Re is a in e nacional de me odos num6 icos pa a chlculo
y
dise io en ingenie a, Vol. 2,4,417-436 (1986)
ANALISIS HIDRAULICO
DE
TUBERIAS
POR METODOS MATRICIALES
ANTONIO
F.
MARTIN NAVARRO
Ca ed á ico de Cons ucciones Indus iales
Escuela Supe io de Ingenie os Indus iales
Uni e sidad de Se illa
-
A da. Reina Me cedes s/n
41
012
SEVILLA
SUMARIO
Es e abajo desa olla en o ma sis emá ica las ecuaciones de campo que igen el compo amien o
hid áulico en égimen es aciona io de edes de ube ías. Su ob ención se ealiza en o ma análoga a
la u ilizada en el Análisis Ma icial de Es uc u as.
Como esul ado, se ob ienen las exp esiones de odas las ma ices necesa ias, u ilizando pa a ello
sólo la in o mación opológica de la ed. La o mulación conside a asimismo la de inición de
condiciones de con o no mix as, así como la inclusión de bombas en la ed de ube ías.
SUMMARY
This wo k de elops he ield equa ions o incomp essible low in pipe ne wo k in a sys ema ic
way. The ela ions ha e been conside ed in ma ix o m, in a simila manne o he Ma ix Analysis
o S uc u es.
.
As a consequence o his app oach, he di e en ma ices ha e been e alua ed only h ough opo-
logical ne wo k in o ma ion. In addi ion, he model allows mixed bounda y condi ions and pumps
inside ne wo k. Bo h cases ha e been di ec ly included in he o mula ion.
INTRODUCCION
El
Análisis Hid áulico en Régimen Es aciona io de una ed de ube ías po la que
ci cula un luido incomp esible p e ende es udia el ni el de p esiones que se p oduce
en el sis ema, así como los lujos ci culan es, pa a unas condiciones de con o no dadas,
que pe manecen es ables con el iempo.
Pa a es ablece las ecuaciones de campo del p oblema a esol e , se acude a la u iliza-
ción de las ecuaciones de la ene gía y de la con inuidad, que deben cumpli se en odo
el sis ema, así como a las ecuaciones de Da cy-Weisbach, que ige la pé dida de ca ga en
una ~be ía?,~
Exis en a ias al e na i as en el plan eamien o de las ecuaciones de ca np~?,~,~
que
dependen básicamen e de las a iables espec o de las que se deseen exp esa dichas
ecuaciones, que son las p esiones en los nudos de la ed,
y
los caudales ci culan es po
cada una de sus amas.
El obje i o que se p e ende, es el plan eamien o de dichas ecuaciones de campo en
Recibido:
Ab il
1986
QUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
418
A.
F.
MARTIN NAVARRO
una o ma sis emá ica, u ilizando pa a ello una o mulación ma icial; con la que se
consigue no sólo una g an cla idad exposi i a, sino que' además dicha o mulación es
muy adecuada pa a aplica p ocesos o algo i mos numé icos esolubles median e
compu ado 6
EQUIVALENCIA CON EL ANALISIS MECANICO ESTRUCTURAL
La o mulación ma icial ha enido g an acep ación y desa ollo den o del campo
del Análisis de ~s uc u as~*~,~ en especial en el ámbi o de las Es uc u as de Ba as,
con las que puede es ablece se una equi alencia o mal, aun cuando los p oblemas en si
mismos sean muy di e en es. Es a equi alencia se pone de mani ies o en la Tabla 1,
,
y puede se i nos de guía en el es ablecimien o de la o mulación ma icial que amos
pe siguiendo.
F en e a las equi alencias, es p eciso esal a asimismo dos di e encias muy signi ica-
i as como son:
l.
Mien as en el AnAlisis Es uc u al se de inen a iables o magni udes ec o iales.
en el Análisis Hid áulico el p oblema sólo se plan ea con a iables escala es.
2.
En gene al, el Análisis Es uc u al se ealiza en el campo Elás ico, lo que conlle a
una ley de compo amien o lineal, mien as que en el caso Hid áulico, la ley de
Da cy es cla amen e no lineal, y posee además una exp esión complicada ope a i-
amen e, debido undamen almen e al ac o de icción.
TABLA 1
:
EQUIVALENCIA MECANICA-HIDRAULICA
EXTRUCTURAS DE BARRAS
*
Desplazamien o de un nudo
ui
en coo denadas
globales
*
Fue za Ex e io ac uan e en un nudo en coo de-
nadas globales
4
*
De o mación en una ba a en coo denadaslocales
6i
*
Es ue zo exis en e en una ba a en coo denadas
locales
N,
*
Ley de compo amien o del ma e ial de una ba a
Ni
=
4.6¡;6¡
=
ai.N,
*
Ecuaciones de Equilib io en los nudos de la
es uc u a
*
Ecuaciones de Compa ibilidad en la Es mc u a
*
Me odo de la Rigidez
*
MB odo de la Flexibilidad
*
Sis ema Iso á ico In e io men e
*
Sis ema Hipe es á ico In e io men e
REDES DE TUBERIAS
*
Al u a Piezome ica en un nudo
4
*
Caudal Ex e io de en a o sale po un nudo
Qi
*
Pe dida de ca ga en una ube a
4
*
Caudal que ci cula po una ube ía
a
*
Ecuación de Da cy-Weisbach que ige la pe dida
de ca ga en una ube a
8h
L
h.
=-2
'
2&?
Dp
4:
*
Ecuaciones de Con inuidad en los nudos de la ed
*
Ecuaciones de la Ene g a en las mallas de la Red
*
Me odo de los Nudos
*
Me odo de los Caudales
*
Red Rami icada
*
Red Mallada
ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS
419
ECUACIONES FUNDAMENTALES EXPRESADAS EN FORMA MATRICIAL
En gene al a amos de exp esa las ecuaciones de campo co espondien es a una ed
de ube ías de inida po los siguien es pa áme os
y
a iables
N
=
núme o de nudos de la ed
R
=
núme o de amas que componen la ed
M
=
núme o de mallas sob e las que pueden de ini se ecuaciones de ene gía
independien es.
q
=
ec o o mado po los alo es
qi
de los caudales en cada ama de la ed
Q
=
ec o o mado po los alo es
Qi
de los caudales que salen de cada uno de la ed
h
=
ec o o mado po los alo es
hi
de las pé didas de ca ga p oducidas en cada ama
de la ed
H
=
ec o o mado po los alo es
Hi
de las al u as piezomé icas de cada uno de los
nodos de la ed
Las elaciones en e es os ec o es pueden ob ene se median e ma ices de i adas de la
aplicación de las ecuaciones básicas an es apun adas.
EXPRESION MATRICIAL DE LA ECUACION DE DARCY-WEISBACH
La exp esión de Da cy-Weisbach pa a una ama cualquie a de la ed iene dada po
Es a ecuación podemos plan ea la al e na i amen e en la o ma:
420
A.
F.
MARTIN NAVARRO
J=
qi=
--
.
i=j
J-
--
hi
=
ki hi
8 h
Li
8h
Li IhiI
(3.8)
Si aplicamos es as ecuaciones a odas las amas de la ed end emos en de ini i a
h
=
A
q
;
A
=
diag
!ala2. .aRI
(3.9)
q=
K.
h;
K=
diag
{klk 2...kRI
(3.10)
8h
Li
ai
=
-
-
lqi]
T~~
q
(3.1 1)
ki
=
JFL,
J í
(3.12)
8L
Li
1
h,l
Las exp esiones an e io es es án e e idas a elemen os de ube ía como el que se
mues a en la Figu a 1, con los que es á o mada la ed de ube ías en es udio.
~
Figu a
1
:
Elemen o
de
Tube ía
Como se deduce de las exp esiones (3.1
1)
y
(3.12), los alo es
ai
y
ki
son dependien-
es no sólo de las ca ac e ís icas in ínsecas de la ube ía, sino ambién del lujo que la
a a iesa.
También es impo an e señala que las a iables
hi, qi
son magni udes con signo, de
al mane a que dicho signo exp esa el sen ido de ci culación del lujo, posi i o si
discu e desde
1
has a
F,
y
nega i o en caso con a io.
h
H:
.-
$
-
Y
Y
J~'F
F
z;
,
ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS

421
Finalmen e, al obje o de elaciona adecuadamen e en o ma gene ica los di e sos
elemen os de ube ia que componen la ed, de inimos sob e es a como posi i os los
caudales que salen de los nudos, segiln (3.3), lo que nos lle a a es ablece una elaciOn
en e el caudal ci culan e po un elemen o, y el caudal que en a o sale de los nudos
ex emos de la ube ia, hacia los elemen os de ube ia conec ados a ellos, que segan
la Figu a 1, es:
QI = -q
i
=
—k
i
h
i
= —k
i
—
Hid
Q
i
F
= +q
i
= k
i
hi = k
i
(H:
Exp esado en o ma ma icial se ia:
(3.13)
Qi
QiF
-k
i

ki
k
i
—ki
Hi
Hi
Q
i
=
k
i
• H
i
(3.14)
EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD
Con los c i e ios de signos an es apun ados, las ecuaciones de con inuidad pueden
aplica se a los nudos de la ed. Si exis en
N
nudos, podemos ob ene (N-1) ecuaciones
de con inuidad, que pueden exp esa se ma icialmen e en la o ma
E
•
q =
Q

(3.15)
La ma iz
E
posee unas ca ac e is icas muy especiales, ya que es a o mada po ce os
y unos, posi i os o nega i os. Puede deduci se ademas, que en cada columna solo
exis i an dos alo es dis in os de ce o, que se dn los elemen os co espondien es a las
ilas que coinciden con los nudos inicial y inal del elemen o de ube ia asociado a la
columna en cues i6n.
0
0
Elemen o de Tube ia: 1
Nudo inicial:
Nudo inal:
F'
1
0
0
1
0
ila /1
ila Fl
0
Columna 1

422
A.
F.
MARTIN NAVARRO
Las ecuaciones de con inuidad pueden exp esa se ambién en la o ma:
En es e caso, caben dis ingui dos si uaciones. La p ime a se co esponde con
el caso de edes ami icadas, en las que se cumple simplemen e
Sin emba go, en el caso de edes malladas el p oblema es más complejo, ya que
en onces la ma iz
E
no es cuad ada, y los ec o es
q
y
Q
no ienen la misma dimensión.
En es e caso pa a aplica la exp esión (3.16) descompond emos los ec o es
q
y
Q
en
la o ma siguien e:
q,
=
ec o o mado po un subconjun o de las a iables
qi
asociado a una sub-
ma iz
EI
que enga un de e minan e dis in o de ce o. La dimensión de
q,
se á de (N- 1).
q,
=
ec o o mado po un subconjun o de a iables
qi
que comple an el
ec o
q
espec o de
q~.
Su dimensión se á po lo an o igual a
M.
qT
=
[q
qi]
(3.19)
En es e caso, las dimensiones de la ma iz
b
se án de RxR,
y
el ec o
Q
se á ambién
de dimensión R, que en el caso de edes ami icadas, según (3.17), se educen ob ia-
men e a (N-1) x (N-1) y (N-1) espec i amen e.
EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE LA ENERGIA
Las ecuaciones de la ene gía a ni el de elemen o se exp esan sencillamen e, a la is a
de la Figu a 1, en la o ma:
Es as ecuaciones pueden se o muladas conjun amen e pa a odos los elemen os de
la ed en la o ma:
La ma iz posee unas ca ac e ís icas muy especiales, ya que cada ila es a á o mada
po un conjun o de ce os, sal o en las columnas co espondien es a los nudos inicial y
inal, en los que apa ece á un uno, posi i o en el p ime o
y
nega i o en el segundo.
ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS
423
I1 F1
Elemen o de ube ía: 1
Nudo Inicial:
I1
E
=
Nudo Final:
F1
Las ecuaciones de la ene gía ambién pueden exp esa se en la o ma:
H=C-
h
(3.23)
Al igual que en el caso de las ecuaciones de la con inuidad, cabe dis ingui dos si ua-
ciones. Si la ed es ami icada se cumpli á (3.17)
y
po lo an o
H=H=+C=al
-
(3.24
j
Cuando nos encon amos en el caso de edes malladas, en onces, la ma iz
2
no es
cuad ada,
y
la exp esión (3.23) ag upa no sólo a las ecuaciones de la ene gía de los
elemen os de la ed, sino ambién a las ecuaciones adicionales de la ene gía que pueden
plan ea se en las dis in as mallas de la ed, que pueden ob ene se e ec uando la misma
descomposición ealizada en el caso an e io , ob eniendo
i'
=
[
h~ h~]
(3.25)
&
=
[
HT
O']
(3.26)
Consecuen emen e, las dimensiones de la ma iz C se án de
R
x
R,
y
el ec o
H
se á
de dimensión
R.
Finalmen e, cabe deci ambién que, po la o ma en que se han de inido las ma ices
E
y
E,
es ob io deduci que exis e una elación en e ambas:
E=
-2
T
(3.27)
Es a elación se á deducida con pos e io idad.
RELACIONES DE CONTRAGREDIENCIA
Si conside amos una ed en égimen es aciona io en la que no se p oducen pé didas,
de al o ma que la en ada o salida de lujo se p oduce exclusi amen e po los nudos
de la ed, debe cumpli se que la po encia o al consumida po el sis ema debe se igual
a la po encia suminis ada.
Po un lado, la po encia consumida en un elemen o de ube ía es
W.
=
q.
h.
11
(3.28)
-
00
...
100
...
000-1
-
-
0...0
-
ila 1
424
A.
F.
MARTIN NAVARRO
El
o al de la po encia consumida po los elemen os de ube ía de la ed se á pues
Po o o lado, en los nudos de la ed se libe a
o
suminis a po encia a la ed, según
que el lujo salga o en e en el nudo. Si omamos como al u a piezomé ica de e e en-
cia la de un nudo cualquie a, la po encia libe ada o suminis ada a la ed puede
exp esa se en la o ma:
Po lo an o, es necesa io que se cumpla
qTh+ QT H=
O
Si en es a úl ima exp esión sus i uimos la exp esión
(3.22),
end emos:
qT
(a
-
H)
+
QT H
=
(qT
S
+
QT) H
=
O
*
qT
+
QT
=
O*Q=
-aT
-
q
-
(3.32)
Teniendo en cuen a
(3.15)
se deduce inalmen e
E
=
-aT
-
P ocediendo en o ma análoga, si sus i uimos p ime amen e
(3.20)
y
(3.26)
en
(3.31)
end emos
,
Si en es a úl ima exp esión sus i uimos aho a la
(3.16)
end emos
q=b.Q*qT= QT.bT
(OT.bT)h
+
OT
H
=
O
=+
OT
.(b h+ H)
=
O
*
bTh+ H=O*H=-bT.h (3.35)
Teniendo en cuen a aho a
(3.23)
se deduce
c
=
-bT (3.36)
ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS

425
METODO DE LOS NUDOS
Es e ma odo consis e en es ablece las ecuaciones de campo omando como incOgni-
as las al u as piezome icas de los nudos, o mejo dicho, las al u as piezome icas de
(N-1) nudos e e idas a uno que si e de base.
Si omamos la ecuaciOn (3.15) y sus i uimos en ella las (3.10), (3.22) y (3.33)
end emos:
Q= Eq=E(K•h)=E•K•a•H
=IK •
H ;IX= EK«
=

Ka

(4.1)
La ma iz IK
se a de o den (N-1) x (N-1) y nos elaciona los caudales en los nudos
con las al u as piezome icas exis en es en es os. Como ya se ha indicado an e io men e,
el sis ema (4.1) es cla amen e no lineal, habida cuen a de la exp esiOn de los elemen os
de la ma iz K dada en (3.8) que unido a las exp esiones (3.21) hacen que los coe icien-
es de
IK
dependan de las p opias a iables
H
i
en las que se han exp esado las ecuaciones
de campo.
Una al e na i a pa a la ob enciOn de las ecuaciones (4.1) es u iliza di ec amen e las
ecuaciones (3.14) de cada uno de los elemen os que componen la ed, eniendo en
cuen a la conec i idad de es os elemen os en o ma implici a, o mando las ma ices
o ladas co espondien es. Asi, pa a un elemen o de ube ia
"i"
de inido en e el nudo
"s"
y el nudo " ", la ecuaciOn (3.14) puede simboliza se como:
=
(Q0
)
T
0
0 0 .
—k
i
0
. .
Q'

0 0...
Q

0
0
ki
.

.
0
.
0
(4.2)
(4.3)
(4.4)
00
0
ki
ki
0
0
Ob iamen e, con es as no aciones, la ecuaciOn de con inuidad se exp esa di ec a-
men e en la o ma
Q = E
Q
i
= E
k
i
• H = (

H
1
=
1

°

i=
1

1=1
Q=IIC•H;IK=
E
ki
i= i°
k
i
H
=

•
(4.5)
432
A.
F.
MARTIN NAVARRO
Es a descomposición de la ma iz
b
aplicada a la exp esión (5.1
)
nos p oduce a su ez
Sus i uyendo en (5.1
)
y
ope ando end emos
-bol
A
bol
A
bol
-bH
A
bol
Las dos úl imas ecuaciones las podemos ag upa
-bol
A
bo
-b,
A
bo
-b~
A
bo
-bol
A
b~
-b,
A
bH
-bH
A
bH

1
ANALISIS HIDRAULICO
DE
TUBERIAS
433
Resol iendo es e sis ema de ecuaciones ob enemos los ec o es
Q,
y
q,,
que sus i-
uidos en (6.6) y (6.8) nos pe mi en ob ene an o los caudales ci culan es como las
al u as piezonié icas en los nudos desconocidos.
Al igual que en el p oblema con condiciones de con o no pu as, la di e encia con el
p ocedimien o clásico adica en que no es p ecisa una in o mación adicional pa a
ob ene las ecuaciones de las seudo-mallas, que son p ecisamen e las que se engloban
en la exp esión
(6.9)
de la o mulación aquí desa ollada.
INCLUSION DE BOMBAS EN EL MODELO DE LA RED DE TUBERIAS
En gene al, una bomba
o
es ación de bombeo, puede ep esen a se den o de la ed
como un elemen o especial, cuyo compo amien o se á di e en e de los elemen os
pasi os de la ed, es o es, las amas o ube ías.
En caso de que el compo amien o puede se exp esado analí icamen e, bas a con
o mula dichas exp esiones e inclui las en las ecuaqiones de campo del sis ema
comple o.
El modelo que usualmen e se u iliza pa a ep esen a el compo amien o hid áulico
de una bomba, consis e en ap oxima la elación en e el caudal ci culan e y la al u a
de p esión que suminis a la bomba median e un polinomio de segundo g ado del ipo:
Es deci , median e una pa ábola de segundo g ado con eje e ical, siendo pues
Si la bomba es á conec ada en e los nudos
I
y
F,
pod emos ep esen a el e ec o
adicional de la bomba sob e el es o de los e ec os ya incluidos en la o ma simbólica
434
A.
F.
MARTIN NAVARRO
Figu a
2.
Elemen o Bomba.
Cuando en e los nudos
I
y
F
exis en además amos de ube ía o acceso ios que
p oducen pé didas de ca ga signi ica i as, puede añadi se el compo amien o de es os
elemen os pasi os sin más que suma a
(7.5)
el alo que co esponda:
ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS
435
Así pues, la conside ación de bombas
(y
en gene al de cualquie o o disposi i o)
den o de las ecuaciones de campo globales, se educe simplemen e a deduci el
compo amien o de dicho elemen o,
y
o mula lo con enien emen e. La di icul ad no
es pues de plan eamien o, sino de esolución pos e io de las ecuaciones de campo
esul an es.
REFERENCIAS
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