CONTROL NO LINEAL ROBUSTO DE UNA
MAQUETA DE HELIC ´
OPTERO CON ROTORES
DE VELOCIDAD VARIABLE
Manuel L´opez-Ma ´ınez ∗Manuel G. O ega ∗
Ca los Vi as ∗F ancisco R. Rubio ∗
∗Dep . Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica.
Escuela T´ecnica Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de
Se illa. Camino de los Descub imien os s/n. 41092-Se illa.
Co eos: {mlm,mo ega,c i as, ubio}@esi.us.es
Resumen: En es e a ´ıculo se p esen a el dise˜no de un con olado obus o no
lineal pa a un helic´op e o de labo a o io. El equipo se ca ac e iza po ene los
´angulos de a aque de las h´elices de los o o es fijos y se con ola median e el
cambio de elocidad de los o o es a a ´es de dos mo o es de accionamien o
di ec o. El sis ema esul an e es mul i a iable (de 2 en adas y 4 salidas)
al amen e no lineal y ue emen e acoplado. La aplicaci´on p esen ada en es e
a ´ıculo conside a el dise˜no de un sis ema de con ol obus o con echazo de
pe u baciones pe sis en es, basado en linealizaci´on po ealimen aci´on y dos
con olado es con es uc u a PID dise˜nados a pa i de un con olado LQR con
e ec o in eg al a˜nadido. La me odolog´ıa ha sido sa is ac o iamen e e ificada po
medio de esul ados expe imen ales. Copy igh c
2007 CEA-IFAC
Palab as cla e: Con ol obus o, linealizaci´on po ealimen aci´on, modelado y
con ol no lineal de helic´op e os.
1. INTRODUCCI´
ON
Es e a ´ıculo p esen a la s´ın esis y aplicaci´on de
un con olado no lineal pa a el seguimien o de
ayec o ias con echazo de pe u baciones a una
maque a de helic´op e o.
En helic´op e os con encionales el con ol de o ien-
aci´on y posici´on se consigue po medio de cam-
bios ap opiados de inclinaci´on de las h´elices de los
o o es, lo cual se lle a a cabo con los ac uado-
es c´ıclico y colec i o, mien as que se man ienen
cons an es las elocidades de los o o es. Es e
hecho, jun o con no-linealidades y acoplamien os
in ´ınsecos, hace a es os sis emas especialmen e
di ´ıciles de con ola , pues o que los pa es y ue -
zas necesa ios no son di ec amen e aplicados, sino
que son ansmi idos a a ´es de los e ec os ae o-
din´amicos de las h´elices de los o o es. Sin emba -
go, es os sis emas han sido ex ensi amen e in es-
igados dando luga a un n´ume o de aplicaciones
de con ol que aba ca desde ´ecnicas lineales de
con ol obus o (Walke y Pos le hwai e, 1996;
Pos le hwai e e al., 1999) a o as m´as ecien es
no lineales como en (Kung e al., 2002; A ila e
al., 2003).
Po el con a io en maque as de helic´op e o de
labo a o io, es usual abaja con ´angulos de a a-
que de pala fijo y mo o es de elocidad a iable,
ya que el dise˜no mec´anico del mismosesimplifi-
ca y se educen conside ablemen e los cos es de
ab icaci´on. El uso de maque as o simulado es
ha dwa e p esen an en ajas cuando se in es iga
en el campo del con ol de helic´op e os ya que, al
a a se de sis emas no lineales al amen e acopla-
h p:// iai.isa.up .es
ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Núm. 3, Julio 2007, pp. 46-60
Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
Figu a 1. Maque a de helic´op e o.
dos, el con ol es una a ea a dua. Po es e mo i o,
el uso de simulado es aumen a la p oduc i idad
y educe el iempo de desa ollo. Es o, a la ez,
pe mi e in es iga y apo a en nue as ´ecnicas de
con ol pa a helic´op e os, al ma gen de los bien co-
nocidos PID. Los con olado es PID desacoplados
ya han sido empleados con ´exi o en helic´op e os
au ´onomos a escala en aplicaciones eales, como
po ejemplo (Mon gome y, 1999; Mej´ıas e al.,
2006; Agui e, 2001).
En cuan o al con ol de o o es de elocidad a-
iable, es a ´ecnica se ha usado p e e en emen e
en mic o helic´op e os de un solo o o , de 4 o-
o es, de un o o y doble pala, e c, habi´endose
con ibuido con impo an es abajos (Bouadba-
llah e al., 2004; Cas illo e al., 2007; Al ug e
al., 2002; Deng e al., 2003). Es as pla a o mas
equie en poco espacio pa a expe imen aci´on y
pe mi en ep oduci condiciones pa ecidas a las
de un helic´op e o a escala. ´
Es e es el caso del
equipo empleado en es e a ´ıculo (figu a 1), don-
de el con ol se lle a a cabo exclusi amen e po
medio de la ensi´on el´ec ica de los mo o es con
´angulo de a aque de pala fijos. Hay que esal-
a que es a simplificaci´on mec´anica no necesa-
iamen e se aslada a una simplificaci´on de la
din´amica del sis ema a con ola . Po el con a io,
los pa es y ue zas necesa ios pa a con ola el
sis ema son aplicados no s´olo a a ´es de e ec os
ae odin´amicos, sino ambi´en a a ´es del e ec o
de acoplamien o que apa ece en e la din´amica de
los o o es y la del cue po de la maque a, como
consecuencia del p incipio de acci´on- eacci´on o i-
ginado en la acele aci´on y decele aci´on de los g u-
pos mo o -h´elice. Es os e ec os de acoplamien o
ienen implicaciones impo an es en el con ol de
la din´amica del sis ema. Se puede demos a que
omando como salidas los ´angulos de gui˜nada y
cabeceo, una linealizaci´on po ealimen aci´on de la
din´amica comple a da luga a una din´amica ce o
ines able (L´opez-Ma ´ınez, 2005), po lo que no
se puede emplea es a ´ecnica di ec amen e. Es e
hecho, unido con las ince idumb es de modelado,
especialmen e en el ango de al a ecuencia, hace
que el sis ema sea incluso m´as di ´ıcil de con ola
que un helic´op e o con encional, al menos em-
pleando ´ecnicas b´asicas de con ol. Una o ma
cl´asica de hace en e a es a dificul ad es hace
uso de algunas hip´o esis simplificado as basadas
en la exis encia de a ias escalas de iempo co-
mo consecuencia de la di e encia de alo es de
momen osdeine ciaen eelcue podelama-
que a y los g upos mo o -h´elice. De es a o mase
jus ifica el desacoplo de las din´amicas del cue po
del sis ema y de los g upos mo o -h´elice, de al
mane a que una linealizaci´on pa cial del sis ema
pueda se aplicada sin da luga a una din´ami-
ca ce o ines able. Con es as hip´o esis, el sis ema
linealizado po ealimen aci´on es ´acompues o po
sis emas en cascada ealimen ados y se le pueden
aplica di e sas ´ecnicas de con ol especialmen e
dise˜nadas pa a es os sis emas.
En es e a ´ıculo se p esen a un con olado di-
se˜nado pa a el seguimien o de ayec o ias. El
dise˜no del con olado se ha ealizado empleando
sepa aci´on de escalas de iempo, linealizaci´on po
ealimen aci´on de la din´amica educida, con lo
que la din´amica del cue po queda desacoplada
y linealizada, siendo equi alen e a dos sis emas
independien es doble in eg ado . Es as din´amicas
educidas se ´an con oladas po dos con olado-
es PID cuyos polos se ´an ob enidos empleando
un dise˜no pa a egulaci´on median e con olado es
LQR con e ec o in eg al.
El a ´ıculo es ´aes uc u adodelasiguien e
mane a: en el apa ado 2 se desc ibe el sis ema.
En las secciones 3 y 4 se p esen an las ecuacio-
nes de mo imien o comple as y las ca ac e ´ıs icas
es ´a icas de los o o es. Seguidamen e, en la sec-
ci´on 5 se ealizan cie as conside aciones sob e la
simplificaci´on del modelo a endiendo a la exis en-
cia de a ias escalas de iempo. A con inuaci´on,
en el apa ado 6 se explica la linealizaci´on po
ealimen aci´on lle ada a cabo, as´ıcomoeldise˜no
del con olado ex e no LQR con e ec o in eg al.
En la secci´on 7 se p esen an dis in os esul ados
expe imen ales. Finalmen e, en la secci´on 8 se
mues an las conclusiones m´as ele an es.
M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 47
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2. DESCRIPCI´
ON DEL SISTEMA
La maque a de helic´op e o empleada en es e
a ´ıculo, se denomina Twin Ro o MIMO Sys em
yhasido ab icadapo laemp esa Feedback Ins-
umen s L d. Toda la in o maci´on e e en e al
ha dwa e empleado, senso es, ac uado es, a je a
de adquisici´on, as´ıcomodelaimplemen aci´on
de los con olado es en iempo eal bajo in e az
ex e na de Windows (Real Time Ke nel Dynamic
Linked Lib a y), puede encon ase en los manuales
del equipo (Feedback Ins umen s L d., 1996).
La maque a es ´acompues a de un cue po que
gi aa a ´es de dos ejes de o aci´on lib e (figu a
1).Elsis emaes ´a p opulsado po dos h´elices
si uadas en planos pe pendicula es (Mullhaup e
al., 1997), aunque exis en o as maque as de he-
lic´op e o con configu aci´on de h´elices en pa alelo
como la u ilizada en (Ga c´ıa-Sanz, 2006). Es e
disposi i o es un sis emamul i a iable, no lineal
y ue emen e acoplado, con g ados de libe ad en
los ´angulos de cabeceo y gui˜nada (deno ados po
ξyθ espec i amen e) medidos median e enco-
de s, as´ıcomo en las posiciones angula es de los
o o es p incipal y de cola (deno ados po γand
α espec i amen e), donde se emplean ac´ome os
pa a medi sus elocidades de gi o. La figu a 2
mues a esquem´a icamen e la no aci´on usada en
el a ´ıculo.
Los dos o o es ienen sus ´angulos de a aque de
pala fijos. De es a o ma, el sis ema se con ola
a iando las elocidades angula es de los o o es.
De acue do con el p incipio de acci´on- eacci´on,
es o da luga a la gene aci´on de un pa esul an e
aplicado al cue po de la maque a que lo hace gi a
en sen ido con a io del gi o del o o p incipal.
Po lo an o, el sis ema se e a ec ado po dos
ipos de ue zas, las ue zas dependien es de elo-
cidad ylas ue zas dependien es de acele aci´on o
ue zas ine ciales.
Las ecuaciones de mo imien o pueden se ob e-
nidas esol iendo la o mulaci´on din´amica de La-
g ange (Mullhaup e al., 1997). Pa a una des-
c ipci´on m´as de allada del modelado y del p o-
cedimien o de iden ificaci´on se pueden consul a
los anexos. Se ha de ene en cuen a que el sis e-
macomple o iene cua o g ados de libe ad: los
´angulos de gui˜
nada θy cabeceo ξ; y las elocidades
del o o p incipal ˙γydecola ˙α. Po an o, al
aplica el m´e odo de Lag ange se ob ienen cua o
ecuaciones de mo imien o: dos ac uadas, co es-
pondien es a las ecuaciones de los g upos mo o -
h´elice de cola y p incipal ; y dos no ac uadas,
co espondien es a los mo imien o de gui˜nada y
cabeceo del sis ema( ´ease secci´on 3). Po an o,
es e sis ema es subac uado (Fan oni y Lozano,
2002), ya que el n´ume o de acciones de con ol
( ensiones de los mo o es) es meno que el n´ume o
de g ados de libe ad del sis ema(´angulos del
cue po de la maque a y elocidades de los o o es).
3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Pa iendo de la Lag angiana, se pueden ob ene
las cua o ecuaciones de mo imien o siguiendo
los p ocedimien os de mec´anica anal´ı ica (Dan a,
1982; Golds ein, 1987):
L=T−U (1)
d
d ∂L
∂˙qj−∂L
∂qj
=τj(2)
τj=
n

i=1 Fp
i·∂ p
i
∂qj=
n

i=1 Fp
i·∂Vp
i
∂˙qj(3)
donde
L: Lag angiana o al del sis ema.
T:Ene g´ıa cin´e ica o al del sis ema.
U:Ene g´ıa po encial o al del sis ema.
qj: Cada uno de los cua o g ados de libe ad.
τj: Cada uno de los pa es gene alizados.
Fp
i: Cada una de las ue zas aplicadas en un
pun o.
 p
i: Posici´on del pun o de aplicaci´on de la ue za.
Vp
i: Velocidad del pun o de aplicaci´on de la ue -
za.
3.1 Ob enci´on de la Lag angiana del Sis ema
La ob enci´on de la Lag angiana del sis emase
ha lle ado a cabo descomponiendo el sis emaen
cua o cue pos ( ´ease figu a 2): el b azo de gi o,
que denomina emos cue po 0; el esquele o p inci-
pal, que denomina emos cue po 2; el g upo mo o -
h´elice g ande, que denomina emos cue po 3 y el
g upo mo o -h´elice peque˜na, que denomina emos
cue po 4. Hay que acla a que en la no aci´on em-
pleada, los ejes 1 es ´an ese ados pa a el sis ema
de e e encia ine cial.
En p ime luga se han de e minado los pa ´ame-
os ´ısicos de cada uno de los cue pos: dimensio-
nes, masa y enso es de ine cia espec o de sus ejes
p incipales. En segundo luga , se han ob enido los
ec o es de posici´on y elocidades de los cen os de
g a edad de cada uno de los cue pos, as´ıcomode
sus elocidades angula es. Po ´ul imo pa a cada
uno de los cue pos se ha calculado su ene g´ıa
cin´e ica y po encial g a i a o ia a pa i de las
exp esiones
Tx=1
2Mx(Vp
x1)2+1
2ωT
x1·¯
Ip
x·ωx1+MxPG
T
x·(Vp
x1∧ωx1)
Uo
x=Mxghx(4)
48 Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable
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Z0
Z2
Z3
Z4
P
A
O
Q
Y4
X4X1
Y1
Y0
X0
X2
Y2
X3
Y3
αξ
θ
γ
Figu a 2. No aci´on de ´angulos del sis ema.
Tabla 1. Valo es de los pa ´ame os del sis ema
T´e mino alo unidades
Iθ(ξ)−7,1·10−4sin(2ξ)+1,1·10−2+5,6·10−2cos2(ξ)kg·m2
Iθξ(ξ)=Iξθ(ξ)1,6·10−3cos(ξ)+2,7·10−5sin(ξ)kg·m2
Iξ6,7·10−2kg·m2
Im1,6·10−5kg·m2
I 6,3·10−5kg·m2
Cθξ(ξ)−1,6·10−3sin(ξ)+2,6·10−5cos(ξ)kg·m2
Cξθ(ξ)−7,1·10−4+2,8·10−2sin(2ξ)+1,4·10−2cos2(ξ)kg·m2
A1(ξ)−2,8·10−3cos2(ξ)+1,4·10−3−5,6·10−2sin(2ξ)kg·m2
d11(ξ)2,3·10−5sin(2ξ)kg·m2
d22(ξ)2,6·10−4sin(ξ)kg·m2
d13(ξ)−6,9·10−5sin(ξ)kg·m2
G(ξ)1,9·10−1cos(ξ)+2,8·10−1sin(ξ)N·m
Kθ=Kξ3·10−3kg·m2/s
Dm(˙γ)2,5·10−4|˙γ|˙γN·m
Lm(˙γ)2,5·10−1Fm(˙γ)N·m
Fm(˙γ)a |˙γ|˙γ+ ˙γ, a =2,9·10−4,
a N
Bm(˙γ)6,8·10−4˙γN·m
D (˙α)3,9·10−5|˙α|˙αN·m
L (ξ, ˙α, ˙γ)−1·10−2sin(ξ)+2,7·10−1cos(ξ)F (˙α)−5,5·10−2sin(ξ)Fm(˙γ)N·m
F (˙α)ah|˙α|˙α+h˙α, ah=3,3·10−5,
hahN
B (˙α)4,5·10−3˙αN·m
donde
x: Cue po a analiza , x=0,2,3,4.
Mx: Masa del cue po x.
Vp
x1: Velocidad lineal del pun o p del cue po x
espec o de los ejes ine ciales 1 ( ´ease figu a 2).
ωx1: Velocidad angula del cue po x espec o de
los ejes ine ciales 1.
¯
Ip
x: Tenso de Ine cia del cue po x espec o del
pun o p.
PG
x: Vec o de posici´on del cen o de g a edad
Gdel cue po x espec o del pun o p.
g: Acele aci´on de la g a edad (9,8m/s2).
hx: Al u a del cen o de g a edad del cue po x.
Finalmen e, se ha ob enido la Lag angiana o al
del sis emasumando las Lag angianas de cada
uno de los cua o cue pos ( ´ease anexo B), calcu-
landolaene g´ıa cin´e ica y po encial de cada cue -
po, eniendo en cuen a sus masas y dimensiones, y
po an o sus momen os de ine cia espec o de los
ejes de gi o implicados en los mo imien os de los
dis in os cue pos. En los anexos se adjun a una
desc ipci´on de cada uno de los cue pos, as´ıcomo
los alo es de los pa ´ame os ´ısicos.
3.2 Ecuaciones de mo imien o
Aplicando las ecuaciones (1), (2) y (3) esul a:
I ¨α+¨
ξ=U −(B ˙α+D (˙α)) (5)
Im¨γ+¨
θcos(ξ)=Im˙
θ˙
ξsin(ξ)+Um−(Bm˙γ+Dm(˙γ))
(6)
donde (5) y (6) son las ecuaciones de mo imien o
co espondien es a los g ados de libe ad de las
h´elices de cola y p incipal espec i amen e, siendo
´es as las a iables ac uadas. Del mismomodo, (7)
y (8) son las ecuaciones de mo imien o co espon-
dien esalosg adosdelibe addegui˜nada y ca-
beceo espec i amen e, siendo ´es as las a iables
subac uadas.
Iθ(ξ)¨
θ+Iθξ(ξ)¨
ξ+Imcos(ξ)¨γ+Cθξ(ξ)˙
ξ2+A1(ξ)˙
ξ˙
θ+
+d11(ξ)˙α˙
θ+d13(ξ)˙γ˙
ξ+Kθ˙
θ=−Dm(˙γ)cos(ξ)+L (ξ, ˙α, ˙γ)
(7)
Iξθ(ξ)¨
θ+Iξ¨
ξ+I ¨α+Cξθ(ξ)˙
θ2+d22(ξ)˙γ˙
θ+G(ξ)+Kξ˙
ξ=
=−D (˙α)+Lm(˙γ)(8)
M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 49
Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
La no aci´on empleada es la siguien e:
θ:´
Angulo de gui˜nada ( ad).
ξ:´
Angulo de cabeceo ( ad).
˙α: Velocidad angula del o o de cola ( ad/s).
˙γ: Velocidad angula del o o p incipal ( ad/s).
Iξ,Iθξ(ξ)yIθ(ξ):Momen os de ine cia del cue po
de la maque a.
ImyI :Momen os de ine cia del o o p incipal
ydecola, espec i amen e.
Cθξ(ξ), Cξθ(ξ):T´e minos Cen ´ı ugos.
A1(ξ)ydij (ξ):T´e minos de Co iolis.
KθyKξ:T´e minos de icci´on iscosa del cue po.
G(ξ): Pa de g a edad.
Dm(˙γ)yD (˙α): Pa de a as e de la h´elice
p incipal ydecola, espec i amen e.
Lm(˙γ)yL (ξ, ˙α, ˙γ): Pa es ae odin´amicos gene-
ados po las h´elices p incipal ydecola, espec-
i amen e y que dependen de las ue zas de p o-
pulsi´on del o o p incipal Fm(˙γ)ydel o o de
cola F (˙α).
BmyB :T´e minos de icci´on iscosa de los
g upos mo o -h´elice p incipal ydecola, espec-
i amen e.
UmyU :Pa mo o de los g upos mo o -h´elice
p incipal ydecola, espec i amen e.
De es e modelo se puede obse a , con s´olo ana-
liza la ecuaci´on (5), que el pa mo o aplicado
al mo o de cola U se in ie e en la acele aci´on
de la h´elice de cola y la acele aci´on de cabeceo.
Es o da ´aluga aquecambios p og amados de
la elocidad del o o de cola median e es e pa ,
a ec a ´an di ec amen e al ´angulo de cabeceo. Del
mismomodo, analizando la ecuaci´on (6), se puede
obse a que cambios p og amados de la elocidad
del o o p incipal median e el pa Um, a ec a ´an
al ´angulo de gui˜nada.
En la abla 1 se p esen an los alo es de los di-
e en es pa ´ame os, los cuales han sido iden ifi-
cados median e di e sos expe imen os y ´ecnicas
de dise˜no asis ido po compu ado (CAD) ( ´eanse
anexos pa a m´as in o maci´on).
4. CARACTER´
ISTICAS EST´
ATICAS DE LOS
ROTORES
A con inuaci´on se p esen an las g ´aficas co es-
pondien esalasca ac e ´ıs icas es ´a icas de los
o o es. De es as g ´aficas se han ob enido Fm
(Lm), Dm,Bm,F (L ), D yB del modelo.
Ca ac e ´ıs ica elocidad-p opulsi´on
N´o ese que las ca ac e ´ıs icas de p opulsi´on pue-
den se iden ificadas median e modelos cuad ´a i-
cos en elocidad ob eni´endose un e o cuad ´a ico
medio acep able. Sin emba go, en la li e a u a
es bas an e ecuen e encon a modelos lineales
de p opulsi´on, los cuales ep esen an ´unicamen e
una ap oximaci´on local de las ue zas de p opul-
si´on en o no a un pun o de ope aci´on. En es e
a ´ıculo se han iden ificado modelos de p opulsi´on
cuad ´a ico-lineales (a|ω|ω+εω), ya que cap u an
el compo amien o es ´a ico de los o o es an o
con al as elocidades como con elocidades muy
p ´oximas a ce o, siendo linealizables en el o igen.
Las figu as 3 y 4 ep esen an las ca ac e ´ıs icas
es ´a icas de los o o es p incipal y de cola es-
pec i amen e. En ellas se mues a comocambian
las ue zas de p opulsi´on con o mela elocidadde
los o o es aumen a. Pa a ob ene dichas ca ac-
e ´ıs icas se ealiza on dos ipos de expe imen os:
el p ime o de ellos, midiendo las elocidades de los
o o es con ac´ome os y es imando las ue zas de
p opulsi´on con las ecuaciones de mo imien o (7) y
(8) en ´egimen pe manen e; y el segundo, midien-
do las ue zas de p opulsi´on con dinam´ome os.
Ca ac e ´ıs ica elocidad-pa mo o
Las figu as 5 y 6 ep esen an las ca ac e ´ıs icas de
elocidad y se˜nal de en ada de los mo o es. De
es as ca ac e ´ıs icas se ob end ´an an o los mode-
los de icci´on iscosa de los mo o es (bω), como
los modelos de a as e de las h´elices cuad ´a i-
cos (a|ω|ω) y lineales (˜aω). Pa a ob ene dichos
pa ´ame os se han empleado las ecuaciones de
mo imien o de los o o es (5) y (6) en ´egimen
pe manen e.
5. SIMPLIFICACI´
ON DEL MODELO
En la clase de sis emas que nos ocupa, es usual
conside a , comohip´o esis de simplificaci´on, que
los momen os de ine cia de los g upos mo o -h´elice
son desp eciables con espec o a los momen os de
ine cia del cue po de la maque a. Es deci ,
Im,I
Iξ,I
θ,I
θξ
Teniendo en cuen a es o, la din´amica del sis ema
puede se sepa ada en dos escalas de iempo
(Reinie e al., 1996; Khalil, 2002), di e enci´andose
dos din´amicas:
Din´amica ´apida, que hace e e encia a la
din´amica de los ac uado es, es deci , de los
g upos mo o -h´elice.
Din´amica len a (Sis ema educido), que hace
e e encia a la din´amica del cue po de la
maque a, conc e amen e a las din´amicas de
gui˜nada y cabeceo.
Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable
50
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Figu a 3. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o p incipal
- ue za de p opulsi´on.
0 20 40 60 80 100 120
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Ca ac e ís ica elocidad o o de cola−Fue za
Velocidad del o o ( ad/s)
Fue za de la hélice(New ons)
expe imen al
cuad a ica
cuad a ica−linea
l
Fh = a·w
p
2
a = 3.2985e−005
Fh = a·wp
2+ε·wp
ε=1e−7
Figu a 4. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o de cola -
ue za de p opulsi´on.
Adem´as, asumiendo que el con olado del g upo
mo o -h´elice, que se u iliza pa a egula las e-
locidades de los mo o es, es de al a ganancia, se
puede en onces conside a que los mo o es acele-
an sua emen e, de al mane a que las ue zas
dominan e en la din´amica son las debidas a e ec os
ae odin´amicos en ez de a ue zas ine ciales.
Bajo es as hip´o esis, la acele aci´on de los o o es
puede desp ecia se en la ca ac e izaci´on de la
din´amica len a, y consecuen emen e las ecuaciones
del mo imien o del sis ema educido, ob enidas de
las ecuaciones (7) y (8), pueden se ap oximadas
po la siguien e exp esi´on ma icial:
Iθ(ξ)Iθξ(ξ)
Iθξ(ξ)Iξ¨
θ
¨
ξ+A1(ξ)˙
ξ˙
θ+Cθξ(ξ)˙
ξ2
Cξθ(ξ)˙
θ2+
0
G(ξ)+Kθ˙
θ
Kξ˙
ξ+d11(ξ)˙α˙
θ+d13(ξ)˙γ˙
ξ
d22(ξ)˙γ˙
θ=ζθ
ζξ
(9)
Figu a 5. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o p incipal
-pa mo o .
Figu a 6. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o de cola -
pa mo o .
donde los ´e minos ζθyζξ, ep esen an los pa es
de p opulsi´on esul an es aplicados sob e los ejes
de mo imien o Z0yX2 espec i amen e ( ´ease
figu a 2), y que se han definido como:
ζθ.
=−Dm(˙γ) cos(ξ)+L (ξ, ˙α, ˙γ)
ζξ.
=−D (˙α)+Lm(˙γ)
De es e modo el pa de p opulsi´on esul an e de
cabeceo ζξdepende an o del pa de p opulsi´on de
la h´elice p incipal, como del pa de a as e de la
h´elice de cola. An´alogamen e, el pa de p opulsi´on
esul an e de gui˜nada ζθdepende an o del pa de
p opulsi´on de la h´elice de cola, comodelpa de
a as e de la h´elice p incipal.
Po o o lado, puede obse a se que el ´e mino
d11 ˙α˙
θ+d13 ˙γ˙
ξd
22 ˙γ˙
θTpuede se in e p e ado
comounaumen o de icci´on iscosa debido al
mo imien o de los o o es Kθ˙
θK
ξ˙
ξT.
M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 51
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LINEALIZACIÓN
POR REALIMENTACIÓN
ACONDICIONAMIENTO
------------------------------
PAR DESEADO EN
EJES
------------------------------
VELOCIDADES
DESEADAS EN
ROTORES
CONTROL DE
VELOCIDAD DE
ROTORES
SISTEMA DE
DOBLE
ROTOR
Velocidad de los o o es
Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo
Velocidad de los o o es
Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo
P I D
(LQR-INT)
+
-
Re e encia
Posición
y
Velocidad
guiñada y
cabeceo
Re e encia Acele ación
guiñada y cabeceo
+
++
-
Figu a 7. Esquema gene al de con ol.
6. LINEALIZACI´
ON POR
REALIMENTACI´
ON
En la figu a 7 se mues a un esquema gene al
de la es uc u a de con ol eal implemen ada.
En ella se obse an es ealimen aciones p in-
cipales: la p ime a de ellas, co espondien e a la
ealimen aci´on de las elocidades de los o o es, la
cual se emplea pa a un con ol en cascada de los
mismos; la segunda de ellas, incluyendo adem´as
las posiciones y elocidades de gui˜nada y cabeceo,
se usa pa a una linealizaci´on po ealimen aci´on;
y la e ce a de ellas, pa a el con olado ex e io .
Pa a el dise˜no del con olado ex e no, se ha em-
pleado el modelo no lineal del sis ema educido
(9), se ha ealizado una linealizaci´on po eali-
men aci´on en ada-salida ( ´ease figu a 8), ob e-
ni´endose que las sumas de los g ados ela i os
del sis ema es igual a la dimensi´on del mismo
(din´amica ce o i ial (Isido i, 1999)). De es a o -
ma se consigue a la ez un desacoplamien o de las
en adas y salidas, as´ıcomo una linealizaci´on del
sis ema con i i´endolo en dos dobles in eg ado es
desacoplados. Es o se puede e si se eesc iben
las ecuaciones del sis ema educido (9) definiendo
q=[q1,q
2]T=[θ, ξ]T∈R2,y
M(q)=Iθ(ξ)Iθξ(ξ)
Iθξ(ξ)Iξ,
C(q, ˙q)˙q=A1˙
ξ˙
θ+Cθξ ˙
ξ2,C
ξθ ˙
θ2T,
F(˙q)=d11ω ˙
θ+d13ωm˙
ξ+Kθ˙
θ,d22ωm˙
θ+Kξ˙
ξT,
G(q)=[0,G]T,
N(q, ˙q)=C(q, ˙q)˙q+F(˙q)+G(q),
siendo la exp esi´on esul an e
M(q)¨q+N(q, ˙q)=τ(10)
donde τ=[ζθ,ζ
ξ]Tson los pa es gene alizados
aplicados sob e las a iculaciones (las se˜nales de
en ada del sis ema). Adem´as, se ha conside ado
pa a el desa ollo, que los es ados qy˙qson
accesibles. Usando q ,˙q y¨q pa a deno a la
posici´on a icula de e e encia, la elocidad y la
acele aci´on, espec i amen e, se puede defini el
ec o de e o de seguimien o, x,como
x( )=˙e( )e( )$e( )d T
donde e=q −q. Aplicando el m´e odo de linealiza-
ci´on po ealimen aci´on al sis ema (10), se ob iene
la siguien e es uc u a de con ol
τ=M(q)ν+N(q, ˙q) (11)
De es a o ma¨q=ν=M−1(τ−N), siendo τla
ley de con ol linealizan e (pa calculado (Spong y
Vidyasaga , 1989)), y νla ley de con ol ex e na,
la cual se ´adise˜nada pa a hace que la e oluci´on
empo al del es ado sea exponencial, es deci ,
la din´amica enga gobe nada po la siguien e
ecuaci´on di e encial ˙x+kx = 0, donde kes un
ec o cons an e de dise˜no. Pa a ello, se oma ´a
ν=¨q +¯ν
¯ν=k ˙e+kpe+ki%
0
ed .
As´ı, la ecuaci´on del e o esul an e iene dada
po
¨e+k ˙e+kpe+ki%
0
ed =0.
En gene al, apa ece ´a un pa adicional de pe -
u baci´on ω( , x) sob e el pa calculado, debido
a los e ec os o ales de e o es de modelado y a
las pe u baciones ex e nas. Po ello la ecuaci´on
del e o se e a ec ada, pudi´endose exp esa es e
e ec o como
¨e+k ˙e+kpe+ki%
0
ed =ω( , x).(12)
Si la unci´on de pe u baci´on ω( , x) se pudie a
aco a comoω( , x)≤γx, es deci , se des-
anecie a con o me se ue a ace cando al o igen
Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable
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Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo
P I D
(LQR-INT)
+
-
Re e encia
Posición
y
Velocidad
guiñada y
cabeceo
LINEALIZACIÓN
POR REALIMENTACIÓN
ACONDICIONAMIENTO
------------------------------
PAR DESEADO EN
EJES
------------------------------
VELOCIDADES
DESEADAS EN
ROTORES
MODELO
REDUCIDO DE
DOBLE
ROTOR
Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo
Velocidades de los o o es
DOBLE INTEGRADOR MULTIVARIABLE
Re e encia Acele ación
guiñada y cabeceo
+
+
υυ
−
Figu a 8. Esquema de con ol con linealizaci´on po ealimen aci´on.
x=0, en onces, en i ud de que el equilib io del
sis ema sin pe u ba es globalmen e exponencial-
men e es able, el equilib io del sis ema pe u bado
se ´ıa ambi´en globalmen e exponencialmen e es a-
ble (Khalil, 2002).
En el caso de que la unci´on de pe u baci´on no
se des anezca en el o igen, s´olo se puede asegu a
que el sis ema e oluciona de o ma exponencial
has acie oins an ede iempo, a pa i del cual
las ayec o ias de x( )es ´an aco adas en una bola
p ´oxima al equilib io (Khalil, 2002).
Pa a el caso de una pe u baci´on man enida y
cons an e ω( , x)=ω, se puede deduci de la
ecuaci´on del e o (12), que en ´egimen pe ma-
nen e se ´ael ´e mino in eg al el que abso ba la
pe u baci´on, po lo que el e o en posici´on en
´egimen pe manen e se ´anulo.
6.1 C´alculo del con olado ex e no
Posición de guiñada y cabeceo
+
-
Re e encia
Posición
de
guiñada y
cabeceo
2
1
s
i
p
k
kks
s
++
e
_
υ
Figu a 9. Esquema del con olado ex e no.
El dise˜no del con olado ex e no
¯ν=k ˙e+kpe+ki%
0
ed ,
que iene es uc u a de PID lineal ( ´ease figu a 9),
se ealiza ´adise˜nando un con olado LQR pa a
un sis ema de segundo o den m´as un in eg ado
adicional ( ´ease figu a 10). Es deci , el ´e mino
in eg al del PID se ha conside ado comopa e
de un nue o sis ema a con ola . De es a o ma,
se dise˜na ´a un con olado LQR pa a un iple
in eg ado , dando luga a es cons an es ki,kp,
k ,quese ´an las que fijen los polos en bucle
ce ado del sis ema, los cuales se ob ienen de
esol e el polinomio ca ac e ´ıs ico s3+k s2+
kps+ki=0.
+
-
01
s
1
s
1
s
[, ,]
pi
kkk
E o
en elocidad
E o
en posición
In eg al del e o en
posición
Figu a 10. Esquema de con olado con es ado
accesible.
El sis ema lineal de la figu a 10 iene ca ac e iza-
do en el espacio de es ados po las ma ices
A=⎡
⎣
000
100
010
⎤
⎦,B=⎡
⎣
1
0
0⎤
⎦.(13)
Pa a la implemen aci´on p ´ac ica del con ol po
compu ado , se ha ealizado el dise˜no del con-
olado LQR en iempo disc e o, empleando un
iempo de mues eo de Ts=0,01 segundos. Pa a
el ajus e del con olado se han omado como
ma ices de ponde aci´on, Qpa a penaliza el es-
ado x,yRpa a penaliza la se˜nal de con ol ¯ν
(Rubio y L´opez, 1996). De es a o ma se han fijado
Q=CC,conC=[0,1,1], R=0,1pa ael
con ol de cabeceo, y R= 10 pa a el con ol de
gui˜nada.
6.2 Con ol en cascada
Una ez que se ha calculado el pa a aplica a
cada uno de los ejes, se ob ienen las elocidades
M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 53
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de e e encia pa a cada uno de los g upos mo o -
h´elice. Pa a mejo a el compo amien o del sis-
emacomple o se ha in oducido un con ol en
cascada en los mo o es, de al mane a que no
exis a e o en ´egimen pe manen e en e las elo-
cidades deseadas y las elocidades eales, y que el
iempo ca ac e ´ıs ico de los g upos mo o -h´elice
con olados, sean desp eciables con espec o a los
iempos ca ac e ´ıs icos de e oluci´on del cue po de
la maque a del helic´op e o.
Pa a ganancias suficien emen e g andes de es-
os con olado es y eniendo en cuen a que, po
a˜nadidu a, los momen os de ine cia de los g upos
mo o -h´elice son muy peque˜nos con espec o a
los del cue po, se consigue el obje i o deseado.
Un an´alisis de es abilidad ealizado po medio de
la eo ´ıa de sis emas singula men e pe u bados
mues a que pa a alo es suficien emen e g an-
des de las ganancias del con olado , los dis in os
pun os de equilib io del espacio de abajo del
sis emacomple o, conside ando oda la din´amica,
son localmen e exponencialmen e es ables (L´opez-
Ma ´ınez, 2005).
7. RESULTADOS EXPERIMENTALES
En es e apa ado se an a p esen a dos expe-
imen os en los que se a a pone a p ueba la
capacidad del con olado pa a el echazo de pe -
u baciones. Se han p og amado e e encias que
cambian de o manosimul ´anea en gui˜nada y
cabeceo pa a comp oba el desacoplamien o con-
seguido. Las e e encias empleadas son polinomios
de quin o o den, las cuales ienen la en aja de
ene bien definidas sus dos p ime as de i adas
espec o al iempo, es deci , las elocidades y ace-
le aciones de e e encia, pa a pode se empleadas
en la es uc u a de con ol.
Un sis emadees e ipoes ´asome ido cons an e-
men e a pe u baciones p o ocadas po las u bu-
lencias del ai e gene adas po el e ec o suelo. Pa a
examina desde un pun o de is a m´as obje i o la
capacidad de echazo a pe u baciones del mismo,
se ha p opues o el siguien e expe imen o: Se ha
in oducido un pa de pe u baci´on en el eje de
gui˜nada, el cual se puede modela comounpa de
o si´on, es deci , un pa p opo cional al ´angulo de
gui˜nada gi ado, τd=−kTθ. Pa a in oduci dicho
pa se ha empleado un cable plano pa a uni las
pa es m´o iles que gi an en gui˜nada. Al p oduci se
el gi o en gui˜nada, el cable plano se compo a
comounp´endulo de o si´on, oponi´endose al gi o.
En la figu a 11 se mues a la espues a del sis e-
ma con olado median e el con olado p opues-
o (LR-PID-LQRi: Linealizaci´on po Realimen-
aci´on, con PID ex e no calculado median e un
LQR con e ec o In eg al), bajo la influencia de
dicho pa de o si´on. La influencia de es e pa se
obse a di ec amen e en el ´angulo de gui˜nada, e
indi ec amen e debido al acoplamien o en el ´angu-
lo de cabeceo. Es e e ec o se ap ecia an o en los
p ime os ins an es (segundos 10 al 20), comoen
el cambio de ayec o ia en e los segundos 30 al
35. Se puede obse a como el con olado co ige
el e ec o de la pe u baci´on lle ando el ´angulo de
gui˜nada sob e la ayec o ia. O o de los compo -
amien os ca ac e ´ıs icos de es e sis emaeselde
ase no m´ınima, obse able en e los segundos 5 al
10, y que se puede explica a pa i de las ecuacio-
nes comple as del sis ema (5)-(6)-(7)-(8). Cuan-
do las elocidades de los o o es son peque˜nas,
las ue zas de p opulsi´on son ambi´en peque˜nas,
siendo dominan es las ue zas de ine cia. De es a
o ma, cuando se aumen a el pa mo o del o o
p incipal, se p oduce un e ec o m´as ´apido en el
´angulo de gui˜nada como consecuencia del acopla-
mien o ine cial, que en el ´angulo de cabeceo como
consecuencia de la ue za de p opulsi´on del p opio
o o . El mismo en´omeno ocu e en el o o de
cola.
Se ha lle ado a cabo ambi´en un segundo expe i-
men o, en el que se ha in oducido el modelado
de la pe u baci´on den o del modelo del sis ema.
Pa a medi el pa ´ame o kTse ha empleado un
dinam´ome o, si uado en el cen o del o o , egis-
ando los alo es de los pa es de o si´on esul an-
es pa a di e sos ´angulos de gui˜nada, ob eni´endo-
se un alo medio ap oximado de kT=0,008
Nm/ ad.
De es a o maycomomues a la figu a 12, la
pe u baci´on ha sido compensada pa cialmen e
an o en e los segundos 10 al 20, comoen e
los segundos 30 al 35. Sin emba go ambi´en hay
que deci que la espues a po el cambio de a-
yec o ia en el ´angulo de cabeceo, ha a dado un
poco m´as en se compensada po el con olado
ex e no ¯ν,compa ada con la de la figu a 11. En
ambas figu as, se puede obse a ambi´en comolas
elocidades de los mo o es sa u an en pendien e
pa a los ins an es 50 al 55.
Ambos expe imen os han sido dise˜nados pa a lle-
a al equipo al m´aximo de sus posibilidades,
es deci , se ha eco ido p ´ac icamen e odo el
espacio de abajo y se han alcanzado los alo es
m´aximos de elocidad y acele aci´on de mo o es,
p oduci´endose la sa u aci´on de los mismos. En es-
os l´ımi es an o las ca ac e ´ıs icas de los mo o es,
como los di e en es pa es que en an en juego (g a-
edad, Co iolis y cen ´ı ugos), es ´an muy lejos de
se lineales, po lo que el empleo de con olado es
lineales ipo PID, linealizando en o no a un pun o
de abajo, s´olo es ´a jus ificado pa a con ola el
sis emaenun angopeque˜no del espacio de aba-
jo, y no pa a odo el espacio de abajo, eni´endose
que op a po ajus es muy conse ado es en los
Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable
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