Análisis hidráulico de tuberías por métodos matriciales

Re is a in e nacional de me odos num6 icos pa a chlculo y dise io en ingenie a, Vol. 2,4,417-436 (1986) ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS POR METODOS MATRICIALES ANTONIO F. MARTIN NAVARRO Ca ed á ico de Cons ucciones Indus iales Escuela Supe io de Ingenie os Indus iales Uni e sidad de Se illa - A da. Reina Me cedes s/n 41 012 SEVILLA SUMARIO Es e abajo desa olla en o ma sis emá ica las ecuaciones de campo que igen el compo amien o hid áulico en égimen es aciona io de edes de ube ías. Su ob ención se ealiza en o ma análoga a la u ilizada en el Análisis Ma icial de Es uc u as. Como esul ado, se ob ienen las exp esiones de odas las ma ices necesa ias, u ilizando pa a ello sólo la in o mación opológica de la ed. La o mulación conside a asimismo la de inición de condiciones de con o no mix as, así como la inclusión de bombas en la ed de ube ías. SUMMARY This wo k de elops he ield equa ions o incomp essible low in pipe ne wo k in a sys ema ic way. The ela ions ha e been conside ed in ma ix o m, in a simila manne o he Ma ix Analysis o S uc u es. . As a consequence o his app oach, he di e en ma ices ha e been e alua ed only h ough opo- logical ne wo k in o ma ion. In addi ion, he model allows mixed bounda y condi ions and pumps inside ne wo k. Bo h cases ha e been di ec ly included in he o mula ion. INTRODUCCION El Análisis Hid áulico en Régimen Es aciona io de una ed de ube ías po la que ci cula un luido incomp esible p e ende es udia el ni el de p esiones que se p oduce en el sis ema, así como los lujos ci culan es, pa a unas condiciones de con o no dadas, que pe manecen es ables con el iempo. Pa a es ablece las ecuaciones de campo del p oblema a esol e , se acude a la u iliza- ción de las ecuaciones de la ene gía y de la con inuidad, que deben cumpli se en odo el sis ema, así como a las ecuaciones de Da cy-Weisbach, que ige la pé dida de ca ga en una ~be ía?,~ Exis en a ias al e na i as en el plan eamien o de las ecuaciones de ca np~?,~,~ que dependen básicamen e de las a iables espec o de las que se deseen exp esa dichas ecuaciones, que son las p esiones en los nudos de la ed, y los caudales ci culan es po cada una de sus amas. El obje i o que se p e ende, es el plan eamien o de dichas ecuaciones de campo en Recibido: Ab il 1986 QUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 418 A. F. MARTIN NAVARRO una o ma sis emá ica, u ilizando pa a ello una o mulación ma icial; con la que se consigue no sólo una g an cla idad exposi i a, sino que' además dicha o mulación es muy adecuada pa a aplica p ocesos o algo i mos numé icos esolubles median e compu ado 6 EQUIVALENCIA CON EL ANALISIS MECANICO ESTRUCTURAL La o mulación ma icial ha enido g an acep ación y desa ollo den o del campo del Análisis de ~s uc u as~*~,~ en especial en el ámbi o de las Es uc u as de Ba as, con las que puede es ablece se una equi alencia o mal, aun cuando los p oblemas en si mismos sean muy di e en es. Es a equi alencia se pone de mani ies o en la Tabla 1, , y puede se i nos de guía en el es ablecimien o de la o mulación ma icial que amos pe siguiendo. F en e a las equi alencias, es p eciso esal a asimismo dos di e encias muy signi ica- i as como son: l. Mien as en el AnAlisis Es uc u al se de inen a iables o magni udes ec o iales. en el Análisis Hid áulico el p oblema sólo se plan ea con a iables escala es. 2. En gene al, el Análisis Es uc u al se ealiza en el campo Elás ico, lo que conlle a una ley de compo amien o lineal, mien as que en el caso Hid áulico, la ley de Da cy es cla amen e no lineal, y posee además una exp esión complicada ope a i- amen e, debido undamen almen e al ac o de icción. TABLA 1 : EQUIVALENCIA MECANICA-HIDRAULICA EXTRUCTURAS DE BARRAS * Desplazamien o de un nudo ui en coo denadas globales * Fue za Ex e io ac uan e en un nudo en coo de- nadas globales 4 * De o mación en una ba a en coo denadaslocales 6i * Es ue zo exis en e en una ba a en coo denadas locales N, * Ley de compo amien o del ma e ial de una ba a Ni = 4.6¡;6¡ = ai.N, * Ecuaciones de Equilib io en los nudos de la es uc u a * Ecuaciones de Compa ibilidad en la Es mc u a * Me odo de la Rigidez * MB odo de la Flexibilidad * Sis ema Iso á ico In e io men e * Sis ema Hipe es á ico In e io men e REDES DE TUBERIAS * Al u a Piezome ica en un nudo 4 * Caudal Ex e io de en a o sale po un nudo Qi * Pe dida de ca ga en una ube a 4 * Caudal que ci cula po una ube ía a * Ecuación de Da cy-Weisbach que ige la pe dida de ca ga en una ube a 8h L h. =-2 ' 2&? Dp 4: * Ecuaciones de Con inuidad en los nudos de la ed * Ecuaciones de la Ene g a en las mallas de la Red * Me odo de los Nudos * Me odo de los Caudales * Red Rami icada * Red Mallada ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 419 ECUACIONES FUNDAMENTALES EXPRESADAS EN FORMA MATRICIAL En gene al a amos de exp esa las ecuaciones de campo co espondien es a una ed de ube ías de inida po los siguien es pa áme os y a iables N = núme o de nudos de la ed R = núme o de amas que componen la ed M = núme o de mallas sob e las que pueden de ini se ecuaciones de ene gía independien es. q = ec o o mado po los alo es qi de los caudales en cada ama de la ed Q = ec o o mado po los alo es Qi de los caudales que salen de cada uno de la ed h = ec o o mado po los alo es hi de las pé didas de ca ga p oducidas en cada ama de la ed H = ec o o mado po los alo es Hi de las al u as piezomé icas de cada uno de los nodos de la ed Las elaciones en e es os ec o es pueden ob ene se median e ma ices de i adas de la aplicación de las ecuaciones básicas an es apun adas. EXPRESION MATRICIAL DE LA ECUACION DE DARCY-WEISBACH La exp esión de Da cy-Weisbach pa a una ama cualquie a de la ed iene dada po Es a ecuación podemos plan ea la al e na i amen e en la o ma: 420 A. F. MARTIN NAVARRO J= qi= -- . i=j J- -- hi = ki hi 8 h Li 8h Li IhiI (3.8) Si aplicamos es as ecuaciones a odas las amas de la ed end emos en de ini i a h = A q ; A = diag !ala2. .aRI (3.9) q= K. h; K= diag {klk 2...kRI (3.10) 8h Li ai = - - lqi] T~~ q (3.1 1) ki = JFL, J í (3.12) 8L Li 1 h,l Las exp esiones an e io es es án e e idas a elemen os de ube ía como el que se mues a en la Figu a 1, con los que es á o mada la ed de ube ías en es udio. ~ Figu a 1 : Elemen o de Tube ía Como se deduce de las exp esiones (3.1 1) y (3.12), los alo es ai y ki son dependien- es no sólo de las ca ac e ís icas in ínsecas de la ube ía, sino ambién del lujo que la a a iesa. También es impo an e señala que las a iables hi, qi son magni udes con signo, de al mane a que dicho signo exp esa el sen ido de ci culación del lujo, posi i o si discu e desde 1 has a F, y nega i o en caso con a io. h H: .- $ - Y Y J~'F F z; , ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS  421 Finalmen e, al obje o de elaciona adecuadamen e en o ma gene ica los di e sos elemen os de ube ia que componen la ed, de inimos sob e es a como posi i os los caudales que salen de los nudos, segiln (3.3), lo que nos lle a a es ablece una elaciOn en e el caudal ci culan e po un elemen o, y el caudal que en a o sale de los nudos ex emos de la ube ia, hacia los elemen os de ube ia conec ados a ellos, que segan la Figu a 1, es: QI = -q i = —k i h i = —k i — Hid Q i F = +q i = k i hi = k i (H: Exp esado en o ma ma icial se ia: (3.13) Qi QiF -k i  ki k i —ki Hi Hi Q i = k i • H i (3.14) EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD Con los c i e ios de signos an es apun ados, las ecuaciones de con inuidad pueden aplica se a los nudos de la ed. Si exis en N nudos, podemos ob ene (N-1) ecuaciones de con inuidad, que pueden exp esa se ma icialmen e en la o ma E • q = Q  (3.15) La ma iz E posee unas ca ac e is icas muy especiales, ya que es a o mada po ce os y unos, posi i os o nega i os. Puede deduci se ademas, que en cada columna solo exis i an dos alo es dis in os de ce o, que se dn los elemen os co espondien es a las ilas que coinciden con los nudos inicial y inal del elemen o de ube ia asociado a la columna en cues i6n. 0 0 Elemen o de Tube ia: 1 Nudo inicial: Nudo inal: F' 1 0 0 1 0 ila /1 ila Fl 0 Columna 1 422 A. F. MARTIN NAVARRO Las ecuaciones de con inuidad pueden exp esa se ambién en la o ma: En es e caso, caben dis ingui dos si uaciones. La p ime a se co esponde con el caso de edes ami icadas, en las que se cumple simplemen e Sin emba go, en el caso de edes malladas el p oblema es más complejo, ya que en onces la ma iz E no es cuad ada, y los ec o es q y Q no ienen la misma dimensión. En es e caso pa a aplica la exp esión (3.16) descompond emos los ec o es q y Q en la o ma siguien e: q, = ec o o mado po un subconjun o de las a iables qi asociado a una sub- ma iz EI que enga un de e minan e dis in o de ce o. La dimensión de q, se á de (N- 1). q, = ec o o mado po un subconjun o de a iables qi que comple an el ec o q espec o de q~. Su dimensión se á po lo an o igual a M. qT = [q qi] (3.19) En es e caso, las dimensiones de la ma iz b se án de RxR, y el ec o Q se á ambién de dimensión R, que en el caso de edes ami icadas, según (3.17), se educen ob ia- men e a (N-1) x (N-1) y (N-1) espec i amen e. EXPRESION MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE LA ENERGIA Las ecuaciones de la ene gía a ni el de elemen o se exp esan sencillamen e, a la is a de la Figu a 1, en la o ma: Es as ecuaciones pueden se o muladas conjun amen e pa a odos los elemen os de la ed en la o ma: La ma iz posee unas ca ac e ís icas muy especiales, ya que cada ila es a á o mada po un conjun o de ce os, sal o en las columnas co espondien es a los nudos inicial y inal, en los que apa ece á un uno, posi i o en el p ime o y nega i o en el segundo. ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 423 I1 F1 Elemen o de ube ía: 1 Nudo Inicial: I1 E = Nudo Final: F1 Las ecuaciones de la ene gía ambién pueden exp esa se en la o ma: H=C- h (3.23) Al igual que en el caso de las ecuaciones de la con inuidad, cabe dis ingui dos si ua- ciones. Si la ed es ami icada se cumpli á (3.17) y po lo an o H=H=+C=al - (3.24 j Cuando nos encon amos en el caso de edes malladas, en onces, la ma iz 2 no es cuad ada, y la exp esión (3.23) ag upa no sólo a las ecuaciones de la ene gía de los elemen os de la ed, sino ambién a las ecuaciones adicionales de la ene gía que pueden plan ea se en las dis in as mallas de la ed, que pueden ob ene se e ec uando la misma descomposición ealizada en el caso an e io , ob eniendo i' = [ h~ h~] (3.25) & = [ HT O'] (3.26) Consecuen emen e, las dimensiones de la ma iz C se án de R x R, y el ec o H se á de dimensión R. Finalmen e, cabe deci ambién que, po la o ma en que se han de inido las ma ices E y E, es ob io deduci que exis e una elación en e ambas: E= -2 T (3.27) Es a elación se á deducida con pos e io idad. RELACIONES DE CONTRAGREDIENCIA Si conside amos una ed en égimen es aciona io en la que no se p oducen pé didas, de al o ma que la en ada o salida de lujo se p oduce exclusi amen e po los nudos de la ed, debe cumpli se que la po encia o al consumida po el sis ema debe se igual a la po encia suminis ada. Po un lado, la po encia consumida en un elemen o de ube ía es W. = q. h. 11 (3.28) - 00 ... 100 ... 000-1 - - 0...0 - ila 1 424 A. F. MARTIN NAVARRO El o al de la po encia consumida po los elemen os de ube ía de la ed se á pues Po o o lado, en los nudos de la ed se libe a o suminis a po encia a la ed, según que el lujo salga o en e en el nudo. Si omamos como al u a piezomé ica de e e en- cia la de un nudo cualquie a, la po encia libe ada o suminis ada a la ed puede exp esa se en la o ma: Po lo an o, es necesa io que se cumpla qTh+ QT H= O Si en es a úl ima exp esión sus i uimos la exp esión (3.22), end emos: qT (a - H) + QT H = (qT S + QT) H = O * qT + QT = O*Q= -aT - q - (3.32) Teniendo en cuen a (3.15) se deduce inalmen e E = -aT - P ocediendo en o ma análoga, si sus i uimos p ime amen e (3.20) y (3.26) en (3.31) end emos , Si en es a úl ima exp esión sus i uimos aho a la (3.16) end emos q=b.Q*qT= QT.bT (OT.bT)h + OT H = O =+ OT .(b h+ H) = O * bTh+ H=O*H=-bT.h (3.35) Teniendo en cuen a aho a (3.23) se deduce c = -bT (3.36) ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS  425 METODO DE LOS NUDOS Es e ma odo consis e en es ablece las ecuaciones de campo omando como incOgni- as las al u as piezome icas de los nudos, o mejo dicho, las al u as piezome icas de (N-1) nudos e e idas a uno que si e de base. Si omamos la ecuaciOn (3.15) y sus i uimos en ella las (3.10), (3.22) y (3.33) end emos: Q= Eq=E(K•h)=E•K•a•H =IK • H ;IX= EK« =  Ka  (4.1) La ma iz IK se a de o den (N-1) x (N-1) y nos elaciona los caudales en los nudos con las al u as piezome icas exis en es en es os. Como ya se ha indicado an e io men e, el sis ema (4.1) es cla amen e no lineal, habida cuen a de la exp esiOn de los elemen os de la ma iz K dada en (3.8) que unido a las exp esiones (3.21) hacen que los coe icien- es de IK dependan de las p opias a iables H i en las que se han exp esado las ecuaciones de campo. Una al e na i a pa a la ob enciOn de las ecuaciones (4.1) es u iliza di ec amen e las ecuaciones (3.14) de cada uno de los elemen os que componen la ed, eniendo en cuen a la conec i idad de es os elemen os en o ma implici a, o mando las ma ices o ladas co espondien es. Asi, pa a un elemen o de ube ia "i" de inido en e el nudo "s" y el nudo " ", la ecuaciOn (3.14) puede simboliza se como: = (Q0 ) T 0 0 0 . —k i 0 . . Q'  0 0... Q  0 0 ki .  . 0 . 0 (4.2) (4.3) (4.4) 00 0 ki ki 0 0 Ob iamen e, con es as no aciones, la ecuaciOn de con inuidad se exp esa di ec a- men e en la o ma Q = E Q i = E k i • H = (  H 1 = 1  °  i= 1  1=1 Q=IIC•H;IK= E ki i= i° k i H =  • (4.5) 432 A. F. MARTIN NAVARRO Es a descomposición de la ma iz b aplicada a la exp esión (5.1 ) nos p oduce a su ez Sus i uyendo en (5.1 ) y ope ando end emos -bol A bol A bol -bH A bol Las dos úl imas ecuaciones las podemos ag upa -bol A bo -b, A bo -b~ A bo -bol A b~ -b, A bH -bH A bH 1 ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 433 Resol iendo es e sis ema de ecuaciones ob enemos los ec o es Q, y q,, que sus i- uidos en (6.6) y (6.8) nos pe mi en ob ene an o los caudales ci culan es como las al u as piezonié icas en los nudos desconocidos. Al igual que en el p oblema con condiciones de con o no pu as, la di e encia con el p ocedimien o clásico adica en que no es p ecisa una in o mación adicional pa a ob ene las ecuaciones de las seudo-mallas, que son p ecisamen e las que se engloban en la exp esión (6.9) de la o mulación aquí desa ollada. INCLUSION DE BOMBAS EN EL MODELO DE LA RED DE TUBERIAS En gene al, una bomba o es ación de bombeo, puede ep esen a se den o de la ed como un elemen o especial, cuyo compo amien o se á di e en e de los elemen os pasi os de la ed, es o es, las amas o ube ías. En caso de que el compo amien o puede se exp esado analí icamen e, bas a con o mula dichas exp esiones e inclui las en las ecuaqiones de campo del sis ema comple o. El modelo que usualmen e se u iliza pa a ep esen a el compo amien o hid áulico de una bomba, consis e en ap oxima la elación en e el caudal ci culan e y la al u a de p esión que suminis a la bomba median e un polinomio de segundo g ado del ipo: Es deci , median e una pa ábola de segundo g ado con eje e ical, siendo pues Si la bomba es á conec ada en e los nudos I y F, pod emos ep esen a el e ec o adicional de la bomba sob e el es o de los e ec os ya incluidos en la o ma simbólica 434 A. F. MARTIN NAVARRO Figu a 2. Elemen o Bomba. Cuando en e los nudos I y F exis en además amos de ube ía o acceso ios que p oducen pé didas de ca ga signi ica i as, puede añadi se el compo amien o de es os elemen os pasi os sin más que suma a (7.5) el alo que co esponda: ANALISIS HIDRAULICO DE TUBERIAS 435 Así pues, la conside ación de bombas (y en gene al de cualquie o o disposi i o) den o de las ecuaciones de campo globales, se educe simplemen e a deduci el compo amien o de dicho elemen o, y o mula lo con enien emen e. La di icul ad no es pues de plan eamien o, sino de esolución pos e io de las ecuaciones de campo esul an es. REFERENCIAS 1. V.L. S ee e y E.B. Wilye. Mecánica de los Fluidos. Edi o ial Mc. G aw-Hill, (1975). 2. D. S ephenson. Pipe low Analysis. Edi o ial Else ie , (1984). 3. R.W. Jepsson. Analysis o Flow in Pipe Ne wo ks. Edi o ial Ann A bo Science, (1983). 4. S.M. Walski. Analysis o Wa e Dis ibu ion Sys ems. Edi o ial Van Nos and, (1984). 5. A.G. Coliins y R.L. Johnson. "Fini e-Elemen Me hod o Wa e Dis ibu ion Ne wo ks". J.Ame i- can Wa e ASS. 67(7), 385-389, (1975). 6. M. Collins, L. Coope , R. Helgason, J. Kenning on y L. Leblanc. "Sol ing he Pipe Ne wo k Analisis P oblem using Op imiza ion Techniques". Managemen Science 24 (7) 747-760, (1978). 7. M.F. Rubins ein. Ma ix Compu e Analysis o S uc u es. Edi o ial P en ice-Hall, (1966). 8. M.F. Rubins ein. S uc u al Sys ems S a ics, Dynamics and S abili y. P en ice Hall, (1970). 9. J.S. P zemieniecki. Theo y o Ma ix S uc u al Analysis. Edi o ial Mc. G aw-Hill, (1968).