248
VII CONGRESO NACIONAL DB INGBNIERIA MECANICA A io VI Vol.
m
OPTIMIZACION JE LA RESPUESTA JI AMICA DE UNA ESTRUCTURA DE BARRAS.
Co z Rod íguez, Al onso; Domínguez Abascal, José.
Depa amen o de Ingenie ía Indus ial. E.U.I.T.I. Algeci as.- A da. Ramón Puyol,s:n
11202 -ALGECIRAS (Cádiz)
Do o. '.!edios Con inuos y T!. de Es uc u as. E.T.S. Ing. Indus . Se illa.
A da. Reina e cedes. s/n. SEVILLA.
;esu nen.- Exis e ac ualmen e un in e es
no o io sob e el ca .,po de la op imización en
gene al, si bien son escasos los abajos en
Abs :-ac . -Newadays he e is an i;;:po:- an:
in•e es abou he op imiza ion ield in gene-
al. bu wo L<:s abou dinamic beha iou a e a
el. a,ia ado co espondien'.'.e al compo amien o ew.
d:námico.
i::l p:-cble .-,a se plan ea de una :o ma gené-
:-1ca. pudie ;do aplica se a con 1 .uos o a es-
•.oc u as disc:-e as, eniendo en es e úl imo
caso, cie :as simpli icaciones.
Se a:a en odo -,o;:-.e;i o de
u iliza
el
"sc:·,;a e'' no ;-;-,al exis en e en el ne cado pa!"a
aquellos sec o es den e es o es posible.
:=e. ha as.
I .
INTRODUCCION.
La ::::<: inioión de un p oble :1 de diseño en
é minos de op i ización sigue siemp e unos
pasos como son: la sin e iz:1ción e.el uncional
a op imiza , el plan emaien o de es icciones
uncionales, dimensionales y ensionales.
Se plan ean dis in as es a egias cuando
hablamos de op imización en el campo dinámico,
no malmen e se de ine una unción obje i o ce
ipo olumé ico (peso o masa), es e es el caso
clásico y más no mal. En o os casos se de ine
como unción obje i o cel p oblema una ampli-
ud de uno de los g ados de libe ad del sis e-
ma. La ampli ud se calcula u ilizando supe po-
sición modal, eniendo la posibilidad de sim-
pli ica el p oblema en unción del ango de
ecuencia del abajo de mane!"a que la u ili-
zación de un mayo núme o ée modos ha á más
exac o el alo de la espues a pe:-o a cos a
de una mayo complicación.
249
".'he p oblem is s udied in a gene al way,
and i can be aoplied o con inuous and dis-
c:-e e s uc u es, ha ing in he la e:- some
simpli ica ions.
:he aining is o use he ''no mal so wa e·•
we ha e in he ma ke o hose sec ions whe e
i is ;,ossible.
An examole
showed.
abou a beam s ue :u e is
Un segundo p oblema es que end íamos que
limi ca la ampli ud
en
el es o de los g acos
de libe ad, as i como los pesos de las ba as,
ya que de o o modo llega íamos a un diseñe
sumamen e pesado.
Teniendo en cuen a que no malmen e se u i-
liza como unción obje i o el peso, con es ic
ciones de lexión máxima, y ensión máxima u i:
liza emos los mismos concep os, pe o en el cam-
po dinámico, de o ma que el seguimien o del
azonamien o sea lo más simple posible.
2. DESARROLLO DEL
ALGORITMO.
Comenza emos po el desa ollo
de
la un-
ción obje i o y a con inuación desa olla emos
las es icciones dimensionales, pa a inall-
1.a a acando las
de
ipo uncional.
2.1. unción obje i o.
Ya habíamos decidido inicialmen e, que la
unción obje i o se ía de ipo olumé ico,
y supond emos que los sólidos manejados son
homogéneos, i só opos y con inuos. Con es as
p emisas, si conside amos un sólido q e se -
iende en un dominio D, su peso se a .uncion
de las coo denadas de los pun os nodales con
las que hemos disc e izado su on e a, de es e
modo:
cado que c:e;
w
W(P. l. l
1 i= ,
n12.1.11
o
(p) 12.1.21
po lo :an o la unción a mini iza se á:
V= V(?) ! 2. l. 3
I
Pa a el caso e:1 el cual exis:iese:1 discon-
:nuidaáes ales que:
1
2 .1.
4
I
cc .-.o es el e aso de .uchas ex ::-·..:e .... :-as cc .iunes.
se suele asocia a cada subéOl".'.i:.ic u .a a ia-
ble de :c l".'.a que e . el case ée ¡:lacas se ía
el esoeso o e:i el caso ée ba:-:-as, las seccio-
nes ·?o lo a i" :o oa:--a el cas? de úl i;:les
subdominios, la exp ;sión de la iu:i::ón obJe i-
o, se á:
'J/(xi
l
i=l.".'
. ; 2 .1. 51
w
= .: V( X)
m
V =
Cl. X.
..
l l
i=l
:2.1. 71
m.- núme o de elemen os.
X.
l
ª·
l
a iable asociada al ele .-,en i.
- Pa áme o asociado al elemen o i.
El
cálculo del g adien e de es as uncio-
nes no suele p esen a p oblemas, de do que
end íamos:
'JW = ., .
'J
V = ;¡ 16 V/ ó x
1
, 6 V/ !x
2
,
.•. !
,2.1.el
A con inuación es udia el",OS las es: iccio-
nes dimensionales.
ig. 1
2.2.- Res icciones dimensionales.
Las es icciones dimensionales pueden u i-
liza se po dos mo i os, en p ime luga pa a
ga an iza un amaño mínimo de los elem:n os,
y en segundo luga pa a cie o ipo de anal1s1s
pa a el es ablecimien o de los lími es pa a
la desapa ición de elemen os y la consiguien e
modi icación de la opología del sis ema.
El núme o de es icci.ones suele se el
mismo que el de a iables o en algunos casos
mayo dado que pueden limi a se de alguna o -
ma las elaciones en e a iables. Po
lo
an o
end emos
dos
ipos, a sabe :
i;,o (a) 12.2.11
x•. >
ipo (b)
xk
<
(x1, x2
.
'
..
)12.2.21
Es as elaciones se suelen exp esa en io -
ma de uncional como:
.ipo (a)
gj
-x.
+
x•
<
o
12.2.31
i-
ipo (b)
(xk)
gj
=...
)
-
1
o
2
(xl
.
x2'
Los g adien es
sionales del ipo
que:
de las es icciones dimen-
( a), son simples, de modo
ipo (a)
. T
V
g
J
:: I0,0,-1,0, ••. 1 12.2.51
En
el
segundo caso, se án mas o menos com-
plicados en unción de la es uc u a de las
unciones
1
y
1
ipo
(b)
VgJ = _l_
2
2
), ... 1
12.2.51
2
.3.- Res icciones uncionales.
Las es icciones uncionales
caso dinámico las exp esiones más
y donde no malmen e los g adien e
labo iosos de ob ene .
son en el
complejas
son más
Las es icciones de es e ipo suelen ex-
p esa se en o ma de limi aciones de ampli ud
oen o os casos de elocidad o acele ación.,
en los es casos pueden se alo es picos o
R.M.S.
Un segundo ipo :::e es . icciones unciona-
les son las de e .s iones y pa a su aco ación
se á necesa io ene en cuen a las limi aciones
po a iga con la consiguien e educción de
(J
mx
Pasamos a con inuación a deduci las es-
icciones de ampli ud.
q=l, 2, ... ,
m
m.- núme o de pun os de con ol.
1
2
.
2
.71
No malmen e se ob ienen mejo es esul ados,
al modi ica la an e io condición en la o a:
ipo (a)
G
k
12.2.e!
O o ipo de uncional de ampl.:. ud, es el
de di e encias de ampli udes:
i¡)O ( b)
1 - 1
< o
12.
2
.91
Los g adien es espec i os pa a los dos
casos se án,
1
2
.
2 .10 1
ipo
(b)
'7G
k
-3.lóq_=._ _l
l
a(óq_- .1q_, ) T
.:.•q 3xl , ... 1
1
2
.
2
.11 1
La ob ención de es os g adien es, dada su
ex ensión se ealizan en el anexo I.
Las úl imas elaciones uncionales que con-
side amos en el p oblema dinámico, son las de
limi ación de ensiones.
Las ensiones es án elacionadas con las
de o maciones a a és de la ma iz de compo -
amien o elás ico D, de al o ma que:
<1 = D 12.2.121
Asimismo, exis e una elación
maciones y mo imien os, al que:
8 ó
con lo cual, sus i uyendo en
12.
2
.1
2
1, se ob iene:
(J
=
s
ó
donde S = D"B.
1
2
.2.131
la ecuación
12.
2
.14 1
Las es icciones en ensión son, quizás
las más complicadas de maneja , a causa de que
es necesa io es ablece pun os
de
con ol en
el sólido o sólidos manejados. Además es nece-
sa io especi ica el ipo de c i e io u iliza-
do pa a de e mina la ensión equi ale . e
(T essca, Moh , ... ). O o aspec o a conside-
a , si es amos es udiando un ma e ial sensi-
ble a los e ec os a iga, se á el coe icien e
de educción de ensión admisible en unción
del núme o de ciclos.
Suponiendo que se ha omado una decisión
sob e los pun os an e io men e enunciados, y
suponiendo N pun os de con ol, ob end emos
las siguien es es icciones:
(J
<
(J •
- =l ,2, ... N
12.
2
.15 1
Ob eniendo la exp esión del uncional en
la o ma acos umb ada ob end emos:
G
k
c 1
2
1
<
O
• -
o
12.2.15/
El g adien e de es e uncional se á:
(J
00
oc
7G
k
.,.
2
(J •
1 •
l
2
.
2
.171
Una ez de e minados odos los unciona-
les, así como sus g adien es, pasa íamos a
conside a el mé odo de op imización más idóneo
2.4.- Vec o de mo imien os
El cálculo de los mo imien os puede eali-
za se po dos caminos, bien di ec amen e me-
dian e i . eg ación en el iempo, o bien po
aplicación de los concep os de supe posición
modal, y sin e iza de es a o ma el ec o
de mo imien os. Es e 'ul imo mé odo, iene en-
ajas, siemp e que el p oblema sea lineal, y
es el que segui emos en nues o desa ollo.
C:l mé odo de sín esis de la espues a me-
dian e supe posición modal es ampliamen e cono-
cido y puede encon a se en cualquie a ado
de dinámica. l 21 .
El p ime concep o que maneja emos se á
el de la unción de espues a en ecuencia.
La F.R.F. H
.. ( íl ), no dá la ,espues a de la
esi:: uc u a en 11.a coo denada q, debida a una
exci ación a mónica de alo uni a io en la
coo denada p y se exp esa como::
<P <P.
H. ( íl)
lJ
n
i:
=l
i J
--y--
2
( 1-
!"' ) +
1
1
(
2 )
-
donde:
K
e
M
..
=
Q /1;:,
2
w .
M
e
/2
Y!
!"
<P
T
e
$
-
M
12.2.181
'11
n.- núme o de modos conside ados.
íl.- ecuencia
de
exci ación.
w .- ,ecuencia na u al.
0 .- ec o modal.
-
K .- igidez mcdal.
M .- masa modal.
.- coe . de amo iguamien o modal.
El ec o de espues a pa a los pun os del
sólido o es uc u a es udiados se puede
exp e-
sa de una o ma gene al como:
n <P
T
$
? n )
cos
-
ü( ) - -
i:
-------
l(l- 2J
2
; Y,
:{
=l !" +(2 )-1
2
12.2.191
El sis ema es po en e y lexible al mismo
iempo. ya que pe mi e oma en conside ación
un1camence, quellos modos que sean de in e,és
en unción
de
los limi es de ecuencia maneja-
dos. En segundo luga se puede u iliza con
cualquie ue za de exci ación ya que si és a
no es a mónica, siemp e pod emos descompone la
en se ie de Fou ie .
O a de las posibles en :ajas es que la
unción puede ob ene se
expe imen almen e, y median e écnicas ap o-
piadas, ob ene los pa áme os modales eales,
con lo cual se puede inicia el p oceso de op-
imización con pa áme os muy iables.
Como con apa ida a las en ajas enuncia-
das, el cálculo del g adien e se hace labo io-
so, como se puede comp oba en el anexo.
El núcleo p incipal del p og ama, es á con!
i uído po es sec o es, el p ime o es un
p og ama de elemen os ini os con encional,
el segundo po el p og ama desa ollado en es e
abajo en el cual se ealiza el cálculo de
los g adien es de las dis in as unciones, po
252
úl imo, en el e ce luga , el p og ama de op-
imización p opiamen e dicho. El op imizado
ui::ilizado es del ipo de d: ección posible.
111. l
41.
?ARAMETROS
M.E.?".
GRADIENTES
OPTIMIZADOR
3. APLICACION A UNA ESTRUCTURA.
Se
ha ealizado una aplicaci#on a una es-
uc u a ípica ée edi icación, con un conpo -
amien esis en e a co adu a, igu a 2.
-u1
-----------1 ---
u2
I'
1--------------+ --- C.)3
1--------------+ --- u
4
:'ig. 2
La unción obje i o en es :e caso se á el
peso o al de
la es uc u a esis en e, com-
ues a po las columnas, que es lo que que emcs
op imiza .
':J
n
E
i=l
2. P,l.x.
l l
l
3.1 ¡
Las es icciones impues as son los despla-
zamien os de los g ados de libe ad 1
y 2.
La deducción de la ma iz de igidez, p e-
sen a una pequeña complicación, ya que dicha
ma iz es unción de los momen os de ine cia
de los pila es que se desean op imiza , y no
di ec amen e de las secciones:
K ..
lJ
12EI
= !ij l
3.21
La solución a es e p oblema ha e ec uado,
a e iguando que ipo de unción elaciona Xi
con I ..
Se ha u ilizado una écnica po mínimos
cuad ados pa a los alo es omados de un
p on ua io de los alo es de secciones y momen-
:os de ine cia de pe iles ipo HEB, ob enién-
dose la siguien e unción:
I/1E5 = 81 + B2 • (X/ 1E5) + B3 • (X /1E5)
2
13.31
La ep esen ación g á ica de
se puede ap ecia en la igu a 3.
la unción
REUCI()I .OEIITO OE I.·l"2 P Wll HES
200.-------------------,
"'
w
..
'.!
!
u
a
a
z
! 7
150
125
100
75
50
2S
8!• 520
B2•. 540
B3•. 024
20 30 40 50 60 70 60 90 100
OJAMlOO OEl. . AEl 111 • 4) 11. E5
F'igu a 3
Los alo es de los coe icien es son:
81 0.520
82 0.540
B3 0.024
De es a o ma podemos exp esa los é minos
de la ma iz de igidez en unción de las a-
iables a op imiza Xi, en ez de Ii.
Las de i adas de los é minos de la ma iz
de igidez son de es a o ma deducidos ácil-
men e.
Los alo es iniciales de las a iables ue-
on los siguien es:
Xl
X2
X3
50E-4
80E-4
155E::4
m2
m2
·m2
X4 = 320E-4 m2
Se aco a on es as a iables en e los si-
guien es alo es:
lE-4 <
Xi< 2700E-4
Las magni udes del p oblema omadas como
cons an es ue on:
Li 3.00 m
Ei = 2.06 • Ell
ul .
J05 m
u2 .003 m
?
= 5000
N
N/m2
Las ecuencias
na u ales del sis ema ini-
cial son:
wl
w2
w3
w4
40.1
109.5
165.4
388.5
ad/seg
ad/seg
ad/seg
ad/seg
253
La espues a de la es uc u a pa a una ca -
ga? colocada sucesi amen e en cada una de las
ecuencias se puede ap ecia en la igu a 4.
z
"'
20
15
10
1
1
1/ 1
5
¡/ ,
/ l - I'
,,1 / '
o --- '-.'-:
o o
100
U(I)
U
121
U(Jl
U (4)
1
·"
150
200 250 00 50 400
FREC'..ENCIA aa/seg
Fig. 4
Se ealizó una op imización con una ecuen
cia de exci ación den o del espec o en e
wl y w4 ob eniéndose los siguien es esul ados
de espues a, mejo a de la unción obje i o
y modi icación de secciones, igu as 5, 6 y
7.
20
z 15
•
E 10
we
65 ad/seg
UII)
Ul2l
Ul31
U (41
O O 100 1 200 2
00 350 400
FRECI.ENCil ICI/S19
Fig. 5
EVOLUCIOH OE U FIJICION 08JETIVO
30 ,------------------,
28
2
26
....
"'
"
o 24
20 .._.._.._
_ _..
___ ..__ _._ ......
----'
o
1 2 J • 5 s I a 9 10 11 12 :J u 1
Fig. 6
EVOLUC :OH 0E LAS 'IARJ . BLES
FEilF1L N 2
F'ig. 7
La educción en peso es, como puede obse -
a se de un 13%.
El iempo de C.P.U. ue educido, 30 seg.,
aunque si enemos en cuen a el amaño del p o-
blema, ácilmen e pude a isba se que el mayo
obs :áculo en es e ipo de p oblemas se á el
iempo de cálculo.
CONCLUSIONES
El mé odo unciona de o ma sa is ac o ia
y puede se :nuy adecuado pa a su aplicación
a la esolución de algunos p oblemas es uc u-
ales que se p oducen en es uc u as indus ia-
les sob e las que exis en :náquinas y equipos
que gene an ib aciones.
BIBLIOGRAFIA
1.- Vande plaa s, G.N.- "Nume ical Op imiza ion
echniques o enginee ing design".- McG aw
Hill, 1984.
2
.- Roy R. C aig, J . -"S uc :u al dynamics"
.-
John Wiley & Sons, 1981.
3.- A ek, E., Gallage , R.H., Ragsdell, K.M.,
Zienkiewicz. ( Edi
o ':!s}. -"New di ec ion
in op imun s uc u al design.
"- John Wiley
& Sons L d.
4.- Vande ;,laa s, ,.·1. "CO?SS/AD3"" (Use ,'.a .ual)
nginee 1n esing op i ica ion, 1936
ANEXO!.
G adien e
pli ud.
de la es icción uncional de am-
, ...
'
ac. .a I T
q¡ X
iTI
El p oblema se á, po lo an o, ob ene
los ac.
q/ a
x. , po lo que eco da emos :.a o -
mulación dad§ pa a C.q.
254
dl l
)
;
2
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ax."
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ax.
l
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ax.
l
ªª
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2
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x.
l
1 K A 1
2
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· 2
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A A
l · 3
El g adien e de los au o ec o es se encuen-
a desa ollado en la e 131.
Re
un
a
Es
de
qUE
plE
,
blE
de1
me<
mi1
zac
e:
1
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ca,
11,
l.
Dis
en
obj
is
a
n
cié
e
guj
M
s
g
La
ció
señ
de
ni o