Análisis del problema de contacto sin fricción con el método de los elementos de contorno

ANALES DE INGENIERIA MECANICA -AÑO 2 - N.0 1 - 1984 ANALISIS DEL PROBLEMA DE CONTACTO SIN FRICCION CON EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO F. Pa is* y J.A. Ga ido** * E.T.S.I.I. de Se illa / ** E.T.S.I.I. de Las Palmas Resumen. Se o mula la aplicación del mé odo de los elemen os de con o no al p oblema de con ac o, en ausencia de icción, de dominios bidimensionales - en el campo elás ico . Los esul ados ob enidos se compa an con o as al e na i as numé icas de con o no y dominio. 1. INTRODUCCION Exis e un g an núme o de p oblemas, an o den o de la Ingenie ía Mecánica - como Ci il, en los que se p oducen ió e a cc i one s di ec as en e los con o nos~ de dos o más dominios en es ado de de o mación. El es udio de uniones a o nilladas, p oblemas de zunchado, cojine es, así co mo los pilo es de icción, la in e ac-= ción e eno es uc u a, los p oblemas - elacionados con el impac o y la modeli- zación de los planos de deslizamien o en la eo ía de la plas icidad,son ejemplos que esal an la impo ancia del es udio del con ac o en e sólidos de o mables. No es de ex aña , po an o, que -- desde que He z expusie a los p ime os - abajos 111 hayan apa ecido nume osas- publicaciones sob e es e ema. 121 ep ~ sen a una e isión ac ual del es ado de conocimien os . Sin emba go, y dado que - las soluciones analí icas sólo son posi- bles en casos de geome ía simples, pa a condiciones ideales, eniendo en cual--- quie caso un desa ollo ma emá ico com- plejo, el conocimien o del p oblema ha - ido pa ejo al uso de mé odos expe imen a les y más ecien emen e numé icos. En - = conc e o el Mé odo de los Elemen os Fini os ha sido usado en la úl ima década en o ma p o usa pa a abo da es e p oble-- ma. Re e encias 131 a 1111 ep esen an- una selec a colección de a ículos que - usan el Mé odo de los Elemen os Fini os. 22 En gene al el a amien o del p oblema de con ac o admi e · dos en oques basados en modela independien eme e ambos do ü-- nios u ilizando luego unas ecuaciones - de es icción en la zona de con ac o, ó bien en usa elemen os de enlace en - la zona de con ac o cuyas p opiedades - e lejen el compo amien o de las supe icies. - El Mé odo de los Elemen os de Con-- o no ha sido más ecien emen e u iliza do ¡¡>o Ande sson 112j , 113.1 , 1141 y -= 1151 pa a abo da el cas o plano con y si :- ! icción . En el esquema de un mé odo de con o no sólo la p ime a de las al e n~ i as usadas en el M.E.F. cob a sen ido. Ciñendonos al p oblema de con ac o sin icción, pa a el caso de que la s~ pe icie de con ac o sea cons an e se - a a de un p oblema di ec o, es deci las condiciones de con o no pueden es a blece se de o ma de ini i a a p io i y la ca ga o al puede aplica se de una - ez. En cambio si la supe icie de con- ac o puede a ia con la aplicación de las ca gas, las condiciones de con o no no pueden es ablece se p e iamen e y e~ ben dos posibilidades. Aplica di ec a- men e oda la ca ga con una supe icie de con ac o supues a y ajus a pos e- - - io men e es a supe icie en sucesi as ap oximaciones has a que los esul ados coincidan cuali a i amen e con-la supe! icie de con ac o supues a. Es a . es la al e na i a de Ande sson ¡¡>a a p oblemas sin iccion 1121 y 1151. La o a al- ANALES DE INGENIERIA MECANICA AÑO 2 N.0 1 1984 e na i a consis e en da inc emen os de ca ga que co espondan con a iaciones - disc e as de la supe i cie de con ac o - has a que se e mina de aplica la ca -- ga. Es a écnica es la u ilizada po --- ejemplo en lsl. En el p esen e abajo se ha seguido e~ a seg~nda al e na i a que no equie e n1nguna 1dea p e ia sob e la solución -- del p oblema y que pe mi i á enlaza con la o ma de esol e el p oblema con --- icción que necesa iamen e ha de se in c emen al. En el apa ado 2 se de ine el p obl~ ma. En el apa ado 3 se es ablece el --- plan eamien o in eg al pa a el p oblema an e io men e p esen ado. En el apa ado 4 se p e sen a la ap oximación numé ica con elemen os discon inuos. En el 5 se - es ablece el p oceso de esolución, p e- sen ando los esul ados en el apa ado 6 pa a el p oblema de Punch elás ico sob e cimen ación elás ica. 2. DEFINICION DEL PROBLEMA Conside emos la si uación indicada - en la Fig. 1 en la que dos dominios D y D8 con con o nos íl D y íl D se encuen ~an A B some idos a la acción de acciones ex e-- io es sob e dicho con o no A -A B -B i' ui Y i' ui espec i amen e. Bajo la acción de di chas acciones ambos dominios alcanzan -- una si uación de o mada con una supe i- cie de con ac o. Fig. 1: De inición del p oblema. Ambos con o nos pueden pa iciona se en la siguien e o ma: K = A,B donde íl DK L ep esen a la pa e del con o no de K que queda ue a de la zona de- con ac o que asumimos. La h . ó · 1p es1s de pequeñas de o macio- 23 nes, pe mi e pone : Aunque la Fig. 1 ep esen a la in e acción en e dos dominios planos y la- o mulación que sigue ecoge es e caso la ex apolación a más de dos con o no~ o más de una zona de con ac o es inme-- dia a. Se supone que las ensiones que se alcanzan man ienen al ma e ial en su -- compo amien o elás ico y se admi e la posibilidad de que ambos dominios e s én ca ac e izados po p opiedades elás i-- cas di e en es EK, K. Pa a pode es ablece las condicio- nes ~e con o no del p oblema, se de ine un s1s e na local de coo denadas al co- no se indica en la Fig. 2. Fig. 2: De inición del sis ema lo-- cal de coo denadas . La di ección 1 es no mal a la supe icie y la di ección 2 es su pe pendicÜ la en sen ido de las agujas del eloj~ En la zona lib e se da án algunas - de es as es condiciones: - . . 1 1 - u. u. 1 1 - u . 1 i;zoj i,j=1,2 i . 1 En la zona de con ac o, exis en 4 - a iables asociadas a un mismo pun o M en cada uno de los dominios, K K K K u1 (M), u2 (M), 1 (M), 2 (M) K=A,B pe o en e es as ocho a iables exis en las siguien es elaciones, supues o que el con ac o se ealiza sin icción ANALES DE INGENIERIAMECANICA- AÑO 2- N.o l - 1984 A u1 (M) + B u1 (M) = o A B 2 = 2 = o ( 1 ) ~(M) ~ (M) = o con 1 (M) < o Po lo que en un pun o de la zona - de con ac o exis i án cua o incógni as. A A A B u1 (M), 1 (M) , u2 (M), u2 (M) 3. FORMULACION DEL PROBLEMA EN ECUACIO- NES INTEGRALES La o mulación del p oblema elás i- co en ecuaciones in eg ales se ob iene a a és de la ó mula de Somigliana -- que elaciona ensiones y desplazamien- os en el con o no. As , pa a un domi-- nio (Fig. 3) D, con con o no ao dicha - ó mula oma la siguien e exp esión, con ue zas de olumen nulas: C .. (x) u. (x) + JT .. (X , y) u1 . (y) ds (y) l.J J l.J - a o Juij(x,y) j (y) ds(y) a o (2) X Fig. 3: Con igu ación del dominio. donde: x,y E ao uJ. (y), J. (y) son desplazamien os y ensiones en ao U .. (x,y), l.J e .. (x) l.J T .. (x,y) ep esen an la- l.J solución de Kel in, -- desplazamien os y en- siones en y en la di-- ección j al aplica - ca ga unidad en x en - la di ección i. es el é mino lib e cu yo alo depende de la o ma local del con a no en x. Si X ao y la no m a l es c o n inua en 1 x. c . . (x) = -2 6 . . (x). l.J . l. J 24 Una más de allada ob ención de (2) pue de encon a se en 1161. Como es bien= conocido (2) ep esen a la ecu~ción bá sica pa a esol e un p oblema elás i= co median e el mé odo de los elemen os de con o no. Po ello eamos la o ma que adop a (2) al aplica la a los do o~ nios A y B del p oblema de inido en la Fig. 1. <j (x,y)K u~(y) ds(y) + T:j (x,y)K u~(y) ds(y) aoL aoc = J ~j(x,y) ~(y) ds(y) + aoL + T ..(x,y) ~(y) ds(y) K=A,B (3) l.J J a oc donde T~. ep esen a el núcleo de in e l.J - g ación de (2) incluyendo el e ec o -- del é mino lib e. Si in oducimos en (3) las condi-- ciones de con o no (1) deJ p oblema, - las dos ecuaciones adop an la siguien- e o ma u~ ds J u~ ds J A u1 ds A. ds + UA J i 1 a oc A u1 ds A. ds + J UA J i 1 a oc (4) + Tiz u~ ds = a oc ( 5) (4) y (5) ep esen an un sis ema de -- dos ecuaciones in eg ales que pueden - aplica se en pun os del con o no de A y B espec i amen e. Po an o, pa a - cada pun o de A y B que no pe ~nec~n a la supe icie de con ac o y que l.e- nen dos incógni as se dispone de dos - ecuaciones in eg ales, y pa a cada pu~ o de la supe icie de con ac o se di~ pone de cua o ecuaciones in eg ales ~ (dos de (4) y dos de (5)) pa a de e m~ na las cua o incógni as que an e io! men e se hab an especi icado en el --- apa ado 2. 4. APLICACION DEL METODO DE LOS ELEME~ TOS DE CONTORNO. DISCRETIZACION CON ELEMENTOS DISCONTINUOS El Mé odo de lo s E lemen os de Co n- o no se ba sa , como es bi en conocid o , ANALES DE INGENIERlAMECANICA AÑO 2 N.0 1 1984 en ealiza una ap oximación sob e las a iables u. y . que apa ecen en la - l. l. ecuación in eg al (2). Es a ap oxima-- ción ealizada en la o ma: u N .• a. l. l. = N .• b. l. l. (6) donde ai y bi ep esen an los desplaz~ mien as y ensiones en pun os del con- o no ijados como e e encia pa a es- ablece la a iación, pe mi e que la ecuación (2), al aplica la en di e en- es pun os x del con o no,de o igen a un sis ema lineal de ecuaciones (7) cu yas incógni as son los alo es descono cidos de u y en el con o no. NE 1 T~ . (x ,y) ¡: u . (y)> al d~ - K=1 ) l. J J aok -J uij(x,y) . (y)> aD dsk 1 o aok J k (7) donde NE ep esen a el núme o de elemen os (J DK u ilizados pa a ep esen a el - con o no a D. La ap oximación que se a a segui en es e es udio es lineal no con o me. El con o no aD se ap oxima po elemen- - os lineales aDK, sob e los cuales se - supone una a iación lineal de la un-~ ción a pa i de los alo es de dicha - unción en dos pun os in e io es del -- elemen o, lo que no ga an iza la con i- nuidad in e elemen al, al igual que su- cede con los elemen os cons an es. La - o mulación de allada de es e ipo de - e lemen os puede encon a se en 1171. Es a ap oximación pe mi e exp esa l as a iables de (7) u. y . en aDK' a pa i l. l. de los alo es de las ensiones y des-- plazamien os en dos pun os in e io es - del elemen o en un sis ema local de --- co o denadas (Fig. 4). ~) aD ~( ~ ) k !! k ( 8) k . 2 (a,b) ~nL k (8) !) Cl D ~( ~ ) k !!k( 8 ) k . 2 (a,b) k -nL ,- = _, ·= =1 Fig . 4: De i ni c i ón de l e l emen o u i l i zad o e n l a ap o xim ac ión. - 25 La in oducción de (8) en (7) pe mi e ob ene un sis ema lineal de ecuacio nes que puede ep esen a se en la o = m a H u (4NEx4NE) (4NEx1) G (4NEx4NE) (4NEx1) 1 (9) donde ~ y Q son ma ices cuyos coe i--- cien es dependen de los núcleos de in e g ación de la Ecuación de Somigliana -= T .. y U .. , y de las ma ices N, Q y L - l.J l.J - - - in oducidas en (8). u y ep esen an los alo es de los desplazamien os y -- las ensiones en el sis ema local de -- coo denadas de inido pa a cada elemen o. Pa a el p oblema de con ac o que se es á a ando se puede ob ene un sis e oa de ecuaciones simila al (9) pa a ca da uno de los dominios implicados en el p oblema, es ando es os sis emas ela-- cionados a a és de (1). Si omamos como e e encia las ecua cienes in eg ales (4) y (5) que ya - con emplaban las condiciones ( 1 ), e in o ducimos en ellas la ap oximación, no e sul a di icil es ablece una con igu a= ción gené ica del sis emas de ecuacio-- nes que apa ece. En o den a la cla idad de dicha ep esen ación, y sin que se - es ablezca es icción alguna sob e los p oblemas a a a , supongamos que los con o nos ex e io es a la zona de con-- ac o de ambos dominios (J DL se pueden - pa iciona en una zona a Du donde es án p esc i os los desplazamien os y o a - (J D donde es án p esc i as las ensio-- nes. a D~ + a D~ a DK + a DK a K u + De K= A,B (10) Llamamos NK el núme o de e l emen os de cada dom ini o que es a á pa iciona- K K K . K K do en N , N y Nc asoc1.ados a ao , aD K u u y aoc espec i amen e, cumpliéndose ob- iamen e: NK NK u + NK + NK e NA e NB e ( 11 ) Con es as p emisas, ( 3) pa a cada -- con o no K da a luga a las siguien es NK ecuaciones lineales: K ~L - K ~L K · ~1C K ~ 2 C ANALES DE INGENIERIA MECANICA- AÑO 2 - N.0 1- 1984 ~~~ 1 GK -u K ~1 1 ~21 -K !_L K -L K !c1 K !c2 ( 1 2) El signi icado de cada sub na iz es á - en unción de las de iniciones (10) y - (11), siendo sus dimensiones: HK + (4NK, 4NK) - HK + -u (4NK, 4NK) u K É!c1 .... (4NK, 2NK) e K É!c2 .... (4NK, 2NK) e Finalmen e las ecuaciones in eg a-- les (4) y (5) en las que se han aplica- do las condiciones de con ac o p oduci- án , siguiendo la ep esen ación (12) el siguien e sis ema: HA - o -GA -u o A É!c1 o HB o -GB A - -u -!!e, )-HA -A A -u ~L + ~ l-HB . -B GB -u ~L + - A É!c2 o o B É!c2 -A ) !.L -B !_L A -~1 B -~1 A ~L B ~L A ~1C A ~2C B ~2C A .i1c ( 1 3) (13) ep esen a un sis ema de 4(NA+NB) - ecuaciones con 4NA + 4NB + 4N~ + 4N~ + A A Bu Au + 2Nc + 2Nc + 2Nc + 2Nc incógni as po lo que eniendo en cuen a (1) se a a- de un sis ema de e minado cuya esolu--- ción pe mi i á, en la o ma que se expli ca en el apa ado siguien e, calcula -= las incógni as ( ensiones y/ó desplaza-- mien os ) en los con o nos de ambos domi- nios. 5. EL PROCESO DE RESOLUCION En el caso en que la supe icie de - 26 con ac o inal del p oblema sea conoci- da, el sis ema de ecuaciones (13) puede esol e se di ec amen e aplicando oda la solici ación ex e io K y uK ya que du an e la ac uación de es as acciones ex e io es, las condiciones de con o no de ambos dominios no a an. En el caso en que la supe icie de con ac o inal sea desconocida pues o - que dependa de la ca ga aplicada (con-- ac o en e dos es e as, po ejemplo), el p oblema no puede esol e se de una sola ez, exis iendo dos écnicas pa a abo da lo, al a a se sólo de una no- linealidad geomé ica, es deci , cambio de la longi ud o al de la zona de con- ac o y no cambio cuali a i o de las -- condiciones den o de dicha zona. Pues- o que en el p oblema con icción ade- más de la p ime a exis e ambién es a - segunda no-linealidad, pa ece azonable de las dos al e na i as, elegi aquella que pe mi e ambién el a amien o de - los p oblemas de con ac o con icción, es deci , la écnica inc emen al. Po - ello, en el caso de que la supe icie - de con ac o sea suscep ible de a ia - al e oluciona la solici ación, odas - las a iables del p oblema, an o las - incógni as u y co no los da os u y - que apa ecen en-(13) deben in e p e a - se en sen ido inc emen al. El alo del inc emen o es á ela-- cionado con la a iación de solici a--- ción que p o oca el con ac o en e dos pun os. Pues o que en la zona p e is a de con ac o siemp e mayo que la eal, se ha modelado igual A y B (misma longi ud de los elemen os y misma si uación- de los nodos en ellas) los pa es de no- dos candida os a con ac a es án cla a- men e de inidos. Aho a bien, aunque cualquie peque- ño inc emen o de ca ga pe mi e conoce las di ecciones de los desplazamien os en dos nodos candida os, pA, pB, ello - no implica la de inición inmedia a del inc emen o pa a que se p oduzca el con- ac o ya que ambos desplazamien os no - necesa iamen e p o ocan que los dos no- dos lleguen pa a el mismo alo de la - ca ga al pun o p. (Fig. 5). Po ello es p eciso es ablece un - c i e io de con ac o en e los dos pun- os en unción de las p oyecciones de - los ec o es desplazamien os u(pA) y -- u(pB) sob e una di ección úni~a, o nan- aose un alo in e medio en e las no - males a los elemen os a que pe enecen A B p y p . La abe u a in ici al A en e dos pun- ANALES DE INGENIERIA MECANICA AÑO 2 N.o 1 1984 Fig. 5: De inición de la abe u a - en e dos pun os candida os al con ac o. os que an a con ac a se es ablece -- pues co no: 1:. = AB ( p) • V AB ( p) ( 1 5) El inc emen o de la ca ga, iene pues condicionado po que las p oyeccio~ nes de los desplazamien os o ales -- ( B) · A AB u p y u(p ) sob e la di ecci~n -- sea igual a 1:. . Si en los nodos candida os a en a en la zona de con ac o se u iliza como sis ema local de coo denadas, el de in~ do po AB y su co espondien e no mal, lo que puede ob ene se a a és de la - ma iz L( 8 ) en (8), la solución del sis e na (13) pe mi e di ec amen e es able= ce la compa ación pa a de e mina el - meno alo del inc emen o. Asimismo - es e sis ema local de coo denadas co~ún a 717 nen os en con ac o, es el que se - u 1l1za pa a es ablece las condiciones de con o no de inidas en (1). El uso de e lemen os discon inuos exige un cuidado ex emo al conside a ~ue as zonas de con ac o, pues o que la ln oducción solamen e de los dos p ime os nodos del elemen o en con ac o pue= de_conduci a i nco npa ibilidades geo né- lcas co no se indica en la Fig. 6. Po ello es p eciso ecu i a un - Valo p omediado de los inc emen os de ca ga necesa ios pa a uni los nodos p ~ los q_ de A y B, o bien, es p eciso in 1 oduc1 es icciones cine ná icas en= dos desplazamien os de los cua o nodos e lo s elemen os qu e an a con ac a pa a que dicho con ac o se p oduzca de -= una sola e z. 27 o • Fig. 6: Incompa ibilidades geo né i cas en elemen os discon i-= nuos. 6. RESULTADOS Se p esen an los esul ados ob eni- dos en la comp esión de un dominio ec- angula sob e una cimen ación elás ica ambién ec angula , co no se indica en la Fig. 7. 8 100 ' 2 1,2 Nw/ m EA ~ Nw/mm 2 VA VB 0,35 llllllllllllll o A 100 J B 160 UJD Fig. 7: Con igu ación del ejemplo. La sime ía del p oblema pe mi e es udia solamen e la con igu ación ep e sen ada en la Fig. 8 con la disc e iza= ción que en ella se indica. Los esul ados se p esen an en las Figs. 9 y 10. La p ime a ep esen a el alo de la ensión no mal en la zona de con ac o e e ido a la ca ga uni a ia. Se compa a con los esul ados ob enidos po Ande sson 1141 con elemen os pa abó licos. La Fig. 10 ep esen a los desli= za nien os ela i os que se p oducen en la zona de con ac o, ela i os al desli za nien o máximo. Los esul ados son co o pa ados co n los ob enidos po F e d iks= son 131 con el Mé odo de los Ele m en os Fini os, u ilizando elemen os iangul~ ANALES DE INGENIERIA MECANICA- AÑO 2 - N. 0 1- 1984 Po 20 ele en os J3 30 elemen os Nc 5 ele en os Fig. 8: Disc e ización u ilizada. es con a iación lineal de desplaza--- mien o con 496 elemen os, 712 g ados de libe ad y 27 nodos de con ac o. 1/"'"" '· . ~ elemen os discon inuos ~ e lemen os pa abólicos (l nde sson) dD e Fig. 9: Tensiones no males en la zo na de con ac o. Fig. 10 : VE) (M.E.F) = 1.04 . !1'aX -2 . 10 n -2 (M.E .C .) = 1,00.10 mn a Dc Deslizamien os ela i os - en la zona de con ac o. 7 . CONCLUSIONES Se ha p esen ado una o mulación en ecuac i ones in eg ales que pe mi e la -- aplicación del Mé odo de los Elemen os de Con o no pa a el p oblema de con ac - o de dominios bidimensionales sin ie ción. 28 La o mulación no incluye las a ia bles in e medias u ilizadas po Ande s= son !121, no esul ando necesa io es a- blece a p io i la ubicación de la zona común de con ac o. La compa ación con Elemen os Fini-- os esul a pa a es e p oblema, en ajo- sa pa a la o mulación p esen ada. Po un lado, concep ualmen e se a a de un p oblema en que odas las a iables que in e esan es án en el con o no. En el - M.E.F. es p eciso u iliza · elemen os su pe io es o necesa iamen e se p oduci ~n e o es al aplica las condiciones de - con o no en ensiones (F ed iksson 131). Se a a de un p oblema que hay que e- sol e inc emen almen e, una pa e que puede se conside ada cos osa compu a-- cionalmen e en el M. E.C, como es el cál culo de desplazamien os y ensiones en- pun os in e nos, si es que se es á in e esada en muchos pun os, no iene pa a- es e p oblema una impo ancia des aca-- ble en el iempo o al de cálculo. Los elemen os discon inuos p esen a dos en es e abajo pa a el p oblema de con ac o han dado excelen es esul ados lo que unido a la simplicidad pa a apli ca condiciones de con o no, pa a e i-= a el p oblema de las esquinas, hace - pensa en su en ajosa aplicación pa a p oblemas idimensionales. Los mayo es es ue zos pa a dismi--- nui los iempos de compu ación deben - encamina se a mejo a la esolución del sis ema de ecuaciones siguiendo lineas de ac uación como las p opues as po -- !!,.a: ks 111 11 y Be ess 1181 . 8. REFERENCIAS 1. He z. "Gesamel e We ke, Bdo. 1". Leipzig, 1895. 2. Gladwell, G.M.L. "Con ac · P oblems in he classical Theo y o Elas ici y". Sij ho and Noo dho (1980). 3. F ed iksson, B. 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