Análisis hidráulico de tuberías por métodos matriciales

Revista internacional de metodos num6ricos para chlculo y disefio en ingenierfa, Vol. 2,4,417-436 (1986) ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS POR METODOS MATRICIALES ANTONIO F. MARTIN NAVARRO Catedrático de Construcciones Industriales Escuela Superior de Ingenieros Industriales Universidad de Sevilla - Avda. Reina Mercedes s/n 41 012 SEVILLA SUMARIO Este trabajo desarrolla en forma sistemática las ecuaciones de campo que rigen el comportamiento hidráulico en régimen estacionario de redes de tuberías. Su obtención se realiza en forma análoga a la utilizada en el Análisis Matricial de Estructuras. Como resultado, se obtienen las expresiones de todas las matrices necesarias, utilizando para ello sólo la información topológica de la red. La formulación considera asimismo la definición de condiciones de contorno mixtas, así como la inclusión de bombas en la red de tuberías. SUMMARY This work develops the field equations for incompressible flow in pipe network in a systematic way. The relations have been considered in matrix form, in a similar manner to the Matrix Analysis of Structures. . As a consequence of this approach, the different matrices have been evaluated only through topological network information. In addition, the model allows mixed boundary conditions and pumps inside network. Both cases have been directly included in the formulation. INTRODUCCION El Análisis Hidráulico en Régimen Estacionario de una red de tuberías por la que circula un fluido incompresible pretende estudiar el nivel de presiones que se produce en el sistema, así como los flujos circulantes, para unas condiciones de contorno dadas, que permanecen estables con el tiempo. Para establecer las ecuaciones de campo del problema a resolver, se acude a la utilización de las ecuaciones de la energía y de la continuidad, que deben cumplirse en todo el sistema, así como a las ecuaciones de Darcy-Weisbach, que rige la pérdida de carga en una t~bería?,~ Existen varias alternativas en el planteamiento de las ecuaciones de carnp~?,~,~ que dependen básicamente de las variables respecto de las que se deseen expresar dichas ecuaciones, que son las presiones en los nudos de la red, y los caudales circulantes por cada una de sus ramas. El objetivo que se pretende, es el planteamiento de dichas ecuaciones de campo en Recibido: Abril 1986 QUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 418 A. F. MARTIN NAVARRO una forma sistemática, utilizando para ello una formulación matricial; con la que se consigue no sólo una gran claridad expositiva, sino que' además dicha formulación es muy adecuada para aplicar procesos o algoritmos numéricos resolubles mediante computador6 EQUIVALENCIA CON EL ANALISIS MECANICO ESTRUCTURAL La formulación matricial ha tenido gran aceptación y desarrollo dentro del campo del Análisis de ~structuras~*~,~ en especial en el ámbito de las Estructuras de Barras, con las que puede establecerse una equivalencia formal, aun cuando los problemas en si mismos sean muy diferentes. Esta equivalencia se pone de manifiesto en la Tabla 1, , y puede servirnos de guía en el establecimiento de la formulación matricial que vamos persiguiendo. Frente a las equivalencias, es preciso resaltar asimismo dos diferencias muy significativas como son: l. Mientras en el AnAlisis Estructural se definen variables o magnitudes vectoriales. en el Análisis Hidráulico el problema sólo se plantea con variables escalares. 2. En general, el Análisis Estructural se realiza en el campo Elástico, lo que conlleva una ley de comportamiento lineal, mientras que en el caso Hidráulico, la ley de Darcy es claramente no lineal, y posee además una expresión complicada operativamente, debido fundamentalmente al factor de fricción. TABLA 1 : EQUIVALENCIA MECANICA-HIDRAULICA EXTRUCTURAS DE BARRAS * Desplazamiento de un nudo ui en coordenadas globales * Fuerza Exterior actuante en un nudo en coordenadas globales 4 * Deformación en una barra en coordenadaslocales 6i * Esfuerzo existente en una barra en coordenadas locales N, * Ley de comportamiento del material de una barra Ni = 4.6¡;6¡ = ai.N, * Ecuaciones de Equilibrio en los nudos de la estructura * Ecuaciones de Compatibilidad en la Estmctura * Metodo de la Rigidez * MBtodo de la Flexibilidad * Sistema Isotático Interiormente * Sistema Hiperestático Interiormente REDES DE TUBERIAS * Altura Piezometrica en un nudo 4 * Caudal Exterior de entra o sale por un nudo Qi * Perdida de carga en una tuberfa 4 * Caudal que circula por una tubería a * Ecuación de Darcy-Weisbach que rige la perdida de carga en una tuberfa 8h L h. =-2 ' r2&? Dp 4: * Ecuaciones de Continuidad en los nudos de la red * Ecuaciones de la Energfa en las mallas de la Red * Metodo de los Nudos * Metodo de los Caudales * Red Ramificada * Red Mallada ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 419 ECUACIONES FUNDAMENTALES EXPRESADAS EN FORMA MATRICIAL En general tratamos de expresar las ecuaciones de campo correspondientes a una red de tuberías definida por los siguientes parámetros y variables N = número de nudos de la red R = número de ramas que componen la red M = número de mallas sobre las que pueden definirse ecuaciones de energía independientes. q = vector formado por los valores qi de los caudales en cada rama de la red Q = vector formado por los valores Qi de los caudales que salen de cada uno de la red h = vector formado por los valores hi de las pérdidas de carga producidas en cada rama de la red H = vector formado por los valores Hi de las alturas piezométricas de cada uno de los nodos de la red Las relaciones entre estos vectores pueden obtenerse mediante matrices derivadas de la aplicación de las ecuaciones básicas antes apuntadas. EXPRESION MATRICIAL DE LA ECUACION DE DARCY-WEISBACH La expresión de Darcy-Weisbach para una rama cualquiera de la red viene dada por Esta ecuación podemos plantearla alternativamente en la forma: 420 A. F. MARTIN NAVARRO J= qi= -- . fi=j J- -- hi = ki hi 8 h Li 8h Li IhiI (3.8) Si aplicamos estas ecuaciones a todas las ramas de la red tendremos en definitiva h = A q ; A = diag !ala2. .aRI (3.9) q= K. h; K= diag {klk 2...kRI (3.10) 8h Li ai = - - lqi] T~~ q (3.1 1) ki = JFL, Jrí (3.12) 8L Li 1 h,l Las expresiones anteriores están referidas a elementos de tubería como el que se muestra en la Figura 1, con los que está formada la red de tuberías en estudio. ~f Figura 1 : Elemento de Tubería Como se deduce de las expresiones (3.1 1) y (3.12), los valores ai y ki son dependientes no sólo de las características intrínsecas de la tubería, sino también del flujo que la a traviesa. También es importante señalar que las variables hi, qi son magnitudes con signo, de tal manera que dicho signo expresa el sentido de circulación del flujo, positivo si discurre desde 1 hasta F, y negativo en caso contrario. hr H: t .- $ - Y Y J~'F F z; , ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS  421 Finalmente, al objeto de relacionar adecuadamente en forma generica los diversos elementos de tuberia que componen la red, definimos sobre esta como positivos los caudales que salen de los nudos, segiln (3.3), lo que nos lleva a establecer una relaciOn entre el caudal circulante por un elemento, y el caudal que entra o sale de los nudos extremos de la tuberia, hacia los elementos de tuberia conectados a ellos, que segan la Figura 1, es: QI = -q i = —k i h i = —k i — Hid Q i F = +q i = k i hi = k i (H: Expresado en forma matricial seria: (3.13) Qi QiF -k i  ki k i —ki Hi Hi Q i = k i • H i (3.14) EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD Con los criterios de signos antes apuntados, las ecuaciones de continuidad pueden aplicarse a los nudos de la red. Si existen N nudos, podemos obtener (N-1) ecuaciones de continuidad, que pueden expresarse matricialmente en la forma E • q = Q  (3.15) La matriz E posee unas caracteristicas muy especiales, ya que esta formada por ceros y unos, positivos o negativos. Puede deducirse ademas, que en cada columna solo existiran dos valores distintos de cero, que serdn los elementos correspondientes a las filas que coinciden con los nudos inicial y final del elemento de tuberia asociado a la columna en cuesti6n. 0 0 Elemento de Tuberia: 1 Nudo inicial: Nudo final: F' 1 0 0 1 0 fila /1 fila Fl 0 Columna 1 422 A. F. MARTIN NAVARRO Las ecuaciones de continuidad pueden expresarse también en la forma: En este caso, caben distinguir dos situaciones. La primera se corresponde con el caso de redes ramificadas, en las que se cumple simplemente Sin embargo, en el caso de redes malladas el problema es más complejo, ya que entonces la matriz E no es cuadrada, y los vectores q y Q no tienen la misma dimensión. En este caso para aplicar la expresión (3.16) descompondremos los vectores q y Q en la forma siguiente: q, = vector formado por un subconjunto de las variables qi asociado a una submatriz EI que tenga un determinante distinto de cero. La dimensión de q, será de (N- 1). q, = vector formado por un subconjunto de variables qi que completan el vector q respecto de q~. Su dimensión será por lo tanto igual a M. qT = [qf qi] (3.19) En este caso, las dimensiones de la matriz b serán de RxR, y el vector Q será también de dimensión R, que en el caso de redes ramificadas, según (3.17), se reducen obviamente a (N-1) x (N-1) y (N-1) respectivamente. r EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE LA ENERGIA Las ecuaciones de la energía a nivel de elemento se expresan sencillamente, a la vista de la Figura 1, en la forma: Estas ecuaciones pueden ser formuladas conjuntamente para todos los elementos de la red en la forma: La matriz posee unas características muy especiales, ya que cada fila estará formada por un conjunto de ceros, salvo en las columnas correspondientes a los nudos inicial y final, en los que aparecerá un uno, positivo en el primero y negativo en el segundo. ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 423 I1 F1 Elemento de tubería: 1 Nudo Inicial: I1 E = Nudo Final: F1 Las ecuaciones de la energía también pueden expresarse en la forma: H=C- h (3.23) Al igual que en el caso de las ecuaciones de la continuidad, cabe distinguir dos situaciones. Si la red es ramificada se cumplirá (3.17) y por lo tanto H=H=+C=al - (3.24 j Cuando nos encontramos en el caso de redes malladas, entonces, la matriz 2 no es cuadrada, y la expresión (3.23) agrupa no sólo a las ecuaciones de la energía de los elementos de la red, sino también a las ecuaciones adicionales de la energía que pueden plantearse en las distintas mallas de la red, que pueden obtenerse efectuando la misma descomposición realizada en el caso anterior, obteniendo i' = [ h~ h~] (3.25) & = [ HT O'] (3.26) Consecuentemente, las dimensiones de la matriz C serán de R x R, y el vector H será de dimensión R. Finalmente, cabe decir también que, por la forma en que se han definido las matrices E y E, es obvio deducir que existe una relación entre ambas: E= -2 T (3.27) Esta relación será deducida con posterioridad. RELACIONES DE CONTRAGREDIENCIA Si consideramos una red en régimen estacionario en la que no se producen pérdidas, de tal forma que la entrada o salida de flujo se produce exclusivamente por los nudos de la red, debe cumplirse que la potencia total consumida por el sistema debe ser igual a la potencia suministrada. Por un lado, la potencia consumida en un elemento de tubería es W. = q. h. 11 (3.28) - 00 ... 100 ... 000-1 - - 0...0 - fila 1 424 A. F. MARTIN NAVARRO El total de la potencia consumida por los elementos de tubería de la red será pues Por otro lado, en los nudos de la red se libera o suministra potencia a la red, según que el flujo salga o entre en el nudo. Si tomamos como altura piezométrica de referencia la de un nudo cualquiera, la potencia liberada o suministrada a la red puede expresarse en la forma: Por lo tanto, es necesario que se cumpla qTh+ QT H= O Si en esta última expresión sustituimos la expresión (3.22), tendremos: qT (a - H) + QT H = (qT S + QT) H = O * qT + QT = O*Q= -aT - q - (3.32) Teniendo en cuenta (3.15) se deduce finalmente E = -aT - Procediendo en forma análoga, si sustituimos primeramente (3.20) y (3.26) en (3.31) tendremos , Si en esta última expresión sustituimos ahora la (3.16) tendremos q=b.Q*qT= QT.bT (OT.bT)h + OT H = O =+ OT .(bth+ H) = O * bTh+ H=O*H=-bT.h (3.35) Teniendo en cuenta ahora (3.23) se deduce c = -bT (3.36) ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS  425 METODO DE LOS NUDOS Este matodo consiste en establecer las ecuaciones de campo tomando como incOgnitas las alturas piezometricas de los nudos, o mejor dicho, las alturas piezometricas de (N-1) nudos referidas a uno que sirve de base. Si tomamos la ecuaciOn (3.15) y sustituimos en ella las (3.10), (3.22) y (3.33) tendremos: Q= Eq=E(K•h)=E•K•a•H =IK • H ;IX= EK« =  Ka  (4.1) La matriz IK sera de orden (N-1) x (N-1) y nos relaciona los caudales en los nudos con las alturas piezometricas existentes en estos. Como ya se ha indicado anteriormente, el sistema (4.1) es claramente no lineal, habida cuenta de la expresiOn de los elementos de la matriz K dada en (3.8) que unido a las expresiones (3.21) hacen que los coeficientes de IK dependan de las propias variables H i en las que se han expresado las ecuaciones de campo. Una alternativa para la obtenciOn de las ecuaciones (4.1) es utilizar directamente las ecuaciones (3.14) de cada uno de los elementos que componen la red, teniendo en cuenta la conectividad de estos elementos en forma implicita, formando las matrices orladas correspondientes. Asi, para un elemento de tuberia "i" definido entre el nudo "s" y el nudo "t", la ecuaciOn (3.14) puede simbolizarse como: = (Q0 ) T 0 0 0 . —k i 0 . . Q'  0 0... Qt  0 0 ki .  . 0 . 0 t (4.2) (4.3) (4.4) 00 0 ki ki 0 0 t Obviamente, con estas notaciones, la ecuaciOn de continuidad se expresa directamente en la forma Q = E Q i = E k i • H = (  H 1 = 1  °  i= 1  1=1 Q=IIC•H;IK= E ki i= i° k i H =  • (4.5) 432 A. F. MARTIN NAVARRO Esta descomposición de la matriz b aplicada a la expresión (5.1 ) nos produce a su vez Sustituyendo en (5.1 ) y operando tendremos -bol A bol A bol -bH A bol Las dos últimas ecuaciones las podemos agrupar -bol A bor -b,r A bor -b~ A bor -bol A b~ -b,r A bH -bH A bH 1 ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 433 Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los vectores Q, y q,, que sustituidos en (6.6) y (6.8) nos permiten obtener tanto los caudales circulantes como las alturas piezoniétricas en los nudos desconocidos. Al igual que en el problema con condiciones de contorno puras, la diferencia con el procedimiento clásico radica en que no es precisa una información adicional para obtener las ecuaciones de las seudo-mallas, que son precisamente las que se engloban en la expresión (6.9) de la formulación aquí desarrollada. INCLUSION DE BOMBAS EN EL MODELO DE LA RED DE TUBERIAS En general, una bomba o estación de bombeo, puede representarse dentro de la red como un elemento especial, cuyo comportamiento será diferente de los elementos pasivos de la red, esto es, las ramas o tuberías. En caso de que el comportamiento puede ser expresado analíticamente, basta con formular dichas expresiones e incluirlas en las ecuaqiones de campo del sistema completo. El modelo que usualmente se utiliza para representar el comportamiento hidráulico de una bomba, consiste en aproximar la relación entre el caudal circulante y la altura de presión que suministra la bomba mediante un polinomio de segundo grado del tipo: Es decir, mediante una parábola de segundo grado con eje vertical, siendo pues Si la bomba está conectada entre los nudos I y F, podremos representar el efecto adicional de la bomba sobre el resto de los efectos ya incluidos en la forma simbólica 434 A. F. MARTIN NAVARRO Figura 2. Elemento Bomba. Cuando entre los nudos I y F existen además tramos de tubería o accesorios que producen pérdidas de carga significativas, puede añadirse el comportamiento de estos elementos pasivos sin más que sumar a (7.5) el valor que corresponda: ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 435 Así pues, la consideración de bombas (y en general de cualquier otro dispositivo) dentro de las ecuaciones de campo globales, se reduce simplemente a deducir el comportamiento de dicho elemento, y formularlo convenientemente. La dificultad no es pues de planteamiento, sino de resolución posterior de las ecuaciones de campo resultantes. REFERENCIAS 1. V.L. Streeter y E.B. Wilye. Mecánica de los Fluidos. Editorial Mc. Graw-Hill, (1975). 2. D. Stephenson. Pipeflow Analysis. Editorial Elsevier, (1984). 3. R.W. Jepsson. Analysis of Flow in Pipe Networks. Editorial Ann Arbor Science, (1983). 4. S.M. Walski. Analysis of Water Distribution Systems. Editorial Van Nostrand, (1984). 5. A.G. Coliins y R.L. Johnson. "Finite-Element Method for Water Distribution Networks". J.American Water ASS. 67(7), 385-389, (1975). 6. M. Collins, L. Cooper, R. Helgason, J. Kennington y L. Leblanc. "Solving the Pipe Network Analisis Problem using Optimization Techniques". Management Science 24 (7) 747-760, (1978). 7. M.F. Rubinstein. Matrix Computer Analysis of Structures. Editorial Prentice-Hall, (1966). 8. M.F. Rubinstein. Structural Systems Statics, Dynamics and Stability. Prentice Hall, (1970). 9. J.S. Przemieniecki. Theory of Matrix Structural Analysis. Editorial Mc. Graw-Hill, (1968).