Aplicación del Control QFT a Robots Manipuladores

Aplicaci´on del Con ol QFT a Robo s Manipulado es D. J. Jim´enez y F. R. Rubio Dep. Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica Escuela Supe io de Ingenie os Camino de los Descub imien os s/n, 41092 - Se illa e-mail: {danieljj, ubio,}@ca uja.us.es Resumen En es e a ´ıculo se p esen a una aplicaci´on de con- olado es dise˜nados median e ´ecnicas QFT a un obo manipulado RM-10 de 6 g ados de libe ad, disponible en los labo a o ios del depa amen o. P ime amen e se dise˜na a un con ol de ipo PID al que pos e io men e se le a˜nadi ´a un p e il o, p ´ac ica habi ual en es e ipo de dise˜no pa a cum- pli especi icaciones de seguimien o. Palab as cla e: QFT, Rob´o ica, Con ol Ro- bus o, Con ol de Robo s 1. In oducci´on. La obus ez en el uncionamien o de manipulado- es, especialmen e cuando es ´an in oluc ados ac- o es a iables como pueden se ca ga ´o eloci- dad, juega un impo an e papel, sob e odo en el caso de que exis a una ince idumb e ap eciable en alguno de los pa ´ame os. La Teo ´ıa de Reali- men aci´on Cuan i a i a (QFT) [3] [2], in oducida po Ho owi z en los a˜nos 70 es una mane a muy e icaz, a la ez que in ui i a de esol e los e ec- os que es as ince idumb es pudie an ene en el uncionamien o global del sis ema conside ado. En es e a ´ıculo, se pa e del hecho conocido de que pa a unos alo es ele ados de las educ o- as en e los ac uado es y las a iculaciones del manipulado , se puede ap oxima la din´amica del obo a uno lineal y desacoplado, a ec ado eso s´ı, po una cie a pe u baci´on, que ag upa una se ie de e ec os que se desean minimiza . A es e p o- blema simpli icado se le a a aplica la ´ecnica QFT, p ime o pa a dise˜na un con olado de i- po PID, pa a despu´es pasa a un con ol algo m´as complejo, o mado po un con olado y un p e il- o pa a cada una de las a iculaciones. Es a ´ecni- ca se aplica ´a a un obo de 6 g ados de libe ad RM-10. 2. La din´amica del Manipulado . La din´amica de un manipulado [1] de ng ados de libe ad es ´a ep esen ada po la conocida ecuaci´on τ=M(q)·¨q+V(q, ˙q)·˙q+F( ˙q) + G(q) + τp (1) donde M(q): Ma iz de ine cia, de dimensiones n x n V(q,˙q) : Vec o de ´e minos cen ´ıpe os y de Co iolis de dimensi´on n x 1 F(˙q) : Vec o de n x 1 que modela las iccio- nes de las a iculaciones G(q) : Vec o n x 1 de ´e minos g a i a o ios. τ: Vec o de ue zas gene alizadas de las a - iculaciones. Se ´a un pa si la a iculaci´on es de o aci´on y una ue za si es p ism´a ica. La din´amica no modelada, po su pa e, a inclui- da en el pa de pe u baci´on τp, el cual incluye ambi´en cualquie acci´on ex e na. En lo que al ac uado se e ie e, se a a de un mo o de co ien e con inua con induc ancia des- p eciable, lo que da ´a luga a necuaciones des- acopladas, una pa a cada a iculaci´on. u−kb·˙qm=Ra·i(2) τm=Jm·¨qm+B·˙qm+R·τ(3) Teniendo en cuen a que τm=K ·iy ag upando ´e minos se pueden pone las ecuaciones an e io es en una o ma simila a la del manipulado : Jm·¨qm+ (B+K ·Kb Ra )·˙q(4) +R·τK Ra ·u=Km·u donde en es e caso, las a iables a icula es que apa ecen ep esen an posiciones, elocidades y acele aciones de gi o del eje del mo o co espon- dien e, mien as que R es un ´e mino mul iplica- i o de educci´on debido al acoplamien o en e el ac uado y el manipulado . Debido a es as mismas educ o as, se iene que qi=R·qmi donde como ya se ha mencionado an- e io men e qi ep esen an las a iables a icula es del manipulado y qmi las del mo o . As´ı, in odu- ciendo la ecuaci´on de la din´amica del manipulado en la ecuaci´on del mo o , se iene: Jm·¨q+Bm·˙q+R2·τ=Km·R·u(5) (Jm+R2·M(q)) ·¨q+ (Bm+R2·V(q, ˙q)) ·˙q(6) +R2·F( ˙q) + R2·G(q) + R2·τ=Km·R·u En el caso del obo manipulado RM-10 los a- lo es de los coe icien es de educci´on son bas an e meno es que la unidad (en e 1/50 y 1/153) po lo que la ecuaci´on an e io puede simpli ica se aun m´as, ag upando en un ´e mino de pe u baci´on, los ´e minos no diagonales as´ı como los g a i a o- ios y los debidos a la icci´on, quedando el siguien- e conjun o de ecuaciones: (Jmi + 2 i·mii)·¨qi+Bi·˙qi= i·K i Rai ·ui− 2 i·di (7) donde Bise de ine a pa i de Bm=diag{Bi} mien as que el ´e mino de la pe u baci´on di ie- ne dado po di=X i6=j mij ·¨qjX j,k Vjki ·¨qj·˙qk+Fi+Gi(8) siendo Vjki las componen es del enso V0,Fila icci´on en la a iculaci´on i, mij los coe icien es de la ma iz M que no pe enecen a la diagonal y Gila i-´esima componen e del ec o de ´e minos g a i a o ios. Pa a alo es de educci´on peque˜nos, se puede des- p ecia en p ime a ap oximaci´on el ´e mino de pe u baci´on quedando el sis ema comple o e- p esen ado po unas ine cia y icci´on e ec i as: Je ·¨q+Be ·˙q+τp=KM·u(9) Pa a el obo de seis g ados de libe ad RM-10, al que se aplica ´a el con ol dise˜nado en los siguien es apa ados, es os pa ´ame os apa ecen en la abla 1. 3. Dise˜no de un con olado PID median e QFT pa a el RM-10. A pa i de las ecuaciones ob enidas en el apa - ado an e io , se iene, pa a cada una de las n K JeBeR 1 54.4 227 74.4 1/121 2 68.9 150 27.2 1/153 3 64.1 20.7 38.8 1/105 4 53.1 0.3 8.5 1/54 5 64.4 0.2 6.548 1/80 6 40.1 0.06 4.734 1/50 Cuad o 1: Pa ´ame os ca ac e ´ıs icos del modelo de las dis in as a iculaciones a iculaciones, el modelo mos ado en la igu a 1, al que se le ha a˜nadido un bloque de con ol de ipo PID. PID Km Jes+Be 1 s - +++ qd p q Figu a 1: Diag ama simpli icado de Con ol Teniendo el con olado la o ma GP ID = Kp·e+K de d +Ki·Redτ, ce ando el bucle e imponiendo condiciones pa a la sob eoscilaci´on y ecuencia na u al, se ob end ´an los alo es de Kp,K yKi, como es p ´ac ica habi ual. Pa a hace es o mismo pe o median e ´ecnicas de dise˜no QFT, hab ´ıa que impone unas especi ica- ciones de compo amien o en bucle ce ado, que se quie e que limi en la espues a del sis ema ob- je o de es udio. No malmen e es as especi icacio- nes ep esen a ´an un sis ema de segundo o den sin sob eoscilaci´on y con dos alo es dis in os de e- cuencia na u al, ambos meno es que la mi ad de la ecuencia de esonancia. As´ı, el p oblema a esol- e pa a el con olado pod ´a se enunciado como sigue: Dise˜na un con olado , de ipo PID pa a cada una de las a iculaciones del obo de mane a que ∀P ²{P}se ob engan las siguien es especi icacio- nes [4] A enuaci´on de pe u baciones a la en ada de la plan a ¯ ¯ ¯ ¯ P 1 + P G ¯ ¯ ¯ ¯ <1,2 Seguimien o TL<¯ ¯ ¯ ¯ P G 1 + P G ¯ ¯ ¯ ¯ < TU con TL(jω) = 752 s2+150s+752 TU(jω) = 1002 s2+200s+1002 En la igu a 2 puede e se una ep esen aci´on en ecuencia de los l´ımi es de seguimien os impues- os como especi icaci´on, en e los que se desea que es ´e la unci´on de sensibilidad complemen a ia del conjun o, an o pa a el caso nominal como pa a odo el ango de ince idumb es. 101102103 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 TL Tu Figu a 2: Especi icaciones impues as ep esen a- das en ecuencia. {P}se ´ıa en es e caso el conjun o de odas las plan as, que inclui ´ıa a la nominal y aquellas e- sul ado de las ince idumb es en los pa ´ame os (Je , Be y Km) consecuencia del un modelo ap oximado que se u iliza. Pa a cuan i ica es o en el desa ollo que sigue se es ima on las ince idumb es e ec i as de la o ma Jei =Jnom ±∆J Bei =Bnom ±∆B Kmi =Knom ±∆K siendo los alo es con el sub´ındice nom los que apa ec´ıan en la abla mos ada en el apa ado an- e io y los alo es inc emen ales a iables seg´un la a iculaci´on en pa icula . En las igu as 3 y 4 se mues an las cu as ep e- sen a i as de las especi icaciones p opues as pa a las dos p ime as a iculaciones, as´ı como la un- ci´on de ans e encia en bucle abie o L=P G. En el Toolbox del Ma lab no se puede especi ica que el con ol sea de ipo PID, sino simplemen e a˜nadi elemen os has a que el con olado enga la o ma deseada ca ac e ´ıs ica G(s) = K s2+Kps+Ki s −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 X: Phase (deg ees) Y: Magni ude (dB) Open−loop: Closed−loop: F equency: −408.69deg,65.15dB −0.02deg,−0.00dB n/a ad/sec Figu a 3: Con olado pa a la p ime a a iculaci´on −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 X: Phase (deg ees) Y: Magni ude (dB) Open−loop: Closed−loop: F equency: −211.89deg,−107.67dB −211.89deg,−107.67dB n/a ad/sec Figu a 4: Con olado pa a la segunda a iculaci´on Es o se puede consegui con un in eg ado pu o de o den uno y dos ce os eales o bien un ce o complejo, siemp e eso s´ı, de al mane a que no se incumplan pa a ninguna de las ecuencias de abajo las especi icaciones solici adas. Los con olado es as´ı dise˜nados pa a cada una de las a iculaciones, se mues an en la abla 2. nKpK Ki 1 18545 181.8 36364 2 8966 172.4 17241 3 3510 66.225 9434 4 340.2 0 8504.5 5 345.7 0 3457 6 71.46 0 5002 Cuad o 2: Pa ´ame os de los PID’s de las dis in as a iculaciones Los esul ados ob enidos, pa a dos de las a icula- ciones del obo RM-10 se mues an en las igu as 5, 6, 7 y 9. En es as igu as, en azo discon inuo se ep esen an las ayec o ias de e e encia pa a ca- da a iculaci´on, mos ´andose en cada caso adem´as un de alle de la zona m´as impo an e, pudi´endose comp oba la obus ez del con olado dise˜nado. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo(segs) Posicion( ads) T ayec o ia pa a la p ime a A iculacion Re e encia Figu a 5: Seguimien o de la p ime a a iculaci´on 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 Tiempo(segs) Posicion( ads) Re e encia Figu a 6: De alle del seguimien o de la p ime a a iculaci´on 4. Inclusi´on de un P e il o en el Sis ema de Con ol La especi icaci´on an es de inida, po s´ı sola ´unica- men e asegu a que el alo m´aximo de ince idum- b e pa a cada ecuencia, (es o es, la di e encia en- e los alo es m´aximos y m´ınimos de la plan a) sea meno que la di e encia en e los alo es l´ımi e de la plan a pa a esa misma ecuencia. |TB(jω)−TA(jω)|<|TU(jω)−TL(jω)| con T∗=P∗G 1 + P∗G 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Tiempo(segs) Posicion( ads) T ayec o ia pa a la segunda de las a iculaciones Re e encia Figu a 7: Seguimien o de la segunda a iculaci´on 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 Tiempo(segs) Posicion( ads) Re e encia Figu a 8: De alle del seguimien o de la segunda a iculaci´on Pa a que e ec i amen e se cumpla que pa a odo P ε{P}, la unci´on de ans e encia en bucle ce- ado es ´e con enida en e las dos de inidas en las especi icaciones, hab ´a que inclui un p e il o en el dise˜no an e io , de mane a que el esquema de con ol queda ´ıa como apa ece en la igu a 9. Km s(Jes+Be) - +++ qd p q Con ol QFT P e il o Figu a 9: Con olado y P e il o El p oceso de dise˜no de los p e il os con la he a- mien a QFT de Ma lab es simila al u ilizado pa- a los con olado es. Los con olado es y p e il os ob enidos son los siguien es: G1(s) = 182,65 s2+ 102s+ 200 s G2(s) = 172,4s2+ 52s+ 100 s G3(s) = 44,663 s2+ 39,82s+ 5542,3 s G4(s) = 340,2s+ 8504,5 s G5(s) = 345,7s+ 3457 s G6(s) = 71,46s+ 5002 s F1(s) = 94080 s3+ 108,6s2+ 5088s+ 94080 F2(s) = 3804 s2+ 134s+ 3804 F3(s) = 5160 s2+ 160,2s+ 5160 F4(s) = 9241 s2+ 234,5s+ 9241 F5(s) = 5613 s2+ 150s+ 5613 F6(s) = 5537 s2+ 150s+ 5537 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo(segs) Posicion( ads) T ayec o ia pa a la p ime a A iculacion Re e encia Figu a 10: Seguimien o de la p ime a a iculaci´on A˜nadiendo es os nue os elemen os al con ol del RM-10, se ob ienen los esul ados mos ados en las igu as 10, 11, 12 y 13 pa a las dos p ime as a iculaciones. La l´ınea discon inua, ep esen a la ayec o ia de e e encia impues a, mien as que las con inuas la ayec o ia seguida po la a icu- laci´on co espondien e pa a alo es nominales y den o del ango de las ince idumb es. Se mues- an ambi´en de alles de las zonas m´as in e esan- es del seguimien o, co espondien es al inal de la ayec o ia. 1.9 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 1.56 1.562 1.564 1.566 1.568 1.57 1.572 Tiempo(segs) Posicion( ads) Re e encia Figu a 11: De alle del seguimien o de la p ime a a iculaci´on 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Time(segs) Posicion( ads) T ayec o ia pa a la segunda A iculacion Re e encia Figu a 12: Seguimien o de la segunda a iculaci´on 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 0.76 0.765 0.77 0.775 0.78 0.785 0.79 Time(segs) Posicion( ads) Re e encia Figu a 13: De alle del seguimien o de la segunda a iculaci´on Pa a el es o de las a iculaciones que no se mues- an en las igu as, el compo amien o es simila . 5. Conclusiones En es e a ´ıculo se mues a la aplicaci´on del p o- ceso de dise˜no de con olado es ipo QFT pa a el obo RM-10 disponible en los labo a o ios del Ins i u o de Au om´a ica y Rob´o ica de Se illa. Se ha ilus ado como es a ´ecnica mejo a la obus ez de los con olado es cuando se ienen ince idum- b es en los pa ´ame os del modelo del sis ema. Reconocimien os Es e abajo ha sido inanciado po el p oyec o CICYT n´ume o DPI2001-2424-C02-01. Re e encias [1] G´omez O ega, J. (1996) “Con ol de Robo s Manipulado es Median e la T´ecnica del Pa Calculado”, Uni e sidad de Se illa. [2] Yani , O. (1999) “Quan i a i e Feedback De- sign o Linea and Non Linea Con ol Sys- ems”, Luwe Academic Publishe s, USA. [3] Houpis, Cons an ine H. and Rasmussen, S e en J. (1999) “Quan i a i e Feedback Theo y”, Ma cel Dekke Inc, USA. [4] Na a aj, P.S.V. (2002) “Compu a ion o QFT Bounds o Robus T acking Speci ica ions”, Au oma ica 38(2002) pp 327-334.