Aplicación del Control QFT a Robots Manipuladores

Aplicaci´on del Control QFT a Robots Manipuladores D. J. Jim´enez y F. R. Rubio Dep. Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n, 41092 - Sevilla e-mail: {danieljj, rubio,}@cartuja.us.es Resumen En este art´ıculo se presenta una aplicaci´on de controladores dise˜nados mediante t´ecnicas QFT a un robot manipulador RM-10 de 6 grados de libertad, disponible en los laboratorios del departamento. Primeramente se dise˜nara un control de tipo PID al que posteriormente se le a˜nadir´a un prefiltro, pr´actica habitual en este tipo de dise˜no para cumplir especificaciones de seguimiento. Palabras clave: QFT, Rob´otica, Control Robusto, Control de Robots 1. Introducci´on. La robustez en el funcionamiento de manipuladores, especialmente cuando est´an involucrados factores variables como pueden ser carga ´o velocidad, juega un importante papel, sobre todo en el caso de que exista una incertidumbre apreciable en alguno de los par´ametros. La Teor´ıa de Realimentaci´on Cuantitativa (QFT) [3] [2], introducida por Horowitz en los a˜nos 70 es una manera muy eficaz, a la vez que intuitiva de resolver los efectos que estas incertidumbres pudieran tener en el funcionamiento global del sistema considerado. En este art´ıculo, se parte del hecho conocido de que para unos valores elevados de las reductoras entre los actuadores y las articulaciones del manipulador, se puede aproximar la din´amica del robot a uno lineal y desacoplado, afectado eso s´ı, por una cierta perturbaci´on, que agrupa una serie de efectos que se desean minimizar. A este problema simplificado se le va a aplicar la t´ecnica QFT, primero para dise˜nar un controlador de tipo PID, para despu´es pasar a un control algo m´as complejo, formado por un controlador y un prefiltro para cada una de las articulaciones. Esta t´ecnica se aplicar´a a un robot de 6 grados de libertad RM-10. 2. La din´amica del Manipulador. La din´amica de un manipulador [1] de ngrados de libertad est´a representada por la conocida ecuaci´on τ=M(q)·¨q+V(q, ˙q)·˙q+F( ˙q) + G(q) + τp (1) donde M(q): Matriz de inercia, de dimensiones n x n V(q,˙q) : Vector de t´erminos centr´ıpetos y de Coriolis de dimensi´on n x 1 F(˙q) : Vector de n x 1 que modela las fricciones de las articulaciones G(q) : Vector n x 1 de t´erminos gravitatorios. τ: Vector de fuerzas generalizadas de las articulaciones. Ser´a un par si la articulaci´on es de rotaci´on y una fuerza si es prism´atica. La din´amica no modelada, por su parte, va incluida en el par de perturbaci´on τp, el cual incluye tambi´en cualquier acci´on externa. En lo que al actuador se refiere, se trata de un motor de corriente continua con inductancia despreciable, lo que dar´a lugar a necuaciones desacopladas, una para cada articulaci´on. u−kb·˙qm=Ra·i(2) τm=Jm·¨qm+B·˙qm+R·τ(3) Teniendo en cuenta que τm=Kv·iy agrupando t´erminos se pueden poner las ecuaciones anteriores en una forma similar a la del manipulador: Jm·¨qm+ (B+Kv·Kb Ra )·˙q(4) +R·τKv Ra ·u=Km·u donde en este caso, las variables articulares que aparecen representan posiciones, velocidades y aceleraciones de giro del eje del motor correspondiente, mientras que R es un t´ermino multiplicativo de reducci´on debido al acoplamiento entre el actuador y el manipulador. Debido a estas mismas reductoras, se tiene que qi=R·qmi donde como ya se ha mencionado anteriormente qirepresentan las variables articulares del manipulador y qmi las del motor. As´ı, introduciendo la ecuaci´on de la din´amica del manipulador en la ecuaci´on del motor, se tiene: Jm·¨q+Bm·˙q+R2·τ=Km·R·u(5) (Jm+R2·M(q)) ·¨q+ (Bm+R2·V(q, ˙q)) ·˙q(6) +R2·F( ˙q) + R2·G(q) + R2·τ=Km·R·u En el caso del robot manipulador RM-10 los valores de los coeficientes de reducci´on son bastante menores que la unidad (entre 1/50 y 1/153) por lo que la ecuaci´on anterior puede simplificarse aun m´as, agrupando en un t´ermino de perturbaci´on, los t´erminos no diagonales as´ı como los gravitatorios y los debidos a la fricci´on, quedando el siguiente conjunto de ecuaciones: (Jmi +r2 i·mii)·¨qi+Bi·˙qi=ri·Kvi Rai ·ui−r2 i·di (7) donde Bise define a partir de Bm=diag{Bi} mientras que el t´ermino de la perturbaci´on diviene dado por di=X i6=j mij ·¨qjX j,k Vjki ·¨qj·˙qk+Fi+Gi(8) siendo Vjki las componentes del tensor V0,Fila fricci´on en la articulaci´on i, mij los coeficientes de la matriz M que no pertenecen a la diagonal y Gila i-´esima componente del vector de t´erminos gravitatorios. Para valores de reducci´on peque˜nos, se puede despreciar en primera aproximaci´on el t´ermino de perturbaci´on quedando el sistema completo representado por unas inercia y fricci´on efectivas: Jef ·¨q+Bef ·˙q+τp=KM·u(9) Para el robot de seis grados de libertad RM-10, al que se aplicar´a el control dise˜nado en los siguientes apartados, estos par´ametros aparecen en la tabla 1. 3. Dise˜no de un controlador PID mediante QFT para el RM-10. A partir de las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior, se tiene, para cada una de las n K JeBeR 1 54.4 227 74.4 1/121 2 68.9 150 27.2 1/153 3 64.1 20.7 38.8 1/105 4 53.1 0.3 8.5 1/54 5 64.4 0.2 6.548 1/80 6 40.1 0.06 4.734 1/50 Cuadro 1: Par´ametros caracter´ısticos del modelo de las distintas articulaciones articulaciones, el modelo mostrado en la figura 1, al que se le ha a˜nadido un bloque de control de tipo PID. PID Km Jes+Be 1 s - +++ qd tp q Figura 1: Diagrama simplificado de Control Teniendo el controlador la forma GP ID = Kp·e+Kvde dt +Ki·Redτ, cerrando el bucle e imponiendo condiciones para la sobreoscilaci´on y frecuencia natural, se obtendr´an los valores de Kp,KvyKi, como es pr´actica habitual. Para hacer esto mismo pero mediante t´ecnicas de dise˜no QFT, habr´ıa que imponer unas especificaciones de comportamiento en bucle cerrado, que se quiere que limiten la respuesta del sistema objeto de estudio. Normalmente estas especificaciones representar´an un sistema de segundo orden sin sobreoscilaci´on y con dos valores distintos de frecuencia natural, ambos menores que la mitad de la frecuencia de resonancia. As´ı, el problema a resolver para el controlador podr´a ser enunciado como sigue: Dise˜nar un controlador, de tipo PID para cada una de las articulaciones del robot de manera que ∀P ²{P}se obtengan las siguientes especificaciones [4] Atenuaci´on de perturbaciones a la entrada de la planta ¯ ¯ ¯ ¯ P 1 + P G ¯ ¯ ¯ ¯ <1,2 Seguimiento TL<¯ ¯ ¯ ¯ P G 1 + P G ¯ ¯ ¯ ¯ < TU con TL(jω) = 752 s2+150s+752 TU(jω) = 1002 s2+200s+1002 En la figura 2 puede verse una representaci´on en frecuencia de los l´ımites de seguimientos impuestos como especificaci´on, entre los que se desea que est´e la funci´on de sensibilidad complementaria del conjunto, tanto para el caso nominal como para todo el rango de incertidumbres. 101102103 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 TL Tu Figura 2: Especificaciones impuestas representadas en frecuencia. {P}ser´ıa en este caso el conjunto de todas las plantas, que incluir´ıa a la nominal y aquellas resultado de las incertidumbres en los par´ametros (Jef , Bef y Km) consecuencia del un modelo aproximado que se utiliza. Para cuantificar esto en el desarrollo que sigue se estimaron las incertidumbres efectivas de la forma Jei =Jnom ±∆J Bei =Bnom ±∆B Kmi =Knom ±∆K siendo los valores con el sub´ındice nom los que aparec´ıan en la tabla mostrada en el apartado anterior y los valores incrementales variables seg´un la articulaci´on en particular. En las figuras 3 y 4 se muestran las curvas representativas de las especificaciones propuestas para las dos primeras articulaciones, as´ı como la funci´on de transferencia en bucle abierto L=P G. En el Toolbox del Matlab no se puede especificar que el control sea de tipo PID, sino simplemente a˜nadir elementos hasta que el controlador tenga la forma deseada caracter´ıstica G(s) = Kvs2+Kps+Ki s −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 X: Phase (degrees) Y: Magnitude (dB) Open−loop: Closed−loop: Frequency: −408.69deg,65.15dB −0.02deg,−0.00dB n/a rad/sec Figura 3: Controlador para la primera articulaci´on −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 X: Phase (degrees) Y: Magnitude (dB) Open−loop: Closed−loop: Frequency: −211.89deg,−107.67dB −211.89deg,−107.67dB n/a rad/sec Figura 4: Controlador para la segunda articulaci´on Esto se puede conseguir con un integrador puro de orden uno y dos ceros reales o bien un cero complejo, siempre eso s´ı, de tal manera que no se incumplan para ninguna de las frecuencias de trabajo las especificaciones solicitadas. Los controladores as´ı dise˜nados para cada una de las articulaciones, se muestran en la tabla 2. nKpKvKi 1 18545 181.8 36364 2 8966 172.4 17241 3 3510 66.225 9434 4 340.2 0 8504.5 5 345.7 0 3457 6 71.46 0 5002 Cuadro 2: Par´ametros de los PID’s de las distintas articulaciones Los resultados obtenidos, para dos de las articulaciones del robot RM-10 se muestran en las figuras 5, 6, 7 y 9. En estas figuras, en trazo discontinuo se representan las trayectorias de referencia para ca- da articulaci´on, mostr´andose en cada caso adem´as un detalle de la zona m´as importante, pudi´endose comprobar la robustez del controlador dise˜nado. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo(segs) Posicion(rads) Trayectoria para la primera Articulacion Referencia Figura 5: Seguimiento de la primera articulaci´on 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 Tiempo(segs) Posicion(rads) Referencia Figura 6: Detalle del seguimiento de la primera articulaci´on 4. Inclusi´on de un Prefiltro en el Sistema de Control La especificaci´on antes definida, por s´ı sola ´unicamente asegura que el valor m´aximo de incertidumbre para cada frecuencia, (esto es, la diferencia entre los valores m´aximos y m´ınimos de la planta) sea menor que la diferencia entre los valores l´ımite de la planta para esa misma frecuencia. |TB(jω)−TA(jω)|<|TU(jω)−TL(jω)| con T∗=P∗G 1 + P∗G 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Tiempo(segs) Posicion(rads) Trayectoria para la segunda de las articulaciones Referencia Figura 7: Seguimiento de la segunda articulaci´on 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 Tiempo(segs) Posicion(rads) Referencia Figura 8: Detalle del seguimiento de la segunda articulaci´on Para que efectivamente se cumpla que para todo P ε{P}, la funci´on de transferencia en bucle cerrado est´e contenida entre las dos definidas en las especificaciones, habr´a que incluir un prefiltro en el dise˜no anterior, de manera que el esquema de control quedar´ıa como aparece en la figura 9. Km s(Jes+Be) - +++ qd tp q Control QFT Prefiltro Figura 9: Controlador y Prefiltro El proceso de dise˜no de los prefiltros con la herramienta QFT de Matlab es similar al utilizado para los controladores. Los controladores y prefiltros obtenidos son los siguientes: G1(s) = 182,65 s2+ 102s+ 200 s G2(s) = 172,4s2+ 52s+ 100 s G3(s) = 44,663 s2+ 39,82s+ 5542,3 s G4(s) = 340,2s+ 8504,5 s G5(s) = 345,7s+ 3457 s G6(s) = 71,46s+ 5002 s F1(s) = 94080 s3+ 108,6s2+ 5088s+ 94080 F2(s) = 3804 s2+ 134s+ 3804 F3(s) = 5160 s2+ 160,2s+ 5160 F4(s) = 9241 s2+ 234,5s+ 9241 F5(s) = 5613 s2+ 150s+ 5613 F6(s) = 5537 s2+ 150s+ 5537 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo(segs) Posicion(rads) Trayectoria para la primera Articulacion Referencia Figura 10: Seguimiento de la primera articulaci´on A˜nadiendo estos nuevos elementos al control del RM-10, se obtienen los resultados mostrados en las figuras 10, 11, 12 y 13 para las dos primeras articulaciones. La l´ınea discontinua, representa la trayectoria de referencia impuesta, mientras que las continuas la trayectoria seguida por la articulaci´on correspondiente para valores nominales y dentro del rango de las incertidumbres. Se muestran tambi´en detalles de las zonas m´as interesantes del seguimiento, correspondientes al final de la trayectoria. 1.9 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 1.56 1.562 1.564 1.566 1.568 1.57 1.572 Tiempo(segs) Posicion(rads) Referencia Figura 11: Detalle del seguimiento de la primera articulaci´on 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Time(segs) Posicion(rads) Trayectoria para la segunda Articulacion Referencia Figura 12: Seguimiento de la segunda articulaci´on 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 0.76 0.765 0.77 0.775 0.78 0.785 0.79 Time(segs) Posicion(rads) Referencia Figura 13: Detalle del seguimiento de la segunda articulaci´on Para el resto de las articulaciones que no se muestran en las figuras, el comportamiento es similar. 5. Conclusiones En este art´ıculo se muestra la aplicaci´on del proceso de dise˜no de controladores tipo QFT para el robot RM-10 disponible en los laboratorios del Instituto de Autom´atica y Rob´otica de Sevilla. Se ha ilustrado como esta t´ecnica mejora la robustez de los controladores cuando se tienen incertidumbres en los par´ametros del modelo del sistema. Reconocimientos Este trabajo ha sido financiado por el proyecto CICYT n´umero DPI2001-2424-C02-01. Referencias [1] G´omez Ortega, J. (1996) “Control de Robots Manipuladores Mediante la T´ecnica del Par Calculado”, Universidad de Sevilla. [2] Yaniv, O. (1999) “Quantitative Feedback Design of Linear and Non Linear Control Systems”, Luwer Academic Publishers, USA. [3] Houpis, Constantine H. and Rasmussen, Steven J. (1999) “Quantitative Feedback Theory”, Marcel Dekker Inc, USA. [4] Nataraj, P.S.V. (2002) “Computation of QFT Bounds for Robust Tracking Specifications”, Automatica 38(2002) pp 327-334.