ANALES
DE
INGENIERIA MECANICA -AÑO 2 - N.0 1 -
1984
ANALISIS
DEL
PROBLEMA
DE
CONTACTO
SIN
FRICCION
CON
EL
METODO
DE
LOS
ELEMENTOS
DE
CONTORNO
F.
Pa is*
y
J.A.
Ga ido**
*
E.T.S.I.I.
de
Se illa
/
**
E.T.S.I.I.
de
Las
Palmas
Resumen.
Se
o mula
la
aplicación
del
mé odo
de
los
elemen os
de
con o no
al
p oblema
de
con ac o,
en
ausencia
de
icción,
de
dominios
bidimensionales
-
en
el
campo
elás ico
.
Los
esul ados
ob enidos
se
compa an
con
o as
al e na
i as
numé icas
de
con o no
y
dominio.
1.
INTRODUCCION
Exis e
un
g an
núme o
de
p oblemas,
an o
den o
de
la
Ingenie ía
Mecánica
-
como
Ci il,
en
los
que
se
p oducen
ió e
a
cc
i one s
di ec as
en e
los
con o nos~
de
dos
o
más
dominios
en
es ado
de
de o
mación.
El
es udio
de
uniones
a o nilladas,
p oblemas
de
zunchado,
cojine es,
así
co
mo
los
pilo es
de
icción,
la
in e ac-=
ción
e eno
es uc u a,
los
p oblemas
-
elacionados
con
el
impac o
y
la
modeli-
zación
de
los
planos
de
deslizamien o
en
la
eo ía
de
la
plas icidad,son
ejemplos
que
esal an
la
impo ancia
del
es udio
del
con ac o
en e
sólidos
de o mables.
No
es
de
ex aña ,
po
an o,
que
--
desde
que
He z
expusie a
los
p ime os
-
abajos
111
hayan
apa ecido
nume osas-
publicaciones
sob e
es e
ema.
121
ep ~
sen a
una
e isión
ac ual
del
es ado
de
conocimien os
.
Sin
emba go,
y
dado
que
-
las
soluciones
analí icas
sólo
son
posi-
bles
en
casos
de
geome ía
simples,
pa a
condiciones
ideales,
eniendo
en
cual---
quie
caso
un
desa ollo
ma emá ico
com-
plejo,
el
conocimien o
del
p oblema
ha
-
ido
pa ejo
al
uso
de
mé odos
expe imen a
les
y
más
ecien emen e
numé icos.
En
- =
conc e o
el
Mé odo
de
los
Elemen os
Fini
os
ha
sido
usado
en
la
úl ima
década
en
o ma
p o usa
pa a
abo da
es e
p oble--
ma.
Re e encias
131 a 1111
ep esen an-
una
selec a
colección
de
a ículos
que
-
usan
el
Mé odo
de
los
Elemen os
Fini os.
22
En
gene al
el
a amien o
del
p oblema
de
con ac o
admi e
·
dos
en oques
basados
en
modela
independien eme e
ambos
do ü--
nios
u ilizando
luego
unas
ecuaciones
-
de
es icción
en
la
zona
de
con ac o,
ó
bien
en
usa
elemen os
de
enlace
en
-
la
zona
de
con ac o
cuyas
p opiedades
-
e lejen
el
compo amien o
de
las
supe
icies.
-
El
Mé odo
de
los
Elemen os
de
Con--
o no
ha
sido
más
ecien emen e
u iliza
do
¡¡>o
Ande sson
112j
,
113.1
, 1141 y
-=
1151
pa a
abo da
el
cas
o
plano
con
y
si
:-
!
icción
.
En
el
esquema
de
un
mé odo
de
con o no
sólo
la
p ime a
de
las
al e n~
i as
usadas
en
el
M.E.F.
cob a
sen ido.
Ciñendonos
al
p oblema
de
con ac o
sin
icción,
pa a
el
caso
de
que
la
s~
pe icie
de
con ac o
sea
cons an e
se
-
a a
de
un
p oblema
di ec o,
es
deci
las
condiciones
de
con o no
pueden
es a
blece se
de
o ma
de ini i a
a
p io i
y
la
ca ga
o al
puede
aplica se
de
una
-
ez.
En
cambio
si
la
supe icie
de
con-
ac o
puede
a ia
con
la
aplicación
de
las
ca gas,
las
condiciones
de
con o no
no
pueden
es ablece se
p e iamen e
y
e~
ben
dos
posibilidades.
Aplica
di ec a-
men e
oda
la
ca ga
con
una
supe icie
de
con ac o
supues a
y
ajus a
pos e-
- -
io men e
es a
supe icie
en
sucesi as
ap oximaciones
has a
que
los
esul ados
coincidan
cuali a i amen e
con-la
supe!
icie
de
con ac o
supues a.
Es a
.
es
la
al e na i a
de
Ande sson
¡¡>a a
p oblemas
sin
iccion
1121 y
1151.
La
o a
al-
ANALES
DE
INGENIERIA MECANICA AÑO 2 N.0 1
1984
e na i a
consis e
en
da
inc emen os
de
ca ga
que
co espondan
con
a iaciones
-
disc e as
de
la
supe
i
cie
de
con ac o
-
has a
que
se
e mina
de
aplica
la
ca --
ga.
Es a
écnica
es
la
u ilizada
po
---
ejemplo
en
lsl.
En
el
p esen e
abajo
se
ha
seguido
e~ a
seg~nda
al e na i a
que
no
equie e
n1nguna
1dea
p e ia
sob e
la
solución
--
del
p oblema
y
que
pe mi i á
enlaza
con
la
o ma
de
esol e
el
p oblema
con
---
icción
que
necesa iamen e
ha
de
se
in
c emen
al.
En
el
apa ado
2
se
de ine
el
p obl~
ma.
En
el
apa ado
3
se
es ablece
el
---
plan eamien o
in eg al
pa a
el
p oblema
an e io men e
p esen ado.
En
el
apa ado
4
se
p
e
sen a
la
ap oximación
numé ica
con
elemen os
discon inuos.
En
el
5
se
-
es ablece
el
p oceso
de
esolución,
p e-
sen ando
los
esul ados
en
el
apa ado
6
pa a
el
p oblema
de
Punch
elás ico
sob e
cimen ación
elás ica.
2.
DEFINICION
DEL
PROBLEMA
Conside emos
la
si uación
indicada
-
en
la
Fig.
1
en
la
que
dos
dominios
D y
D8
con
con o nos
íl
D y
íl
D
se
encuen ~an
A B
some idos
a
la
acción
de
acciones
ex e--
io es
sob e
dicho
con o no
A
-A
B
-B
i'
ui
Y
i'
ui
espec i amen e.
Bajo
la
acción
de
di
chas
acciones
ambos
dominios
alcanzan
--
una
si uación
de o mada
con
una
supe i-
cie
de
con ac o.
Fig.
1:
De inición
del
p oblema.
Ambos
con o nos
pueden
pa iciona se
en
la
siguien e
o ma:
K =
A,B
donde
íl
DK
L
ep esen a
la
pa e
del
con o
no
de
K
que
queda
ue a
de
la
zona
de-
con ac o
que
asumimos.
La
h . ó ·
1p
es1s
de
pequeñas
de o macio-
23
nes,
pe mi e
pone :
Aunque
la
Fig.
1
ep esen a
la
in e
acción
en e
dos
dominios
planos
y
la-
o mulación
que
sigue
ecoge
es e
caso
la
ex apolación
a
más
de
dos
con o no~
o
más
de
una
zona
de
con ac o
es
inme--
dia a.
Se
supone
que
las
ensiones
que
se
alcanzan
man ienen
al
ma e ial
en
su
--
compo amien o
elás ico
y
se
admi e
la
posibilidad
de
que
ambos
dominios
e s
én
ca ac e izados
po
p opiedades
elás i--
cas
di e en es
EK,
K.
Pa a
pode
es ablece
las
condicio-
nes
~e
con o no
del
p oblema,
se
de ine
un
s1s e na
local
de
coo denadas
al
co-
no
se
indica
en
la
Fig.
2.
Fig.
2:
De inición
del
sis ema
lo--
cal
de
coo denadas
.
La
di ección
1
es
no mal
a
la
supe
icie
y
la
di ección
2
es
su
pe pendicÜ
la
en
sen ido
de
las
agujas
del
eloj~
En
la
zona
lib e
se
da án
algunas
-
de
es as
es
condiciones:
-
.
.
1 1
-
u. u.
1 1
-
u .
1
i;zoj
i,j=1,2
i
.
1
En
la
zona
de
con ac o,
exis en
4 -
a iables
asociadas
a
un
mismo
pun o
M
en
cada
uno
de
los
dominios,
K K K K
u1
(M),
u2
(M),
1
(M),
2
(M)
K=A,B
pe o
en e
es as
ocho
a iables
exis en
las
siguien es
elaciones,
supues o
que
el
con ac o
se
ealiza
sin
icción
ANALES
DE
INGENIERIAMECANICA-
AÑO
2-
N.o l - 1984
A
u1
(M)
+ B
u1
(M)
= o
A B
2
=
2
= o ( 1 )
~(M)
~
(M)
= o
con
1
(M)
< o
Po
lo
que
en
un
pun o
de
la
zona
-
de
con ac o
exis i án
cua o
incógni as.
A A A B
u1
(M),
1
(M)
, u2
(M),
u2
(M)
3.
FORMULACION
DEL
PROBLEMA
EN
ECUACIO-
NES INTEGRALES
La
o mulación
del
p oblema
elás i-
co
en
ecuaciones
in eg ales
se
ob iene
a
a és
de
la
ó mula
de
Somigliana
--
que
elaciona
ensiones
y
desplazamien-
os
en
el
con o no.
As ,
pa a
un
domi--
nio
(Fig.
3)
D,
con
con o no
ao
dicha
-
ó mula
oma
la
siguien e
exp esión,
con
ue zas
de
olumen
nulas:
C
..
(x)
u.
(x)
+
JT
..
(X
,
y)
u1
.
(y)
ds
(y)
l.J J l.J -
a o
Juij(x,y)
j
(y)
ds(y)
a o
(2)
X
Fig.
3:
Con igu ación
del
dominio.
donde:
x,y
E ao
uJ.
(y),
J.
(y)
son
desplazamien os
y
ensiones
en
ao
U
..
(x,y),
l.J
e
..
(x)
l.J
T
..
(x,y)
ep esen an
la-
l.J
solución
de
Kel in,
--
desplazamien os
y
en-
siones
en
y
en
la
di--
ección
j
al
aplica
-
ca ga
unidad
en
x
en
-
la
di ección
i.
es
el
é mino
lib e
cu
yo
alo
depende
de
la
o ma
local
del
con a
no
en
x.
Si
X ao y
la
no m
a l
es
c o
n inua
en
1
x.
c . .
(x)
= -2 6 . .
(x).
l.J . l. J
24
Una
más
de allada
ob ención
de
(2)
pue
de
encon a se
en
1161.
Como
es
bien=
conocido
(2)
ep esen a
la
ecu~ción
bá
sica
pa a
esol e
un
p oblema
elás i=
co
median e
el
mé odo
de
los
elemen os
de
con o no.
Po
ello
eamos
la
o ma
que
adop a
(2)
al
aplica la
a
los
do o~
nios
A y B
del
p oblema
de inido
en
la
Fig.
1.
<j
(x,y)K
u~(y)
ds(y)
+
T:j
(x,y)K
u~(y)
ds(y)
aoL
aoc
= J
~j(x,y)
~(y)
ds(y)
+
aoL
+
T ..(x,y)
~(y)
ds(y)
K=A,B
(3)
l.J J
a
oc
donde
T~.
ep esen a
el
núcleo
de
in e
l.J -
g ación
de
(2)
incluyendo
el
e ec o
--
del
é mino
lib e.
Si
in oducimos
en
(3)
las
condi--
ciones
de
con o no
(1)
deJ
p oblema,
-
las
dos
ecuaciones
adop an
la
siguien-
e
o ma
u~
ds
J
u~
ds
J
A
u1
ds
A.
ds
+
UA
J i 1
a
oc
A
u1
ds
A.
ds
+ J
UA
J i 1
a
oc
(4)
+
Tiz
u~
ds
=
a
oc
(
5)
(4)
y
(5)
ep esen an
un
sis ema
de
--
dos
ecuaciones
in eg ales
que
pueden
-
aplica se
en
pun os
del
con o no
de
A
y B
espec i amen e.
Po
an o,
pa a
-
cada
pun o
de
A y B
que
no
pe ~nec~n
a
la
supe icie
de
con ac o
y
que
l.e-
nen
dos
incógni as
se
dispone
de
dos
-
ecuaciones
in eg ales,
y
pa a
cada
pu~
o
de
la
supe icie
de
con ac o
se
di~
pone
de
cua o
ecuaciones
in eg ales
~
(dos
de
(4)
y
dos
de
(5))
pa a
de e m~
na
las
cua o
incógni as
que
an e io!
men e
se
hab an
especi icado
en
el
---
apa ado
2.
4.
APLICACION
DEL
METODO
DE
LOS
ELEME~
TOS
DE
CONTORNO.
DISCRETIZACION
CON
ELEMENTOS
DISCONTINUOS
El
Mé odo
de
lo
s E
lemen
os de Co
n-
o
no
se
ba
sa
,
como
es
bi
en
conocid
o ,
ANALES
DE
INGENIERlAMECANICA
AÑO 2 N.0 1 1984
en
ealiza
una
ap oximación
sob e
las
a iables
u.
y
.
que
apa ecen
en
la
-
l. l.
ecuación
in eg al
(2).
Es a
ap oxima--
ción
ealizada
en
la
o ma:
u N
.•
a.
l. l.
= N
.•
b.
l. l.
(6)
donde
ai
y
bi
ep esen an
los
desplaz~
mien as
y
ensiones
en
pun os
del
con-
o no
ijados
como
e e encia
pa a
es-
ablece
la
a iación,
pe mi e
que
la
ecuación
(2),
al
aplica la
en
di e en-
es
pun os
x
del
con o no,de
o igen
a
un
sis ema
lineal
de
ecuaciones
(7)
cu
yas
incógni as
son
los
alo es
descono
cidos
de
u y
en
el
con o no.
NE
1
T~
.
(x
,y)
¡:
u .
(y)>
al
d~
-
K=1
)
l.
J J
aok
-J
uij(x,y)
.
(y)>
aD
dsk
1 o
aok J k
(7)
donde
NE
ep esen a
el
núme o
de
elemen
os
(J
DK
u ilizados
pa a
ep esen a
el
-
con o no
a
D.
La
ap oximación
que
se
a
a
segui
en
es e
es udio
es
lineal
no
con o me.
El
con o no
aD
se
ap oxima
po
elemen-
-
os
lineales
aDK,
sob e
los
cuales
se
-
supone
una
a iación
lineal
de
la
un-~
ción
a
pa i
de
los
alo es
de
dicha
-
unción
en
dos
pun os
in e io es
del
--
elemen o,
lo
que
no
ga an iza
la
con i-
nuidad
in e elemen al,
al
igual
que
su-
cede
con
los
elemen os
cons an es.
La
-
o mulación
de allada
de
es e
ipo
de
-
e
lemen os
puede
encon a se
en
1171.
Es
a
ap oximación
pe mi e
exp esa
l
as
a
iables
de
(7)
u.
y
.
en
aDK' a
pa i
l. l.
de
los
alo es
de
las
ensiones
y
des--
plazamien os
en
dos
pun os
in e io es
-
del
elemen o
en
un
sis ema
local
de
---
co
o denadas
(Fig.
4).
~)
aD
~(
~
)
k
!!
k ( 8) k
. 2
(a,b)
~nL
k
(8)
!)
Cl
D
~(
~
)
k
!!k(
8 )
k
. 2
(a,b)
k
-nL
,-
=
_,
·=
=1
Fig
.
4:
De i
ni
c i ón de l e l emen o
u i
l i
zad
o e n l a
ap
o
xim
ac
ión.
-
25
La
in oducción
de
(8)
en
(7)
pe mi
e
ob ene
un
sis ema
lineal
de
ecuacio
nes
que
puede
ep esen a se
en
la
o =
m a
H u
(4NEx4NE)
(4NEx1)
G
(4NEx4NE)
(4NEx1)
1
(9)
donde
~
y Q
son
ma ices
cuyos
coe i---
cien es
dependen
de
los
núcleos
de
in e
g ación
de
la
Ecuación
de
Somigliana
-=
T
..
y U
..
, y
de
las
ma ices
N,
Q y L -
l.J l.J - - -
in oducidas
en
(8).
u y
ep esen an
los
alo es
de
los
desplazamien os
y
--
las
ensiones
en
el
sis ema
local
de
--
coo denadas
de inido
pa a
cada
elemen o.
Pa a
el
p oblema
de
con ac o
que
se
es á
a ando
se
puede
ob ene
un
sis e
oa
de
ecuaciones
simila
al
(9)
pa a
ca
da
uno
de
los
dominios
implicados
en
el
p oblema,
es ando
es os
sis emas
ela--
cionados
a
a és
de
(1).
Si
omamos
como
e e encia
las
ecua
cienes
in eg ales
(4)
y
(5)
que
ya
-
con emplaban
las
condiciones
( 1 ), e
in o
ducimos
en
ellas
la
ap oximación,
no
e
sul a
di icil
es ablece
una
con igu a=
ción
gené ica
del
sis emas
de
ecuacio--
nes
que
apa ece.
En
o den
a
la
cla idad
de
dicha
ep esen ación,
y
sin
que
se
-
es ablezca
es icción
alguna
sob e
los
p oblemas
a
a a ,
supongamos
que
los
con o nos
ex e io es
a
la
zona
de
con--
ac o
de
ambos
dominios
(J
DL
se
pueden
-
pa iciona
en
una
zona
a
Du
donde
es án
p esc i os
los
desplazamien os
y
o a
-
(J
D
donde
es án
p esc i as
las
ensio--
nes.
a
D~
+
a
D~
a
DK
+ a
DK
a K
u + De
K=
A,B
(10)
Llamamos
NK
el
núme o
de
e l
emen os
de
cada
dom
ini
o
que
es a á
pa iciona-
K K K . K K
do
en
N ,
N
y
Nc
asoc1.ados
a ao , aD
K u u
y
aoc
espec i amen e,
cumpliéndose
ob-
iamen e:
NK
NK
u +
NK
+
NK
e
NA
e
NB
e (
11
)
Con
es as
p emisas,
(
3)
pa a
cada
--
con o no
K
da a
luga
a
las
siguien es
NK
ecuaciones
lineales:
K
~L
- K
~L
K ·
~1C
K
~
2
C
ANALES
DE
INGENIERIA
MECANICA-
AÑO 2 - N.0
1-
1984
~~~
1
GK
-u
K
~1
1
~21
-K
!_L
K
-L
K
!c1
K
!c2
( 1
2)
El
signi icado
de
cada
sub na iz
es á
-
en
unción
de
las
de iniciones
(10)
y -
(11),
siendo
sus
dimensiones:
HK
+ (4NK,
4NK)
-
HK
+
-u
(4NK,
4NK)
u
K
É!c1
....
(4NK,
2NK)
e
K
É!c2
....
(4NK,
2NK)
e
Finalmen e
las
ecuaciones
in eg a--
les
(4)
y
(5)
en
las
que
se
han
aplica-
do
las
condiciones
de
con ac o
p oduci-
án
,
siguiendo
la
ep esen ación
(12)
el
siguien e
sis ema:
HA
-
o -GA
-u
o A
É!c1
o
HB
o -GB A
-
-u
-!!e,
)-HA
-A
A
-u
~L
+
~
l-HB .
-B
GB
-u
~L
+
-
A
É!c2 o
o B
É!c2
-A
)
!.L
-B
!_L
A
-~1
B
-~1
A
~L
B
~L
A
~1C
A
~2C
B
~2C
A
.i1c
( 1
3)
(13)
ep esen a
un
sis ema
de
4(NA+NB) -
ecuaciones
con
4NA
+
4NB
+
4N~
+
4N~
+
A A
Bu
Au
+
2Nc
+
2Nc
+ 2Nc +
2Nc
incógni as
po
lo
que
eniendo
en
cuen a
(1)
se
a a-
de
un
sis ema
de e minado
cuya
esolu---
ción
pe mi i á,
en
la
o ma
que
se
expli
ca
en
el
apa ado
siguien e,
calcula
-=
las
incógni as
( ensiones
y/ó
desplaza--
mien
os
)
en
los
con o nos
de
ambos
domi-
nios.
5.
EL PROCESO
DE
RESOLUCION
En
el
caso
en
que
la
supe icie
de
-
26
con ac o
inal
del
p oblema
sea
conoci-
da,
el
sis ema
de
ecuaciones
(13)
puede
esol e se
di ec amen e
aplicando
oda
la
solici ación
ex e io
K
y uK
ya
que
du an e
la
ac uación
de
es as
acciones
ex e io es,
las
condiciones
de
con o no
de
ambos
dominios
no
a an.
En
el
caso
en
que
la
supe icie
de
con ac o
inal
sea
desconocida
pues o
-
que
dependa
de
la
ca ga
aplicada
(con--
ac o
en e
dos
es e as,
po
ejemplo),
el
p oblema
no
puede
esol e se
de
una
sola
ez,
exis iendo
dos
écnicas
pa a
abo da lo,
al
a a se
sólo
de
una
no-
linealidad
geomé ica,
es
deci ,
cambio
de
la
longi ud
o al
de
la
zona
de
con-
ac o
y
no
cambio
cuali a i o
de
las
--
condiciones
den o
de
dicha
zona.
Pues-
o
que
en
el
p oblema
con
icción
ade-
más
de
la
p ime a
exis e
ambién
es a
-
segunda
no-linealidad,
pa ece
azonable
de
las
dos
al e na i as,
elegi
aquella
que
pe mi e
ambién
el
a amien o
de
-
los
p oblemas
de
con ac o
con
icción,
es
deci ,
la
écnica
inc emen al.
Po
-
ello,
en
el
caso
de
que
la
supe icie
-
de
con ac o
sea
suscep ible
de
a ia
-
al
e oluciona
la
solici ación,
odas
-
las
a iables
del
p oblema,
an o
las
-
incógni as
u y
co no
los
da os
u y -
que
apa ecen
en-(13)
deben
in e p e a -
se
en
sen ido
inc emen al.
El
alo
del
inc emen o
es á
ela--
cionado
con
la
a iación
de
solici a---
ción
que
p o oca
el
con ac o
en e
dos
pun os.
Pues o
que
en
la
zona
p e is a
de
con ac o
siemp e
mayo
que
la
eal,
se
ha
modelado
igual
A y B
(misma
longi
ud
de
los
elemen os
y
misma
si uación-
de
los
nodos
en
ellas)
los
pa es
de
no-
dos
candida os
a
con ac a
es án
cla a-
men e
de inidos.
Aho a
bien,
aunque
cualquie
peque-
ño
inc emen o
de
ca ga
pe mi e
conoce
las
di ecciones
de
los
desplazamien os
en
dos
nodos
candida os,
pA,
pB,
ello
-
no
implica
la
de inición
inmedia a
del
inc emen o
pa a
que
se
p oduzca
el
con-
ac o
ya
que
ambos
desplazamien os
no
-
necesa iamen e
p o ocan
que
los
dos
no-
dos
lleguen
pa a
el
mismo
alo
de
la
-
ca ga
al
pun o
p.
(Fig.
5).
Po
ello
es
p eciso
es ablece
un
-
c i e io
de
con ac o
en e
los
dos
pun-
os
en
unción
de
las
p oyecciones
de
-
los
ec o es
desplazamien os
u(pA)
y
--
u(pB)
sob e
una
di ección
úni~a,
o nan-
aose
un
alo
in e medio
en e
las
no -
males
a
los
elemen os
a
que
pe enecen
A B
p y p .
La
abe u a
in
ici
al
A
en e
dos
pun-
ANALES
DE
INGENIERIA MECANICA AÑO 2
N.o
1
1984
Fig.
5:
De inición
de
la
abe u a
-
en e
dos
pun os
candida os
al
con ac o.
os
que
an
a
con ac a
se
es ablece
--
pues
co no:
1:.
=
AB
(
p)
• V
AB
(
p)
( 1
5)
El
inc emen o
de
la
ca ga,
iene
pues
condicionado
po que
las
p oyeccio~
nes
de
los
desplazamien os
o ales
--
(
B)
· A
AB
u p y
u(p
)
sob e
la
di ecci~n
--
sea
igual
a
1:.
.
Si
en
los
nodos
candida os
a
en a
en
la
zona
de
con ac o
se
u iliza
como
sis ema
local
de
coo denadas,
el
de in~
do
po
AB
y
su
co espondien e
no mal,
lo
que
puede
ob ene se
a
a és
de
la
-
ma iz
L(
8 )
en
(8),
la
solución
del
sis
e na
(13)
pe mi e
di ec amen e
es able=
ce
la
compa ación
pa a
de e mina
el
-
meno
alo
del
inc emen o.
Asimismo
-
es e
sis ema
local
de
coo denadas
co~ún
a
717 nen os
en
con ac o,
es
el
que
se
-
u 1l1za
pa a
es ablece
las
condiciones
de
con o no
de inidas
en
(1).
El
uso
de
e
lemen os
discon inuos
exige
un
cuidado
ex emo
al
conside a
~ue as
zonas
de
con ac o,
pues o
que
la
ln oducción
solamen e
de
los
dos
p ime
os
nodos
del
elemen o
en
con ac o
pue=
de_conduci
a
i nco npa ibilidades
geo né-
lcas
co no
se
indica
en
la
Fig.
6.
Po
ello
es
p eciso
ecu i
a
un
-
Valo
p omediado
de
los
inc emen os
de
ca ga
necesa ios
pa a
uni
los
nodos
p
~
los
q_
de
A y
B,
o
bien,
es
p eciso
in
1
oduc1
es icciones
cine ná icas
en=
dos
desplazamien os
de
los
cua o
nodos
e
lo
s
elemen os
qu
e
an
a
con ac a
pa
a
que
dicho
con ac o
se
p oduzca
de
-=
una
sola
e
z.
27
o •
Fig.
6:
Incompa ibilidades
geo né i
cas
en
elemen os
discon i-=
nuos.
6.
RESULTADOS
Se
p esen an
los
esul ados
ob eni-
dos
en
la
comp esión
de
un
dominio
ec-
angula
sob e
una
cimen ación
elás ica
ambién
ec angula ,
co no
se
indica
en
la
Fig.
7.
8
100
' 2
1,2
Nw/ m
EA
~
Nw/mm
2
VA VB
0,35
llllllllllllll
o A
100 J
B
160
UJD
Fig.
7:
Con igu ación
del
ejemplo.
La
sime ía
del
p oblema
pe mi e
es
udia
solamen e
la
con igu ación
ep e
sen ada
en
la
Fig.
8
con
la
disc e iza=
ción
que
en
ella
se
indica.
Los
esul ados
se
p esen an
en
las
Figs.
9 y
10.
La
p ime a
ep esen a
el
alo
de
la
ensión
no mal
en
la
zona
de
con ac o
e e ido
a
la
ca ga
uni a ia.
Se
compa a
con
los
esul ados
ob enidos
po
Ande sson
1141
con
elemen os
pa abó
licos.
La
Fig.
10
ep esen a
los
desli=
za nien os
ela i os
que
se
p oducen
en
la
zona
de
con ac o,
ela i os
al
desli
za nien o
máximo.
Los
esul ados
son
co o
pa ados
co
n
los
ob enidos
po
F
e
d iks=
son
131
con
el
Mé odo
de
los
Ele
m
en os
Fini os,
u ilizando
elemen os
iangul~
ANALES DE INGENIERIA
MECANICA-
AÑO 2 -
N.
0 1-
1984
Po
20
ele en os
J3
30
elemen os
Nc
5
ele en os
Fig.
8:
Disc e ización
u ilizada.
es
con
a iación
lineal
de
desplaza---
mien o
con
496
elemen os,
712
g ados
de
libe ad
y
27
nodos
de
con ac o.
1/"'""
'·
.
~
elemen os
discon inuos
~
e
lemen
os
pa abólicos
(l nde sson)
dD
e
Fig.
9:
Tensiones
no males
en
la
zo
na
de
con ac o.
Fig.
10
:
VE)
(M.E.F) =
1.04
.
!1'aX
-2
. 10
n
-2
(M.E
.C
.)
=
1,00.10
mn
a
Dc
Deslizamien os
ela i os
-
en
la
zona
de
con ac o.
7 . CONCLUSIONES
Se
ha
p esen ado
una
o
mulación
en
ecuac
i
ones
in eg ales
que
pe mi e
la
--
aplicación
del
Mé odo
de
los
Elemen os
de
Con o no
pa a
el
p oblema
de
con ac
-
o
de
dominios
bidimensionales
sin
ie
ción.
28
La
o mulación
no
incluye
las
a ia
bles
in e medias
u ilizadas
po
Ande s=
son
!121,
no
esul ando
necesa io
es a-
blece
a
p io i
la
ubicación
de
la
zona
común
de
con ac o.
La
compa ación
con
Elemen os
Fini--
os
esul a
pa a
es e
p oblema, en ajo-
sa
pa a
la
o mulación
p esen ada.
Po
un
lado,
concep ualmen e
se
a a
de
un
p oblema
en
que
odas
las
a iables
que
in e esan
es án
en
el
con o no.
En
el
-
M.E.F.
es
p eciso
u iliza
·
elemen os
su
pe io es
o
necesa iamen e
se
p oduci ~n
e o es
al
aplica
las
condiciones
de
-
con o no
en
ensiones
(F ed iksson
131).
Se
a a
de
un
p oblema
que
hay
que
e-
sol e
inc emen almen e,
una
pa e
que
puede
se
conside ada
cos osa
compu a--
cionalmen e
en
el
M.
E.C,
como
es
el
cál
culo
de
desplazamien os
y
ensiones
en-
pun os
in e nos,
si
es
que
se
es á
in e
esada
en
muchos
pun os,
no
iene
pa a-
es e
p oblema
una
impo ancia
des aca--
ble
en
el
iempo
o al
de
cálculo.
Los
elemen os
discon inuos
p esen a
dos
en
es e
abajo
pa a
el
p oblema
de
con ac o
han
dado
excelen es
esul ados
lo
que
unido
a
la
simplicidad
pa a
apli
ca
condiciones
de
con o no,
pa a
e i-=
a
el
p oblema
de
las
esquinas,
hace
-
pensa
en
su
en ajosa
aplicación
pa a
p oblemas
idimensionales.
Los
mayo es
es ue zos
pa a
dismi---
nui
los
iempos
de
compu ación
deben
-
encamina se
a
mejo a
la
esolución
del
sis ema
de
ecuaciones
siguiendo
lineas
de
ac uación
como
las
p opues as
po
--
!!,.a: ks 111
11
y
Be ess
1181
.
8.
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wi h
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gene al
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Elemen
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Conjuga e
G adien
Me hod
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Ande sson,
T.,
F ed iksson,
B.,
Allan
Pe sson,
B.G.
·
"The
Bounda y
Elcmen
Me
hod
applied
o
wo
dimensional
con ac
P oblems".
New
De elopmen s
in
Bounda y
Elemen
Me hods
Ed.
by
C.A.
B ebbia
CML
P
ublica ions.
1980.
13.
Ande sson,
T.
"The
.Bounda y
Elmen
Me hod
applied
o
wo-dimensio-
nal
con ac
P oblem
wi h
F ic ion".
Bounda y
Elemen
Me hod.
Ed.
by
C.A.
B ebbia.
Sp inge -Ve lag,
1981.
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Ande sson,
T.
"Th
e
Second
gene a-
ion
Bounda y
Elemen
Con ac
P og am".
Bounda y
Elemen
Me hods
in
Enginee ing
Sp inge -Ve lag,
1982.
15.
Ande sson,
T.
y
Allan
Pe sson
B G
"The
Bounda y
Elemen
Me hod
applied
..
o
wo
dimensional
Con ac
p oblems"
.
P og ess
in
Bounda y
Elemen
Me hod.
Ed.
by
C.A.
B ebbia.
Vol.
2.
Pen ech
P ess.
1983
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16.
Pa is,
F .
"El
Mé odo
de
los
Elemen-
~s
de
Con o no
en
la
Teo a
del
Po en-
c1al
Y
la
Elas icidad"
Tesis
Doc o al.
Mad id:
1979.
17.
Pa is
F G
·d
"El
,
:Y
a 1
o,
J.A.
emen os
d1scon inuos
lineales
en
el
a~álisis
elás ico
bidimensional
con
el
~n odo
de
los
Elemen os
de
Con o no".
0
ales
de
Ingenie
ía
M
ecánica
.
Año
1,
N_
l,
pp.
20
-
25.
1983.
29
18.
Be ess,
J.A.
"Economical
solu ion
echnique
o
bounda y
in eg al
ma i-
ces".
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1983.