Métodos de elementos finitos estabilizados para flujos de fluidos incompresibles

Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 TEMAS MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS PARA FLUJOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES) TOMÁS CHACÓN REBOLLO DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES yANÁLISIS NUMÉRICO UNIVERSIDAD DE SEVILLA el TARF1A, S/N. 41080 SEVll.LA e·mail: chaconQnume .us.es 1 In oducción En es e . abajo abo da emoscie osaspec osdel desa ollo de écnicas e icien es de simulación numé ica de lujos de luidos incomp esibles median e el Mé odo de los Elemen os Fini os. También nos ocupa emos del análisis numé ico de las mismas. El es udio eó ico de las ecuaciones ele an es que gobie nan los lujos de luidos incomp esibles, esencialmen e las deS okes yNa ie -S okes, ue ealizado y comple ado en los años 60 yp ime os 70. Como es bien conocido, se han demos ado esul ados de exis encia pa a las Ecuaciones de Na ie -S okes en dos y es dimensiones de espacio. Sin emba go, únicamen e se conocen esul ados de unicidad en dos dimensiones, debido a la al a de egula idad de la solución en el caso idimensional. Si an como e e encia los abajos, hoy clásicos, de Lions (1969) yTemam (1977). La esolución numé ica de lujos de luidos incomp esibles p esen a dos es-- icciones de es abilidad de ele ancia, bien conocidas po la comunidad de in es- igado es yusua ios en Mecánica de Fluidos compu acional. Po una pa e, la condición de incomp esibilidad impone condiciones de compa ibilidad bas an e es ic as en e los espacios de disc e ización de elocidad yp esión empleados. Iln es igación ina.ncia.da pa cialmen e po los p oyec os HCM ERBCHB lCI' 94.18'23 de la Unión Eu opea, yPB93-1196 de la DCICYT 5 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 Po o a, el ca ác e ue emen e con ec i o de la. maYOl"la de los lujos de in- e és p ác ico p oduce la apa ición de enómenos de capa lími e, zonas ce ca de las pa edes sólidas en que la elocidad p esen a muy ue es g adien es. La simulación de ales lujos median e el uso di ec o del mé odo de disc e ización Gale kin -Elemen os Fini os p oduce en gene al soluciones numé icas p esen- ando ue es oscilaciones en las zonas de capa lími e. Tales oscilaciones de~ sapa e<::en únicamen e si la alla de la malla es su icien emen e pequeii.a. Ello o igina disc e izaciones con g an núme o de g ados de libe ad, esul ando in- abo dables con los medios ac uales en muchos casos de in e és. Yello, incluso si los espacios de disc e ización de elocidad yp esión son compa ibles. La p ime a écnica gene al pa a el a amien o numé ico de la condición de incomp esibilidad ue in oducida en Babuska (1973) yB ezzi (1974), pa a e- sol e la ecuación de S okes. Se a a de in oduci espacios de disc e ización di e en es pa a elocidad yp esión, de o ma que sa is agan una condición de compa ibilidad especí ica, conocida como de B e- .zj-BabuSka. Pos e io men e, hubo cie os es ue zos enden es a la u ilización de bases del espacio de eloci- dades con di e gencia nula, con obje o de elimina la p esión (e . G i i s (1979), Hech (1981)). Sin emba go, la cons ucción de ales bases esul a. una a ea a dua, ylos sis emas lineales esul an es es án ela i amen e mal condicionados. Po ello, es a écnica es poco u ilizada. Algo más ecien emen e, se in odujo en B ooks yHughes (1982) el mé odo SUPG (S l'eamline Upwind /Pe o -Gale kin). Se a a de una modi icación del mé odo es ánda de Gale kin, en que las unciones es se añaden é minos cons an es po elemen o, consiguiendo es abiliza no sólo la disc e ización de la p esión, sino ambién el ope ado de con ección "co ien e a iba". Es e mé odo puede ambién se is o como una écnica de Lag angiano aumen ado, consis- en e en "aumen a " la o mulación Gale kin es ánda con un é mino que a a de minimiza una no ma del esiduo. Adap aciones de al o mulación ue on u ilizada en Hughes e al. (1986), Douglas yWang (1989), F anca yF ey (1992) yo os pa a cons ui Uknicas es ables, u ilizando i ualmen e cualquie palo de espacios de Elemen os Fini os pa a elocidad yp esión. Al mismo iempo, cuando se aplican ala esolución de las ecuaciones de Na ie -S okes, es as écnicas inco po an la di usión co ien e a iba del mé odo SUPG, con lo que consiguen es abiliza ambién el cálculo de lujos con con ección dominan e. Cu iosamen e, algunos es udios ecien es mues an que exis e una eladón muy es echa en e los mé odos de es abilización yalgunos de los mé odos clásicos a iba mencionados -has a el pun o de se equi alen es en cie os casos. 6 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 En es e abajo nos ocupa emos de la desc ipción y el análisis numé ico de los mé odos de es abilización más u ilizados. También de la elación en e és os yla u ilización de pa es de espacios que sa is agan 1& condición de B ezú- Babu!ka. En la Sección 2 epasa emos la eo ía clásica sob e ap oximación de las ecuaciones de 5 okes median e el M.E.F.. La Sección 3 es a á dedicada. al análisis de algunos mé odos de es abilización, aplicados alas ecuaciones de 5 .okes. En la Sección 4es udia emos la equi alencia en e el mé odo SUPC yun mé odo clásico usando unciones "bu buja". Po úl imo, en la. Sección 5 e emos cómo es a. Co mulación puede se u ilizada pa a ealiza el análisis numé ico del mé odo SUPC en el caso de las ecuaciones de Na ie -S okes. Como e e encias gene ales sob e mé odos clásicos, ci emos los lib os de Temam (1977), Gi aul -Ra ia (1986) yB ezzi yFo in (1991). Exis en pocas e e encias gene ales sob e mé odos de es abilizo.ciÓn. Ci emos, po ejem· plo, el a ículo de F anca, Aughes yS enbe g (1993), en que puede encon a se un en oque bas an e gene al yabundan es e e encias. 2 Teo ía clásica de ap oximación de las ecuaciones de S okes po el M. E. F. En es a Sección ha em06 un b e e epaso sob e la eo ía e e en e aexis encia yunicidad de soluciones de las ecuaciones de S okes, as como sob e su ap o.'d- mación median e el M.E. . En pa icula. , eco da emos el papel de la condición inC· sup disc e a en la con e gencia de es as ap oximacic;lOes. Conside emos un dominio aco ado n e Rd (d =2 o 3), con on e a . Nos damos un campo de elocidades " ec o " u : n _ Rd. que supond emos con di e gencia. nula.. Nues o p opósi o es esol e numé icamen e el siguien e p oblema de con o no pa a las ecuaciones de S okes es aciona ias, incluyendo un é mino con ec i o : Ob ene y: n _ Rd, u . 'Vy - ó.y +'Vp = , p,O-R "·y~O y=O ales que } en n, sob e (1 ) Aquí, >Oes el coe icien e de iscosidad cinemá ica., y E [H-I(O)]d es lIn é mino uen e dado. Conside a emos el p oblema es aciona io con condiciones de Di ichle homogéneas, con obje o de no in oduci di icul ades no esenciales en nues o desa ollo. Es as ecuaciones cons i uyen una !inealización de las ecuaciones de Na ie · 7 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 S okes, que gobie nan alos lujos de Ruidos incomp esibles en gene al ; Ob ene u: O ---+ Rd, p; 51 __ R ales que } u· 7u - .6.u + lp = , 7. u=Oen O, u=O sob e Analiza emos la ap oximación de es as ecuaciones en la Sección 5_ De inamos la o ma biJineal sob e [HJ(O>]d x{HJ(n)]c , a( , w) = (u· 7 , w) + ( 7 , 7w), V , w€ [HJ(O)]c , (2) (3) (5) donde deno amos po (-,.) el p oduc o escala L2, pa a unciones sea escala es, ec o iales o enso iales. Supond emosque uE[V(O)]d con 1 -u = O. En onces a(-,·) es á bien de inida, es oon inua y[HJ(n)]d-ooe ci i a; osea, e i ica a( , w):5 eI lllwh, a( , ) 2: l l~ V , w E [HJ(O)]d (4) Aquí, e es una cons an e posi i a, y 1- h deno a la semino ma sob e [H1(n)]d, I l, = [In l'7 l' dX]'" Podemos da al p oblema (1) una o mulación a iacional mix a (es o es, in- cluyendo la p esión además de la elocidad), como sigue; donde Ob ene (y,p) E Y x M al que B(y,p; ,q) =< , >, V( ,q) Eyx M; }(6) y= [HJ(O)J', M ~ L'(O), yBes la o ma bilineal sob e el espacio p oduc o (Y x M) x (Y x M) de inida PO' B(y,p; ,q) = a(y, ) + b( ,p) +b(u,q). (7) A su ez, b(·,·) es la o ma bilineal sob e YxM dada po b{ , q) = -( 7 - , q). Po il imo, (.,.) ep esen a la dualidad Y'- Y. La exis encia yunicidad de soluciones del p oblema es consecuencia del siguien e esul ado gene al, que enunciamos con e iden e abuso de no ación: Conside emos dos espacios de Hilbe Y y M. Sea b(·,·) una o ma bilineal con inua sob e Yx M, yde inamos los ope ado es R:Y -- M', y su adjun o R· :M -- Y' po (R ,q)~(R'q, )=b( ,q), VVEY,VqEM. (8) Sea además a( -, -) una o ma. bilineal con inua sob e Yx Y, que supond emos coe ci i a. Se iene en onces 8 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 Teo ema 2.1 Si 1m Res a mdo, en onces el p oblema (6) posu una solución. Además, es a solución es únial sob e Yx M, donde id es el espacio cocien e M{KeT R'. La p ueba de es e eo ema es á basada esencialmen e en el Teo ema del Rango Ce ado de Banach. (Ve Gi aul -RA ia (1986». No emos que en el caso de las ecuaciones de S okes gene alizadas (1), Ke R' es á. o mado po las unciones cons an es, de modo que A su ez, ImR es ce ado, como consecuencia del esul ado que enunciamos a con inuación : Teo ema 2.2 Las siguien es p oposiciones son equi alen es: i) 1m R es ce ado en M'. ii) El pa de espacios (Y, M) saw ace la condición in · 81lp con inua: Exis e una cons an e {J >O al que . b( ,q) m sup ~ {J. ,EM VEY II llyllqllA1 (9) (10) iü) La o ma bilineal B k inida po (7) sob e YxMsa is ace la siguien e condici6n in -sup :Exis e una cons an e ..., >O al que . B(U,T¡V,q) In _ sup > 'Y. {U, )EYxM (V.q)EYXÜ lI(u, )lIyx}, lI( ,q)lh'xM La condición in -sup (9) es sa is echa po el pa de espacios ([HJ(O)]d ,L2 (0)), como es bien conocido (Ve Gi aul yRa ia (1986)). Po o a pa e, la condición (10) asegu a la coe ci i idad de la o ma Bsob e el espacio p oduc o yx M. Es a o ma B es a ligada ala o mulación como pun o de silla del p oblema de S okes: Si la o ma aes simé ica, la solución (u,p) es ambién la. solución del p oblema de op imización 'n sup (J( ,q)), J( ,q) ~ a( , ) + b( ,q) -( , ) (U) VEV qEM Las ecuaciones (6) son jus amen e las ecuaciones de Eule ·Lag ange asociadas aes .e p oblema de pun o silla.. 9 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 La ap oximación clásicadel p oblema (6) po el mé odode Gale kinse ealiza como sigue: Sean Yh, Mh dos subespacios. de dimensión ini a de YyM, espec i amen e. Es a emos in e esados en los casos en que ambos son espacios de Elemen os Fini os. El pa áme o h ep esen a á el mayo diáme o de los elemen os de la malla. Buscamos un pa (Yh,Ph) EYh x Mh al que Ob ene (Yh,Ph) EYhxMh al que B(Yh,Ph; h,qh) =< , h >, V(Vh,qh) E Yh XMh; }(12) Sea Rhel ope ado de Yh a. alo es sob e Mhde inido po (8). Rhes UD ope ado de ango ce ado, al se lineal en e espacios de dimensión ini a. Según el Teo ema 2.2, es e p oblema iene solución única sob e el espado cocien e Vh = Mh/Ke R'h. Sin emba go, de (12) se deduce ácilmen e que debe ene se Yh E Ke Rh' Es a condición puede se excesi amen e es ic i a. si el espacio Yh no es su icien emen e " ico" en g ados de libe ad espec o al espacio Mh. En Pi onneau (1991) se mues an '8Xios ejemplos en que Ke .Rh se educe al ce o. Es cla o, pues, que los espacios Yhy Mh deben se compa ibles de alguna o ma pa a. pode ga an iza la con e gencia. de la disc e izaciÓn. Una condición su icien e pa a. ello es la llamada "in -sup" disc e a, ode B ezzi - Babuska : Lema 2.1 Supongamos que lcu con.s an esl3h >Ode inidas po " . b(Vh,'h} IJh = In sup q"UI" V"eY .. Il hllyllqhlL .. ! es án aco adas in e io men e po una cons an e {j' independien e de h. Dnces, exis e una cons an e e>odependiendo de {j', lIallyllbll al que IIY-Yhlly+IIP-PhIlM"SC{ 'n lIy- hll+ 'n IIP-Qhll,,}, V"EY¡, qhEM" (13) En- (14) De es e modo, el e o en la ap oximación conside ada end á dado po el eno de in e polación sob e los espacios Yh yMh• La condición in - sup (13) puede in e p e a se en el sen ido de que el ope- ado nh admi e una p olongación a odo Y, uni o memen e con inua en h. Pa a signi ica su impo ancia., esc ibi emos el p oblema (6) en o ma ma icial. Sean N'U y N" las dimensiones de YhyMh, espec i amen e (Obse emos que en el caso de las ecuaciones de S okes, Ñ h =Mh () LW1)). Deno emos po {4>.Ii = 1"" ,N,,} y {,pi IJ = 1,'" ,N p} una base de Yh y o a de Mh, esp. 10 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 De inamos las ma ices AyRde dimensiones N xN yNpxN , esp., yel ec o columna de dimensión N ,po (15) N. N., Supongamos que buscamos Yh y Ph en la o ma Yh = LYi ¡Pi> PI,. = LPi Pj· 1_1 J"1 En onces, el p oblema (6) equi ale a! sis ema linea! Ay + R'j; d, RY = O; (16) donde yypson los ec o es de componen es y.¡ yPi' Pues o que la o ma aes coe ci i a, la ma iz Aes de inida posi i a. Po ello, la p ime a. ecuación en (16) puede se esuel a en y, de modo que (12) equi ale al sis ema lineal RA-1 R p =A-i . El núme o de condición de la ma iz que apa ece en es e p oblema esul a se Cond(RA-' R') = I~~I. De es e modo, la. condición in -sup disc e a ga an iza no solamen e que es e p oblema admi e una única solución sob e MI,., sino que además el núme o de condición de la ma iz es á uni o memen e aco ado en h. La ob ención de pa es de espacios que sa is agan la condición in - sup disc- e a ha sido obje o de es udio de bas an es in es igado es desde 1975. Es alabo ha pe mi ido descub i una amplia gama de pa es sa is aciendo es a condición. En el caso de p esiones con inuas, el elemen o más "económico" (en el sen- ido de que el espacio de elocidades esul a de añadi un mínimo de g ados de libe ad al espacio de p esiones) es el p¡- Bu buja - PI' ambién llamado mini- elemen o. Con obje o de eco da la de inición de es e elemen o, deno emos po TI,. auna iangulación de n. Suponemos que 7h es á o mado po iángulos si d=2 Ypo e aed os si d -= 3. Deno emos po Ai K ), .. " A~~~ las coo de- nadas ba icén icas de un elemen o I< E TI,.. Deno emos po bKel polinomio de g ado d+1dado po bK= ).~K) . ).~K) .' .. >.~~l. No emos que b1< E [HJ(]<)( Suponemos bKex endido po ce o ue a de K. Conside a emos el siguien e espacio de elemen os ini os "bu buja" sob e Th: Bh(O) = { ÍI :n -+ R al que il .... ESpan{bK}, VI< E TI,. }. De inamos po o a pa e Vh(m) = { EL2(O) al que l .... E P m, VI< ETh }, } Yh(m) ~ Wh(mll' n[HJ(n)]', Mh(m) =Vh(m). (17) 11 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 (18) Aquí, Pmdeno a el espacio de polinomios sob e Rdde g ado meno oigual que m. En onces, el Mini-elemen o es (YIl{l) EIl [B/¡(O)]d ,1111>(1»). Si se p e ende abaja con p esiones discon inuas, el espacio de elocidad debe se más ico en g ados de libe ad. En es e caso, el pa de espacios más económico conocido que sa is ace lacondición in -sup es (YI>(d), MI> (O) n CO(ñ»). 3 Mé odos de Es abilización Según lo dicho en la Sección an e io , la cla e pa a consegui es abiliza Ele- men os Fini os "incomp esibles" ~s debili a la condición de di e gencia nula. ElJo es ealizado en los mé odos clásicos en iqueciendo el espacio de elocidades en g ados de libe ad en e al espacio de p esiones. O a o ma de log a lo es elaja explíci amen e la condición l .u= 0, cambiándola en 'V ' Uh =gil, siendo 9h una unción "pequeña" con enien e. Un mé odo de es e ipo ue in oducido en B ezzi yPi k u:an a (1984), donde se conside a la condición e- lajada 'V .UIl = a: h'2 ::.PI>' Con ello se consigue cie o con ol sob e el g adien e de p esión (y no sólo sob e la p esión), impidiéndose la apa ición de modos de p esión espú eos. Como con apa ida, al a a se de un mé odo de penali- zación, un e o de consis encia (de o den hpa a la no ma L2de la p 'esión) es ine i able. Es a di icul a.d es sal ada po los mé odos de es abilización, basa.- dos esencialmen e en o mulaciones de ipo Lag angiano aumen ado. Cuando la o ma a(·,·) es simé ica, oda solución del p oblema de pun o silla (11) lo es ambién de 'n sup{J( ,q)-QIIAu+l7q- ll_¡), e qEM donde A = - ~ ya es un coe icien e ade e mina . En Hughes, F anca y Bales a. (1986) se p opone disc e iza es e úl imo p oblema eemplazando la no ma H- ldel ope ado po una ap oximación: Se a a del conocido mé odo "Gale kin -Leas Squa es" .. El coe icien e h1< ac úa como un ac o de escala que elaciona la no ma L2 con la no ma 11-1, elemen o aelemen o. Las ecuaciones de EuJe -Lag ange asociadas a(19) son Ob ene (y",pl» E Yh xM" al que BOLS(Yh,P,,; h,ql» =FOLS(VI¡,q,,), i( ",q},) E YI> XMh; 12 }(20) Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 2k = -o: Lhid , 'V1j;¡JK> {(ET" siendo BGLS(y,p; ,q) = B(y,p; ,q)-a 2.: hid-Ay+ lp,A* + lq)J(; J(ET , FGLS(V,q) = ( , /-a 2.: hk( ,A* + lq)K' KET" Aquí, A* es el ope ado adjun o de A. Cuando el op€ ado no es simé ico (caso u ,¡. O), el mé odo GLS es ambién (20), con A = u' 'V - :.. , (y A~ = -u· I - .6. ). Sin emba go, aho a ia solución (u,p) no es pun o de silla de ningún uncionol. En el caso de elemen os ini os a ines a ozos, el mé odo GLS se conoce como "S eamline ~ Upwind /Pe o -Gale kin" o, ab e iadamen e, SUPG. De hecho, es e mé odo ue desa ollado en p ime luga en B ooks yHughes (1982), ydio luga pos e io men e alos mé odos GLS. Obse emos que en el mé odo SUPG se iene .6. h=Osob e cada demen o K, con la consiguien e simpli icación de la es uc u a de BCLS y FGLS Una in e esan e p opiedad del mé odo GLS es que es consis en e, en el sen~ ida de que la solución exac a e i ica el p oblema. disc e o (20), al igual que el mé odo de Gale kin. Sin emba go, es es able únicamen e pa a olo es del pa áme o Qpeque ios, po debajo de un alo c í ico especí ico pa a cada Ele- men o Fini o conc e o, yque esul a di ícil de calcula . Desde el pun o de is a compu acional, el mé odo GLS p esen a la en aja de p opo ciona un sis ema lineol con ma iz simé ica si el ope ado A lo es. En e ec o, supo11ga nos u= O. De inamos las ma ices A, R, Ode dimensiones N xN ,NpxN yNpxNp, espec i amen e, así como los ec o es columna y(2, de dimensiones N yN n espec i amen e, po R..j = -( 7. (Pi, ?}Jj) -a Lhk('V1/Jj, l4J;)K, KeT,. Okj = -a 2.: llC /!j, 'V1/Jdl . J(ET" H= { , ú -QV L hJ«( , l ¡)l , KET" En onces, el p oblema (20) es equi alen e al sis ema lineal (21) 13 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 Teo ema 5.2 Supongamcs que 11~I-d < 'l. Supcmgamc3 que u[H2(O) ':, P E [lI (O)]. En onces exis e una cons an e dependien e de uypy m ho >O ales que si O<h< 110, en onces Es e eo ema u iliza de o ma esencial dos elemen os: la egula idad de uyp, y cie as es imaciones de no mas L', 2 ~ q ~ 6, de unciones bu buja: IJVhllo,p ~ ehQI"hl , VVh E(B,,(O)Jd, donde o e i ica O /2 + (1 - O )/6 = I/q. Queda aún la labo de de e mina los coe icien es de es abilización. Se a a de un p oblema mayo en el desa ollo de es as écnicas, que áun es á po esol e plenamen e. La calidad de uno. solución numé ica conc e a asociada a una malla depende ue emen e de los pa áme os de es abilización que hayan sido usados. En la p ác ica, se de inen los 'Th,K de modo Que se enga en cuen a la alla ela i a local de los é min06 de con ección y de di usión. 'Th,K es una unción del núme o de Pecle local , PeK __ UKhK con UK=lIul!o,p;K' Habi ualmen e, Th,K es de la o ma si PeK ~ P, (37) si PeK > P; donde A es una cons an e, yP es un "escalón" p ede e minado pa a el núme o de Pécle . Es o pe mi e po una pa e in oduci una es abilización con enien e en zonas de g andes g adien es de elocidad debidos acon ección dominan e (g andes PeK)' Po o a pa e, se in oducen ni eles bajos de di usión numé ica (de o den h'k) en egiones donde la di usión es dominan e (bajos PeK)' Obse emos que en la disc e izaci6n (37) los coe icien es Th,K son unciones no lineales de la solución u". Si emba go, el análisis an e io se puede ex ende a es e caso, ylos Teo emas 5.1 y5.2 siguen siendo álidos. Digamos, po úl imo, que el análisis an e io puede e,.'X ende se aelemen os ini os de ó denes supe io es de in e polación, obien amé odos de ipo Douglas .Wang yo os, con cie as adap aciones écnicas. 20 Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. nº9 (1996) 5-22 En de ini i a., la o mulación (26) de los mé odos de es abilización en é mi· nos de ope ado es "de condensación es á ica" iene en cuen a de o ma na u al la egula idad H- 1del ope ado aes abiliza . Es a onnuJación p opo ciona un ma co ma emá ico pa a el análisis numé ico de es os mé odos --en endiendo como al el análisis de es abilidad, con e gencia yes imaciones de e o -, com- ple amen e análogo al que se iene en el caso de los mé odos clásicos. Ello pe mi e incluso ealiza al análisis numé ico en el caso de las ecuadones de Na ie -S okes, mejo ando el análisis ealizado has a aho a con las o mulaciones habi uales. Re e encias [11 I. BABUSKA (1973), The Fini e Elemen Me hod wi h Lag ange mul iplie s. Nume . Ma h. 20, pp. 179-192. [21 F. BREZZI (1974), On M e is ence, uniqueness and app oxima ion 01 saddle-poin p oblems a ising om Lag onge Mul iplie s. R.A.I.n.O. Anal. Nume ., R2, pp. 129-151. [3] F. BREZZI, M. FORTIN (1991), Mi: ed and Hyb id Fini e Elemen s. 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