APLICACION
DEL
METODO
DE
LOS
ELEMENTOS
DE
CONTORNO
AL
PROBLEMA
DE
CONTACTO
SIN
FRICCION
UTILIZANDO DISCRETIZACIONES NO
CONFORMES.
Blázquez A.;Pa ís,F.;Cai'ias,J.
Depa amen o Mecánica de Medios Con inuos
E.T.S. Ingenie os Indus iales. Uni e sidad de Se illa
A da. Reina Me cedes, sin. Se illa 41012.
Resumen.- Exis en nume osos p oblemas en ingenie ía en los que se p oducen in e acciones di ec as en e los
con o nos de dos o más sólidos cuando es os se some en a un es ado de ca ga ex e na. Tal es el caso
de
uniones
a o nilladas o oblonadas, cojine es, apa a os de apoyo, pilo es de icción, y
un
la go e cé e a. En el p esen e
esc i o se p esen a la aplicación del M.E.C. al p oblema
de
con ac o, sin icción, de dominios bidimensionales,
en el campo elás ico y u ilizando disc e izaciones dis in as en cada una de las zonas de los cue pos que an a
con ac a .
Abs ac -Tbe e a e many p oblems in enginee ing in ol ing in e ac ions be ween bodies bounda ies. Examples
a e i e ed join s, bea ings, e c. In his pape we show a B.E.M. applica ion o wo-dimensional ic ionless
con ac p oblem using -di e en disc e iza ions in he bodies in con ac
1.-INTR.ODUCCION.
Desde que He z [4] desa olla a
en
1882 la
o mulación ma emá ica que pe mi e el es udio
analí ico de ensiones de con ac o en e cue pos sin
icción, con zona de con ac o peque la compa ada con
los
adios
de
cu a u a
y ue zas
de
masa
desp eciables en e a las
de
con o no, nume osos
in es igado es han desa ollado nue as o mulaciones
con obje o de es udia analí icamen e el p oblema
de
con ac o elajando alguna de las hipó esis es ablecidas
po
He z. Sin emba go, la aplicación de dichos
es udios a p oblemas
de
geome ía a bi a ia y
condiciones de con o no
no
ideales no esul a ac ible
dada
la
complejidad ma emá ica que conlle a
la
esolución analí ica. Po ello, el conocimien o y
a ance en es e campo ha es ado ín imamen e ligado
con
el
desa ollo
de
mé odos
numé icos
y
expe imen ales.
Y a
desde
p incipios
de
los a ios
70
son
nume osas las publicaciones en las que se aplica el
M.E.F. a los p oblemas de con ac o en e sólidos.
La
aplicación del M.E.C., a es os p oblemas es más
a día, la p ime a publicación es debida a Ande sson,
F ed icksson y Pe sson [1]. Ande sson des aca
algunas en ajas
de
la u ilización del M.E.C. en e
al M.E.F.: la impo ancia que supone maneja
solamen e g ados de libe ad asociados al con o no,
el
pode
acopla di ec amen e
en
el sis ema
las
componen es in ínsecas
de
la ensión
en
la zona
de
con ac o y el hecho
de
maneja di ec amen e las
ensiones
como
incógni as.
En
[3] Ga ido
implemen a un algo iuno inc emen al
pa a
el es udio
del p oblema de con ac o con y sin icción en e 2
cue pos usando elemen os discon inuos.
Has a aho a odos los abajos en los que se
usaba el M.E.C. u ilizaban disc e izaciones idén icas
en las zonas de con ac o pa a ambos cue pos. En
es e a ículo se p esen a
un
algo iuno que pe mi e
que las disc e izaciones
de
es as zonas
no
sean
idén icas en ambos cue pos, lo cual iene como
en aja undamen al el pode disminui el a na io del
205
sis ema
de
ecuaciones
cuando
se p esen an
singula idades, además su uso es obligado cuando se
es udian p oblemas con g andes desplazamien os,
adicionalmen e,
el
uso
de
disc e izaciones
no
con o mes acili a la en ada
de
da os dado que no es
necesa io conoce a p io i que pa es de pun os an a
con ac a .
2.- DEFINICION DEL PROBLEMA
En
la
igu a 1 se ep esen a un p oblema
gene al de con ac o en e dos dominios, oA y
oB,
con
sus
con o nos
espec i os,
oDA
y ()DB,
some idos a unas acciones ex e nas jK y unos
desplazamien os p esc i os
UjK
(K=A ó
B).
igu a
l.
De mición del
p oblema.
A es as solici aciones los cue pos esponden
de o mándose has a alcanza un es ado
de
equilib io
del que admi i emos que man iene a los cue pos en la
zona de compo amien o elás ico siendo además las
de o maciones peque ias. A es e es ado inal le
co esponde á una zona común de con ac o,
oDc,
po
donde se ansmi i án las acciones
de
un cue po a
o o. Los con o nos
de
ambos cue pos pueden
di idi se en dos zonas, la zona que es á en con ac o,
oDcK, y la zona que no lo es á,
()DL
K,
a la que
llama emos lib e:
()OK
=
oDcK
+ oDL K con
K=
A
ó B. En gene al es a pa ición no se puede ealiza a
p io i a no se en casos e iden es y se á uno de los
esul ados a ob ene .
3.- FORMULACION DEL PROBLEMA
Pa a la o mulación del p oblema elás ico
median e ecuaciones in eg ales
de
con o no
se
emplea
la ó mula de Somigliana, que pa a
un
dominio D
con
un
con o no aD iene la exp esión:
C
..
(x)u.(x)+ J T..(x,y)u.(y)ds(y)= J U
..
(x,y) .(y)ds(y)
lJ
J
ao
lJ
J
ao
lJ
J
(1)
donde:
x,y E
dD
Uj(y),
j(Y)
desplazamien os y ensiones
Uij(x,y), T¡j(x,y) la solución de Kel in
C¡j(x) el é mino lib e
Jun o con las condiciones de con o no
siguien es:
En la zona lib e las condiciones pueden se
en
ensiones, en desplazamien os o mix as
En la zona de con ac o pa a el
caso
sin
icción:
u¡A(p) + u¡B(p) =O
2A(p)
=
2B(p)
= 0
¡A(p) - ¡B(p) = 0
¡
A(p),
¡ B(p)
s;
0
(2)
donde p ep esen a un pa en con ac o, 1 es la
di ección no mal y 2 es la di ección angencial al
con o no del cue po en el pun o p. Con las
condiciones (2), aplicadas a odos los pa es de pun os
de la zona en con ac o se impedi ía que se p oduzcan
in e e encias geomé icas en e los dos cue pos, a la
ez que se asegu a el equilib io pun ual de las
ensiones y se cumple la condición de que no hay
icción.
4
.-
APUCACION DEL M.E.
C.
En el M.E.C. se ealiza una ap oximación de
las ensiones y los desplazamien os que apa ecen en
(1) en la
o ma:
11
=
Nuu
y 1 =
Iiil.u
(3)
donde
a¡
y
b¡
ep esen an los desplazamien os y
ensiones en pun os del con o no que se oman como
e e encia. Aplicando la ecuación
(1)
a cada uno de
los cue pos pa a
una
disc e ización
dada:
NEK
*
~
[ J T
..
(x,y)u.(y)dsk- J U .. (x,y) .(y)dsk]=O
k=
I
ao
lJ
J
ao
lJ
J
k k (4)
donde
NEK
es el núme o de elemen os empleados
pa a disc e iza el con o no del cue po K. U ilizando
la ap oximación (3) esul a
un
sis ema lineal de
ecuaciones, donde
las
incógni as son desplazamien os
y ensiones en los nodos.
H.
ll
=
1 (8)
Si las disc e izaciones son idén icas los
con ac os se ealizan en e pa es de nodos y la
aplicación de las condiciones (2) es inmedia a ya que
los desplazamien os y ensiones que allí apa ecen son
incógni as del sis ema de ecuaciones. Si po el
con a io las disc e izaciones no son idén icas, en
gene al,
un
nodo de uno
de
los cue pos no a a
con ac a con o o nodo del o o cue po, sino que lo
ha á en una zona in e media de
un
elemen o. Se
pod ía
pensa
que
bas a ía
exp esa
los
desplazamien os y ensiones
de
es e pun o in e medio
en unción
de
los de los nodos u ilizando (3), pe o lo
mismo que se hace con cada nodo
de
un cue po
espec o de elemen os del o o hay que hace lo con
los nodos de es e úl imo espec o de los elemen os
del p ime o, esul ando que al inal end íamos más
ecuaciones que incógni as.
Pa a explica con más cla idad el algo i mo
amos a sepa a en las condiciones (2), po
un
lado la
condición en desplazamien os y po o o las
condiciones en ensiones.
La
idea básica del
p ocedimien o que se p esen a es á en impone la
condición de desplazamien os sólo a los pa es de
con ac o que o man los nodos de uno de los cue pos,
al que amos a denomina
A,
se impide de es e modo
que los nodos de A pene en al cue po B, pe o
se
··
pe mi e lo con a io. Los desplazamien os
de
los
nodos de A se elacionan con los de los nodos
de
B
del elemen o
con
el
que es ablece
el
con ac o.
206
Respec o a las ensiones, si pa a cada cue po se
emplea
la
ap oximación clásica de las a iables, es
deci según los alo es
de
sus nodos, es e iden e que
. no pueden consegui se dis ibuciones idén icas en las
zonas
de
con ac o de ambos cue pos, pa a ello bas a
pensa , po ejemplo, en
el
caso en que
un
elemen o
de uno de los cue pos con ac e con a ios elemen os
del o o cue po, como se mues a en la igu a 2.
~niiA
L~
Cue po B
igu a 2.
Dis ibuci6n
de
ensiones
·
La
solución a es e p oblema es á en supone
sob e los elemen os de B la misma dis ibución de
ensiones que hay sob e el cue po
A,
luego las
ensiones de los nodos del cue po B desapa ecen del
p oblema.
5.- PROCESO DE RESOLUCION
Cuando una ez aplicado
un
inc emen o
de
ca ga apa ecen pene aciones
de
nodos del cue po A
en el cue po
B,
dado que no les es á pe mi ido, se
ha
de epe i el inc emen o obligando a que una
ez
Ji
d
ap ca o es e, el nodo es é sob e
el
elemen o
de
B S .
p esen a así
el
p oblema de decidi con · e
elemen o
de
B se
a
a eal za " 1 que pun o del
A-
. e con ac o del nodo de
3 .' se elige el pun o q calculado como indica la igu a
A
' '
',
Q
__
...........
___
.-..-:.,-;J]
n1
---¡ •i
~1
' n¡ n' 1
1
B
n 1
nB
2
igu a
3.
Calculo
del
pun o
de
con ac o
s·
1
ap~ce~
acciones
en
la zona
de
con ac o se
ha
d~
epe i
~1
mc emen o dejando lib es a los nodos
a.soc ados
a dichas acciones.
Se di ide la ca ga
en inc emen os.
Se aplica
un
inc emen o con
las condiciones de con o no
que se alcanza on en el
inc emen o an e io .
~
l
-,
Si algún nodo de A a a esó
algún elemen o de
B,
se calcula
el pun o q como mues a la
~
igu a
3,
se modi ica la condición
de con o no
del
nodo, obligandole
a que as la aplicación del
inc emen o en e en con ac o en
el pun o q. Se epi e el inc emen o.
'
Si
en algún nodo de A que es aba
en
con ac o han apa ecido acciones
'4--
se modi ica la condición de con o no
en
dicho nodo y se
le
deja lib e.
Se
epi e el inc emen o.
-,
-J Se p epa a
un
nue o 1
1 inc emen o
de
ca ga.
igu a 4.
Esquema
del
algo i mo.
6. RESULTADOS
do .
S_e
p ese.n a el p oblema
de
comp esión de
un
mm o elás ico ec angula sob e
una
cimen ación
207
ambién elás ica,
p
bl
igu a 4. o ema que
se
ep esen a en la
8
-
..,.
lOO
mq¡
1
E- :
4000 N 1 2
Fl=4000
N mm2
A B
mm
V
=V
=0.35
Es es e
un
. p oblema en el que la zona de
con ac o es conoc da a p io i.
Pa a
disc e .
de con ac o se h .1. .
~
la zona
d. · .
an
u J
zado 3 dJsc e zaciones
s m as combmándolas en
la
im
..
elemen os, ag upando b
mayo~
p.:::
eS:
~ ih.z~
13
en la segunda se emplean an
61
6 esquma,
inalmen e
en
la
úl '
s o elemen os, y
. 14.
ma
se
emplean
1 1 ·i
ab
111 a
1 1 1
·i
e
ab
igu a 5.1As
disc e izaciones
1 1 1 . 1
e b
1
b
U ilizando la p ime a disc e ización en ambos
cue pos se ob ienen los esul ados de la igu a 6 e
~!~e
ep ese~ an
las ensiones
no m¿le~
das, es
d~
~/po.
donde se puede ap ecia
que )cuando las d sc e zaciones son con o mes el
~~j
.
u
ados es el mismo que
el
que ob iene Ga ido
Si
empleamos pa a
el
punzón la p ime a de
laS
disc e izaciones y
en
la cimen ación
la
segunda
se
ob iene los esul ados
de
la
igu a 7.
: . .
! .................. : .................. ,. .............. .
0
DI-Dl
~ ~
!
2.5
X
Dl·D2
!'"""'""""
"l"""'
'"''"""!"""'""""
: : :
: : :
. : : :
·--••••••••••••••••••••
..
••
•••.,••••n•••••n•u••:••••••••••••••••••••••••-••••••••
! ! ! l
l.
5 ............... ¡
.................
~
..................
~
.................
¡
..........
.
1.0
8
..
....
... ¡
............
l
.............
¡
.............
~
.....
x
.. ..
~
! i
~
igu a
1:Dl
y D2.
Finalmen e
si
en
el punzón
se
emplea
la
e ce a
disc e ización y
en
la cimen ación
la
segunda
se
ob iene la igu a 8.
. . .
0
Dl-Dl
i""""""""'' "
"'"
"""""!'"""""'"'
~
~
~
X
D3-I>4
.:
..................
:.
.................
;.
............. ..
~
~
i
o
.e-
2.0
.
. i i i
........
.......
1
..
...............
1
.................
-
.....
.
...........
........
.
....
..
1 • s
...
.
...........
l
................
. l ..
.......
........
. L ..
...............
i
..........
.
: : : :
1.0
.,
...
;co
..
!·ox
....
cx+
..
...
~
..
!·g)C
.......
.....
x
....
~
i i i
igu a
8:DJ
y D2
Se
obse a que cuando las disc e izaciones son
no
con o mes
se
p oducen algunas oscilaciones en la
dis ibución
de
ensiones,
que
es án asociadas
al
hecho
de
obliga a
la
disc e ización del punzón (el
cue po
que
se
ha
omado
como
A)
a
segui
los
mo imien os
de
la cimen ación (el cue po B).
Es
de
obse a
que
cuando
en
la
cimen ación se emplea
la
segunda
de
las disc e izaciones, hay elemen os del
punzón que son an sólo el
5%
del elemen o
de
B con
el
que
es ablecen
el
con ac o, y las des iaciones
espec o
del
alo
ob enido con disc e izaciones
con o mes es del o den
del10%.
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