Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
TEMAS
MÉTODOS
DE
ELEMENTOS
FINITOS
ESTABILIZADOS
PARA
FLUJOS
DE
FLUIDOS
INCOMPRESIBLES)
TOMÁS
CHACÓN
REBOLLO
DEPARTAMENTO
DE
ECUACIONES DIFERENCIALES yANÁLISIS NUMÉRICO
UNIVERSIDAD
DE
SEVILLA
el
TARF1A, S/N. 41080
SEVll.LA
e·mail:
chaconQnume .us.es
1
In oducción
En
es e
. abajo abo da emoscie osaspec osdel desa ollo
de
écnicas e icien es
de
simulación numé ica
de
lujos de luidos incomp esibles median e el Mé odo
de los Elemen os Fini os. También nos ocupa emos del análisis numé ico
de
las
mismas.
El es udio eó ico de las ecuaciones ele an es que gobie nan los lujos
de
luidos incomp esibles, esencialmen e las deS okes yNa ie -S okes, ue ealizado
y
comple ado
en
los años 60 yp ime os
70.
Como es bien conocido, se han
demos ado esul ados de exis encia
pa a
las Ecuaciones de Na ie -S okes en dos
y
es
dimensiones
de
espacio. Sin emba go, únicamen e se conocen esul ados
de unicidad en dos dimensiones, debido a
la
al a de egula idad de
la
solución
en el caso idimensional. Si an como e e encia los abajos, hoy clásicos, de
Lions (1969) yTemam (1977).
La
esolución numé ica de lujos de luidos incomp esibles p esen a dos
es--
icciones de es abilidad de ele ancia, bien conocidas po la comunidad
de
in es-
igado es yusua ios en Mecánica
de
Fluidos compu acional.
Po
una
pa e,
la
condición
de
incomp esibilidad impone condiciones de compa ibilidad
bas an e
es ic as
en e
los espacios
de
disc e ización de elocidad yp esión empleados.
Iln es igación ina.ncia.da pa cialmen e
po
los p oyec os HCM ERBCHB
lCI'
94.18'23
de
la
Unión
Eu opea,
yPB93-1196
de
la
DCICYT
5
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
Po
o a,
el ca ác e ue emen e con ec i o de
la.
maYOl"la
de los lujos de in-
e és p ác ico p oduce
la
apa ición de enómenos de
capa
lími e, zonas ce ca
de las pa edes sólidas en que la elocidad p esen a muy ue es g adien es.
La
simulación de ales lujos median e el uso di ec o del mé odo de disc e ización
Gale kin -Elemen os Fini os p oduce en gene al soluciones numé icas p esen-
ando
ue es oscilaciones en las zonas de
capa
lími e. Tales oscilaciones
de~
sapa e<::en
únicamen e si
la
alla de la malla es su icien emen e pequeii.a. Ello
o igina disc e izaciones con g an núme o de g ados de libe ad, esul ando in-
abo dables con
los
medios ac uales en muchos casos de in e és. Yello, incluso
si los espacios de disc e ización de elocidad yp esión son compa ibles.
La p ime a écnica gene al
pa a
el a amien o numé ico de
la
condición de
incomp esibilidad ue in oducida en Babuska (1973) yB ezzi (1974),
pa a
e-
sol e la ecuación de S okes.
Se
a a
de in oduci espacios de disc e ización
di e en es
pa a
elocidad yp esión, de o ma que sa is agan una condición de
compa ibilidad especí ica, conocida como de B e- .zj-BabuSka. Pos e io men e,
hubo cie os es ue zos enden es a
la
u ilización de bases del espacio de eloci-
dades con di e gencia nula, con obje o de elimina la p esión (e . G i i s (1979),
Hech (1981)). Sin emba go, la cons ucción de ales bases esul a. una
a ea
a dua,
ylos sis emas lineales esul an es es án ela i amen e mal condicionados.
Po ello,
es a
écnica es poco u ilizada.
Algo más ecien emen e,
se
in odujo en B ooks yHughes (1982)
el
mé odo
SUPG (S l'eamline Upwind /Pe o -Gale kin).
Se
a a
de una modi icación
del mé odo
es ánda
de Gale kin, en que las unciones es se añaden é minos
cons an es po elemen o, consiguiendo es abiliza no sólo la disc e ización de
la
p esión, sino ambién
el
ope ado de con ección "co ien e a iba". Es e mé odo
puede ambién se is o como una écnica de Lag angiano aumen ado, consis-
en e en "aumen a "
la
o mulación Gale kin es ánda con un é mino que
a a
de minimiza una no ma del esiduo. Adap aciones de al o mulación ue on
u ilizada en Hughes
e
al. (1986), Douglas yWang (1989), F anca yF ey (1992)
yo os
pa a
cons ui Uknicas es ables, u ilizando i ualmen e cualquie
palo
de espacios de Elemen os Fini os
pa a
elocidad yp esión.
Al
mismo iempo,
cuando se aplican ala esolución de las ecuaciones de Na ie -S okes, es as
écnicas inco po an
la
di usión co ien e a iba
del
mé odo SUPG, con
lo
que
consiguen es abiliza ambién el cálculo de lujos con con ección dominan e.
Cu iosamen e, algunos es udios ecien es mues an que exis e
una
eladón muy
es echa en e los mé odos de es abilización yalgunos
de
los mé odos clásicos
a iba mencionados
-has a
el pun o de se equi alen es en cie os casos.
6
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
En es e abajo nos ocupa emos de la desc ipción y
el
análisis numé ico
de
los
mé odos de es abilización más u ilizados. También de la elación en e
és os yla u ilización de pa es de espacios que sa is agan
1&
condición de B ezú-
Babu!ka. En la Sección 2 epasa emos la eo ía clásica sob e ap oximación de
las ecuaciones de 5 okes median e
el
M.E.F.. La Sección 3
es a á
dedicada.
al análisis de algunos mé odos de es abilización, aplicados alas ecuaciones de
5 .okes.
En
la Sección 4es udia emos la equi alencia en e
el
mé odo SUPC
yun mé odo clásico usando unciones
"bu buja".
Po úl imo,
en
la.
Sección
5 e emos cómo es a. Co mulación puede se u ilizada
pa a
ealiza
el
análisis
numé ico del mé odo SUPC en
el
caso de las ecuaciones de Na ie -S okes.
Como e e encias gene ales sob e mé odos clásicos, ci emos
los
lib os de
Temam (1977), Gi aul -Ra ia (1986) yB ezzi yFo in (1991). Exis en
pocas e e encias gene ales sob e mé odos de es abilizo.ciÓn. Ci emos, po ejem·
plo,
el
a ículo de F anca, Aughes yS enbe g (1993),
en
que puede encon a se
un en oque bas an e gene al yabundan es e e encias.
2
Teo ía
clásica
de
ap oximación
de
las
ecuaciones
de
S okes
po
el
M.
E.
F.
En es a Sección ha em06 un b e e epaso sob e la eo ía e e en e aexis encia
yunicidad de soluciones de las ecuaciones de S okes,
as
como sob e su ap o.'d-
mación median e
el
M.E. . En pa icula. , eco da emos
el
papel de la condición
inC· sup disc e a
en
la con e gencia de es as
ap oximacic;lOes.
Conside emos un dominio aco ado n e Rd (d =2 o 3), con on e a .
Nos damos un campo de elocidades " ec o " u : n _
Rd.
que supond emos
con di e gencia.
nula..
Nues o p opósi o es esol e numé icamen e
el
siguien e
p oblema de con o no pa a las ecuaciones de S okes es aciona ias, incluyendo
un
é mino con ec i o :
Ob ene
y:
n _ Rd,
u . 'Vy -
ó.y
+'Vp =
,
p,O-R
"·y~O
y=O
ales que }
en
n,
sob e
(1
)
Aquí, >Oes
el
coe icien e de iscosidad cinemá ica., y
E
[H-I(O)]d
es
lIn
é mino uen e dado. Conside a emos
el
p oblema es aciona io
con
condiciones
de Di ichle homogéneas, con obje o de
no
in oduci di icul ades no esenciales
en nues o desa ollo.
Es as ecuaciones cons i uyen una !inealización de las ecuaciones de Na ie ·
7
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
S okes, que gobie nan alos lujos de Ruidos incomp esibles en gene al ;
Ob ene
u:
O
---+
Rd,
p;
51
__
R ales que }
u·
7u - .6.u +
lp
=
,
7. u=Oen O,
u=O
sob e
Analiza emos la ap oximación de
es as
ecuaciones
en
la Sección
5_
De inamos
la
o ma biJineal sob e
[HJ(O>]d
x{HJ(n)]c ,
a( ,
w) =
(u·
7 ,
w)
+
( 7 ,
7w),
V ,
w€
[HJ(O)]c ,
(2)
(3)
(5)
donde deno amos po (-,.) el p oduc o escala L2,
pa a
unciones
sea
escala es,
ec o iales o enso iales. Supond emosque uE[V(O)]d con 1
-u
=
O.
En onces
a(-,·)
es á
bien de inida, es oon inua y[HJ(n)]d-ooe ci i a; osea, e i ica
a( ,
w):5
eI lllwh,
a( ,
)
2:
l l~
V ,
w E [HJ(O)]d (4)
Aquí, e
es
una
cons an e posi i a, y
1-
h
deno a
la semino ma sob e
[H1(n)]d,
I l,
=
[In
l'7 l'
dX]'"
Podemos
da
al p oblema (1)
una
o mulación a iacional
mix a
(es o es, in-
cluyendo
la
p esión además
de
la
elocidad), como
sigue;
donde
Ob ene
(y,p)
E Y x M
al
que
B(y,p; ,q)
=<
,
>, V( ,q) Eyx
M;
}(6)
y=
[HJ(O)J',
M
~
L'(O),
yBes la o ma bilineal sob e el espacio p oduc o (Y x
M)
x
(Y
x
M)
de inida
PO'
B(y,p;
,q)
=
a(y,
) +
b( ,p)
+b(u,q).
(7)
A
su
ez, b(·,·) es la o ma bilineal sob e YxM
dada
po b{ ,
q)
=
-( 7
- ,
q).
Po il imo,
(.,.)
ep esen a la dualidad Y'-
Y.
La
exis encia yunicidad de soluciones del p oblema es consecuencia del
siguien e esul ado gene al, que enunciamos con e iden e abuso de no ación:
Conside emos dos espacios de Hilbe Y y M. Sea b(·,·)
una
o ma bilineal
con inua
sob e Yx
M,
yde inamos los ope ado es R:Y
--
M',
y
su
adjun o
R·
:M
--
Y'
po
(R ,q)~(R'q, )=b( ,q),
VVEY,VqEM.
(8)
Sea además
a(
-,
-)
una
o ma.
bilineal con inua sob e Yx
Y,
que supond emos
coe ci i a.
Se
iene en onces
8
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
Teo ema
2.1
Si
1m
Res
a mdo,
en onces
el
p oblema (6)
posu
una solución.
Además,
es a
solución es
únial
sob e Yx
M,
donde id es el espacio cocien e
M{KeT
R'.
La
p ueba
de es e
eo ema
es á
basada
esencialmen e
en
el
Teo ema
del
Rango
Ce ado
de
Banach. (Ve
Gi aul
-RA ia (1986». No emos
que
en
el caso de las
ecuaciones
de
S okes gene alizadas (1), Ke
R'
es á. o mado po las unciones
cons an es,
de
modo que
A
su
ez,
ImR
es
ce ado, como consecuencia del esul ado que enunciamos a
con inuación :
Teo ema
2.2 Las siguien es p oposiciones son equi alen es:
i)
1m R
es
ce ado en
M'.
ii) El pa
de
espacios (Y,
M)
saw ace
la
condición
in ·
81lp
con inua: Exis e
una
cons an e
{J
>O al
que
.
b( ,q)
m
sup
~
{J.
,EM
VEY
II
llyllqllA1
(9)
(10)
iü)
La o ma bilineal B k inida po (7) sob e YxMsa is ace la siguien e
condici6n in -sup :Exis e
una
cons an e
...,
>O al que
. B(U,T¡V,q)
In
_
sup
>
'Y.
{U, )EYxM
(V.q)EYXÜ lI(u,
)lIyx},
lI( ,q)lh'xM
La condición in -sup (9) es sa is echa po
el
pa
de
espacios
([HJ(O)]d
,L2
(0)),
como
es
bien conocido (Ve
Gi aul
yRa ia (1986)).
Po
o a
pa e,
la
condición
(10)
asegu a la coe ci i idad de la o ma Bsob e
el
espacio
p oduc o
yx
M.
Es a
o ma B
es a
ligada ala o mulación como pun o de silla del
p oblema de S okes:
Si
la o ma aes simé ica,
la
solución
(u,p)
es ambién
la.
solución del p oblema de op imización
'n
sup
(J( ,q)),
J( ,q)
~
a( , ) +
b( ,q)
-( , )
(U)
VEV
qEM
Las ecuaciones (6) son jus amen e las ecuaciones de Eule ·Lag ange asociadas
aes .e p oblema de
pun o
silla..
9

Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
La
ap oximación clásicadel p oblema (6) po el mé odode Gale kinse ealiza
como
sigue:
Sean Yh, Mh dos subespacios. de dimensión ini a de YyM,
espec i amen e.
Es a emos
in e esados
en
los casos
en
que ambos son espacios
de Elemen os Fini os. El
pa áme o
h ep esen a á el mayo
diáme o
de
los
elemen os
de
la
malla. Buscamos un
pa
(Yh,Ph) EYh x
Mh
al
que
Ob ene
(Yh,Ph) EYhxMh al que
B(Yh,Ph; h,qh)
=<
, h
>, V(Vh,qh) E
Yh
XMh; }(12)
Sea Rhel
ope ado
de
Yh
a.
alo es sob e Mhde inido po (8). Rhes UD
ope ado
de ango ce ado,
al
se lineal
en e
espacios
de
dimensión ini a. Según el
Teo ema 2.2, es e p oblema iene solución única sob e el
espado
cocien e
Vh
=
Mh/Ke
R'h.
Sin emba go,
de
(12) se deduce ácilmen e que debe ene se
Yh
E
Ke
Rh'
Es a
condición puede se excesi amen e es ic i a. si
el
espacio Yh
no es su icien emen e
" ico"
en
g ados de libe ad espec o al espacio Mh.
En
Pi onneau (1991) se mues an
'8Xios
ejemplos
en
que Ke .Rh se educe
al
ce o.
Es
cla o, pues, que los espacios Yhy
Mh
deben se compa ibles de
alguna
o ma pa a.
pode
ga an iza
la
con e gencia. de
la
disc e izaciÓn.
Una
condición
su icien e pa a. ello es la llamada "in -sup" disc e a, ode B ezzi -
Babuska
:
Lema
2.1
Supongamos que lcu con.s an esl3h >Ode inidas
po
" .
b(Vh,'h}
IJh
=
In
sup
q"UI" V"eY
..
Il
hllyllqhlL
..
!
es án
aco adas in e io men e po una cons an e {j' independien e de h.
Dnces, exis e una cons an e e>odependiendo de {j',
lIallyllbll
al que
IIY-Yhlly+IIP-PhIlM"SC{
'n
lIy- hll+
'n IIP-Qhll,,},
V"EY¡,
qhEM"
(13)
En-
(14)
De es e modo, el e o en la ap oximación conside ada end á dado po el
eno
de
in e polación sob e los espacios
Yh
yMh•
La condición in -
sup
(13) puede in e p e a se
en
el
sen ido de que el ope-
ado
nh admi e
una
p olongación a
odo
Y, uni o memen e
con inua
en
h.
Pa a
signi ica su impo ancia., esc ibi emos
el
p oblema (6)
en
o ma ma icial.
Sean
N'U
y
N"
las dimensiones de YhyMh, espec i amen e (Obse emos
que
en
el caso de las ecuaciones de S okes,
Ñ h
=Mh
()
LW1)). Deno emos
po
{4>.Ii
=
1""
,N,,} y
{,pi
IJ
=
1,'"
,N
p}
una
base de
Yh
y
o a
de
Mh,
esp.
10
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
De inamos las ma ices AyRde dimensiones N xN yNpxN , esp., yel
ec o columna de dimensión N ,po
(15)
N.
N.,
Supongamos que buscamos
Yh
y
Ph
en
la
o ma Yh =
LYi
¡Pi>
PI,.
=
LPi
Pj·
1_1
J"1
En onces,
el
p oblema
(6)
equi ale
a!
sis ema linea!
Ay
+
R'j;
d,
RY
=
O;
(16)
donde yypson los ec o es de componen es
y.¡
yPi'
Pues o
que
la
o ma aes coe ci i a,
la
ma iz Aes de inida posi i a.
Po
ello,
la
p ime a. ecuación en (16) puede se esuel a en
y,
de modo que (12) equi ale
al
sis ema lineal RA-1
R p
=A-i . El núme o
de
condición de la ma iz que
apa ece en es e p oblema esul a se
Cond(RA-'
R')
=
I~~I.
De es e modo,
la.
condición in -sup disc e a ga an iza no solamen e que es e
p oblema admi e una única solución sob e
MI,.,
sino que además el núme o de
condición de
la
ma iz
es á
uni o memen e aco ado en h.
La ob ención de pa es
de
espacios que sa is agan
la
condición in -
sup
disc-
e a
ha
sido
obje o
de
es udio
de
bas an es in es igado es desde 1975. Es alabo
ha
pe mi ido descub i
una
amplia
gama
de pa es sa is aciendo
es a
condición.
En
el caso de p esiones con inuas, el elemen o más "económico" (en el sen-
ido de que
el
espacio de elocidades esul a de añadi
un
mínimo de g ados de
libe ad al espacio de p esiones)
es
el
p¡-
Bu buja
-
PI'
ambién llamado mini-
elemen o. Con
obje o
de eco da
la
de inición de es e elemen o, deno emos po
TI,.
auna iangulación de
n.
Suponemos que 7h
es á
o mado po iángulos
si d=2 Ypo e aed os si d
-=
3.
Deno emos po
Ai
K
),
..
"
A~~~
las
coo de-
nadas ba icén icas de un elemen o I< E
TI,..
Deno emos po bKel polinomio
de
g ado d+1dado po bK=
).~K)
.
).~K)
.'
..
>.~~l.
No emos que
b1<
E
[HJ(]<)(
Suponemos bKex endido po ce o ue a de
K.
Conside a emos el siguien e
espacio
de
elemen os ini os
"bu buja"
sob e Th:
Bh(O)
= {
ÍI
:n
-+
R al que
il
....
ESpan{bK}, VI< E
TI,.
}.
De inamos po
o a
pa e
Vh(m) =
{
EL2(O) al
que
l
....
E P m,
VI<
ETh
},
}
Yh(m)
~
Wh(mll'
n[HJ(n)]',
Mh(m)
=Vh(m). (17)
11
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
(18)
Aquí, Pmdeno a
el
espacio de polinomios sob e Rdde g ado meno oigual que
m. En onces,
el
Mini-elemen o es
(YIl{l)
EIl
[B/¡(O)]d
,1111>(1»).
Si
se p e ende abaja con p esiones discon inuas,
el
espacio de elocidad
debe se más ico en g ados de libe ad.
En
es e caso,
el
pa de espacios más
económico conocido que sa is ace lacondición in -sup
es
(YI>(d),
MI>
(O)
n
CO(ñ»).
3
Mé odos
de
Es abilización
Según
lo
dicho en la Sección an e io , la cla e pa a consegui es abiliza Ele-
men os Fini os "incomp esibles"
~s
debili a la condición de di e gencia nula.
ElJo
es ealizado en
los
mé odos clásicos en iqueciendo
el
espacio de elocidades
en g ados de libe ad en e
al
espacio de p esiones.
O a
o ma de log a lo
es elaja explíci amen e la condición
l
.u=
0,
cambiándola en
'V
'
Uh
=gil,
siendo
9h
una unción
"pequeña"
con enien e.
Un
mé odo de es e ipo
ue
in oducido en B ezzi yPi k u:an a (1984), donde se conside a la condición
e-
lajada
'V
.UIl =
a:
h'2
::.PI>'
Con ello se consigue cie o con ol sob e
el
g adien e
de p esión (y no sólo sob e la p esión), impidiéndose la apa ición de modos
de p esión espú eos. Como con apa ida, al a a se de un mé odo de penali-
zación, un e o de consis encia (de o den hpa a la no ma L2de la p 'esión)
es
ine i able. Es a di icul a.d es sal ada po
los
mé odos de es abilización,
basa.-
dos esencialmen e en o mulaciones de ipo Lag angiano aumen ado. Cuando
la o ma a(·,·) es simé ica, oda solución del p oblema de pun o silla
(11)
lo
es
ambién de
'n
sup{J( ,q)-QIIAu+l7q- ll_¡),
e
qEM
donde
A
=
- ~
ya
es
un coe icien e ade e mina . En Hughes, F anca y
Bales a. (1986)
se
p opone disc e iza es e úl imo p oblema eemplazando la
no ma
H-
ldel ope ado po una ap oximación:
Se
a a
del conocido mé odo "Gale kin -Leas Squa es"
..
El
coe icien e
h1<
ac úa
como
un
ac o de escala que elaciona la no ma
L2
con la no ma 11-1,
elemen o aelemen o. Las ecuaciones de EuJe -Lag ange asociadas a(19)
son
Ob ene (y",pl» E
Yh
xM" al que
BOLS(Yh,P,,; h,ql» =FOLS(VI¡,q,,),
i( ",q},)
E
YI>
XMh;
12
}(20)
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
2k
=
-o:
Lhid ,
'V1j;¡JK>
{(ET"
siendo
BGLS(y,p; ,q)
=
B(y,p; ,q)-a
2.:
hid-Ay+ lp,A* + lq)J(;
J(ET ,
FGLS(V,q) =
( , /-a
2.:
hk( ,A* + lq)K'
KET"
Aquí,
A*
es el ope ado adjun o de A. Cuando el op€ ado no es simé ico
(caso u
,¡.
O),
el mé odo GLS es ambién (20), con
A
=
u'
'V - :.. , (y
A~
=
-u·
I
- .6. ). Sin emba go, aho a ia solución
(u,p)
no es pun o de
silla de ningún uncionol.
En
el caso de elemen os ini os a ines a ozos, el mé odo GLS se conoce
como "S eamline
~
Upwind /Pe o -Gale kin"
o,
ab e iadamen e, SUPG.
De hecho, es e mé odo ue desa ollado en p ime luga en B ooks yHughes
(1982), ydio luga pos e io men e alos mé odos GLS. Obse emos que en el
mé odo SUPG se iene
.6.
h=Osob e
cada
demen o
K,
con la consiguien e
simpli icación de la
es uc u a
de BCLS y
FGLS
Una
in e esan e p opiedad del mé odo GLS es que
es
consis en e, en el
sen~
ida
de que la solución
exac a
e i ica el p oblema. disc e o (20),
al
igual que
el
mé odo de Gale kin. Sin emba go, es es able únicamen e
pa a
olo es del
pa áme o Qpeque ios, po debajo de
un
alo c í ico especí ico
pa a
cada
Ele-
men o Fini o conc e o, yque esul a di ícil de calcula .
Desde el pun o de is a compu acional, el mé odo GLS p esen a la en aja
de p opo ciona un sis ema lineol con ma iz simé ica
si
el ope ado A
lo
es.
En
e ec o, supo11ga nos u=
O.
De inamos las ma ices
A,
R,
Ode dimensiones
N xN ,NpxN yNpxNp, espec i amen e, así como los ec o es columna
y(2, de dimensiones N yN
n
espec i amen e, po
R..j
=
-( 7.
(Pi,
?}Jj)
-a Lhk('V1/Jj, l4J;)K,
KeT,.
Okj =
-a
2.:
llC /!j, 'V1/Jdl .
J(ET"
H=
{ , ú
-QV
L
hJ«( , l ¡)l ,
KET"
En onces,
el
p oblema (20) es equi alen e
al
sis ema lineal
(21)
13
Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
Teo ema
5.2
Supongamcs
que
11~I-d
<
'l.
Supcmgamc3
que
u[H2(O) ':,
P E
[lI
(O)]. En onces exis e
una
cons an e dependien e
de
uypy
m
ho
>O
ales que si O<h<
110,
en onces
Es e
eo ema
u iliza
de
o ma esencial
dos
elemen os:
la
egula idad
de
uyp,
y
cie as
es imaciones
de
no mas
L', 2
~
q
~
6,
de
unciones
bu buja:
IJVhllo,p
~
ehQI"hl ,
VVh
E(B,,(O)Jd,
donde
o e i ica
O /2
+
(1
-
O )/6
=
I/q.
Queda
aún
la
labo
de
de e mina
los coe icien es
de
es abilización. Se
a a
de
un p oblema mayo
en
el
desa ollo de
es as
écnicas, que áun
es á
po
esol e plenamen e.
La
calidad
de
uno.
solución numé ica
conc e a
asociada a
una
malla
depende
ue emen e
de
los
pa áme os
de
es abilización
que
hayan
sido usados.
En
la
p ác ica, se de inen los
'Th,K
de
modo
Que
se
enga
en
cuen a
la
alla
ela i a local
de
los é min06
de
con ección y
de
di usión.
'Th,K
es
una
unción del
núme o
de
Pecle local ,
PeK
__
UKhK
con UK=lIul!o,p;K'
Habi ualmen e,
Th,K
es
de
la o ma
si
PeK
~
P,
(37)
si
PeK
>
P;
donde
A
es
una
cons an e,
yP
es
un "escalón"
p ede e minado
pa a
el
núme o
de
Pécle .
Es o
pe mi e
po
una
pa e
in oduci
una
es abilización con enien e
en
zonas
de
g andes
g adien es
de
elocidad debidos acon ección
dominan e
(g andes
PeK)'
Po
o a
pa e, se in oducen ni eles bajos
de
di usión numé ica
(de
o den
h'k)
en
egiones
donde
la di usión es dominan e (bajos PeK)'
Obse emos
que
en
la
disc e izaci6n (37) los coe icien es
Th,K
son unciones
no lineales
de
la
solución
u".
Si emba go, el análisis
an e io
se
puede
ex ende
a
es e
caso, ylos Teo emas 5.1 y5.2 siguen siendo álidos.
Digamos,
po
úl imo,
que
el análisis
an e io
puede
e,.'X ende se
aelemen os
ini os
de
ó denes supe io es
de
in e polación, obien amé odos
de
ipo
Douglas
.Wang yo os, con
cie as
adap aciones écnicas.
20

Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22
En
de ini i a., la o mulación (26)
de
los mé odos de es abilización en
é mi·
nos de ope ado es "de condensación es á ica" iene en
cuen a
de
o ma
na u al
la
egula idad
H-
1del ope ado aes abiliza . Es a onnuJación p opo ciona
un ma co ma emá ico
pa a
el análisis numé ico de es os mé odos --en endiendo
como al
el
análisis de es abilidad, con e gencia yes imaciones
de
e o -,
com-
ple amen e análogo al que
se
iene en el
caso
de los mé odos clásicos. Ello
pe mi e
incluso ealiza al análisis numé ico en
el
caso
de
las
ecuadones
de
Na ie -S okes, mejo ando
el
análisis ealizado
has a
aho a
con las o mulaciones
habi uales.
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