Aplicaci´on del Con ol QFT a Robo s Manipulado es
D. J. Jim´enez y F. R. Rubio
Dep. Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica
Escuela Supe io de Ingenie os
Camino de los Descub imien os s/n, 41092 - Se illa
e-mail: {danieljj, ubio,}@ca uja.us.es
Resumen
En es e a ´ıculo se p esen a una aplicaci´on de con-
olado es dise˜nados median e ´ecnicas QFT a un
obo manipulado RM-10 de 6 g ados de libe ad,
disponible en los labo a o ios del depa amen o.
P ime amen e se dise˜na a un con ol de ipo PID
al que pos e io men e se le a˜nadi ´a un p e il o,
p ´ac ica habi ual en es e ipo de dise˜no pa a cum-
pli especi icaciones de seguimien o.
Palab as cla e: QFT, Rob´o ica, Con ol Ro-
bus o, Con ol de Robo s
1. In oducci´on.
La obus ez en el uncionamien o de manipulado-
es, especialmen e cuando es ´an in oluc ados ac-
o es a iables como pueden se ca ga ´o eloci-
dad, juega un impo an e papel, sob e odo en el
caso de que exis a una ince idumb e ap eciable
en alguno de los pa ´ame os. La Teo ´ıa de Reali-
men aci´on Cuan i a i a (QFT) [3] [2], in oducida
po Ho owi z en los a˜nos 70 es una mane a muy
e icaz, a la ez que in ui i a de esol e los e ec-
os que es as ince idumb es pudie an ene en el
uncionamien o global del sis ema conside ado.
En es e a ´ıculo, se pa e del hecho conocido de
que pa a unos alo es ele ados de las educ o-
as en e los ac uado es y las a iculaciones del
manipulado , se puede ap oxima la din´amica del
obo a uno lineal y desacoplado, a ec ado eso s´ı,
po una cie a pe u baci´on, que ag upa una se ie
de e ec os que se desean minimiza . A es e p o-
blema simpli icado se le a a aplica la ´ecnica
QFT, p ime o pa a dise˜na un con olado de i-
po PID, pa a despu´es pasa a un con ol algo m´as
complejo, o mado po un con olado y un p e il-
o pa a cada una de las a iculaciones. Es a ´ecni-
ca se aplica ´a a un obo de 6 g ados de libe ad
RM-10.
2. La din´amica del Manipulado .
La din´amica de un manipulado [1] de ng ados
de libe ad es ´a ep esen ada po la conocida
ecuaci´on
τ=M(q)·¨q+V(q, ˙q)·˙q+F( ˙q) + G(q) + τp
(1)
donde
M(q): Ma iz de ine cia, de dimensiones n x n
V(q,˙q) : Vec o de ´e minos cen ´ıpe os y de
Co iolis de dimensi´on n x 1
F(˙q) : Vec o de n x 1 que modela las iccio-
nes de las a iculaciones
G(q) : Vec o n x 1 de ´e minos g a i a o ios.
τ: Vec o de ue zas gene alizadas de las a -
iculaciones. Se ´a un pa si la a iculaci´on es
de o aci´on y una ue za si es p ism´a ica.
La din´amica no modelada, po su pa e, a inclui-
da en el pa de pe u baci´on τp, el cual incluye
ambi´en cualquie acci´on ex e na.
En lo que al ac uado se e ie e, se a a de un
mo o de co ien e con inua con induc ancia des-
p eciable, lo que da ´a luga a necuaciones des-
acopladas, una pa a cada a iculaci´on.
u−kb·˙qm=Ra·i(2)
τm=Jm·¨qm+B·˙qm+R·τ(3)
Teniendo en cuen a que τm=K ·iy ag upando
´e minos se pueden pone las ecuaciones an e io es
en una o ma simila a la del manipulado :
Jm·¨qm+ (B+K ·Kb
Ra
)·˙q(4)
+R·τK
Ra
·u=Km·u
donde en es e caso, las a iables a icula es que
apa ecen ep esen an posiciones, elocidades y
acele aciones de gi o del eje del mo o co espon-
dien e, mien as que R es un ´e mino mul iplica-
i o de educci´on debido al acoplamien o en e el
ac uado y el manipulado .
Debido a es as mismas educ o as, se iene que
qi=R·qmi donde como ya se ha mencionado an-
e io men e qi ep esen an las a iables a icula es
del manipulado y qmi las del mo o . As´ı, in odu-
ciendo la ecuaci´on de la din´amica del manipulado
en la ecuaci´on del mo o , se iene:
Jm·¨q+Bm·˙q+R2·τ=Km·R·u(5)
(Jm+R2·M(q)) ·¨q+ (Bm+R2·V(q, ˙q)) ·˙q(6)
+R2·F( ˙q) + R2·G(q) + R2·τ=Km·R·u
En el caso del obo manipulado RM-10 los a-
lo es de los coe icien es de educci´on son bas an e
meno es que la unidad (en e 1/50 y 1/153) po lo
que la ecuaci´on an e io puede simpli ica se aun
m´as, ag upando en un ´e mino de pe u baci´on,
los ´e minos no diagonales as´ı como los g a i a o-
ios y los debidos a la icci´on, quedando el siguien-
e conjun o de ecuaciones:
(Jmi + 2
i·mii)·¨qi+Bi·˙qi= i·K i
Rai
·ui− 2
i·di
(7)
donde Bise de ine a pa i de Bm=diag{Bi}
mien as que el ´e mino de la pe u baci´on di ie-
ne dado po
di=X
i6=j
mij ·¨qjX
j,k
Vjki ·¨qj·˙qk+Fi+Gi(8)
siendo Vjki las componen es del enso V0,Fila
icci´on en la a iculaci´on i, mij los coe icien es
de la ma iz M que no pe enecen a la diagonal y
Gila i-´esima componen e del ec o de ´e minos
g a i a o ios.
Pa a alo es de educci´on peque˜nos, se puede des-
p ecia en p ime a ap oximaci´on el ´e mino de
pe u baci´on quedando el sis ema comple o e-
p esen ado po unas ine cia y icci´on e ec i as:
Je ·¨q+Be ·˙q+τp=KM·u(9)
Pa a el obo de seis g ados de libe ad RM-10, al
que se aplica ´a el con ol dise˜nado en los siguien es
apa ados, es os pa ´ame os apa ecen en la abla
1.
3. Dise˜no de un con olado PID
median e QFT pa a el RM-10.
A pa i de las ecuaciones ob enidas en el apa -
ado an e io , se iene, pa a cada una de las
n K JeBeR
1 54.4 227 74.4 1/121
2 68.9 150 27.2 1/153
3 64.1 20.7 38.8 1/105
4 53.1 0.3 8.5 1/54
5 64.4 0.2 6.548 1/80
6 40.1 0.06 4.734 1/50
Cuad o 1: Pa ´ame os ca ac e ´ıs icos del modelo
de las dis in as a iculaciones
a iculaciones, el modelo mos ado en la igu a 1,
al que se le ha a˜nadido un bloque de con ol de
ipo PID.
PID Km
Jes+Be
1
s
-
+++
qd
p
q
Figu a 1: Diag ama simpli icado de Con ol
Teniendo el con olado la o ma GP ID =
Kp·e+K de
d +Ki·Redτ, ce ando el bucle e
imponiendo condiciones pa a la sob eoscilaci´on
y ecuencia na u al, se ob end ´an los alo es de
Kp,K yKi, como es p ´ac ica habi ual.
Pa a hace es o mismo pe o median e ´ecnicas de
dise˜no QFT, hab ´ıa que impone unas especi ica-
ciones de compo amien o en bucle ce ado, que
se quie e que limi en la espues a del sis ema ob-
je o de es udio. No malmen e es as especi icacio-
nes ep esen a ´an un sis ema de segundo o den sin
sob eoscilaci´on y con dos alo es dis in os de e-
cuencia na u al, ambos meno es que la mi ad de la
ecuencia de esonancia. As´ı, el p oblema a esol-
e pa a el con olado pod ´a se enunciado como
sigue:
Dise˜na un con olado , de ipo PID pa a cada
una de las a iculaciones del obo de mane a que
∀P ²{P}se ob engan las siguien es especi icacio-
nes [4]
A enuaci´on de pe u baciones a la en ada de
la plan a
¯
¯
¯
¯
P
1 + P G
¯
¯
¯
¯
<1,2
Seguimien o
TL<¯
¯
¯
¯
P G
1 + P G
¯
¯
¯
¯
< TU
con
TL(jω) = 752
s2+150s+752
TU(jω) = 1002
s2+200s+1002
En la igu a 2 puede e se una ep esen aci´on en
ecuencia de los l´ımi es de seguimien os impues-
os como especi icaci´on, en e los que se desea que
es ´e la unci´on de sensibilidad complemen a ia del
conjun o, an o pa a el caso nominal como pa a
odo el ango de ince idumb es.
101102103
−50
−40
−30
−20
−10
0
10 TL
Tu
Figu a 2: Especi icaciones impues as ep esen a-
das en ecuencia.
{P}se ´ıa en es e caso el conjun o de odas las
plan as, que inclui ´ıa a la nominal y aquellas e-
sul ado de las ince idumb es en los pa ´ame os
(Je , Be y Km) consecuencia del un modelo
ap oximado que se u iliza.
Pa a cuan i ica es o en el desa ollo que sigue se
es ima on las ince idumb es e ec i as de la o ma
Jei =Jnom ±∆J
Bei =Bnom ±∆B
Kmi =Knom ±∆K
siendo los alo es con el sub´ındice nom los que
apa ec´ıan en la abla mos ada en el apa ado an-
e io y los alo es inc emen ales a iables seg´un
la a iculaci´on en pa icula .
En las igu as 3 y 4 se mues an las cu as ep e-
sen a i as de las especi icaciones p opues as pa a
las dos p ime as a iculaciones, as´ı como la un-
ci´on de ans e encia en bucle abie o L=P G.
En el Toolbox del Ma lab no se puede especi ica
que el con ol sea de ipo PID, sino simplemen e
a˜nadi elemen os has a que el con olado enga la
o ma deseada ca ac e ´ıs ica
G(s) = K s2+Kps+Ki
s
−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
X: Phase (deg ees) Y: Magni ude (dB)
Open−loop:
Closed−loop:
F equency:
−408.69deg,65.15dB
−0.02deg,−0.00dB
n/a ad/sec
Figu a 3: Con olado pa a la p ime a a iculaci´on
−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
X: Phase (deg ees) Y: Magni ude (dB)
Open−loop:
Closed−loop:
F equency:
−211.89deg,−107.67dB
−211.89deg,−107.67dB
n/a ad/sec
Figu a 4: Con olado pa a la segunda a iculaci´on
Es o se puede consegui con un in eg ado pu o
de o den uno y dos ce os eales o bien un ce o
complejo, siemp e eso s´ı, de al mane a que no
se incumplan pa a ninguna de las ecuencias de
abajo las especi icaciones solici adas.
Los con olado es as´ı dise˜nados pa a cada una de
las a iculaciones, se mues an en la abla 2.
nKpK Ki
1 18545 181.8 36364
2 8966 172.4 17241
3 3510 66.225 9434
4 340.2 0 8504.5
5 345.7 0 3457
6 71.46 0 5002
Cuad o 2: Pa ´ame os de los PID’s de las dis in as
a iculaciones
Los esul ados ob enidos, pa a dos de las a icula-
ciones del obo RM-10 se mues an en las igu as
5, 6, 7 y 9. En es as igu as, en azo discon inuo se
ep esen an las ayec o ias de e e encia pa a ca-
da a iculaci´on, mos ´andose en cada caso adem´as
un de alle de la zona m´as impo an e, pudi´endose
comp oba la obus ez del con olado dise˜nado.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
T ayec o ia pa a la p ime a A iculacion
Re e encia
Figu a 5: Seguimien o de la p ime a a iculaci´on
1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
1.5
1.52
1.54
1.56
1.58
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
Re e encia
Figu a 6: De alle del seguimien o de la p ime a
a iculaci´on
4. Inclusi´on de un P e il o en el
Sis ema de Con ol
La especi icaci´on an es de inida, po s´ı sola ´unica-
men e asegu a que el alo m´aximo de ince idum-
b e pa a cada ecuencia, (es o es, la di e encia en-
e los alo es m´aximos y m´ınimos de la plan a)
sea meno que la di e encia en e los alo es l´ımi e
de la plan a pa a esa misma ecuencia.
|TB(jω)−TA(jω)|<|TU(jω)−TL(jω)|
con
T∗=P∗G
1 + P∗G
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
T ayec o ia pa a la segunda de las a iculaciones
Re e encia
Figu a 7: Seguimien o de la segunda a iculaci´on
1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
0.76
0.78
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
Re e encia
Figu a 8: De alle del seguimien o de la segunda
a iculaci´on
Pa a que e ec i amen e se cumpla que pa a odo
P ε{P}, la unci´on de ans e encia en bucle ce-
ado es ´e con enida en e las dos de inidas en las
especi icaciones, hab ´a que inclui un p e il o en
el dise˜no an e io , de mane a que el esquema de
con ol queda ´ıa como apa ece en la igu a 9.
Km
s(Jes+Be)
-
+++
qd
p
q
Con ol
QFT
P e il o
Figu a 9: Con olado y P e il o
El p oceso de dise˜no de los p e il os con la he a-
mien a QFT de Ma lab es simila al u ilizado pa-
a los con olado es. Los con olado es y p e il os
ob enidos son los siguien es:
G1(s) = 182,65 s2+ 102s+ 200
s
G2(s) = 172,4s2+ 52s+ 100
s
G3(s) = 44,663 s2+ 39,82s+ 5542,3
s
G4(s) = 340,2s+ 8504,5
s
G5(s) = 345,7s+ 3457
s
G6(s) = 71,46s+ 5002
s
F1(s) = 94080
s3+ 108,6s2+ 5088s+ 94080
F2(s) = 3804
s2+ 134s+ 3804
F3(s) = 5160
s2+ 160,2s+ 5160
F4(s) = 9241
s2+ 234,5s+ 9241
F5(s) = 5613
s2+ 150s+ 5613
F6(s) = 5537
s2+ 150s+ 5537
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
T ayec o ia pa a la p ime a A iculacion
Re e encia
Figu a 10: Seguimien o de la p ime a a iculaci´on
A˜nadiendo es os nue os elemen os al con ol del
RM-10, se ob ienen los esul ados mos ados en
las igu as 10, 11, 12 y 13 pa a las dos p ime as
a iculaciones. La l´ınea discon inua, ep esen a la
ayec o ia de e e encia impues a, mien as que
las con inuas la ayec o ia seguida po la a icu-
laci´on co espondien e pa a alo es nominales y
den o del ango de las ince idumb es. Se mues-
an ambi´en de alles de las zonas m´as in e esan-
es del seguimien o, co espondien es al inal de la
ayec o ia.
1.9 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2
1.56
1.562
1.564
1.566
1.568
1.57
1.572
Tiempo(segs)
Posicion( ads)
Re e encia
Figu a 11: De alle del seguimien o de la p ime a
a iculaci´on
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Time(segs)
Posicion( ads)
T ayec o ia pa a la segunda A iculacion
Re e encia
Figu a 12: Seguimien o de la segunda a iculaci´on
1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2
0.76
0.765
0.77
0.775
0.78
0.785
0.79
Time(segs)
Posicion( ads)
Re e encia
Figu a 13: De alle del seguimien o de la segunda
a iculaci´on
Pa a el es o de las a iculaciones que no se mues-
an en las igu as, el compo amien o es simila .

5. Conclusiones
En es e a ´ıculo se mues a la aplicaci´on del p o-
ceso de dise˜no de con olado es ipo QFT pa a
el obo RM-10 disponible en los labo a o ios del
Ins i u o de Au om´a ica y Rob´o ica de Se illa. Se
ha ilus ado como es a ´ecnica mejo a la obus ez
de los con olado es cuando se ienen ince idum-
b es en los pa ´ame os del modelo del sis ema.
Reconocimien os
Es e abajo ha sido inanciado po el p oyec o
CICYT n´ume o DPI2001-2424-C02-01.
Re e encias
[1] G´omez O ega, J. (1996) “Con ol de Robo s
Manipulado es Median e la T´ecnica del Pa
Calculado”, Uni e sidad de Se illa.
[2] Yani , O. (1999) “Quan i a i e Feedback De-
sign o Linea and Non Linea Con ol Sys-
ems”, Luwe Academic Publishe s, USA.
[3] Houpis, Cons an ine H. and Rasmussen,
S e en J. (1999) “Quan i a i e Feedback
Theo y”, Ma cel Dekke Inc, USA.
[4] Na a aj, P.S.V. (2002) “Compu a ion o QFT
Bounds o Robus T acking Speci ica ions”,
Au oma ica 38(2002) pp 327-334.