ados A con inuación, amos a adimensionaliza las exp esiones que de inen el ac o de in ensidad de ensiones asociado a cada una de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁,𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝑦 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 po sepa ado, ob enidas median e el mé odo de las ecuaciones analí icas. 1. 𝑲𝑰𝑵 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑵. 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑎,𝑠)=𝑝0∙𝑓(𝑠𝑎) 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0(𝑠𝑎)∙𝑤(𝑠) √𝑎∙𝑑𝑠 𝑙 0 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1 √𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙1 √𝑎∙𝑑𝑠 𝑙 0=∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1 √𝑙−𝑠∙1 √𝑎∙(𝑎𝑙)2 𝑙 0 ∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠 =∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙𝑎 𝑙2∙√1 𝑙𝑎−𝑠𝑎 𝑙 0 ∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠 (51) Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑎 →𝑑𝑠=𝑎∙𝑑𝑠′ (52) Se ob iene: 36 36 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0(𝑠′)∙√2𝜋∙(𝑎𝑙)2∙√1 𝑙𝑎−𝑠′∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠′)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠′)2] 𝑙/𝑎 0∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑎) (53) Se ep esen a 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎 en e 𝑙𝑎, de modo que es a g á ica ob enida pa a el ac o de in ensidad de ensiones asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁 es única. Se ob iene: Fig 4.4 G á ica de 𝑲𝑰𝑵 𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 El alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑁 asociado a 𝜎𝑥𝑥𝑁 se compo a de o ma asin ó ica. Pa e de un alo inicial ce o, pa a el caso de que la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima a ce o. Finalmen e, iende a un alo nega i o cons an e cuando la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima al alo de la longi ud de la zona de con ac o de los cilind os “a”. { 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎→0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→0 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎→−0.5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→𝑎 𝐾𝐼𝑁<0 (54) Que el alo de 𝐾𝐼𝑁 sea nega i o nos indica que la componen e 𝜎𝑥𝑥𝑁 iende a ce a la g ie a. 2. 𝑲𝑰𝑸𝑮 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮. 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺(𝑎,𝑠)=𝜇∙𝑝0∙𝑓(𝑠𝑎) (55) 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙𝑤(𝑠) √𝑎∙𝑑𝑠 𝑙 0 (56) 37 37 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 𝐾𝐼𝑁 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙1 √𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2]∙1 √𝑎∙𝑑𝑠 𝑙 0=∫𝜎𝑥𝑥𝑁 𝜇∙𝑝0(𝑠𝑎)∙√2𝜋∙𝑎 𝑙2∙√1 𝑙𝑎−𝑠𝑎 𝑙 0 ∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠𝑎)2]∙𝑑𝑠 (57) Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑎 →𝑑𝑠=𝑎∙𝑑𝑠′ (58) Se ob iene: 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=∫ 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝜇∙𝑝0(𝑠′)∙√2𝜋∙(𝑎𝑙)2∙√1 𝑙𝑎−𝑠′ 𝑙/𝑎 0∙[(𝑙𝑎)2+0.6147∙(𝑙𝑎−𝑠′)∙𝑙𝑎+0.2502∙(𝑙𝑎−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑎) (59) Se ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e 𝑙𝑎 de modo que es a g á ica ob enida pa a el ac o de in ensidad de ensiones asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 es única. Se ob iene: Fig 4.5 G á ica de 𝑲𝑰𝑸𝑮 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 El alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑄𝐺 asociado a 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 se compo a de o ma asin ó ica, pa iendo de un alo inicial nulo pa a el caso de que la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima a ce o, al como ocu ía en la g á ica an e io . Sin emba go, aho a iende a un alo posi i o cons an e de alo unidad cuando la longi ud de la g ie a de bo de se ap oxima al alo de la longi ud de la zona de con ac o de los cilind os a. 38 38 { 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎→0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→0 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎→1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙→𝑎 𝐾𝐼𝑄𝐺>0 (60) Que el alo de 𝐾𝐼𝑄𝐺 sea posi i o nos indica que la componen e 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 iende a ab i la g ie a. 3. 𝑲𝑰𝑸𝑷 asociado a 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 espec o a 𝒄𝒂 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃(𝑎,𝑠)=𝜇∙𝑝0∙𝑐𝑎∙𝑎+𝑒 𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒 𝑐) (61) 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒 𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒 𝑐)∙𝑤(𝑠) √𝑐∙𝑑𝑠 𝑙 0 (62) 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒 𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒 𝑐)∙√2𝜋∙1 √𝑙−𝑠∙[1+0.6147∙(1−𝑠𝑙)+0.2502∙(1−𝑠𝑙)2] 𝑙 0∙1 √𝑐∙𝑑𝑠 =∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒 𝑐∙𝑓(𝑠𝑐,𝑎+𝑒 𝑐)∙√2𝜋∙𝑐 𝑙2∙√1 𝑙𝑐−𝑠𝑐 𝑙 0 ∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠𝑐)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠𝑐)2]∙𝑑𝑠 (62) Se ealiza el cambio de a iable: 𝑠′=𝑠𝑐 →𝑑𝑠=𝑐∙𝑑𝑠′ (63) Se ob iene: 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑐𝑎∙𝑎+𝑒 𝑐∙𝑓(𝑠′,𝑎+𝑒 𝑐)∙√2𝜋∙(𝑐𝑙)2∙√1 𝑙𝑐−𝑠′ 𝑙/𝑐 0 ∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠′)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′=𝑓(𝑙𝑐,𝑎𝑐,𝑎+𝑒 𝑐) (64) Pa a ob ene un p ime esul ado, se supond á que la excen icidad es nula, cuya con ibución a la solución inal es pequeña. Ello eque i á que la ensión global oscila o ia ambién lo sea, según la exp esión: 𝑒= 𝜎∙𝑎 4∙𝜇∙𝑝0 (3) Cabe des aca que la ca ga angencial Q debido a σ se es á conside ando, así como el segmen o de supe icie adhe ida comp endida en e -c y c. Lo que se es á desp eciando es el desplazamien o e, ya que en nues as ecuaciones pa imos de un alo Q de en ada que no es unción de σ, aunque se deba a ella, dependiendo solo de la ca ga global el alo del desplazamien o e. De es e modo, se simpli ica el p oblema no ablemen e, ob eniendo: 39 39 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑐=∫𝑓(𝑠′,𝑎𝑐)∙√2𝜋∙(𝑐𝑙)2∙√1 𝑙𝑐−𝑠′∙[(𝑙𝑐)2+0.6147∙(𝑙𝑐−𝑠′)∙𝑙𝑐+0.2502∙(𝑙𝑐−𝑠′)2]∙𝑑𝑠′ 𝑙/𝑐 0=𝑓(𝑙𝑐,𝑎𝑐) (65) Po an o, podemos ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑐 como unción de 𝑙𝑐 pa a a ios alo es de 𝑎 𝑐, de inida és a úl ima po la exp esión: 𝑐𝑎=√1−|𝑄 𝜇∙𝑁| (16) Ope ando podemos obse a que: 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑐=𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑎∙√𝑎 √𝑐 𝑙𝑐=𝑙𝑎∙𝑎𝑐 De es e modo, al calcula el ac o de in ensidad de ensiones pa a a ios alo es cons an es de 𝑎 𝑐, podemos ep esen a 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es cons an es de 𝑎 𝑐. Así, se ob ienen las siguien es g á icas: Fig 4.6 G á ica de 𝑲𝑰𝑸𝑷 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 Es os esul ados, al igual que los an e io men e p esen ados, no cambian pa a modi icaciones en las p opiedades mecánicas de los ma e iales (E y ν) y la geome ía (R) pa a unos alo es dados de 𝑐𝑎 mien as man engamos nula la excen icidad, y po an o la ca ga global oscila o ia. Se puede obse a como el compo amien o de es as g á icas es dis in o al de las dos an e io es. El alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼𝑄𝑃 asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 pa e de ce o cuando la longi ud de la g ie a iende a ce o, y inalmen e iende a un alo nega i o cons an e, dependiendo de la elación 𝑄 𝜇∙𝑁, endiendo a ce a la g ie a. Cuan o mayo es el cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁, meno es el cocien e 𝑐𝑎. Es deci , que cuan o meno sea el coe icien e de ozamien o de la supe icie de con ac o, meno se á el amaño de la zona adhe ida, y po an o el alo absolu o del ac o de in ensidad de ensiones asociado al caso de deslizamien o pa cial se á meno . Po an o, la cu a más al a de la g á ica que co esponde al meno alo del coe icien e de ozamien o iene una 40 40 con ibución meno a ce a la g ie a. Los alo es alcanzados po 𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 cuando la longi ud de la g ie a se ap oxima a la longi ud de la zona de con ac o en e cilind os a, a ían en e 0 y -1 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁 endiendo a 1 y a 0 espec i amen e (sin zona adhe ida, c=0, o con oda la supe icie de con ac o es ando adhe ida, c=a). A con inuación, amos a ep esen a el ac o de in ensidad de ensiones asociado a la con ibución conjun a de 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺,𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝑦 𝜎𝑥𝑥𝑁. 4. Rep esen ación de 𝑲𝑰𝑸 espec o a 𝒄𝒂 𝐾𝐼𝑄=𝐾𝐼𝑄𝐺+𝐾𝐼𝑄𝑃 (66) Rep esen amos 𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Es o es equi alen e a ep esen a 𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, es ando es e úl imo ac o de in ensidad de ensiones asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄=𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 , cumpliéndose: 𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝑙𝑎,𝑎𝑐) (67) Ob enemos: Fig 4.7 G á ica de 𝑲𝑰𝑸 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 Las g á icas ob enidas son el esul ado de la suma de las dos an e io es, co espondien es al caso de deslizamien o global y pa cial. Pa a el caso de que 𝑄 𝜇∙𝑁 ienda a ce o, la con ibución nega i a del ac o de in ensidad de ensiones del caso de deslizamien o pa cial es mayo , y po an o, el alo del ac o de in ensidades conjun o 𝐾𝐼𝑄 iende a su meno alo , siendo 𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎>0 en odo momen o. Po an o, espec o a la con ibución conjun a de 𝜎𝑥𝑥𝑄, su ac o de in ensidad de ensiones asociado 𝐾𝐼𝑄 es 41 41 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico siemp e posi i o, endiendo a ab i la g ie a, siendo mayo su alo cuan o meno es la con ibución debida a 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃. Es deci , la ape u a de la g ie a se á mayo cuan o meno sea la zona adhe ida, y, po an o, meno sea el coe icien e de ozamien o de la supe icie de con ac o µ o la ca ga N. 5. Rep esen ación de 𝑲𝑰 espec o a 𝒄𝒂 𝐾𝐼=𝐾𝐼𝑁+𝐾𝐼𝑄=𝐾𝐼𝑁+𝐾𝐼𝑄𝐺+𝐾𝐼𝑄𝑃 (68) Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁 𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Es o es equi alen e a ep esen a 𝐾𝐼 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, es ando es e úl imo ac o de in ensidad de ensiones asociado a las ensiones 𝜎𝑥𝑥=𝜎𝑥𝑥𝑁+𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 . Ob enemos: Fig 4.8 G á ica de 𝑲𝑰 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 Cabe des aca que a iaciones en el coe icien e de icción µ en la supe icie de con ac o, modi ican el é mino 𝐾𝐼𝑁 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 aún pa a un alo cons an e de 𝑐𝑎, cumpliéndose: 𝐾𝐼𝑁 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝜇) (69) Po an o: 𝐾𝐼 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝜇,𝑙𝑎,𝑎𝑐) (70) Po ello, amos a ep esen a 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, anulándose aho a la dependencia di ec a con el coe icien e de icción µ. 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎=𝑓(𝑙𝑎,𝑐𝑎) (71) 48 48 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=1 Rep esen amos 𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=1 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene: Fig 4.18 G á ica 𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒 Al aumen a el cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁 se educe la con ibución a ce a la g ie a de las ensiones asociadas al caso de deslizamien o pa cial, es deci , la zona adhe ida es más pequeña. Po an o, las di e encias en e las cu as asociadas a 𝐾𝐼𝑄 debido a di e en es alo es de 𝜎 𝜇∙𝑝0 son meno es. Rep esen ación de 𝑲𝑰 espec o a 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene: Fig 4.19 G á ica 𝑲𝑰𝑵 𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑 49 49 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Al igual que en la g á ica an e io , se puede obse a como la ensión global cíclica aumen a el alo del ac o de in ensidad de ensiones 𝐾𝐼, a o eciendo la ape u a de la g ie a. Cabe des aca que, en nues o modelo, al pa i de un alo de la ca ga angencial Q cons an e de en ada, la ca ga global cíclica solo a ec a al alo de la excen icidad, que solo in e iene en la dis ibución de ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃. Po an o, un aumen o de la excen icidad debido al inc emen o de la ca ga global p oduce una disminución de la con ibución a ce a la g ie a de 𝐾𝐼𝑄𝑃. No in e iene en 𝐾𝐼𝑁 ni en 𝐾𝐼𝑄𝐺, de modo que el aumen o del ac o de ensiones 𝐾𝐼 es debido únicamen e a la educción del alo absolu o de 𝐾𝐼𝑄𝑃. -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene: Fig 4.20 G á ica 𝑲𝑰𝑵 𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.75 Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.75 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.5,1,1.5 𝑦 2. Se ob iene: Fig 4.21 G á ica 𝑲𝑰𝑵 𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟕𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟓,𝟏,𝟏.𝟓 𝒚 𝟐 50 50 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=1 Rep esen amos 𝐾𝐼𝑁 𝑝0∙√𝑎+𝐾𝐼𝑄 𝜇∙𝑝0∙√𝑎 en e a 𝑙𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=1 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene: Fig 4.22 G á ica 𝑲𝑰𝑵 𝒑𝟎∙√𝒂+𝑲𝑰𝑸 𝝁∙𝒑𝟎∙√𝒂 en e 𝒍𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒 El cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁 educe el amaño de la zona adhe ida y, po an o, la con ibución a ce a la g ie a de las ensiones asociadas al caso de deslizamien o pa cial. Dado que en el modelo que empleamos la ensión global oscila o ia solo ac úa pa a aumen a el alo de la excen icidad, modi icando solo las ensiones del caso de deslizamien o pa cial, las di e encias en e las cu as pa a di e en es alo es del cocien e 𝜎 𝜇∙𝑝0 son meno es. 4.5 Rep esen ación de las ensiones axiales 𝝈𝒙𝒙 a lo la go de la g ie a Pa a pode in e p e a de o ma adecuada los esul ados, se ep esen a á de o ma adimensional, como en el apa ado an e io , las ensiones 𝜎𝑥𝑥(𝑠) a lo la go de la longi ud de la g ie a. La coo denada “s” ep esen a á la p o undidad de la g ie a en que se calcula 𝜎𝑥𝑥(𝑠). Se emplea á un p og ama en MATLAB denominado sigxxg ie a.m. 1. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑵(𝒔) a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el lími e de la zona de con ac o en e los cilind os x=a. 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0=𝑓(𝑠𝑎) (68) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0 en e a 𝑠𝑎. Se ob iene la siguien e g á ica, que es única: 51 51 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Fig 4.23 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑵(𝒔) 𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 Las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑠) gene adas a lo la go de la g ie a pa en de ce o en la supe icie de con ac o de la p obe a (s=0). A pa i de ahí, se p oduce un aumen o d ás ico de es a ensión en el sen ido de una comp esión, alcanzándose su alo máximo en el 25% de la longi ud de la g ie a. A pa i , el alo de es as ensiones se educe con una pendien e cons an e, aunque no llega anula se en el ondo de la g ie a de longi ud a, alcanzándose un alo 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0=−0.2. Es as ensiones de alo nega i o son de comp esión a lo la go de oda la g ie a, de modo que con ibuyen a ce a la. 2. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a. 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎) (69) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎. Se ob iene la siguien e g á ica, que es única: Fig 4.24 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑮(𝒔) 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 El alo de ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑁(𝑠) a lo la go de la g ie a es posi i o, de modo que se a a de ensiones de acción que ienden a ab i la g ie a. Es a dis ibución de ensiones p esen a un compo amien o asin ó ico, que pa e de 52 52 un alo inicial en la supe icie de con ac o de la p obe a de 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0=2, siendo és e el máximo alo alcanzado a lo la go de la g ie a. A pa i de ahí, comienza a educi se el alo de es as ensiones de acción a medida que se ap oxima al ondo de la g ie a en s=a, donde alcanza un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 𝜇∙𝑝0=0.2 ce cano a ce o. 3. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a. Pa a el caso de excen icidad y ca ga global oscila o ia nulas: 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (70) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎, en conc e o, pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25,0.5,0.75 𝑦 1. Ob enemos: Fig 4.25 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷(𝒔) 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 El alo de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃(𝑠) es nega i o a lo la go de la g ie a, de modo que se a a de ensiones de comp esión que ienden a ce a la g ie a. El alo de es as ensiones pa e de un alo nega i o dis in o de ce o en la supe icie de con ac o de la p obe a, y se educe su alo en alo absolu o a lo la go de la g ie a, endiendo asin ó icamen e a alo es nega i os ce canos a ce o en el ondo de la g ie a s=a. Valo es mayo es del cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁 educen la con ibución de es as ensiones de comp esión. Al aumen a es e cocien e se educe la supe icie adhe ida, de modo que se educe la con ibución de es as ensiones. 4. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙𝑸 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de zona de con ac o x=a pa a el caso de excen icidad nula. 𝜎𝑥𝑥𝑄 µ∙𝑝0=𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺+𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (71) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene: 53 53 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico Fig 4.26 G á ica 𝝈𝒙𝒙𝑸(𝒔) 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 Dado que los alo es posi i os de las ensiones de acción 𝜎𝑥𝑥𝑄𝐺 son mayo es que los alo es de comp esión asociados a las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃, el alo de las ensiones 𝜎𝑥𝑥𝑄 es posi i o a lo la go de oda la g ie a, a ándose po an o de ensiones de acción que acili an la ape u a de la g ie a. Su compo amien o es de nue o asin ó ico, pa iendo de un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 posi i o en la supe icie de con ac o de la p obe a, siendo és e el alo máximo que alcanza la cu a. Pos e io men e el alo de es as ensiones de acción iende a ce o a medida que se ap oxima al ondo de la g ie a en s=a. Po o o lado, se puede obse a que un aumen o del cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁 p oduce un aumen o de es as ensiones de acción, debido a que una educción de la supe icie de con ac o educe la con ibución de las ensiones de comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial. 5. Rep esen ación de 𝝈𝒙𝒙 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a, pa a el caso de excen icidad nula. 𝜎𝑥𝑥 µ∙𝑝0=𝜎𝑥𝑥𝑁+𝜎𝑥𝑥𝑄 µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐,𝜇) (72) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene: Fig 4.27 G á ica 𝝈𝒙𝒙(𝒔) 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 54 54 Teniendo en cuen a que: 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐) (73) Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑐𝑎. Se ob iene: Fig 4.28 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑵 𝒑𝟎+𝝈𝒙𝒙𝑸 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓,𝟎.𝟓,𝟎.𝟕𝟓 𝒚 𝟏 El compo amien o de las ensiones 𝜎𝑥𝑥 es de nue o asin ó ico, pa iendo de un alo de 𝜎𝑥𝑥𝑁 𝑝0+𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 posi i o en la supe icie de con ac o de la p obe a, y educiéndose su alo has a ap oxima se a ce o a media que se ap oxima al ondo de la g ie a en s=a. El alo de es as ensiones es posi i o a lo la go de oda la g ie a pa a alo es del cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁>0.5, de modo que se a a de ensiones de acción que ienden a ab i la g ie a. Además, de o ma simila a como ocu ía en el caso an e io , el alo de es as ensiones de acción es mayo pa a mayo es alo es del cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁, de modo que la educción de la supe icie adhe ida disminuye la con ibución de las ensiones de comp esión asociadas a las ensiones del caso de deslizamien o pa cial. Finalmen e, amos a analiza el e ec o de la ensión global cíclica σ y la excen icidad e en es as dis ibuciones de ensiones. 6. In luencia de 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎 en la dis ibución de ensiones 𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a. Conside ando la excen icidad y ca ga global oscila o ia se iene: 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 µ∙𝑝0=𝑓(𝑠𝑎,𝑎𝑐,𝜎 𝜇∙𝑝0) (74) Se ep esen a 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a a ios alo es de 𝑄 𝜇∙𝑁 y de 𝜎 𝜇∙𝑝0 conside ando la siguien e es icción, al como se hizo en el apa ado an e io : 55 55 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 𝜎 𝜇∙𝑝0<4∙(1−√1− 𝑄 𝜇∙𝑁) (67) -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 -Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene: Fig 4.29 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑 El inc emen o de la ca ga global oscila o ia conlle a el aumen o de la excen icidad e, educiendo el amaño de la zona adhe ida y la con ibución de las ensiones de comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial. Además, se puede obse a como la pendien e de es as cu as es mayo pa a meno es alo es de la ensión global, p oduciéndose un co e en e las g á icas. -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene: Fig 4.30 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕 56 56 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.75 Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.75 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.5,1,1.5 𝑦 2. Se ob iene: Fig 4.31 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟕𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟓,𝟏,𝟏.𝟓 𝒚 𝟐 Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=1 Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄𝑃 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=1 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=1,2,3 𝑦 4. Se ob iene: Fig 4.32 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸𝑷 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟏 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟏,𝟐,𝟑 𝒚 𝟒 Se puede obse a como las ensiones de comp esión asociadas al caso de deslizamien o pa cial disminuyen a medida que aumen a el cocien e 𝑄 𝜇∙𝑁, así como es as disminuyen pa a mayo es alo es de la ca ga global oscila o ia. 57 57 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 7. In luencia de 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎 en la dis ibución de ensiones 𝝈𝒙𝒙𝑸 a lo la go de una g ie a de longi ud l=a, en el bo de de la zona de con ac o x=a. -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.25 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.15,0.3,0.45 𝑦 0.53. Se ob iene: Fig 4.33 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟐𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟏𝟓,𝟎.𝟑,𝟎.𝟒𝟓 𝒚 𝟎.𝟓𝟑 Las cu as es án muy p óximas en e sí y se c uzan en o no al 40% de la longi ud de la g ie a. Las cu as pa en de un alo inicial y ienden a ce o de o ma asin ó ica hacia el ondo de la g ie a. El alo de es as ensiones es posi i o siemp e, a ándose po an o de ensiones de acción. Pa a mayo es alo es de la ca ga global oscila o ia es as ensiones pa en de un mayo alo inicial y ienen una pendien e nega i a más acusada. -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 Rep esen amos 𝜎𝑥𝑥𝑄 𝜇∙𝑝0 en e a 𝑠𝑎 pa a 𝑄 𝜇∙𝑁=0.5 y 𝜎 𝜇∙𝑝0=0.3,0.6,0.9 𝑦 1.17. Se ob iene: Fig 4.34 G á ica𝝈𝒙𝒙𝑸 𝝁∙𝒑𝟎 en e 𝒔𝒂 pa a 𝑸 𝝁∙𝑵=𝟎.𝟓 y 𝝈 𝝁∙𝒑𝟎=𝟎.𝟑,𝟎.𝟔,𝟎.𝟗 𝒚 𝟏.𝟏𝟕 -Caso: 𝑄 𝜇∙𝑁=0.75 64 64 [sigxx,p0,sigxxN,sigxxQ,sigxxQG,sigxxQP]=sigxxin e io (N,Q,mu,ps,E,R,sig ac,-s); SIGXX(i,1)=sigxx; SIGXXN(i,1)=sigxxN; SIGXXQ(i,1)=sigxxQ; SIGXXQG(i,1)=sigxxQG; SIGXXQP(i,1)=sigxxQP; SIGXXNyQG(i,1)=sigxxN+sigxxQG; i=i+1; end GG=SIGXX.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KIG(j,1)= apz(yc,GG); GN=SIGXXN.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KIN(j,1)= apz(yc,GN); GQ=SIGXXQ.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KIQ(j,1)= apz(yc,GQ); GQG=SIGXXQG.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KIQG(j,1)= apz(yc,GQG); GQP=SIGXXQP.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KIQP(j,1)= apz(yc,GQP); GNyQG=SIGXXNyQG.*(sq (2./(pi*(l-yc))).*(1+0.6147*(1-yc./l)+0.2502*(1- yc./l).^2)); KINyQG(j,1)= apz(yc,GNyQG); D(j,1)=l; j=j+1; end igu e(1); g id; plo (D./a,KIN./p0./sq (a)); xlabel('l/a'); ylabel('KIN/p0/sq (a)'); igu e(2); g id; plo (D./a,KIQG./p0./mu./sq (a)); xlabel('l/a'); ylabel('KIQG/p0/mu/sq (a)'); end 65 65 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 5.5 P og ama QmuN.m clea all; close all; clc; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.8,0.8,100,100,0); mu1=0.8; D1=D; a1=a; p01=p0; KIG1=KIG; KIQ1=KIQ; KIQP1=KIQP; KIQG1=KIQG; KIN1=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.4,0.7,500,5,0); mu2=0.4; D2=D; a2=a; p02=p0; KIG2=KIG; KIQ2=KIQ; KIQP2=KIQP; KIQG2=KIQG; KIN2=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.26,0.5,20,4,0); mu3=0.26; D3=D; a3=a; p03=p0; KIG3=KIG; KIQ3=KIQ; KIQP3=KIQP; KIQG3=KIQG; KIN3=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2000000001,0.5,20,4,0); mu4=0.2000000001; D4=D; a4=a; p04=p0; KIG4=KIG; KIQ4=KIQ; KIQP4=KIQP; KIQG4=KIQG; KIN4=KIN; igu e(1); plo (D1./a1,KIG1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIG2./mu2./p02./sq (a2),D3./a 3,KIG3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIG4./mu4./p04./sq (a4)); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('l/a'); ylabel('KI/mu/p0/sq (a)'); igu e(2); plo (D1./a1,KIQP1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQP2./mu2./p02./sq (a2),D3. /a3,KIQP3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQP4./mu4./p04./sq (a4)); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('l/a'); ylabel('KIQP/mu/p0/sq (a)'); 66 66 igu e(3); plo (D1./a1,KIQ1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQ2./mu2./p02./sq (a2),D3./a 3,KIQ3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQ4./mu4./p04./sq (a4)); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('l/a'); ylabel('KIQ/mu/p0/sq (a)'); igu e(4); plo (D1./a1,(KIN1+KIQG1+KIQP1)./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,(KIN2+KIQG2+KIQP 2)./mu2./p02./sq (a2),D3./a3,(KIN3+KIQG3+KIQP3)./mu3./p03./sq (a3),D4./a 4,(KIN4+KIQG4+KIQP4)./mu4./p04./sq (a4)); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('l/a'); ylabel('KI/mu/p0/sq (a)'); igu e(5); plo (D1./a1,(KIN1)./p01./sq (a1)+(KIQG1+KIQP1)./mu1./p01./sq (a1),D2./a2 ,(KIN2)./p02./sq (a2)+(KIQG2+KIQP2)./mu2./p02./sq (a2),D3./a3,(KIN3)./p0 3./sq (a3)+(KIQG3+KIQP3)./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,(KIN4)./p04./sq (a4) +(KIQG4+KIQP4)./mu4./p04./sq (a4)); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('l/a'); ylabel('KIN/p0/sq (a)+KIQ/mu/p0/sq (a)'); 5.6 P og ama excen icidad.m clea all; close all; clc; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,9.22); mu1=0.2002; D1=D; a1=a; p01=p0; KIG1=KIG; KIQ1=KIQ; KIQP1=KIQP; KIQG1=KIQG; KIN1=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,18.44); mu2=0.2002; D2=D; a2=a; p02=p0; KIG2=KIG; KIQ2=KIQ; KIQP2=KIQP; KIQG2=KIQG; KIN2=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,27.663); mu3=0.2002; D3=D; a3=a; 67 67 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico p03=p0; KIG3=KIG; KIQ3=KIQ; KIQP3=KIQP; KIQG3=KIQG; KIN3=KIN; [D,a,p0,KIG,KIN,KIQ,KIQG,KIQP]=FITgene al(100,20,0.2002,0.5,100,1,36.88); mu4=0.2002; D4=D; a4=a; p04=p0; KIG4=KIG; KIQ4=KIQ; KIQP4=KIQP; KIQG4=KIQG; KIN4=KIN; igu e(1); plo (D1./a1,KIQP1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQP2./mu2./p02./sq (a2),D3. /a3,KIQP3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQP4./mu4./p04./sq (a4)); legend('sigma/mu/p0=0.15','sigma/mu/p0=0.3','sigma/mu/p0=0.45','sigma/mu/p 0=0.53'); xlabel('l/a'); ylabel('KIQP/mu/p0/sq (a)'); i le('Q/mu/N=0.25'); igu e(2); plo (D1./a1,KIQ1./mu1./p01./sq (a1),D2./a2,KIQ2./mu2./p02./sq (a2),D3./a 3,KIQ3./mu3./p03./sq (a3),D4./a4,KIQ4./mu4./p04./sq (a4)); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('l/a'); ylabel('KIQ/mu/p0/sq (a)'); i le('Q/mu/N=1'); igu e(3); plo (D1./a1,KIN1/p01/sq (a1)+KIQ1/mu1/p01/sq (a1),D2./a2,KIN2/p02/sq (a 2)+KIQ2/mu2/p02/sq (a2),D3./a3,KIN3/p03/sq (a3)+KIQ3/mu3/p03/sq (a3),D4 ./a4,KIN4/p04/sq (a4)+KIQ4/mu4/p04/sq (a4)); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('l/a'); ylabel('KIN/p0/sq (a)+KIQ/mu/p0/sq (a)'); i le('Q/mu/N=1'); 5.7 Función sigxxg ie a.m unc ion[SIGXXG,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(N,Q,mu, ps,E,R,sig ac); A=4*((1-ps^2)/E); k=1/R; a=sq ((2*N*A)/(pi*k)); c=a*sq (1-abs(Q/(mu*N))); 68 68 p0=k*a/A; e=sig ac*a/mu/p0/4; x=a; l=a; i=1; o y=l/10000:l/10000:l [sigxx,p0,sigxxN,sigxxQ,sigxxQG,sigxxQP]=sigxxin e io (N,Q,mu,ps,E,R,sig ac,-y); SIGXXG(i,1)=sigxx; SIGXXN(i,1)=sigxxN; SIGXXQ(i,1)=sigxxQ; SIGXXQG(i,1)=sigxxQG; SIGXXQP(i,1)=sigxxQP; YG(i,1)=y; i=i+1; end % igu e(1); %plo (YG,SIGXXG); % igu e(2); %plo (YG/a,SIGXXG/mu/p0); %xlabel('l/a'); %ylabel('sigxx/mu/p0'); %w=in e p1(YG,SIGXXG,YG,'linea '); % igu e(3); %plo (YG,w); igu e(1); plo (YG/a,SIGXXN/p0); xlabel('s/a'); ylabel('sigxxN/p0'); igu e(2); plo (YG/a,SIGXXQG/mu/p0); xlabel('s/a'); ylabel('sigxxQG/mu/p0'); igu e(3); plo (YG/a,SIGXXQP/mu/p0); xlabel('l/a'); ylabel('sigxxQP/mu/p0'); 5.8 P og ama QmuNg ie a.m clea all; close all; clc; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.8,0.5,1 00,1,0); mu1=0.8; YG1=YG; a1=a; p01=p0; SIGXXQP1=SIGXXQP; SIGXXQ1=SIGXXQ; 69 69 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico SIGXX1=SIGXX; SIGXXN1=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.4,0.5,1 00,1,0); mu2=0.4; YG2=YG; a2=a; p02=p0; SIGXXQP2=SIGXXQP; SIGXXQ2=SIGXXQ; SIGXX2=SIGXX; SIGXXN2=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.26,0.5, 100,1,0); mu3=0.26; YG3=YG; a3=a; p03=p0; SIGXXQP3=SIGXXQP; SIGXXQ3=SIGXXQ; SIGXX3=SIGXX; SIGXXN3=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,0); mu4=0.2002; YG4=YG; a4=a; p04=p0; SIGXXQP4=SIGXXQP; SIGXXQ4=SIGXXQ; SIGXX4=SIGXX; SIGXXN4=SIGXXN; igu e(1); plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP 3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQP/mu/p0'); igu e(2); plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./ mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQ/mu/p0'); igu e(3); plo (YG1./a1,SIGXX1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXX2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXX3./mu3 ./p03,YG4./a4,SIGXX4./mu4./p04); legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXX/mu/p0'); igu e(4); plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./ mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX Q4./mu4./p04); 70 70 legend('Q/mu/N=0,25','Q/mu/N=0,5','Q/mu/N=0,75','Q/mu/N=1'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0'); 5.9 P og ama excen icidadg ie a.m clea all; close all; clc; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,9.22); mu1=0.2002; YG1=YG; a1=a; p01=p0; SIGXXQP1=SIGXXQP; SIGXXQ1=SIGXXQ; SIGXX1=SIGXX; SIGXXN1=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,18.44); mu2=0.2002; YG2=YG; a2=a; p02=p0; SIGXXQP2=SIGXXQP; SIGXXQ2=SIGXXQ; SIGXX2=SIGXX; SIGXXN2=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,27.863); mu3=0.2002; YG3=YG; a3=a; p03=p0; SIGXXQP3=SIGXXQP; SIGXXQ3=SIGXXQ; SIGXX3=SIGXX; SIGXXN3=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,36.88); mu4=0.2002; YG4=YG; a4=a; p04=p0; SIGXXQP4=SIGXXQP; SIGXXQ4=SIGXXQ; SIGXX4=SIGXX; SIGXXN4=SIGXXN; igu e(1); plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP 3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQP/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); 71 71 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico igu e(2); plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./ mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQ/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); igu e(3); plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./ mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX Q4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); 5.10 P og ama sigma en eQmuN.m clea all; close all; clc; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,9.22); mu1=0.2002; YG1=YG; a1=a; p01=p0; SIGXXQP1=SIGXXQP; SIGXXQ1=SIGXXQ; SIGXX1=SIGXX; SIGXXN1=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,18.44); mu2=0.2002; YG2=YG; a2=a; p02=p0; SIGXXQP2=SIGXXQP; SIGXXQ2=SIGXXQ; SIGXX2=SIGXX; SIGXXN2=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,27.863); mu3=0.2002; YG3=YG; a3=a; p03=p0; SIGXXQP3=SIGXXQP; SIGXXQ3=SIGXXQ; SIGXX3=SIGXX; SIGXXN3=SIGXXN; [SIGXX,SIGXXN,SIGXXQ,SIGXXQG,SIGXXQP,YG,p0,a]=sigxxg ie a(100,20,0.2002,0. 5,100,1,36.88); mu4=0.2002; YG4=YG; a4=a; p04=p0; 72 72 SIGXXQP4=SIGXXQP; SIGXXQ4=SIGXXQ; SIGXX4=SIGXX; SIGXXN4=SIGXXN; igu e(1); plo (YG1./a1,SIGXXQP1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQP2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQP 3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQP4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQP/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); igu e(2); plo (YG1./a1,SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXQ2./mu2./p02,YG3./a3,SIGXXQ3./ mu3./p03,YG4./a4,SIGXXQ4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXQ/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); igu e(3); plo (YG1./a1,SIGXXN1./p01+SIGXXQ1./mu1./p01,YG2./a2,SIGXXN2./p02+SIGXXQ2./ mu2./p02,YG3./a3,SIGXXN3./p03+SIGXXQ3./mu3./p03,YG4./a4,SIGXXN4./p04+SIGXX Q4./mu4./p04); legend('sigma/mu/p0=1','sigma/mu/p0=2','sigma/mu/p0=3','sigma/mu/p0=4'); xlabel('s/a'); ylabel('SIGXXN/p0+SIGXXQ/mu/p0'); i le('Q/mu/N=1'); 73 73 Es udio del Fac o de In ensidad de Tensiones en F e ing con un Con ac o Cilínd ico 6 BIBLIOGRAFÍA 1. Vázquez Valeo, Jesús. E ec o de las Tensiones Residuales en la Fa iga po F e ing. Escuela Técnica Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa. 2009. 2. Muñoz S, Na a o C, Domínguez J. In luencia de algunos ecub imien os sob e la esis encia a a iga po e ing. Análisis de Mecánica de la F ac u a. Vol. 22. 2005. 3. E. T. Mo eno, E. J. Ca asque o, Y. Y. San ana, J. G. La Ba be a-Sosa, Eli. S. Puchi-Cab e a, M. H. S aia. Es udio de desgas e po e ing de un ecub imien o ipo dúplex deposi ado sob e una aleación de aluminio 7075-T6. Re is a La inoame icana de Me alu gia y Ma e iales. Vol. 33. nº22. Ca acas. 2013. 4. D.A.Hills. Mechanics o Elas ic Con ac s. Bu e wo h-Heinemann L d. 1993. 5. Vázquez J, Na a o C, Domínguez J. Explici equa ions o sub-su ace s ess ield in plane con ac s. In e nal Jou nal o Mechanical Sciences 67 (2013) 53-58. Uni e sidad de Se illa. 6. E.E.Gdou os. F ac u e Mechanics c i e ia and Applica ions. Kluwe Academic Publishe s. 1990. 7. D. Nowell, D. A. Hills. 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