Aplicación del método de los elementos de contorno al problema de contacto sin fricción utilizando discretizaciones no conformes

APLICACION DEL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO AL PROBLEMA DE CONTACTO SIN FRICCION UTILIZANDO DISCRETIZACIONES NO CONFORMES. Blázquez A.;Pa ís,F.;Cai'ias,J. Depa amen o Mecánica de Medios Con inuos E.T.S. Ingenie os Indus iales. Uni e sidad de Se illa A da. Reina Me cedes, sin. Se illa 41012. Resumen.- Exis en nume osos p oblemas en ingenie ía en los que se p oducen in e acciones di ec as en e los con o nos de dos o más sólidos cuando es os se some en a un es ado de ca ga ex e na. Tal es el caso de uniones a o nilladas o oblonadas, cojine es, apa a os de apoyo, pilo es de icción, y un la go e cé e a. En el p esen e esc i o se p esen a la aplicación del M.E.C. al p oblema de con ac o, sin icción, de dominios bidimensionales, en el campo elás ico y u ilizando disc e izaciones dis in as en cada una de las zonas de los cue pos que an a con ac a . Abs ac -Tbe e a e many p oblems in enginee ing in ol ing in e ac ions be ween bodies bounda ies. Examples a e i e ed join s, bea ings, e c. In his pape we show a B.E.M. applica ion o wo-dimensional ic ionless con ac p oblem using -di e en disc e iza ions in he bodies in con ac 1.-INTR.ODUCCION. Desde que He z [4] desa olla a en 1882 la o mulación ma emá ica que pe mi e el es udio analí ico de ensiones de con ac o en e cue pos sin icción, con zona de con ac o peque la compa ada con los adios de cu a u a y ue zas de masa desp eciables en e a las de con o no, nume osos in es igado es han desa ollado nue as o mulaciones con obje o de es udia analí icamen e el p oblema de con ac o elajando alguna de las hipó esis es ablecidas po He z. Sin emba go, la aplicación de dichos es udios a p oblemas de geome ía a bi a ia y condiciones de con o no no ideales no esul a ac ible dada la complejidad ma emá ica que conlle a la esolución analí ica. Po ello, el conocimien o y a ance en es e campo ha es ado ín imamen e ligado con el desa ollo de mé odos numé icos y expe imen ales. Y a desde p incipios de los a ios 70 son nume osas las publicaciones en las que se aplica el M.E.F. a los p oblemas de con ac o en e sólidos. La aplicación del M.E.C., a es os p oblemas es más a día, la p ime a publicación es debida a Ande sson, F ed icksson y Pe sson [1]. Ande sson des aca algunas en ajas de la u ilización del M.E.C. en e al M.E.F.: la impo ancia que supone maneja solamen e g ados de libe ad asociados al con o no, el pode acopla di ec amen e en el sis ema las componen es in ínsecas de la ensión en la zona de con ac o y el hecho de maneja di ec amen e las ensiones como incógni as. En [3] Ga ido implemen a un algo iuno inc emen al pa a el es udio del p oblema de con ac o con y sin icción en e 2 cue pos usando elemen os discon inuos. Has a aho a odos los abajos en los que se usaba el M.E.C. u ilizaban disc e izaciones idén icas en las zonas de con ac o pa a ambos cue pos. En es e a ículo se p esen a un algo iuno que pe mi e que las disc e izaciones de es as zonas no sean idén icas en ambos cue pos, lo cual iene como en aja undamen al el pode disminui el a na io del 205 sis ema de ecuaciones cuando se p esen an singula idades, además su uso es obligado cuando se es udian p oblemas con g andes desplazamien os, adicionalmen e, el uso de disc e izaciones no con o mes acili a la en ada de da os dado que no es necesa io conoce a p io i que pa es de pun os an a con ac a . 2.- DEFINICION DEL PROBLEMA En la igu a 1 se ep esen a un p oblema gene al de con ac o en e dos dominios, oA y oB, con sus con o nos espec i os, oDA y ()DB, some idos a unas acciones ex e nas jK y unos desplazamien os p esc i os UjK (K=A ó B). igu a l. De mición del p oblema. A es as solici aciones los cue pos esponden de o mándose has a alcanza un es ado de equilib io del que admi i emos que man iene a los cue pos en la zona de compo amien o elás ico siendo además las de o maciones peque ias. A es e es ado inal le co esponde á una zona común de con ac o, oDc, po donde se ansmi i án las acciones de un cue po a o o. Los con o nos de ambos cue pos pueden di idi se en dos zonas, la zona que es á en con ac o, oDcK, y la zona que no lo es á, ()DL K, a la que llama emos lib e: ()OK = oDcK + oDL K con K= A ó B. En gene al es a pa ición no se puede ealiza a p io i a no se en casos e iden es y se á uno de los esul ados a ob ene . 3.- FORMULACION DEL PROBLEMA Pa a la o mulación del p oblema elás ico median e ecuaciones in eg ales de con o no se emplea la ó mula de Somigliana, que pa a un dominio D con un con o no aD iene la exp esión: C .. (x)u.(x)+ J T..(x,y)u.(y)ds(y)= J U .. (x,y) .(y)ds(y) lJ J ao lJ J ao lJ J (1) donde: x,y E dD Uj(y), j(Y) desplazamien os y ensiones Uij(x,y), T¡j(x,y) la solución de Kel in C¡j(x) el é mino lib e Jun o con las condiciones de con o no siguien es: En la zona lib e las condiciones pueden se en ensiones, en desplazamien os o mix as En la zona de con ac o pa a el caso sin icción: u¡A(p) + u¡B(p) =O 2A(p) = 2B(p) = 0 ¡A(p) - ¡B(p) = 0 ¡ A(p), ¡ B(p) s; 0 (2) donde p ep esen a un pa en con ac o, 1 es la di ección no mal y 2 es la di ección angencial al con o no del cue po en el pun o p. Con las condiciones (2), aplicadas a odos los pa es de pun os de la zona en con ac o se impedi ía que se p oduzcan in e e encias geomé icas en e los dos cue pos, a la ez que se asegu a el equilib io pun ual de las ensiones y se cumple la condición de que no hay icción. 4 .- APUCACION DEL M.E. C. En el M.E.C. se ealiza una ap oximación de las ensiones y los desplazamien os que apa ecen en (1) en la o ma: 11 = Nuu y 1 = Iiil.u (3) donde a¡ y b¡ ep esen an los desplazamien os y ensiones en pun os del con o no que se oman como e e encia. Aplicando la ecuación (1) a cada uno de los cue pos pa a una disc e ización dada: NEK * ~ [ J T .. (x,y)u.(y)dsk- J U .. (x,y) .(y)dsk]=O k= I ao lJ J ao lJ J k k (4) donde NEK es el núme o de elemen os empleados pa a disc e iza el con o no del cue po K. U ilizando la ap oximación (3) esul a un sis ema lineal de ecuaciones, donde las incógni as son desplazamien os y ensiones en los nodos. H. ll = 1 (8) Si las disc e izaciones son idén icas los con ac os se ealizan en e pa es de nodos y la aplicación de las condiciones (2) es inmedia a ya que los desplazamien os y ensiones que allí apa ecen son incógni as del sis ema de ecuaciones. Si po el con a io las disc e izaciones no son idén icas, en gene al, un nodo de uno de los cue pos no a a con ac a con o o nodo del o o cue po, sino que lo ha á en una zona in e media de un elemen o. Se pod ía pensa que bas a ía exp esa los desplazamien os y ensiones de es e pun o in e medio en unción de los de los nodos u ilizando (3), pe o lo mismo que se hace con cada nodo de un cue po espec o de elemen os del o o hay que hace lo con los nodos de es e úl imo espec o de los elemen os del p ime o, esul ando que al inal end íamos más ecuaciones que incógni as. Pa a explica con más cla idad el algo i mo amos a sepa a en las condiciones (2), po un lado la condición en desplazamien os y po o o las condiciones en ensiones. La idea básica del p ocedimien o que se p esen a es á en impone la condición de desplazamien os sólo a los pa es de con ac o que o man los nodos de uno de los cue pos, al que amos a denomina A, se impide de es e modo que los nodos de A pene en al cue po B, pe o se ·· pe mi e lo con a io. Los desplazamien os de los nodos de A se elacionan con los de los nodos de B del elemen o con el que es ablece el con ac o. 206 Respec o a las ensiones, si pa a cada cue po se emplea la ap oximación clásica de las a iables, es deci según los alo es de sus nodos, es e iden e que . no pueden consegui se dis ibuciones idén icas en las zonas de con ac o de ambos cue pos, pa a ello bas a pensa , po ejemplo, en el caso en que un elemen o de uno de los cue pos con ac e con a ios elemen os del o o cue po, como se mues a en la igu a 2. ~niiA L~ Cue po B igu a 2. Dis ibuci6n de ensiones · La solución a es e p oblema es á en supone sob e los elemen os de B la misma dis ibución de ensiones que hay sob e el cue po A, luego las ensiones de los nodos del cue po B desapa ecen del p oblema. 5.- PROCESO DE RESOLUCION Cuando una ez aplicado un inc emen o de ca ga apa ecen pene aciones de nodos del cue po A en el cue po B, dado que no les es á pe mi ido, se ha de epe i el inc emen o obligando a que una ez Ji d ap ca o es e, el nodo es é sob e el elemen o de B S . p esen a así el p oblema de decidi con · e elemen o de B se a a eal za " 1 que pun o del A- . e con ac o del nodo de 3 .' se elige el pun o q calculado como indica la igu a A ' ' ', Q __ ........... ___ .-..-:.,-;J] n1 ---¡ •i ~1 ' n¡ n' 1 1 B n 1 nB 2 igu a 3. Calculo del pun o de con ac o s· 1 ap~ce~ acciones en la zona de con ac o se ha d~ epe i ~1 mc emen o dejando lib es a los nodos a.soc ados a dichas acciones. Se di ide la ca ga en inc emen os. Se aplica un inc emen o con las condiciones de con o no que se alcanza on en el inc emen o an e io . ~ l -, Si algún nodo de A a a esó algún elemen o de B, se calcula el pun o q como mues a la ~ igu a 3, se modi ica la condición de con o no del nodo, obligandole a que as la aplicación del inc emen o en e en con ac o en el pun o q. Se epi e el inc emen o. ' Si en algún nodo de A que es aba en con ac o han apa ecido acciones '4-- se modi ica la condición de con o no en dicho nodo y se le deja lib e. Se epi e el inc emen o. -, -J Se p epa a un nue o 1 1 inc emen o de ca ga. igu a 4. Esquema del algo i mo. 6. RESULTADOS do . S_e p ese.n a el p oblema de comp esión de un mm o elás ico ec angula sob e una cimen ación 207 ambién elás ica, p bl igu a 4. o ema que se ep esen a en la 8 - ..,. lOO mq¡ 1 E- : 4000 N 1 2 Fl=4000 N mm2 A B mm V =V =0.35 Es es e un . p oblema en el que la zona de con ac o es conoc da a p io i. Pa a disc e . de con ac o se h .1. . ~ la zona d. · . an u J zado 3 dJsc e zaciones s m as combmándolas en la im .. elemen os, ag upando b mayo~ p.::: eS: ~ ih.z~ 13 en la segunda se emplean an 61 6 esquma, inalmen e en la úl ' s o elemen os, y . 14. ma se emplean 1 1 ·i ab 111 a 1 1 1 ·i e ab igu a 5.1As disc e izaciones 1 1 1 . 1 e b 1 b U ilizando la p ime a disc e ización en ambos cue pos se ob ienen los esul ados de la igu a 6 e ~!~e ep ese~ an las ensiones no m¿le~ das, es d~ ~/po. donde se puede ap ecia que )cuando las d sc e zaciones son con o mes el ~~j . u ados es el mismo que el que ob iene Ga ido Si empleamos pa a el punzón la p ime a de laS disc e izaciones y en la cimen ación la segunda se ob iene los esul ados de la igu a 7. : . . ! .................. : .................. ,. .............. . 0 DI-Dl ~ ~ ! 2.5 X Dl·D2 !'"""'"""" "l"""' '"''"""!"""'"""" : : : : : : . : : : ·--•••••••••••••••••••• .. •• •••.,••••n•••••n•u••:••••••••••••••••••••••••-•••••••• ! ! ! l l. 5 ............... ¡ ................. ~ .................. ~ ................. ¡ .......... . 1.0 8 .. .... ... ¡ ............ l ............. ¡ ............. ~ ..... x .. .. ~ ! i ~ igu a 1:Dl y D2. Finalmen e si en el punzón se emplea la e ce a disc e ización y en la cimen ación la segunda se ob iene la igu a 8. . . . 0 Dl-Dl i""""""""'' " "'" """""!'"""""'"' ~ ~ ~ X D3-I>4 .: .................. :. ................. ;. ............. .. ~ ~ i o .e- 2.0 . . i i i ........ ....... 1 .. ............... 1 ................. - ..... . ........... ........ . .... .. 1 • s ... . ........... l ................ . l .. ....... ........ . L .. ............... i .......... . : : : : 1.0 ., ... ;co .. !·ox .... cx+ .. ... ~ .. !·g)C ....... ..... x .... ~ i i i igu a 8:DJ y D2 Se obse a que cuando las disc e izaciones son no con o mes se p oducen algunas oscilaciones en la dis ibución de ensiones, que es án asociadas al hecho de obliga a la disc e ización del punzón (el cue po que se ha omado como A) a segui los mo imien os de la cimen ación (el cue po B). Es de obse a que cuando en la cimen ación se emplea la segunda de las disc e izaciones, hay elemen os del punzón que son an sólo el 5% del elemen o de B con el que es ablecen el con ac o, y las des iaciones espec o del alo ob enido con disc e izaciones con o mes es del o den del10%. 7.- REFERENCIAS. l. Ande sson, T.; Allan Pe sson, B. G.: "The Bounda y Elemen Me bod applied o wo- dimensional Con ac P oblems". P og ess in Bounda y Elemen Me bod. Ed. by C. A. B ebbia. Vol. 2 Pen ech P ess (1983). 208 2. Ga ido, J. A.: "El P oblema de Con ac o en Elas icidad Median e Ecuaciones In eg ales". Tesis Doc o al. Las Palmas de G an Cana ias (1986). 3. Pa ís, F; Ga ido, J.A.: "On he Use o Discon inuous Elemen s in Two-Dimensional Con ac P oblems". Bounda y Elemen VII, Sp inge -Ve lag (1985) 4. He z, H .: Miscellaneous Pape s on be Con ac o Elas ic Solids. T ansla ion by Jones, D.e. McMillan. London (1896). 5. Kalke , J. J.: "Va ia ional P incipies o Con ac Elas os a ics". J. Ins . Ma hs. Applies, 20, 199- 219. (1977).