Control no lineal robusto de una maqueta de helicóptero con rotores de velocidad variable

CONTROL NO LINEAL ROBUSTO DE UNA MAQUETA DE HELIC ´ OPTERO CON ROTORES DE VELOCIDAD VARIABLE Manuel L´opez-Ma ´ınez ∗Manuel G. O ega ∗ Ca los Vi as ∗F ancisco R. Rubio ∗ ∗Dep . Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica. Escuela T´ecnica Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa. Camino de los Descub imien os s/n. 41092-Se illa. Co eos: {mlm,mo ega,c i as, ubio}@esi.us.es Resumen: En es e a ´ıculo se p esen a el dise˜no de un con olado obus o no lineal pa a un helic´op e o de labo a o io. El equipo se ca ac e iza po ene los ´angulos de a aque de las h´elices de los o o es fijos y se con ola median e el cambio de elocidad de los o o es a a ´es de dos mo o es de accionamien o di ec o. El sis ema esul an e es mul i a iable (de 2 en adas y 4 salidas) al amen e no lineal y ue emen e acoplado. La aplicaci´on p esen ada en es e a ´ıculo conside a el dise˜no de un sis ema de con ol obus o con echazo de pe u baciones pe sis en es, basado en linealizaci´on po ealimen aci´on y dos con olado es con es uc u a PID dise˜nados a pa i de un con olado LQR con e ec o in eg al a˜nadido. La me odolog´ıa ha sido sa is ac o iamen e e ificada po medio de esul ados expe imen ales. Copy igh c 2007 CEA-IFAC Palab as cla e: Con ol obus o, linealizaci´on po ealimen aci´on, modelado y con ol no lineal de helic´op e os. 1. INTRODUCCI´ ON Es e a ´ıculo p esen a la s´ın esis y aplicaci´on de un con olado no lineal pa a el seguimien o de ayec o ias con echazo de pe u baciones a una maque a de helic´op e o. En helic´op e os con encionales el con ol de o ien- aci´on y posici´on se consigue po medio de cam- bios ap opiados de inclinaci´on de las h´elices de los o o es, lo cual se lle a a cabo con los ac uado- es c´ıclico y colec i o, mien as que se man ienen cons an es las elocidades de los o o es. Es e hecho, jun o con no-linealidades y acoplamien os in ´ınsecos, hace a es os sis emas especialmen e di ´ıciles de con ola , pues o que los pa es y ue - zas necesa ios no son di ec amen e aplicados, sino que son ansmi idos a a ´es de los e ec os ae o- din´amicos de las h´elices de los o o es. Sin emba - go, es os sis emas han sido ex ensi amen e in es- igados dando luga a un n´ume o de aplicaciones de con ol que aba ca desde ´ecnicas lineales de con ol obus o (Walke y Pos le hwai e, 1996; Pos le hwai e e al., 1999) a o as m´as ecien es no lineales como en (Kung e al., 2002; A ila e al., 2003). Po el con a io en maque as de helic´op e o de labo a o io, es usual abaja con ´angulos de a a- que de pala fijo y mo o es de elocidad a iable, ya que el dise˜no mec´anico del mismosesimplifi- ca y se educen conside ablemen e los cos es de ab icaci´on. El uso de maque as o simulado es ha dwa e p esen an en ajas cuando se in es iga en el campo del con ol de helic´op e os ya que, al a a se de sis emas no lineales al amen e acopla- h p:// iai.isa.up .es ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Núm. 3, Julio 2007, pp. 46-60 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Figu a 1. Maque a de helic´op e o. dos, el con ol es una a ea a dua. Po es e mo i o, el uso de simulado es aumen a la p oduc i idad y educe el iempo de desa ollo. Es o, a la ez, pe mi e in es iga y apo a en nue as ´ecnicas de con ol pa a helic´op e os, al ma gen de los bien co- nocidos PID. Los con olado es PID desacoplados ya han sido empleados con ´exi o en helic´op e os au ´onomos a escala en aplicaciones eales, como po ejemplo (Mon gome y, 1999; Mej´ıas e al., 2006; Agui e, 2001). En cuan o al con ol de o o es de elocidad a- iable, es a ´ecnica se ha usado p e e en emen e en mic o helic´op e os de un solo o o , de 4 o- o es, de un o o y doble pala, e c, habi´endose con ibuido con impo an es abajos (Bouadba- llah e al., 2004; Cas illo e al., 2007; Al ug e al., 2002; Deng e al., 2003). Es as pla a o mas equie en poco espacio pa a expe imen aci´on y pe mi en ep oduci condiciones pa ecidas a las de un helic´op e o a escala. ´ Es e es el caso del equipo empleado en es e a ´ıculo (figu a 1), don- de el con ol se lle a a cabo exclusi amen e po medio de la ensi´on el´ec ica de los mo o es con ´angulo de a aque de pala fijos. Hay que esal- a que es a simplificaci´on mec´anica no necesa- iamen e se aslada a una simplificaci´on de la din´amica del sis ema a con ola . Po el con a io, los pa es y ue zas necesa ios pa a con ola el sis ema son aplicados no s´olo a a ´es de e ec os ae odin´amicos, sino ambi´en a a ´es del e ec o de acoplamien o que apa ece en e la din´amica de los o o es y la del cue po de la maque a, como consecuencia del p incipio de acci´on- eacci´on o i- ginado en la acele aci´on y decele aci´on de los g u- pos mo o -h´elice. Es os e ec os de acoplamien o ienen implicaciones impo an es en el con ol de la din´amica del sis ema. Se puede demos a que omando como salidas los ´angulos de gui˜nada y cabeceo, una linealizaci´on po ealimen aci´on de la din´amica comple a da luga a una din´amica ce o ines able (L´opez-Ma ´ınez, 2005), po lo que no se puede emplea es a ´ecnica di ec amen e. Es e hecho, unido con las ince idumb es de modelado, especialmen e en el ango de al a ecuencia, hace que el sis ema sea incluso m´as di ´ıcil de con ola que un helic´op e o con encional, al menos em- pleando ´ecnicas b´asicas de con ol. Una o ma cl´asica de hace en e a es a dificul ad es hace uso de algunas hip´o esis simplificado as basadas en la exis encia de a ias escalas de iempo co- mo consecuencia de la di e encia de alo es de momen osdeine ciaen eelcue podelama- que a y los g upos mo o -h´elice. De es a o mase jus ifica el desacoplo de las din´amicas del cue po del sis ema y de los g upos mo o -h´elice, de al mane a que una linealizaci´on pa cial del sis ema pueda se aplicada sin da luga a una din´ami- ca ce o ines able. Con es as hip´o esis, el sis ema linealizado po ealimen aci´on es ´acompues o po sis emas en cascada ealimen ados y se le pueden aplica di e sas ´ecnicas de con ol especialmen e dise˜nadas pa a es os sis emas. En es e a ´ıculo se p esen a un con olado di- se˜nado pa a el seguimien o de ayec o ias. El dise˜no del con olado se ha ealizado empleando sepa aci´on de escalas de iempo, linealizaci´on po ealimen aci´on de la din´amica educida, con lo que la din´amica del cue po queda desacoplada y linealizada, siendo equi alen e a dos sis emas independien es doble in eg ado . Es as din´amicas educidas se ´an con oladas po dos con olado- es PID cuyos polos se ´an ob enidos empleando un dise˜no pa a egulaci´on median e con olado es LQR con e ec o in eg al. El a ´ıculo es ´aes uc u adodelasiguien e mane a: en el apa ado 2 se desc ibe el sis ema. En las secciones 3 y 4 se p esen an las ecuacio- nes de mo imien o comple as y las ca ac e ´ıs icas es ´a icas de los o o es. Seguidamen e, en la sec- ci´on 5 se ealizan cie as conside aciones sob e la simplificaci´on del modelo a endiendo a la exis en- cia de a ias escalas de iempo. A con inuaci´on, en el apa ado 6 se explica la linealizaci´on po ealimen aci´on lle ada a cabo, as´ıcomoeldise˜no del con olado ex e no LQR con e ec o in eg al. En la secci´on 7 se p esen an dis in os esul ados expe imen ales. Finalmen e, en la secci´on 8 se mues an las conclusiones m´as ele an es. M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 47 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. 2. DESCRIPCI´ ON DEL SISTEMA La maque a de helic´op e o empleada en es e a ´ıculo, se denomina Twin Ro o MIMO Sys em yhasido ab icadapo laemp esa Feedback Ins- umen s L d. Toda la in o maci´on e e en e al ha dwa e empleado, senso es, ac uado es, a je a de adquisici´on, as´ıcomodelaimplemen aci´on de los con olado es en iempo eal bajo in e az ex e na de Windows (Real Time Ke nel Dynamic Linked Lib a y), puede encon ase en los manuales del equipo (Feedback Ins umen s L d., 1996). La maque a es ´acompues a de un cue po que gi aa a ´es de dos ejes de o aci´on lib e (figu a 1).Elsis emaes ´a p opulsado po dos h´elices si uadas en planos pe pendicula es (Mullhaup e al., 1997), aunque exis en o as maque as de he- lic´op e o con configu aci´on de h´elices en pa alelo como la u ilizada en (Ga c´ıa-Sanz, 2006). Es e disposi i o es un sis emamul i a iable, no lineal y ue emen e acoplado, con g ados de libe ad en los ´angulos de cabeceo y gui˜nada (deno ados po ξyθ espec i amen e) medidos median e enco- de s, as´ıcomo en las posiciones angula es de los o o es p incipal y de cola (deno ados po γand α espec i amen e), donde se emplean ac´ome os pa a medi sus elocidades de gi o. La figu a 2 mues a esquem´a icamen e la no aci´on usada en el a ´ıculo. Los dos o o es ienen sus ´angulos de a aque de pala fijos. De es a o ma, el sis ema se con ola a iando las elocidades angula es de los o o es. De acue do con el p incipio de acci´on- eacci´on, es o da luga a la gene aci´on de un pa esul an e aplicado al cue po de la maque a que lo hace gi a en sen ido con a io del gi o del o o p incipal. Po lo an o, el sis ema se e a ec ado po dos ipos de ue zas, las ue zas dependien es de elo- cidad ylas ue zas dependien es de acele aci´on o ue zas ine ciales. Las ecuaciones de mo imien o pueden se ob e- nidas esol iendo la o mulaci´on din´amica de La- g ange (Mullhaup e al., 1997). Pa a una des- c ipci´on m´as de allada del modelado y del p o- cedimien o de iden ificaci´on se pueden consul a los anexos. Se ha de ene en cuen a que el sis e- macomple o iene cua o g ados de libe ad: los ´angulos de gui˜ nada θy cabeceo ξ; y las elocidades del o o p incipal ˙γydecola ˙α. Po an o, al aplica el m´e odo de Lag ange se ob ienen cua o ecuaciones de mo imien o: dos ac uadas, co es- pondien es a las ecuaciones de los g upos mo o - h´elice de cola y p incipal ; y dos no ac uadas, co espondien es a los mo imien o de gui˜nada y cabeceo del sis ema( ´ease secci´on 3). Po an o, es e sis ema es subac uado (Fan oni y Lozano, 2002), ya que el n´ume o de acciones de con ol ( ensiones de los mo o es) es meno que el n´ume o de g ados de libe ad del sis ema(´angulos del cue po de la maque a y elocidades de los o o es). 3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Pa iendo de la Lag angiana, se pueden ob ene las cua o ecuaciones de mo imien o siguiendo los p ocedimien os de mec´anica anal´ı ica (Dan a, 1982; Golds ein, 1987): L=T−U (1) d d ∂L ∂˙qj−∂L ∂qj =τj(2) τj= n  i=1 Fp i·∂ p i ∂qj= n  i=1 Fp i·∂Vp i ∂˙qj(3) donde L: Lag angiana o al del sis ema. T:Ene g´ıa cin´e ica o al del sis ema. U:Ene g´ıa po encial o al del sis ema. qj: Cada uno de los cua o g ados de libe ad. τj: Cada uno de los pa es gene alizados. Fp i: Cada una de las ue zas aplicadas en un pun o.  p i: Posici´on del pun o de aplicaci´on de la ue za. Vp i: Velocidad del pun o de aplicaci´on de la ue - za. 3.1 Ob enci´on de la Lag angiana del Sis ema La ob enci´on de la Lag angiana del sis emase ha lle ado a cabo descomponiendo el sis emaen cua o cue pos ( ´ease figu a 2): el b azo de gi o, que denomina emos cue po 0; el esquele o p inci- pal, que denomina emos cue po 2; el g upo mo o - h´elice g ande, que denomina emos cue po 3 y el g upo mo o -h´elice peque˜na, que denomina emos cue po 4. Hay que acla a que en la no aci´on em- pleada, los ejes 1 es ´an ese ados pa a el sis ema de e e encia ine cial. En p ime luga se han de e minado los pa ´ame- os ´ısicos de cada uno de los cue pos: dimensio- nes, masa y enso es de ine cia espec o de sus ejes p incipales. En segundo luga , se han ob enido los ec o es de posici´on y elocidades de los cen os de g a edad de cada uno de los cue pos, as´ıcomode sus elocidades angula es. Po ´ul imo pa a cada uno de los cue pos se ha calculado su ene g´ıa cin´e ica y po encial g a i a o ia a pa i de las exp esiones Tx=1 2Mx(Vp x1)2+1 2ωT x1·¯ Ip x·ωx1+MxPG T x·(Vp x1∧ωx1) Uo x=Mxghx(4) 48 Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Z0 Z2 Z3 Z4 P A O Q Y4 X4X1 Y1 Y0 X0 X2 Y2 X3 Y3 αξ θ γ Figu a 2. No aci´on de ´angulos del sis ema. Tabla 1. Valo es de los pa ´ame os del sis ema T´e mino alo unidades Iθ(ξ)−7,1·10−4sin(2ξ)+1,1·10−2+5,6·10−2cos2(ξ)kg·m2 Iθξ(ξ)=Iξθ(ξ)1,6·10−3cos(ξ)+2,7·10−5sin(ξ)kg·m2 Iξ6,7·10−2kg·m2 Im1,6·10−5kg·m2 I 6,3·10−5kg·m2 Cθξ(ξ)−1,6·10−3sin(ξ)+2,6·10−5cos(ξ)kg·m2 Cξθ(ξ)−7,1·10−4+2,8·10−2sin(2ξ)+1,4·10−2cos2(ξ)kg·m2 A1(ξ)−2,8·10−3cos2(ξ)+1,4·10−3−5,6·10−2sin(2ξ)kg·m2 d11(ξ)2,3·10−5sin(2ξ)kg·m2 d22(ξ)2,6·10−4sin(ξ)kg·m2 d13(ξ)−6,9·10−5sin(ξ)kg·m2 G(ξ)1,9·10−1cos(ξ)+2,8·10−1sin(ξ)N·m Kθ=Kξ3·10−3kg·m2/s Dm(˙γ)2,5·10−4|˙γ|˙γN·m Lm(˙γ)2,5·10−1Fm(˙γ)N·m Fm(˙γ)a |˙γ|˙γ+ ˙γ, a =2,9·10−4, a N Bm(˙γ)6,8·10−4˙γN·m D (˙α)3,9·10−5|˙α|˙αN·m L (ξ, ˙α, ˙γ)−1·10−2sin(ξ)+2,7·10−1cos(ξ)F (˙α)−5,5·10−2sin(ξ)Fm(˙γ)N·m F (˙α)ah|˙α|˙α+h˙α, ah=3,3·10−5, hahN B (˙α)4,5·10−3˙αN·m donde x: Cue po a analiza , x=0,2,3,4. Mx: Masa del cue po x. Vp x1: Velocidad lineal del pun o p del cue po x espec o de los ejes ine ciales 1 ( ´ease figu a 2). ωx1: Velocidad angula del cue po x espec o de los ejes ine ciales 1. ¯ Ip x: Tenso de Ine cia del cue po x espec o del pun o p. PG x: Vec o de posici´on del cen o de g a edad Gdel cue po x espec o del pun o p. g: Acele aci´on de la g a edad (9,8m/s2). hx: Al u a del cen o de g a edad del cue po x. Finalmen e, se ha ob enido la Lag angiana o al del sis emasumando las Lag angianas de cada uno de los cua o cue pos ( ´ease anexo B), calcu- landolaene g´ıa cin´e ica y po encial de cada cue - po, eniendo en cuen a sus masas y dimensiones, y po an o sus momen os de ine cia espec o de los ejes de gi o implicados en los mo imien os de los dis in os cue pos. En los anexos se adjun a una desc ipci´on de cada uno de los cue pos, as´ıcomo los alo es de los pa ´ame os ´ısicos. 3.2 Ecuaciones de mo imien o Aplicando las ecuaciones (1), (2) y (3) esul a: I ¨α+¨ ξ=U −(B ˙α+D (˙α)) (5) Im¨γ+¨ θcos(ξ)=Im˙ θ˙ ξsin(ξ)+Um−(Bm˙γ+Dm(˙γ)) (6) donde (5) y (6) son las ecuaciones de mo imien o co espondien es a los g ados de libe ad de las h´elices de cola y p incipal espec i amen e, siendo ´es as las a iables ac uadas. Del mismomodo, (7) y (8) son las ecuaciones de mo imien o co espon- dien esalosg adosdelibe addegui˜nada y ca- beceo espec i amen e, siendo ´es as las a iables subac uadas. Iθ(ξ)¨ θ+Iθξ(ξ)¨ ξ+Imcos(ξ)¨γ+Cθξ(ξ)˙ ξ2+A1(ξ)˙ ξ˙ θ+ +d11(ξ)˙α˙ θ+d13(ξ)˙γ˙ ξ+Kθ˙ θ=−Dm(˙γ)cos(ξ)+L (ξ, ˙α, ˙γ) (7) Iξθ(ξ)¨ θ+Iξ¨ ξ+I ¨α+Cξθ(ξ)˙ θ2+d22(ξ)˙γ˙ θ+G(ξ)+Kξ˙ ξ= =−D (˙α)+Lm(˙γ)(8) M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 49 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. La no aci´on empleada es la siguien e: θ:´ Angulo de gui˜nada ( ad). ξ:´ Angulo de cabeceo ( ad). ˙α: Velocidad angula del o o de cola ( ad/s). ˙γ: Velocidad angula del o o p incipal ( ad/s). Iξ,Iθξ(ξ)yIθ(ξ):Momen os de ine cia del cue po de la maque a. ImyI :Momen os de ine cia del o o p incipal ydecola, espec i amen e. Cθξ(ξ), Cξθ(ξ):T´e minos Cen ´ı ugos. A1(ξ)ydij (ξ):T´e minos de Co iolis. KθyKξ:T´e minos de icci´on iscosa del cue po. G(ξ): Pa de g a edad. Dm(˙γ)yD (˙α): Pa de a as e de la h´elice p incipal ydecola, espec i amen e. Lm(˙γ)yL (ξ, ˙α, ˙γ): Pa es ae odin´amicos gene- ados po las h´elices p incipal ydecola, espec- i amen e y que dependen de las ue zas de p o- pulsi´on del o o p incipal Fm(˙γ)ydel o o de cola F (˙α). BmyB :T´e minos de icci´on iscosa de los g upos mo o -h´elice p incipal ydecola, espec- i amen e. UmyU :Pa mo o de los g upos mo o -h´elice p incipal ydecola, espec i amen e. De es e modelo se puede obse a , con s´olo ana- liza la ecuaci´on (5), que el pa mo o aplicado al mo o de cola U se in ie e en la acele aci´on de la h´elice de cola y la acele aci´on de cabeceo. Es o da ´aluga aquecambios p og amados de la elocidad del o o de cola median e es e pa , a ec a ´an di ec amen e al ´angulo de cabeceo. Del mismomodo, analizando la ecuaci´on (6), se puede obse a que cambios p og amados de la elocidad del o o p incipal median e el pa Um, a ec a ´an al ´angulo de gui˜nada. En la abla 1 se p esen an los alo es de los di- e en es pa ´ame os, los cuales han sido iden ifi- cados median e di e sos expe imen os y ´ecnicas de dise˜no asis ido po compu ado (CAD) ( ´eanse anexos pa a m´as in o maci´on). 4. CARACTER´ ISTICAS EST´ ATICAS DE LOS ROTORES A con inuaci´on se p esen an las g ´aficas co es- pondien esalasca ac e ´ıs icas es ´a icas de los o o es. De es as g ´aficas se han ob enido Fm (Lm), Dm,Bm,F (L ), D yB del modelo. Ca ac e ´ıs ica elocidad-p opulsi´on N´o ese que las ca ac e ´ıs icas de p opulsi´on pue- den se iden ificadas median e modelos cuad ´a i- cos en elocidad ob eni´endose un e o cuad ´a ico medio acep able. Sin emba go, en la li e a u a es bas an e ecuen e encon a modelos lineales de p opulsi´on, los cuales ep esen an ´unicamen e una ap oximaci´on local de las ue zas de p opul- si´on en o no a un pun o de ope aci´on. En es e a ´ıculo se han iden ificado modelos de p opulsi´on cuad ´a ico-lineales (a|ω|ω+εω), ya que cap u an el compo amien o es ´a ico de los o o es an o con al as elocidades como con elocidades muy p ´oximas a ce o, siendo linealizables en el o igen. Las figu as 3 y 4 ep esen an las ca ac e ´ıs icas es ´a icas de los o o es p incipal y de cola es- pec i amen e. En ellas se mues a comocambian las ue zas de p opulsi´on con o mela elocidadde los o o es aumen a. Pa a ob ene dichas ca ac- e ´ıs icas se ealiza on dos ipos de expe imen os: el p ime o de ellos, midiendo las elocidades de los o o es con ac´ome os y es imando las ue zas de p opulsi´on con las ecuaciones de mo imien o (7) y (8) en ´egimen pe manen e; y el segundo, midien- do las ue zas de p opulsi´on con dinam´ome os. Ca ac e ´ıs ica elocidad-pa mo o Las figu as 5 y 6 ep esen an las ca ac e ´ıs icas de elocidad y se˜nal de en ada de los mo o es. De es as ca ac e ´ıs icas se ob end ´an an o los mode- los de icci´on iscosa de los mo o es (bω), como los modelos de a as e de las h´elices cuad ´a i- cos (a|ω|ω) y lineales (˜aω). Pa a ob ene dichos pa ´ame os se han empleado las ecuaciones de mo imien o de los o o es (5) y (6) en ´egimen pe manen e. 5. SIMPLIFICACI´ ON DEL MODELO En la clase de sis emas que nos ocupa, es usual conside a , comohip´o esis de simplificaci´on, que los momen os de ine cia de los g upos mo o -h´elice son desp eciables con espec o a los momen os de ine cia del cue po de la maque a. Es deci , Im,I Iξ,I θ,I θξ Teniendo en cuen a es o, la din´amica del sis ema puede se sepa ada en dos escalas de iempo (Reinie e al., 1996; Khalil, 2002), di e enci´andose dos din´amicas: Din´amica ´apida, que hace e e encia a la din´amica de los ac uado es, es deci , de los g upos mo o -h´elice. Din´amica len a (Sis ema educido), que hace e e encia a la din´amica del cue po de la maque a, conc e amen e a las din´amicas de gui˜nada y cabeceo. Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable 50 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Figu a 3. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o p incipal - ue za de p opulsi´on. 0 20 40 60 80 100 120 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Ca ac e ís ica elocidad o o de cola−Fue za Velocidad del o o ( ad/s) Fue za de la hélice(New ons) expe imen al cuad a ica cuad a ica−linea l Fh = a·w p 2 a = 3.2985e−005 Fh = a·wp 2+ε·wp ε=1e−7 Figu a 4. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o de cola - ue za de p opulsi´on. Adem´as, asumiendo que el con olado del g upo mo o -h´elice, que se u iliza pa a egula las e- locidades de los mo o es, es de al a ganancia, se puede en onces conside a que los mo o es acele- an sua emen e, de al mane a que las ue zas dominan e en la din´amica son las debidas a e ec os ae odin´amicos en ez de a ue zas ine ciales. Bajo es as hip´o esis, la acele aci´on de los o o es puede desp ecia se en la ca ac e izaci´on de la din´amica len a, y consecuen emen e las ecuaciones del mo imien o del sis ema educido, ob enidas de las ecuaciones (7) y (8), pueden se ap oximadas po la siguien e exp esi´on ma icial: Iθ(ξ)Iθξ(ξ) Iθξ(ξ)Iξ¨ θ ¨ ξ+A1(ξ)˙ ξ˙ θ+Cθξ(ξ)˙ ξ2 Cξθ(ξ)˙ θ2+ 0 G(ξ)+Kθ˙ θ Kξ˙ ξ+d11(ξ)˙α˙ θ+d13(ξ)˙γ˙ ξ d22(ξ)˙γ˙ θ=ζθ ζξ (9) Figu a 5. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o p incipal -pa mo o . Figu a 6. Ca ac e ´ıs ica elocidad o o de cola - pa mo o . donde los ´e minos ζθyζξ, ep esen an los pa es de p opulsi´on esul an es aplicados sob e los ejes de mo imien o Z0yX2 espec i amen e ( ´ease figu a 2), y que se han definido como: ζθ. =−Dm(˙γ) cos(ξ)+L (ξ, ˙α, ˙γ) ζξ. =−D (˙α)+Lm(˙γ) De es e modo el pa de p opulsi´on esul an e de cabeceo ζξdepende an o del pa de p opulsi´on de la h´elice p incipal, como del pa de a as e de la h´elice de cola. An´alogamen e, el pa de p opulsi´on esul an e de gui˜nada ζθdepende an o del pa de p opulsi´on de la h´elice de cola, comodelpa de a as e de la h´elice p incipal. Po o o lado, puede obse a se que el ´e mino d11 ˙α˙ θ+d13 ˙γ˙ ξd 22 ˙γ˙ θTpuede se in e p e ado comounaumen o de icci´on iscosa debido al mo imien o de los o o es Kθ˙ θK ξ˙ ξT. M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 51 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. LINEALIZACIÓN POR REALIMENTACIÓN ACONDICIONAMIENTO ------------------------------ PAR DESEADO EN EJES ------------------------------ VELOCIDADES DESEADAS EN ROTORES CONTROL DE VELOCIDAD DE ROTORES SISTEMA DE DOBLE ROTOR Velocidad de los o o es Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo Velocidad de los o o es Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo P I D (LQR-INT) + - Re e encia Posición y Velocidad guiñada y cabeceo Re e encia Acele ación guiñada y cabeceo + ++ - Figu a 7. Esquema gene al de con ol. 6. LINEALIZACI´ ON POR REALIMENTACI´ ON En la figu a 7 se mues a un esquema gene al de la es uc u a de con ol eal implemen ada. En ella se obse an es ealimen aciones p in- cipales: la p ime a de ellas, co espondien e a la ealimen aci´on de las elocidades de los o o es, la cual se emplea pa a un con ol en cascada de los mismos; la segunda de ellas, incluyendo adem´as las posiciones y elocidades de gui˜nada y cabeceo, se usa pa a una linealizaci´on po ealimen aci´on; y la e ce a de ellas, pa a el con olado ex e io . Pa a el dise˜no del con olado ex e no, se ha em- pleado el modelo no lineal del sis ema educido (9), se ha ealizado una linealizaci´on po eali- men aci´on en ada-salida ( ´ease figu a 8), ob e- ni´endose que las sumas de los g ados ela i os del sis ema es igual a la dimensi´on del mismo (din´amica ce o i ial (Isido i, 1999)). De es a o - ma se consigue a la ez un desacoplamien o de las en adas y salidas, as´ıcomo una linealizaci´on del sis ema con i i´endolo en dos dobles in eg ado es desacoplados. Es o se puede e si se eesc iben las ecuaciones del sis ema educido (9) definiendo q=[q1,q 2]T=[θ, ξ]T∈R2,y M(q)=Iθ(ξ)Iθξ(ξ) Iθξ(ξ)Iξ, C(q, ˙q)˙q=A1˙ ξ˙ θ+Cθξ ˙ ξ2,C ξθ ˙ θ2T, F(˙q)=d11ω ˙ θ+d13ωm˙ ξ+Kθ˙ θ,d22ωm˙ θ+Kξ˙ ξT, G(q)=[0,G]T, N(q, ˙q)=C(q, ˙q)˙q+F(˙q)+G(q), siendo la exp esi´on esul an e M(q)¨q+N(q, ˙q)=τ(10) donde τ=[ζθ,ζ ξ]Tson los pa es gene alizados aplicados sob e las a iculaciones (las se˜nales de en ada del sis ema). Adem´as, se ha conside ado pa a el desa ollo, que los es ados qy˙qson accesibles. Usando q ,˙q y¨q pa a deno a la posici´on a icula de e e encia, la elocidad y la acele aci´on, espec i amen e, se puede defini el ec o de e o de seguimien o, x,como x( )=˙e( )e( )$e( )d T donde e=q −q. Aplicando el m´e odo de linealiza- ci´on po ealimen aci´on al sis ema (10), se ob iene la siguien e es uc u a de con ol τ=M(q)ν+N(q, ˙q) (11) De es a o ma¨q=ν=M−1(τ−N), siendo τla ley de con ol linealizan e (pa calculado (Spong y Vidyasaga , 1989)), y νla ley de con ol ex e na, la cual se ´adise˜nada pa a hace que la e oluci´on empo al del es ado sea exponencial, es deci , la din´amica enga gobe nada po la siguien e ecuaci´on di e encial ˙x+kx = 0, donde kes un ec o cons an e de dise˜no. Pa a ello, se oma ´a ν=¨q +¯ν ¯ν=k ˙e+kpe+ki% 0 ed . As´ı, la ecuaci´on del e o esul an e iene dada po ¨e+k ˙e+kpe+ki% 0 ed =0. En gene al, apa ece ´a un pa adicional de pe - u baci´on ω( , x) sob e el pa calculado, debido a los e ec os o ales de e o es de modelado y a las pe u baciones ex e nas. Po ello la ecuaci´on del e o se e a ec ada, pudi´endose exp esa es e e ec o como ¨e+k ˙e+kpe+ki% 0 ed =ω( , x).(12) Si la unci´on de pe u baci´on ω( , x) se pudie a aco a comoω( , x)≤γx, es deci , se des- anecie a con o me se ue a ace cando al o igen Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable 52 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo P I D (LQR-INT) + - Re e encia Posición y Velocidad guiñada y cabeceo LINEALIZACIÓN POR REALIMENTACIÓN ACONDICIONAMIENTO ------------------------------ PAR DESEADO EN EJES ------------------------------ VELOCIDADES DESEADAS EN ROTORES MODELO REDUCIDO DE DOBLE ROTOR Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo Velocidades de los o o es DOBLE INTEGRADOR MULTIVARIABLE Re e encia Acele ación guiñada y cabeceo + + υυ − Figu a 8. Esquema de con ol con linealizaci´on po ealimen aci´on. x=0, en onces, en i ud de que el equilib io del sis ema sin pe u ba es globalmen e exponencial- men e es able, el equilib io del sis ema pe u bado se ´ıa ambi´en globalmen e exponencialmen e es a- ble (Khalil, 2002). En el caso de que la unci´on de pe u baci´on no se des anezca en el o igen, s´olo se puede asegu a que el sis ema e oluciona de o ma exponencial has acie oins an ede iempo, a pa i del cual las ayec o ias de x( )es ´an aco adas en una bola p ´oxima al equilib io (Khalil, 2002). Pa a el caso de una pe u baci´on man enida y cons an e ω( , x)=ω, se puede deduci de la ecuaci´on del e o (12), que en ´egimen pe ma- nen e se ´ael ´e mino in eg al el que abso ba la pe u baci´on, po lo que el e o en posici´on en ´egimen pe manen e se ´anulo. 6.1 C´alculo del con olado ex e no Posición de guiñada y cabeceo + - Re e encia Posición de guiñada y cabeceo 2 1 s i p k kks s ++ e _ υ Figu a 9. Esquema del con olado ex e no. El dise˜no del con olado ex e no ¯ν=k ˙e+kpe+ki% 0 ed , que iene es uc u a de PID lineal ( ´ease figu a 9), se ealiza ´adise˜nando un con olado LQR pa a un sis ema de segundo o den m´as un in eg ado adicional ( ´ease figu a 10). Es deci , el ´e mino in eg al del PID se ha conside ado comopa e de un nue o sis ema a con ola . De es a o ma, se dise˜na ´a un con olado LQR pa a un iple in eg ado , dando luga a es cons an es ki,kp, k ,quese ´an las que fijen los polos en bucle ce ado del sis ema, los cuales se ob ienen de esol e el polinomio ca ac e ´ıs ico s3+k s2+ kps+ki=0. + - 01 s 1 s 1 s [, ,] pi kkk E o en elocidad E o en posición In eg al del e o en posición Figu a 10. Esquema de con olado con es ado accesible. El sis ema lineal de la figu a 10 iene ca ac e iza- do en el espacio de es ados po las ma ices A=⎡ ⎣ 000 100 010 ⎤ ⎦,B=⎡ ⎣ 1 0 0⎤ ⎦.(13) Pa a la implemen aci´on p ´ac ica del con ol po compu ado , se ha ealizado el dise˜no del con- olado LQR en iempo disc e o, empleando un iempo de mues eo de Ts=0,01 segundos. Pa a el ajus e del con olado se han omado como ma ices de ponde aci´on, Qpa a penaliza el es- ado x,yRpa a penaliza la se˜nal de con ol ¯ν (Rubio y L´opez, 1996). De es a o ma se han fijado Q=CC,conC=[0,1,1], R=0,1pa ael con ol de cabeceo, y R= 10 pa a el con ol de gui˜nada. 6.2 Con ol en cascada Una ez que se ha calculado el pa a aplica a cada uno de los ejes, se ob ienen las elocidades M. López-Ma ínez, M. G. O ega, C. Vi as, F. Rod íguez 53 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. de e e encia pa a cada uno de los g upos mo o - h´elice. Pa a mejo a el compo amien o del sis- emacomple o se ha in oducido un con ol en cascada en los mo o es, de al mane a que no exis a e o en ´egimen pe manen e en e las elo- cidades deseadas y las elocidades eales, y que el iempo ca ac e ´ıs ico de los g upos mo o -h´elice con olados, sean desp eciables con espec o a los iempos ca ac e ´ıs icos de e oluci´on del cue po de la maque a del helic´op e o. Pa a ganancias suficien emen e g andes de es- os con olado es y eniendo en cuen a que, po a˜nadidu a, los momen os de ine cia de los g upos mo o -h´elice son muy peque˜nos con espec o a los del cue po, se consigue el obje i o deseado. Un an´alisis de es abilidad ealizado po medio de la eo ´ıa de sis emas singula men e pe u bados mues a que pa a alo es suficien emen e g an- des de las ganancias del con olado , los dis in os pun os de equilib io del espacio de abajo del sis emacomple o, conside ando oda la din´amica, son localmen e exponencialmen e es ables (L´opez- Ma ´ınez, 2005). 7. RESULTADOS EXPERIMENTALES En es e apa ado se an a p esen a dos expe- imen os en los que se a a pone a p ueba la capacidad del con olado pa a el echazo de pe - u baciones. Se han p og amado e e encias que cambian de o manosimul ´anea en gui˜nada y cabeceo pa a comp oba el desacoplamien o con- seguido. Las e e encias empleadas son polinomios de quin o o den, las cuales ienen la en aja de ene bien definidas sus dos p ime as de i adas espec o al iempo, es deci , las elocidades y ace- le aciones de e e encia, pa a pode se empleadas en la es uc u a de con ol. Un sis emadees e ipoes ´asome ido cons an e- men e a pe u baciones p o ocadas po las u bu- lencias del ai e gene adas po el e ec o suelo. Pa a examina desde un pun o de is a m´as obje i o la capacidad de echazo a pe u baciones del mismo, se ha p opues o el siguien e expe imen o: Se ha in oducido un pa de pe u baci´on en el eje de gui˜nada, el cual se puede modela comounpa de o si´on, es deci , un pa p opo cional al ´angulo de gui˜nada gi ado, τd=−kTθ. Pa a in oduci dicho pa se ha empleado un cable plano pa a uni las pa es m´o iles que gi an en gui˜nada. Al p oduci se el gi o en gui˜nada, el cable plano se compo a comounp´endulo de o si´on, oponi´endose al gi o. En la figu a 11 se mues a la espues a del sis e- ma con olado median e el con olado p opues- o (LR-PID-LQRi: Linealizaci´on po Realimen- aci´on, con PID ex e no calculado median e un LQR con e ec o In eg al), bajo la influencia de dicho pa de o si´on. La influencia de es e pa se obse a di ec amen e en el ´angulo de gui˜nada, e indi ec amen e debido al acoplamien o en el ´angu- lo de cabeceo. Es e e ec o se ap ecia an o en los p ime os ins an es (segundos 10 al 20), comoen el cambio de ayec o ia en e los segundos 30 al 35. Se puede obse a como el con olado co ige el e ec o de la pe u baci´on lle ando el ´angulo de gui˜nada sob e la ayec o ia. O o de los compo - amien os ca ac e ´ıs icos de es e sis emaeselde ase no m´ınima, obse able en e los segundos 5 al 10, y que se puede explica a pa i de las ecuacio- nes comple as del sis ema (5)-(6)-(7)-(8). Cuan- do las elocidades de los o o es son peque˜nas, las ue zas de p opulsi´on son ambi´en peque˜nas, siendo dominan es las ue zas de ine cia. De es a o ma, cuando se aumen a el pa mo o del o o p incipal, se p oduce un e ec o m´as ´apido en el ´angulo de gui˜nada como consecuencia del acopla- mien o ine cial, que en el ´angulo de cabeceo como consecuencia de la ue za de p opulsi´on del p opio o o . El mismo en´omeno ocu e en el o o de cola. Se ha lle ado a cabo ambi´en un segundo expe i- men o, en el que se ha in oducido el modelado de la pe u baci´on den o del modelo del sis ema. Pa a medi el pa ´ame o kTse ha empleado un dinam´ome o, si uado en el cen o del o o , egis- ando los alo es de los pa es de o si´on esul an- es pa a di e sos ´angulos de gui˜nada, ob eni´endo- se un alo medio ap oximado de kT=0,008 Nm/ ad. De es a o maycomomues a la figu a 12, la pe u baci´on ha sido compensada pa cialmen e an o en e los segundos 10 al 20, comoen e los segundos 30 al 35. Sin emba go ambi´en hay que deci que la espues a po el cambio de a- yec o ia en el ´angulo de cabeceo, ha a dado un poco m´as en se compensada po el con olado ex e no ¯ν,compa ada con la de la figu a 11. En ambas figu as, se puede obse a ambi´en comolas elocidades de los mo o es sa u an en pendien e pa a los ins an es 50 al 55. Ambos expe imen os han sido dise˜nados pa a lle- a al equipo al m´aximo de sus posibilidades, es deci , se ha eco ido p ´ac icamen e odo el espacio de abajo y se han alcanzado los alo es m´aximos de elocidad y acele aci´on de mo o es, p oduci´endose la sa u aci´on de los mismos. En es- os l´ımi es an o las ca ac e ´ıs icas de los mo o es, como los di e en es pa es que en an en juego (g a- edad, Co iolis y cen ´ı ugos), es ´an muy lejos de se lineales, po lo que el empleo de con olado es lineales ipo PID, linealizando en o no a un pun o de abajo, s´olo es ´a jus ificado pa a con ola el sis emaenun angopeque˜no del espacio de aba- jo, y no pa a odo el espacio de abajo, eni´endose que op a po ajus es muy conse ado es en los Con ol No Lineal Robus o de una Maque a de Helicóp e o con Ro o es de Velocidad Va iable 54 Documen o desca gado de h p://www.else ie .es el 21/12/2015. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.