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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2), 157–170
UNA PERSPECTIVA PARA EL ANÁLISIS DE LA PRÁCTICA
DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS. IMPLICACIONES
METODOLÓGICAS
Ga ilán, José Ma ía1, Ga cía, Ma ía Me cedes1 y Llina es, Sal ado 2
1 Depa amen o de Didác ica de las Ma emá icas. Uni e sidad de Se illa.
2 Depa amen o de Inno ación y Fo mación Didác ica.Uni e sidad de Alican e.
[email p o ec ed]
[email p o ec ed]
[email p o ec ed]
INVESTIGACIÓN
DIDÁCTICA
Resumen. Analiza la p ác ica del p o eso de ma emá icas conlle a explici a un modelo de ap endizaje del es udian e (cons ucción de
conocimien o ma emá ico) y gene a he amien as analí icas que pe mi an explica la de mane a cohe en e con el modelo de ap endizaje asumido.
En es e a ículo in oducimos la he amien a analí ica «modelación de mecanismos de cons ucción de conocimien o» pa a ealiza dicho análisis
e inco po amos la noción de « iñe a» como una mane a de hace explíci o es e p oceso de análisis.
Palab as cla e. P ác ica del p o eso , cons ucción de conocimien o, modelación de mecanismo de cons ucción, de i ada.
A pe spec i e o he analysis o he ma hema ics eache ’s p ac ice. Me hodological implica ions
Summa y. To analyse he ma hema ics eache ’s p ac ice in ol es making explici a model o he s uden ’s lea ning (cons uc ion o ma hema ical
knowledge) and gene a ing analy ic ools ha allow explaining he eache ’s p ac ice in a way cohe en wi h he chosen lea ning model. In his
a icle we in oduce he analy ic ool «modelling o mechanisms o he cons uc ion o knowledge» o ca y ou his analysis and he « igne e»
no ion as he way o make i explici in he analysis o he eache ’s p ac ice.
Keywo ds. Teache ’s p ac ice, cons uc ion o knowledge, modelling o mechanism o cons uc ion, de i a i e.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
158 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
Recien emen e, el análisis de la p ác ica del p o eso
se es á confi gu ando como una p oblemá ica de in es-
igación en el campo de la educación ma emá ica (A -
z y A mou -Thomas, 1999; Ba bé e al., 2005; Che-
alla d, 1999; Escude o, 2003; Leinha d y G eeno,
1986; Ma in e al., 2005; Simon y Tzu , 1999; Scho-
en eld, 2000; Sense y e al., 2005). Desde un pun o de
is a cogni i o, Simon y sus colegas (Simon y Tzu ,
1999, pp. 253-254) señalan que «la p ác ica del p o-
eso no son sólo las cosas que los p o eso es hacen
(planifi ca , e alua , in e ac ua con los es udian es)
sino ambién las cosas que piensan, conocen, c een so-
b e lo que ellos hacen». La «he amien a eó ica» pa a
es udia la p ác ica que u ilizan es os in es igado es
es una adap ación del es udio de casos que denominan
el «in o me de la p ác ica». És e se ealiza desde la
pe spec i a de los in es igado es, «ca ac e izando
cómo el p o eso in en a el a ance del ap endizaje de
los es udian es en un momen o dado» (Simon y Tzu ,
1999, pp. 261-262). Es os in es igado es (Simon e
al., 2000) desde un pun o de is a cons uc i is a
conside an el ap endizaje como la ans o mación de
las concepciones de los es udian es. También desde
pe spec i as cogni i as Schoen eld (2000) y A z
y A mou -Thomas (1999), siguiendo a Leinha d y
G eeno (1986), abo dan el análisis de la p ác ica des-
de la o ganización de las concepciones del p o eso
(incluyendo conocimien o y c eencias).
Po o a pa e, desde un pun o de is a an opológico,
Che alla d (1999) señala que el p o eso asume el
papel de di ec o del p oceso de es udio de las ma e-
má icas en endido como un p oceso social a iculado a
a és de di e en es momen os didác icos (Espinoza y
Azcá a e, 2000) conside ando la infl uencia de las es-
icciones ins i ucionales en el desa ollo de p axeo-
logías didác icas (Ba bé e al., 2005). También desde
la eo ía de las si uaciones didác icas, algunos in es-
igado es (He san y Pe in-Glo ian, 2005; Sense y e
al., 2005) analizan la p ác ica del p o eso en clases
o dina ias (en oposición, en cie o sen ido, a diseños
de ingenie ía didác ica). En es e en oque, las « écni-
cas de enseñanza» empleadas po el p o eso ayudan
a comp ende sus acciones; y su ca ac e ización y
es udio son un obje i o de in es igación al igual que
desde el pun o de is a an opológico (Sense y e al.,
2005).
Finalmen e, el en oque sociocul u al conside a «la ac-
i idad del p o eso » como una o ma de in oduci a
los es udian es en una comunidad de p ác ica (Le man,
2001; Llina es, 2000). Desde es a pe spec i a el análisis
de la p ác ica del p o eso se cen a en modeliza la ma-
ne a en la que el p o eso c ea en su aula las si uaciones
que a o ecen la modifi cación de las o mas de pa ici-
pa de los es udian es en el desa ollo de la ac i idad
ma emá ica desde una pe spec i a social pa a do a de
signifi cado a las nociones ma emá icas a pa i de una
pe spec i a indi idual.
1.1. La noción de ins umen o en el análisis de la
p ác ica del p o eso
La «p ác ica p o esional del p o eso » incluye no sólo lo
que el p o eso hace sino ambién su comp ensión de los
ins umen os y del p opósi o de su uso. Los ins umen os son
en endidos como los medios a a és de los cuales ob ene un
fi n. Así, los ins umen os de la p ác ica son los ecu sos que
u iliza el p o eso pa a ealiza las a eas que la defi nen.
La noción de ins umen o no se efi e e sólo a ma e iales
ísicos sino que engloba odos los medios a disposición
del p o eso . Podemos conside a ins umen os écnicos
(ma e iales didác icos, so wa e, e c.) e ins umen os con-
cep uales como concep os y cons ucciones eó icas que
se gene an a pa i de in es igaciones en Didác ica de las
Ma emá icas y del conocimien o de i ado desde la p ác-
ica. Le man (2001) conside a ins umen os ma e iales y
concep uales, y se efi e e a ideas concep uales ales como
g áfi cos, diag amas, y Hillel (1993) p opone la exis encia
de ecnologías cogni i as (ins umen os concep uales)
ales como los sis emas no acionales (sis emas de ep e-
sen ación). También podemos conside a en e los ins u-
men os el lenguaje hablado (el discu so empleado), los
modos de ep esen ación simbólica, las a eas-p oblema
que plan ea el p o eso y los ma e iales didác icos. El len-
guaje y las a eas-p oblema desde es e pun o de is a son
los «medios» pa a el desa ollo de la ac i idad de enseña
ma emá icas. Desde la pe spec i a sociocul u al se asume
que los ins umen os u ilizados y la o ma en que se u ili-
zan en la p ác ica del p o eso de ma emá icas infl uyen en
el ipo de comp ensión ma emá ica y c eencias de sus es-
udian es. Es a hipó esis conlle a que las in es igaciones
bajo es e en oque empiecen a iden ifi ca aspec os del uso
que el p o eso hace de los ins umen os como medio pa a
ca ac e iza las p ác icas ma emá icas en el aula.
Desde es a pe spec i a podemos plan ea nos cues iones
del siguien e ipo: ¿cómo usa el p o eso el lenguaje, los
p oblemas- a eas ma emá icas, los di e en es modos de
ep esen ación? (Llina es, 2000). En es e sen ido, una
mane a de comp ende la p ác ica del p o eso en es a
pe spec i a implica cen a se en dos aspec os:
– iden ifi ca los ins umen os de la p ác ica que el
p o eso emplea en la ealización/planifi cación de sus
a eas, es deci , el ipo de p oblemas p esen ados a los
es udian es y cómo es án o ganizados, y los modos de
ep esen ación (sis emas de símbolos), y
– ca ac e iza cómo el p o eso usa dichos ins umen os
( ase de ges ión), indicando cuál es el p opósi o de su
uso, es deci , su comp ensión del signifi cado de dichos
ins umen os.
Es as conside aciones son la base del p oblema de in es-
igación que nos plan eamos: ¿cómo los p o eso es guían
la cons ucción del conocimien o ma emá ico en el aula?
El obje i o de la in es igación es desc ibi e in e p e a la
1. UNA MANERA DE ENTENDER LA PRÁCTICA
DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
p ác ica del p o eso desde la pe spec i a de la cons ucción
de conocimien o ma emá ico po enciada en los es udian es.
La azón de se de es e obje i o es que conside amos que el
p o eso , cuando desempeña su abajo en el aula, p e ende
que «sus es udian es cons uyan comp ensión ma emá ica».
Nues a hipó esis es que la p ác ica del p o eso iene efl ejo
en el ap endizaje que alcanza án los es udian es. Po an o,
es e p oblema de in es igación es á si uado en la in e sec-
ción en e la in es igación sob e la p ác ica del p o eso y la
o ma en que se modela el ap endizaje ma emá ico. Como
consecuencia de es e plan eamien o es necesa io explici a
el modelo de ap endizaje.
Nues a p opues a pa a desc ibi e in e p e a la p ác ica
del p o eso se apoya, po una pa e, en la noción de
p ác ica que p opo ciona el en oque sociocul u al (Lli-
na es, 2000), y po o a, en el modelo APOS como mode-
lo eó ico de cons ucción de conocimien o ma emá ico
(Dubinsky, 1996). Desde es a pe spec i a, el en o no
de ap endizaje que el p o eso c ea en su aula, como
con ex o de ap endizaje po encial pa a el es udian e,
debe eni ca ac e izado po los «mecanismos de cons-
ucción cogni i a» que son pe inen es en el p oceso
de cons ucción del conocimien o. Desde es e pun o de
is a, el ipo de a eas que el p o eso p opone y la o ma
en la que las ges iona en el aula (po ejemplo, a a és del
discu so que gene a) son aspec os idóneos pa a obse a
e in e p e a cómo el p o eso guía la cons ucción del
conocimien o en los es udian es.
En es e a ículo ca ac e izamos una he amien a eó ica ge-
ne ada desde pe spec i as sociocul u ales sob e la p ác ica
del p o eso y conside ando la cons ucción del conoci-
mien o desde el modelo APOS, lo que nos pe mi e a on a
el análisis y desc ipción de la p ác ica del p o eso cuando
p e ende p omo e en sus es udian es la cons ucción de co-
nocimien o ma emá ico. Po ello explici amos b e emen e
en la p óxima sección la mane a de en ende la cons uc-
ción del conocimien o ma emá ico desde APOS.
2. UNA FORMA DE ENTENDER LA CONSTRUC-
CIÓN DE CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
El modelo APOS se basa en la dualidad p oceso-obje o.
Es e modelo se apoya en la noción piage iana de «abs ac-
ción efl exi a» (Asiala e al., 1996). La abs acción efl exi-
a es una noción eó ica in oducida po Piage (Piage y
Ga cía, 1983) pa a desc ibi el mecanismo de cons ucción
de conocimien o median e el cual el indi iduo abs ae ca-
ac e ís icas de las acciones y ope aciones sob e los obje os
di e enciándose de la abs acción de ca ac e ís icas ísicas
de los obje os. La abs acción efl exi a pe mi e al indi iduo
« econs ui » lo que ya conoce en un ni el supe io as un
p oceso de ins ucción, in eg ando lo ya conocido.
Dubinsky y sus colabo ado es (1996) plan ean un modelo
de desa ollo de la comp ensión (APOS) pa icula izando
la idea de la abs acción efl exi a en el que conside an di e-
en es o mas de conoce (cons ucciones o concepciones):
acción, p oceso, obje o y esquema; a és as se llega a a és
de di e en es mecanismos de cons ucción: in e io ización,
encapsulación, ema ización... En es e modelo se empieza
po la o ma de conoce , acción en endida como ans o -
maciones de obje os ex e nas al indi iduo. Cuando sólo hay
comp ensión en el ni el de acción, sólo puede ealiza se la
ans o mación cuando hay de alles p ecisos sob e qué
pasos da (po ejemplo, cuando se conocen algo i mos)
(Dubinsky, 1996). Desde es a pe spec i a, las acciones se
in e io izan pa a gene a p ocesos.
La o ma de conoce p oceso es ca ac e izada po Dubins-
ky (1996) como aquella acción que se epi e y sob e la que
el indi iduo efl exiona. Se di e encia de la o ma de cono-
ce acción en que aho a no hay un es ímulo ex e no (mi a
o eco da una ó mula o abla; u iliza un p ocedimien o
algo í mico) que de alla la acción a ealiza . Po ejemplo,
B eidenbach e al. (1992, p. 278), al in es iga el concep o
de unción, iden ifi ca on algunas di e encias en e es as
dos cons ucciones: «La di e encia p incipal en e una
acción y un p oceso es la necesidad en la p ime a de una
ece a o ó mula explíci a que desc iba la ans o mación.
Es más, en una acción se iende a pensa sob e la ans o -
mación en o ma paso-a-paso con los pasos elacionados
solamen e po la ece a.». Po o a pa e, una ez ob enida
la cons ucción p oceso pa a un concep o es posible ob e-
ne nue os p ocesos, median e in e sión de un p oceso, o
bien, po coo dinación de dos p ocesos.
Po o a pa e, Co ill e al. (1996) señalan que hay dos o -
mas de cons ui obje os, a pa i de p ocesos (median e el
mecanismo de encapsulación) o a pa i de esquemas (me-
dian e el mecanismo de ema ización). El mecanismo de
encapsulación p oduce un obje o a pa i de un p oceso. Los
es udian es pueden desencapsula los obje os a a és del
mecanismo de desencapsulación, pa a usa el p oceso del
que p o ienen (Asiala e al., 1996). Los obje os se pueden
ob ene (p oceso encapsulado) a a és de la efl exión sob e
un p oceso y de es e modo se llega a se conscien e del
p oceso como una o alidad (Dubinsky, 1996). Finalmen e,
pa a Asiala e al. (1996) un esquema es una colección cohe-
en e de obje os y p ocesos, que pueden es a in e elacio-
nados en una o ganización más compleja. En la siguien e
fi gu a esquema izamos los elemen os eó icos del modelo
de comp ensión APOS: o mas de conoce y sus elaciones
a a és de los mecanismos de cons ucción.
Ilus ación 1
Modelo APOS: elaciones en e o mas de conoce y mecanismos
de cons ucción.
P oceso
+
P oceso
In e sión
Acción Obje o
EsquemaP oceso
P oceso
Encapsulación
Desencapsulación
Tema ización
Coo dinación
In e io ización
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
160 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
3. LA MODELACIÓN DE MECANISMOS CONS-
TRUCTIVOS
Nues a p opues a pa a el análisis de la p ác ica de i a
de la noción eó ica «descomposición gené ica de un
concep o» in oducida po el g upo RUMEC (Asiala e
al., 1996). Pa a es e g upo de in es igado es, la des-
composición gené ica de un concep o es «un conjun o
es uc u ado de cons ucciones men ales que pueden
desc ibi cómo el concep o puede desa olla se en la
men e de un indi iduo» (Asiala e al., 1996, p. 7). En
es e sen ido, la descomposición gené ica de un concep-
o hace e e encia a las dos componen es del modelo
de comp ensión: o mas de conoce (acción, p oceso,
obje o y esquema) y los mecanismos de cons ucción
(cómo se desa ollan).
Pa a el análisis de la p ác ica del p o eso , desde la pe s-
pec i a de la cons ucción de la comp ensión ma emá ica
que pa ece po encia en sus alumnos, usamos la idea de
«modelación de un mecanismo de cons ucción». Es a
idea es una o ma de da signifi cado, desde la pe spec-
i a de los in es igado es, a las acciones del p o eso ,
a sus decisiones sob e qué p oblemas u iliza y a cómo
ges iona el con enido ma emá ico en el aula y a las jus-
ifi caciones que p opo ciona. La idea de «modelación de
un mecanismo de cons ucción» nos pe mi e habla de
los aspec os de la p ác ica del p o eso que apoyan los
p ocesos de cons ucción po encial del conocimien o en
los es udian es.
Así, la idea «modelación de mecanismos cons uc i-
os» es una in e p e ación del in es igado ace ca de
las acciones, decisiones y jus ifi caciones que el p o-
eso ealiza pa a da cuen a de cómo la ins ucción
ayuda a po encia la gene ación de los mecanismos que
in e namen e debe ealiza el es udian e pa a llega a
comp ende el con enido ma emá ico. Es a in e p e a-
ción del in es igado la ealizamos apoyándonos en la
ca ac e ización de las acciones, decisiones y discu so
del p o eso ealizada en un con ex o específi co. Las
«acciones» del p o eso en es e ipo de in es igaciones
ienen un sen ido amplio incluyendo las decisiones en
elación con las a eas/p oblemas, su secuencia, la o -
ganización del con enido ma emá ico que asume y lo
que «hace» el p o eso (po ejemplo, las ca ac e ís icas
del discu so ma emá ico gene ado y la mane a en la
que ges iona la pa icipación de los es udian es cuando
in en an esol e un p oblema).
Asumimos como hipó esis de pa ida que exis e cie o
pa alelismo en e lo que el p o eso hace y piensa y la
cons i ución de las condiciones en el aula pa a el desa-
ollo de la comp ensión ma emá ica del alumno, jun o
con la mane a en la que el cu ículo limi a o po encia
es as decisiones del p o eso . Desde un pun o de is a
piage iano el «ap endizaje» es un p oceso de adap ación
al medio. En nues o caso uno de los aspec os del medio
es la mane a en la que el p o eso p esen a el con enido
ma emá ico a a és de las a eas que plan ea (lo que
hace y dice) y lo que les pide a los es udian es que deben
hace . Po an o, la p ác ica del p o eso de e mina las
condiciones (po lo menos pa e de ellas) del medio a
a és de las cuales el alumno iene la opo unidad de
ap ende ma emá icas.
El obje i o de es e a ículo es in oduci y jus ifi ca el
uso de la idea eó ica «modelación de mecanismos cons-
uc i os» pa a analiza la p ác ica del p o eso . Pa a
mos a la pe inencia de es a idea en las p óximas sec-
ciones usa emos da os e in e p e aciones p oceden es de
la in es igación ealizada po Ga ilán (2005) cen ada
en el análisis de la p ác ica del p o eso en la enseñanza
de la de i ada en bachille a o.
4. LA NOCIÓN DE «VIÑETA»
4.1. Los da os
Los da os pa a elabo a la iñe a que si e de ejem-
plifi cación aquí p oceden de las ases de planifi cación
de la lección, de la ase de ges ión, y de la efl exión
pos e io (Ga ilán, 2005). Los da os de la ase de
planifi cación son: en e is as sob e la planifi cación, la
unidad didác ica diseñada po el p o eso , el lib o de
ex o o ma e ial usado, e c. Los da os p oceden es de
la ges ión son los ídeos de las sesiones de clase y su
asc ipción ín eg a.
Los da os de la ase de efl exión consis en en las en-
e is as con el p o eso ealizadas después de algunas
sesiones de clase y al fi naliza la unidad didác ica. En
pa icula la en e is a sob e la planifi cación pe mi ía
ob ene in o mación sob e:
a) aspec os gene ales de con ex ualización del g upo de
es udian es;
b) el con enido ma emá ico y la o ma en la que el p o e-
so lo concibe (modos de ep esen ación, elemen os ma-
emá icos y sus elaciones (Sánchez-Ma amo os, 2004;
Sánchez-Ma amo os e al., 2006), di e en es signifi cados
del concep o y elaciones…);
c) la unidad didác ica, con enidos, secuencias de a eas,
obje i os; y
d) aspec os ligados a la comp ensión del ópico ma e-
má ico. Po ejemplo, la p egun a ¿u ilizas el cálculo de
secan es, de pendien es de secan es pa a las de i adas?
enía como obje i o indaga sob e los signifi cados g á-
fi cos de la p ime a de i ada de en x = a [ ’(a)] y la
p esencia de mecanismos de in e io ización de dichos
signifi cados.
De la ase de ges ión, los da os son g abaciones en í-
deo y su asc ipción de odas las sesiones de clase que
cons i uyen la unidad didác ica y las en e is as con el
p o eso y su ansc ipción a lo la go del desa ollo de
la unidad didác ica. En el caso de la in es igación de la
cual p oceden los da os usados en es e a ículo (Ga ilán,
2005), pa a las g abaciones de clase se disponía de una
cáma a de ídeo con mic ó ono de ambien e y un mic ó-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
ono inalámb ico que lle aba el p o eso pa a g aba su
discu so y las in e acciones con los es udian es cuando
es aban en el adio de acción del mismo. Se ecogie on
los ma e iales u ilizados po el p o eso y las colecciones
de p oblemas plan eados en el aula.
4.2. El análisis
El análisis de es os da os iene como obje i o iden i-
fi ca y ca ac e iza «las modelaciones de mecanismos
de cons ucción» y sus posibles elaciones ealizadas
po el p o eso du an e la enseñanza. Dicho análisis
se ealizó en dos ni eles. El p ime ni el ue de na-
u aleza desc ip i a, y pe seguía un doble obje i o.
Po un lado, hace una «inme sión» del in es igado
en los da os, y po o o lado, « educi » el olumen de
da os. En es e sen ido, Powell e al. (2003) indica que
al u iliza ídeos puede sucede que se disponga de
una sob eabundancia de da os po lo que es necesa io
encon a o mas de hace los manejables. Los ídeos
se analiza on siguiendo las p opues as de es os in es-
igado es. Una ez ealizado es e análisis desc ip i o
se dispone de:
– in o mes de las ases de planifi cación, e
– in o mes de la ase de ges ión en los que se ecogen los
obje i os del p o eso (decla ado o a ibuible), el esul a-
do del análisis de las a eas eniendo en cuen a el luga en
la secuencia de planifi cación y la demanda al esolu o ,
los elemen os ma emá icos usados y las elaciones es a-
blecidas en e ellos, los modos de ep esen ación usados
y las elaciones en e ellos, y po úl imo, obse aciones
sob e e en os que pa ecían ele an es pa a la in es iga-
ción.
El segundo ni el de análisis iene un ca ác e in e encial.
Su obje i o es desc ibi la modelación de mecanismos
de cons ucción de la noción de de i ada ealizada po
el p o eso . Es e segundo ni el de análisis se ealiza en
dos ases. En la p ime a ase se u iliza como unidad de
análisis la idea de «segmen o de enseñanza» en endido
como un in e alo empo al de clase ca ac e izado po
la modelación de un mecanismo de cons ucción po el
p o eso . Es a iden ifi cación-in e encia de modelaciones
de mecanismos (en los di e en es segmen os de enseñan-
za) se ealiza eniendo en cuen a el modelo sob e la com-
p ensión ma emá ica APOS. Es a p ime a iden ifi cación
pe mi e el análisis de cada segmen o, que debe se con-
sensuado po al menos dos in es igado es, pa a ealiza
una « iangulación me odológica» (Asiala e al., 1996).
Pa a analiza los segmen os se u ilizan las asc ipciones
de las clases, los in o mes elabo ados en el análisis des-
c ip i o (p ime ni el) eniendo como apoyo las asc ip-
ciones de las en e is as y la unidad didác ica.
De es a o ma se cumple el equisi o de « iangulación»,
que signifi ca que hay que dispone de da os de di e en es
uen es, en e ellas, ídeos de clase, en e is as con el
p o eso , planes pa a la lección, no as de clase… pa a
apoya las in e encias ealizadas (Schoen eld, 2001).
Es e p oceso pe mi e in eg a dos iangulaciones me-
odológicas, una cen ada en la uen e de da os y o a
cen ada en el p ocedimien o de análisis seguido. Los
segmen os de enseñanza iden ifi cados se o denan c o-
nológicamen e y se desc ibe e in e p e a lo que sucede
en ellos. La segunda ase iene como obje i o iden ifi ca
posibles elaciones y coo dinaciones en e concep os que
el p o eso puede es a in en ando ealiza , y pa a ello
se conside an ag upaciones de segmen os en los que se
infi e e conjun amen e la modelación de un nue o meca-
nismo de cons ucción, cons uyéndose de es a mane a
nue os «segmen os» o mados po g upos de segmen os
de la ase p ime a (Ilus ación 2).
En cada ase de es e ni el de análisis se p e ende espon-
de a las siguien es p egun as:
¿Qué mecanismos modela el p o eso con su p ác ica
pa a la noción de de i ada? ¿Qué elaciones es ablece el
p o eso en e los dis in os mecanismos modelados pa a
la noción de de i ada?
De es a mane a, la «modelación de mecanismos de
cons ucción» es una cons ucción eó ica que nos
in o ma de las me as del p o eso en cuan o a los
obje i os de ap endizaje (en el sen ido de o mas de
conoce po enciadas) e in en a da cuen a de cómo la
p ác ica del p o eso cons uye las condiciones en el
aula pa a a o ece la comp ensión de un concep o en
los es udian es (en endida desde la pe spec i a neo-
piage iana dada po el modelo APOS). En el siguien e
cuad o (Ilus ación 3) se de allan los dis in os ni eles
de análisis.
4.3. El p oceso de cons ucción de una iñe a
La iñe a es un in o me sob e aspec os de la p ác ica
del p o eso que in eg a in o mación de di e en es
uen es, asc ipciones de las sesiones de clase, los
in o mes elabo ados en el análisis desc ip i o, la
unidad didác ica, y la desc ipción e in e p e ación de
lo que sucede en los segmen os de enseñanza. En las
« iñe as» además se in eg an in e encias ealizadas
po los in es igado es pa a mos a qué in e p e acio-
nes se han ealizado y su inculación con la e idencia
empí ica.
Ilus ación 2
Ag upación de segmen os de enseñanza.
/
Fase 1
Fase 1

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
162 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
De es a o ma la iñe a es un in o me elabo ado po el
in es igado en el que se incluye:
– el luga c onológico en el que sucede la acción del
p o eso en elación con la unidad didác ica conside ada
globalmen e,
– las a eas que se plan ean a los alumnos y que defi nen
el obje o de in e acción en e el p o eso y los alumnos,
– la o ganización del con enido ma emá ico que el
p o eso po encia (da os que p oceden de la en e-
is a de planifi cación y del análisis ealizado po el
in es igado de la unidad didác ica planifi cada po el
p o eso ),
– lo que el p o eso hace y dice du an e la ges ión a a-
és de la asc ipción del discu so y la desc ipción de lo
que sucede en el aula,
Ilus ación 3
Esquema me odológico: ni eles de análisis y ases.
Plani i cación
En e is a
T asc ipciones de la en e is a
Unidad didác ica
Lib o de ex o
Ges ión
G abaciones de clases en ídeo, en e is as de
desa ollo, ma e iales
T asc ipciones de los ídeos
T asc ipciones de las en e is as
Obse aciones
Fuen e
de da os
Da os
PRIMER NIVEL DE ANÁLISIS
(DESCRIPTIVO)
Unidad de análisis: segmen o
Plani i cación
Pa a cada unidad de análisis:
• Elemen os ma emá icos
• Modos de ep esen ación
• Obje i os del p o eso
• Obse aciones
Ges ión
Pa a cada unidad de análisis:
• Elemen os ma emá icos
• Modos de ep esen ación
• Obje i os del p o eso
• Obse aciones
Ges ión
Pa a cada unidad de análisis:
• Elemen os ma emá icos
• Modos de ep esen ación
• Obje i os del p o eso
• Obse aciones
Plani i cación
Pa a cada unidad de análisis:
• Elemen os ma emá icos
• Modos de ep esen ación
• Obje i os del p o eso
• Obse aciones
G abaciones de las clases
SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS
(INFERENCIAL)
Fase 1
Unidad de análisis: segmen o
SEGUNDO NIVEL DE ANÁLISIS
(INFERENCIAL)
Fase 2
Unidad de análisis: conjun o de segmen os
Segmen o Si
(modelación de mecanismo) i = 1…
Segmen o
(modelación de mecanismo)
Segmen o
(m. de mecanismo)
Segmen o
(m. de mecanismo)
Iden ifi cación
en
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
163
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
– la jus ifi cación que hace el p o eso de la ges ión ea-
lizada, y
– la in e encia ealizada po el in es igado sob e la
modelación del mecanismo de cons ucción que ealiza
el p o eso median e los elemen os ma emá icos y sis-
emas de ep esen ación u ilizados (ins umen os de la
p ác ica).
5. UN EJEMPLO: MODELACIÓN DEL MECA-
NISMO DE INTERIORIZACIÓN
En es e apa ado amos a mos a cómo usamos la idea
de «modelación de mecanismos de cons ucción». Usa-
emos una iñe a de la in es igación de Ga ilán (2005) y
mos a emos cómo a a és de su uso podemos desc ibi
e in e p e a la p ác ica del p o eso .
En la iñe a, Juan (seudónimo) es un p o eso de se-
cunda ia con más de ein e años de expe iencia p o e-
sional y p es ó su colabo ación pa a el desa ollo de la
in es igación. La unidad didác ica que se obse ó es aba
cen ada en la noción de de i ada en 1º de bachille a o.
Es a unidad didác ica ocupó 17 sesiones de clase de una
du ación ap oximada de 45 minu os cada una. El p o-
eso u ilizó una ez po semana so wa e ma emá ico,
Cab i-Géomè e II, disponible pa a el abajo de los
es udian es en g upo.
La iñe a que amos a p esen a se cons uye a pa i de
un «segmen o de enseñanza» iden ifi cado en la e ce a
clase. La iñe a se empieza a gene a desde la ase 1 del
segundo ni el de análisis. Usa emos es a iñe a pa a
ejemplifi ca la mane a en la que la noción «modelación
del mecanismo cons uc i o» pe mi e iden ifi ca las con-
diciones que el p o eso c ea en el aula pa a a o ece
la gene ación de un mecanismo de cons ucción en los
es udian es.
VIÑETA: Paso al lími e del cocien e inc emen al en
con ex o g á i co (de secan e a angen e) y analí ico
( asa de a iación): los p ocesos de ap oximación
La a ea que el p o eso plan ea es:
Calcula la de i ada de (x) = x2 en x = 1
Pa a ges iona es a a ea Juan pone a disposición
de los es udian es una igu a de Cab i II ( ealizada
po él) pa a que la manipulen usando el «a as e»
de pun os (Ilus ación 4). El «a e ac o» cons uido
po el p o eso p opo ciona los alo es de (1) (del
pun o ojo) y la pendien e de la ec a que pasa po
esos pun os.
En la fi gu a de Cab i apa ecen dos pun os: un pun o ne-
g o (1) y un pun o ojo (0,5). Juan pide a los es udian es
que mue an el pun o ojo ap oximándolo al pun o neg o
(1) y que con eccionen una abla mos ando los alo es
del cocien e inc emen al ( (1) – (x))/(1 – x) (Tabla 1).
También les pide que desc iban qué ocu e con la ec a
secan e cuando el pun o ojo (x = 0,5) se ap oxima al ne-
g o (x = 1). Juan y los es udian es an con eccionando la
abla de cocien es u ilizando la fi gu a del o denado . El
diálogo que se gene a en clase en elación con es a a ea
es el siguien e:
Juan (J): Podemos coge el pun o ojo que apa ece ahí. El pun o neg o,
apa ece un pun o neg o sob e el 1, y lo que amos a calcula , lo que
amos a calcula es cómo es á a iando, cómo es á a iando la unción
en el pun o 1.
En onces si noso os amos ap oximando, si noso os nos amos
ap oximando, aquí, cogiéndolo con la mani a el pun o és e <pun o
ojo>, pues nos a omando dis in os alo es.
A a és del discu so gene ado, Juan in en a cen a la
a ención de los es udian es en el p oceso de a iación de
los alo es de (pun o ojo) y de los alo es que a o-
mando el cocien e inc emen al. La mane a en la que Juan
usa el a e ac o cons uido le pe mi e, desde su pun o de
is a, in en a hace isible a los es udian es el p oceso
de a iación, y po an o el paso al lími e a a és del uso
de los elemen os ma emá icos y modos de ep esen a-
ción. En es e momen o hay que ene en cuen a que lo
que el o denado p opo ciona y los alumnos cons uyen
son alo es (en un caso los alo es de la unción y en
o o el del cocien e inc emen al) y lo que Juan in en a
Ilus ación 4
Figu a de Cab i II en la pan alla.
Tabla 1
Tabla de cocien es inc emen ales de (x) = x2 pa a el pun o x = 1.
X 0,59 0,89 0,9 … 1
(1) – (x)
1 – x
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
164 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
hace isible a los es udian es es la « endencia» de es os
alo es. Y es e obje i o lo in en a consegui a a és del
discu so. Es o es lo que jus ifi ca exp esiones como las
que gene a Juan en es e con ex o.
J: Si cogemos es e pun o <pun o ojo> nos amos ap oximando,
¿cuán o me sale la asa de a iación?, ¿qué nos dice el o denado ? Eso
es la pendien e de es a ec a que apa ece aquí.
El a e ac o usado po Juan le pe mi e además elaciona
di e en es modos de ep esen ación con el obje i o de
hace isibles a los es udian es la endencia en la asa de
a iación y los signifi cados ma emá icos de es a a iación.
Así, en es e momen o Juan p e ende que sus es udian es
empiecen a cons ui la idea de elación en e los signifi ca-
dos analí ico ( asa de a iación) y g áfi co (pendien e de la
ec a secan e) median e las modelaciones de dos acciones,
el cálculo de la asa de a iación (elemen o ma emá ico,
modo analí ico) y aza la ec a secan e a la cu a po dos
pun os y su pendien e (elemen o ma emá ico, modo g áfi -
co). En es e caso, las acciones las ealiza el o denado lo
que pe mi e a los es udian es cen a se en la elación.
J: Cuando yo me aya ace cando, o o pun o aquí, 0,63, pues la pen-
dien e que me apa ece 1,63, cuando yo me ace que más. En 0,80 ¿qué
pendien e me apa ece?
Es udian e (E): 1,75
J: Si yo pongo aquí 0,9 ¿qué hay que pone aquí? <Indicando cómo
comple a la abla>.
E: 1,85
Juan p opone a sus es udian es que epi an la acción,
ap oximando el pun o ojo a 1. Desde el pun o de is a
de la descomposición gené ica del concep o de de i a-
da ealizada en la li e a u a (Asiala e al., 1997), los
alumnos deben elaciona los signifi cados g áfi cos y
analí icos de la endencia al lími e de la asa de a iación
(cocien e inc emen al) y del paso de la secan e a la an-
gen e pa a cons ui el signifi cado de la idea de de i ada
(llega a comp ende ). La mane a en la que Juan maneja
el a e ac o cons uido (la a ea con el o denado ), el
discu so gene ado y las e e encias a las elaciones en-
e los modos de ep esen ación deben se conside ados
conjun amen e pa a pode ca ac e iza cómo Juan es á
c eando las condiciones en el aula pa a que sus alum-
nos puedan cons ui el mecanismo de in e io ización
de ’(1). Es a es la azón po la que Juan desa olla el
siguien e discu so:
J: Cuando yo ponga aquí un 1, ¿qué oy yo a ene que pone aquí?
<úl ima columna de la abla>.
E: 1.
J: Cuando es e pun o x se aya ace cando a és e de aquí <pun o ne-
g o>, fi ja os la ec a és a < ec a secan e> ¿a qué a endiendo? ¿a qué
se a pa eciendo? A la ec a angen e a la cu a ¿lo eis o no lo eis?
se a ap oximando, ap oximando…
En es e momen o Juan espe a una espues a de sus alum-
nos que le indique si ellos es án ascendiendo a los da os
que se isualizan en la pan alla del o denado pa a em-
peza a singula iza el signifi cado de la endencia de los
obje os que es á manejando (en es e caso la ec a secan e
y la asa de a iación). Los alumnos esponden:
E: A la angen e.
J: Has a que llega a la angen e, pues lo que engo ealmen e es la ec a
angen e.
E: Sí.
J: A eso es a lo que amos a llama la de i ada. En onces cuando yo
es e pun o <pun o ojo> lo hago ende , se lo hago cada ez más ce ca
del pun o neg o, pues, es a ec a que yo enía aquí que e a una ec a
secan e ¿a dónde? ¿a dónde se nos a a i ?, mi a ¿lo eis? cada ez más
ce ca, cada ez más ce ca, cuando llego al pun o ése, ealmen e ¿qué es
lo que engo aquí? La ec a angen e.
Juan, de mane a in eg ada, a a és de su discu so, de la
ges ión de la a ea y de los modos de ep esen ación, in-
en a pone de manifi es o la e l exión sob e las acciones
plan eando qué sucede con la pendien e y con la ec a se-
can e. Las acciones son ealizadas po el o denado pe o
los es udian es ienen los esul ados de es as acciones en
o ma de dibujo de ec a angen e y alo numé ico de
la asa de a iación. La e l exión sob e los esul ados de
es as acciones se hace imp escindible ya que es necesa-
io «in e i » la endencia de los alo es de las pendien es
a pa i de los alo es de x p óximos a 1, es deci , los
pun os del in e alo es án cada ez más ce canos pa a
la cue da y su pendien e. La epe ición y la efl exión so-
b e las acciones pe mi en ca ac e iza el mecanismo de
in e io ización (Dubinsky, 1996). Pa a ello Juan in en a
iden ifi ca cla amen e el obje o de su discu so y de sus
acciones en los úl imos minu os de la clase iden ifi cán-
dolo median e el uso del símbolo ma emá ico pa a la
de i ada de la unción en x = 1.
J: Realmen e noso os lo que hemos hecho, lo que hemos hecho es
calcula el lími e cuando x iende a 1 de es o de aquí, eso es lo que
hemos hecho, de ( (1) – (x))/(1 – x), es o es lo que se llama el alo
de la de i ada en el pun o 1 y se ep esen a de es a mane a, ’(1), eso
a a se la de i ada, nada más, o sea que a a se únicamen e una
pendien e.
Juan jus ifi ca su o ma de ac ua , la elección de la a ea
y la o ma de hace la indicando una di ección de su
mane a de ac ua . Así, en la en e is a de planifi cación
Juan indicó la necesidad de cen a la a ención de los
es udian es en los p ocesos de ap oximación. En es e
sen ido, cen a la a ención en la idea de « endencia de
la a iación» es un obje i o inculado a los p ocesos
de cons ucción del conocimien o po pa e de los es-
udian es.
J: Con ap oximaciones, cogemos la secan e y aho a amos ob eniendo
un poqui o más, amos ob eniendo cada ez más... una cosa así, que-
emos calcula la de i ada en el pun o, pendien e, pendien e has a que
nos aya saliendo la angen e. Una cosa así, que emos calcula la de i-
ada en el pun o, pendien e, pendien e has a que nos aya saliendo la
angen e. Sí, ambién algunas eces lo hacemos, amos, es o es lo que
e digo que le hago en el p og ami a. Cla o an así, amos endiendo
hacia el pun o y lo que amos cogiendo ealmen e una secan e, cogién-
dola, echándola pa a acá, has a... y an calculando las pendien es en
cada momen o, en onces aho a enemos la angen e.
En los p ocesos de cons ucción del conocimien o
desde un pun o de is a neopiage iano se asume que
el ap endizaje es á cons i uido po «sal os cuali a i os»
(sal os de ni el), que pe mi en a los indi iduos e el
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
165
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(2)
conocimien o desde pe spec i as di e en es como una
unción de la adap ación al medio. Desde es a mane a
de e el p oceso de cons ucción del conocimien o
esul an impo an es las condiciones que el p o eso
c ea en el aula pa a que se puedan da es os «sal os
cuali a i os». El mecanismo de «in e io ización de las
acciones» p opugnado desde el modelo APOS es uno
de es os mecanismos cogni i os que ca ac e izan el
p oceso de cons ucción del conocimien o. La mane a
en la que el p o eso c ea las condiciones en el aula pa a
que los es udian es puedan gene a es e «sal o cuali a i-
o» cons i uye la azón de se de la inculación en e la
enseñanza y el ap endizaje.
El hecho de que el p o eso jus ifi que sus decisiones en
elación con el ipo de a ea plan eada, con lo que les
pide a los alumnos en clase y con las ca ac e ís icas del
discu so gene ado en el aula, en unción de las condi-
ciones que él c ee que son las idóneas pa a po encia
la gene ación de los mecanismos de cons ucción del
conocimien o, es lo que globalmen e pe mi e habla
de «modelación de los mecanismos cons uc i os» po
pa e del p o eso . En es e caso, Juan cen ó su a en-
ción en los p ocesos de ap oximación ( endencia de las
a iaciones) y en que sus alumnos do a an de sen ido
a es a endencia desde di e en es modos de ep esen-
ación y sus elaciones. Así, el uso más o menos ans-
pa en e (Llina es, 2000) de los di e en es modos de
ep esen ación po pa e del p o eso es á en unción de
c ea las condiciones pa a que los es udian es puedan
gene a de e minados mecanismos de cons ucción del
conocimien o. La desc ipción de es a isión global de
lo que sucede en de e minados momen os de una clase
(los segmen os de enseñanza) es el obje i o de es e
análisis y en la que la idea de «modelación de mecanis-
mos cons uc i os» es una mane a de hace e e encia
de una mane a in eg ada a lo que sucede y a po qué
sucede. Así, en de e minados momen os de la p ác ica
del p o eso enemos e e encias de la elación en e la
enseñanza y el ap endizaje a a és de la modelación de
mecanismos de cons ucción.
Es e hecho pe mi e conside a que las ideas in e idas en
es a ap oximación me odológica pe mi en desc ibi los
undamen os de la p ác ica del p o eso . Así, en una de
las en e is as de desa ollo, Juan indicó:
J: Elegí enseña les el mé odo de ap oximaciones, la angen e me-
dian e un g áfi co de un o denado po que c eo que es lo que e da
más juego. En una clase e da iempo a e muchos pun os ap oxi-
mando y e lo una y o a ez sin ene que esc ibi en la piza a,
de una o ma más di ec a… (pa a que) se hagan idea de qué es
ealmen e ap oxima , cómo pueden coge pun os ap oximándolos al
o o y cómo a a iando la angen e, cómo a a iando en p incipio
la secan e y a endiendo hacia la angen e geomé ica de la cu a,
ésa e a la idea.
En el documen o de la unidad didác ica Juan señaló:
J: En es e sen ido se puede hace una buena isualización de la ob en-
ción de la ec a angen e como lími e de secan es a a és del p og ama
MAPLE median e la u ina wi h (plo s): anima e({x^2, ( + 2)*(x – 2)
+ 4|). Que co esponde a la unción x2 en x = 1».
Aunque Juan hace e e encia en es e momen o al p o-
g ama MAPLE que luego no usó, lo que impo a aquí
es sub aya la jus ifi cación que da del uso de los p og a-
mas in o má icos pa a modela la idea de ap oximación
sucesi a y el paso al lími e del cocien e inc emen al
como una mane a de ayuda a los es udian es a do a de
signifi cado a la idea de de i ada. En es e sen ido, las de-
cisiones de usa un de e minado so wa e es án di igidas
po la necesidad de gene a en el aula unas condiciones
cen adas en la iden ifi cación po pa e de los es udian es
de la endencia de la a iación (el mé odo de las ap oxi-
maciones como lo denomina Juan). Hace én asis en es e
aspec o del con enido ma emá ico de ’(a) y conside a
en su a gumen ación el «mecanismo cogni i o que se
supone deben gene a los es udian es pa a cons ui el
signifi cado de es os elemen os ma emá icos» es lo que
globalmen e denominamos «modelación de los mecanis-
mos cons uc i os». Es a o ma de usa es a idea eó ica
en el análisis de la p ác ica del p o eso iene el po encial
de pe mi i al in es igado «i más allá» de lo que se e
en el aula, y en pa icula , «i más allá de las p opias
acciones del p o eso ».
El hecho de que en la planifi cación Juan u ie a p e is o
usa ecu sos didác icos con el fi n de c ea las condi-
ciones en el aula pa a a o ece la gene ación de los
mecanismos cons uc i os –en es e caso el mecanismo
de in e io ización de las acciones inculadas a la idea de
’(a)– se manifi es a en el én asis en pode isualiza el
p oceso de ap oximación de la secan e hacia la angen e.
La mane a de ac ua de Juan pe seguía isualiza la idea
de ’(a) in eg ando lo analí ico y lo g áfi co.
Es as efl exiones es án en consonancia con las des-
c ipciones de Asiala e al. (1997, p. 407) dadas pa a el
mecanismo de in e io ización pa a ’(a), en e o os, en
el modo g áfi co:
1 . G áfi co: la acción de conec a dos pun os de una
cu a y o ma la cue da que es la pa e de la ec a
secan e a a és de los dos pun os, jun o con la acción
de calcula la pendien e de la línea secan e po los dos
pun os…
2o. G áfi co: in e io ización de las acciones del pun o 1a
a un p oceso cuando los dos pun os de la g áfi ca de la
unción es án «cada ez más p óximos».
Co ill e al. (1996) señalan que cuando son necesa ios
infi ni os cálculos pa a ob ene un concep o, és e sólo
puede se comp endido en la o ma de conoce p oceso.
Es e aspec o apa ece en la a ea p opues a po Juan cuan-
do p e ende comple a la abla de cocien es inc emen a-
les y en la o ma en que jus ifi ca el uso de los ecu sos
didác icos p e is os, la na u aleza de la a ea elegida y el
ipo de discu so gene ado.
El aspec o de la p ác ica de Juan in e ida desde es e seg-
men o, la modelación del mecanismo de in e io ización
y la in eg ación de lo g áfi co y lo analí ico a a és de la
ecnología pueden se desc i os g áfi camen e a a és de
los elemen os ma emá icos y modos de ep esen ación
(Ilus ación 5).