Un modelo dinámico económico continuo. Estabilidad y bifurcaciones de codimensión 1 y 2

elo dinámico económico continuo. Estabilidad y bifurcaciones de codimensión 1 y 2. F.Velascoa, L. Gonzálezª, J.A. Ortegab, J.A. Álvarezb ªGrupo COSDE. Dpto. Economía Aplicada I b Dpto. Sistemas y Lenguajes Informáticos Universidad de Sevilla Avda. Ramón y Caja!, n l. C.P. 41018, Sevilla { velasco, luisgon }@us.es, orte[email protected], jaalv[email protected] �=.ien: En este trabajo establecemos las condiciones ilidad y existencia de bifurcaciones de codi y _ en un modelo dinámico continuo aplicado acrual y potencial de las organizaciones. =-=.a'"'-CCJU.> el esrudio paramétrico del modelo y encon as regiones paramétricas de la estabilidad de los equilibrio. La obtención de las bifurcaciones lo -de forma simbólica. Para ello se han de cumplir ijumo de condiciones en cada valor de bifurcación. ciooe que se obtienen en este modelo son la ::ión de Hopf. que es de codimensión uno y las , · one que surgen de ésta de codimensión dos, la de y la de Bogdanov-Takens. ir.z,...,.,.,. clave: Estabilidad. Bifurcaciones, ciclos límite. U!Si!icacióo JEL: C61, C62. ·y Yelasco, 2004), se expone como las organiza tiles pueden mantener sus cuotas de mercado =--:=-�-cc..,durante determinados periodos de tiempo. Es -que la solución de equilibrio tenga que durar _ permanente, ya que la estrategia de cada organi titiva, en un mercado de referencia y para un ese mercado cualquiera, ha de ir encaminada � la cuota de mercado más eleyada posible; pero s cierto que cualquier comportamiento competí . ado a conseguir ese objetivo, será respondido -.sociedades competidoras que defenderán sus res- -posiciones de mercado. Un entorno agresivo, un de marketing mal orientado u otras causas des =oa;.,:i:-=- hacen que las posiciones conseguidas por cada ..,..=,�ri-óo competitiva no permanezcan, necesariamen ilibrio estable. Para cualquier organización es -ra,=,-,re conocer con antelación si su devenir, en un en o y para un producto del mercado, va a pasar por ===>so disminuciones de su cuota de mercado, de for o en su caso si no va a ser así. Podemos ver lfo, 1997), [Lorenz, 1997),(Vilchez y Velasco, •. :\"e lasco et al., 2002), [Vilchez et al., 2003), [Landa -oo. 2004 ), [Vilchez et al., 2004 ], [Bosi et al., 2005], --hmied et al., 2005), [He y FH, 2005), [Li, 2005), -¿;-=er. 2005) , [Wei-Bin-Zhang, 2006), [Magnitskii y ·. 2006), [Velasco et al., 2007) entre otros, ejemplos ·que se estudian bifurcaciones en estos modelos, en surgen ciclos límite que acaban perdiendo su esta - "y que en algunos casos describen comportamientos · ión del período como antesala a la obtención de .JC:=ires caóticos ([Magnitskii y Siderov, 2002), [Mag -y Siderov, 2005), [Dernov y Magnitskii, 2005)). Es re. por tanto, conocer la estabilidad o inestabili los ciclos que pueden aparecer en nuestro modelo. Es por ello por lo que vamos a analizar, bajo qué condicio nes, si se realizan pequeñas variaciones en los parámetros del modelo [Landa y Velasco, 2004), éstas van a implicar que el comportamiento del mismo sea cualitativamente di ferente en un entorno del punto fijo. En [Landa y Velasco, 2004) se hace un estudio numérico acerca de las bifurca ciones de codimensión I y 2. Ahora bien, no se hace un estudio en forma simbólica de la estabilidad y de las bi furcaciones del modelo, con lo que es posible mejorar el estudio hecho. El resto del artículo está estructurado como sigue: en la sección segunda se presenta el modelo en tiem po continuo propuesto por [Feichtinger, 1992) y ampliado en [Landa y Velasco, 2004]. En la sección tercera, obtene mos condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad del único equilibrio del sistema, las cuales nos permiten de terminar la naturaleza del mismo. En la sección cuarta se hace una breve exposición acerca de los conceptos nece sarios, tales como el de bifurcación y de codimensión en un sistema dinámico [Kuznetsov, 2004), para luego estu diar las bifurcaciones de codimensión I y 2 presentes en el modelo. Hemos de hacer notar que todo el trabajo se ha realizado de forma simbólica, con lo que el trabajo ha ce que se pueda particularizar para conjuntos de valores de los parámetros del modelo. En este caso hemos estudiado uno de los parámetros, indicando cómo se puede hacer para el resto de los parámetros. Se finaliza con una sección de conclusiones y trabajo futuro . 2 Modelo dinámico Si hacemos referencia a una organización en cualquier sec tor económico, en su mercado de referencia, para un deter minado producto-mercado, encontramos que la misma, en un instante del tiempo, posee una cuota de participación, olo que es lo mismo, en términos absolutos, detenta un determinado nivel de demanda, consecuencia de las com pras que realizan sus clientes actuales. A su vez existe para esta organización un mercado de clientes potenciales, com puesto por aquellos elementos que compran a organizacio nes competidoras y por aquellos otros que teóricamente po drían ser elementos del producto-mercado pero que por las circunstancias que sean, no lo son. En definitiva, merca do potencial definido por clientes actuales de otras orga nizaciones del mismo mercado de referencia y del mismo producto-mercado y por clientes estrictamente potenciales del propio sector. El mercado actual de la organización en cada instante del tiempo detentará un determinado ni vel, consecuencia de los efectos del entorno sobre las re laciones de intercambio y del propio esfuerzo de marke ting que se realice. Los efectos positivos se traducen para la organización en un incremento de demanda y por tanto en una reducción del denominado grado de expansibilidad de la misma, o lo que es lo mismo de un mayor acerca-