Optimización de la respuesta dinámica de una estructura de barras

248 VII CONGRESO NACIONAL DB INGBNIERIA MECANICA A io VI Vol. m OPTIMIZACION JE LA RESPUESTA JI AMICA DE UNA ESTRUCTURA DE BARRAS. Co z Rod íguez, Al onso; Domínguez Abascal, José. Depa amen o de Ingenie ía Indus ial. E.U.I.T.I. Algeci as.- A da. Ramón Puyol,s:n 11202 -ALGECIRAS (Cádiz) Do o. '.!edios Con inuos y T!. de Es uc u as. E.T.S. Ing. Indus . Se illa. A da. Reina e cedes. s/n. SEVILLA. ;esu nen.- Exis e ac ualmen e un in e es no o io sob e el ca .,po de la op imización en gene al, si bien son escasos los abajos en Abs :-ac . -Newadays he e is an i;;:po:- an: in•e es abou he op imiza ion ield in gene- al. bu wo L<:s abou dinamic beha iou a e a el. a,ia ado co espondien'.'.e al compo amien o ew. d:námico. i::l p:-cble .-,a se plan ea de una :o ma gené- :-1ca. pudie ;do aplica se a con 1 .uos o a es- •.oc u as disc:-e as, eniendo en es e úl imo caso, cie :as simpli icaciones. Se a:a en odo -,o;:-.e;i o de u iliza el "sc:·,;a e'' no ;-;-,al exis en e en el ne cado pa!"a aquellos sec o es den e es o es posible. :=e. ha as. I . INTRODUCCION. La ::::<: inioión de un p oble :1 de diseño en é minos de op i ización sigue siemp e unos pasos como son: la sin e iz:1ción e.el uncional a op imiza , el plan emaien o de es icciones uncionales, dimensionales y ensionales. Se plan ean dis in as es a egias cuando hablamos de op imización en el campo dinámico, no malmen e se de ine una unción obje i o ce ipo olumé ico (peso o masa), es e es el caso clásico y más no mal. En o os casos se de ine como unción obje i o cel p oblema una ampli- ud de uno de los g ados de libe ad del sis e- ma. La ampli ud se calcula u ilizando supe po- sición modal, eniendo la posibilidad de sim- pli ica el p oblema en unción del ango de ecuencia del abajo de mane!"a que la u ili- zación de un mayo núme o ée modos ha á más exac o el alo de la espues a pe:-o a cos a de una mayo complicación. 249 ".'he p oblem is s udied in a gene al way, and i can be aoplied o con inuous and dis- c:-e e s uc u es, ha ing in he la e:- some simpli ica ions. :he aining is o use he ''no mal so wa e·• we ha e in he ma ke o hose sec ions whe e i is ;,ossible. An examole showed. abou a beam s ue :u e is Un segundo p oblema es que end íamos que limi ca la ampli ud en el es o de los g acos de libe ad, as i como los pesos de las ba as, ya que de o o modo llega íamos a un diseñe sumamen e pesado. Teniendo en cuen a que no malmen e se u i- liza como unción obje i o el peso, con es ic ciones de lexión máxima, y ensión máxima u i: liza emos los mismos concep os, pe o en el cam- po dinámico, de o ma que el seguimien o del azonamien o sea lo más simple posible. 2. DESARROLLO DEL ALGORITMO. Comenza emos po el desa ollo de la un- ción obje i o y a con inuación desa olla emos las es icciones dimensionales, pa a inall- 1.a a acando las de ipo uncional. 2.1. unción obje i o. Ya habíamos decidido inicialmen e, que la unción obje i o se ía de ipo olumé ico, y supond emos que los sólidos manejados son homogéneos, i só opos y con inuos. Con es as p emisas, si conside amos un sólido q e se - iende en un dominio D, su peso se a .uncion de las coo denadas de los pun os nodales con las que hemos disc e izado su on e a, de es e modo: cado que c:e; w W(P. l. l 1 i= , n12.1.11 o (p) 12.1.21 po lo :an o la unción a mini iza se á: V= V(?) ! 2. l. 3 I Pa a el caso e:1 el cual exis:iese:1 discon- :nuidaáes ales que: 1 2 .1. 4 I cc .-.o es el e aso de .uchas ex ::-·..:e .... :-as cc .iunes. se suele asocia a cada subéOl".'.i:.ic u .a a ia- ble de :c l".'.a que e . el case ée ¡:lacas se ía el esoeso o e:i el caso ée ba:-:-as, las seccio- nes ·?o lo a i" :o oa:--a el cas? de úl i;:les subdominios, la exp ;sión de la iu:i::ón obJe i- o, se á: 'J/(xi l i=l.".' . ; 2 .1. 51 w = .: V( X) m V = Cl. X. .. l l i=l :2.1. 71 m.- núme o de elemen os. X. l ª· l a iable asociada al ele .-,en i. - Pa áme o asociado al elemen o i. El cálculo del g adien e de es as uncio- nes no suele p esen a p oblemas, de do que end íamos: 'JW = ., . 'J V = ;¡ 16 V/ ó x 1 , 6 V/ !x 2 , .•. ! ,2.1.el A con inuación es udia el",OS las es: iccio- nes dimensionales. ig. 1 2.2.- Res icciones dimensionales. Las es icciones dimensionales pueden u i- liza se po dos mo i os, en p ime luga pa a ga an iza un amaño mínimo de los elem:n os, y en segundo luga pa a cie o ipo de anal1s1s pa a el es ablecimien o de los lími es pa a la desapa ición de elemen os y la consiguien e modi icación de la opología del sis ema. El núme o de es icci.ones suele se el mismo que el de a iables o en algunos casos mayo dado que pueden limi a se de alguna o - ma las elaciones en e a iables. Po lo an o end emos dos ipos, a sabe : i;,o (a) 12.2.11 x•. > ipo (b) xk < (x1, x2 . ' .. )12.2.21 Es as elaciones se suelen exp esa en io - ma de uncional como: .ipo (a) gj -x. + x• < o 12.2.31 i- ipo (b) (xk) gj =... ) - 1 o 2 (xl . x2' Los g adien es sionales del ipo que: de las es icciones dimen- ( a), son simples, de modo ipo (a) . T V g J :: I0,0,-1,0, ••. 1 12.2.51 En el segundo caso, se án mas o menos com- plicados en unción de la es uc u a de las unciones 1 y 1 ipo (b) VgJ = _l_ 2 2 ), ... 1 12.2.51 2 .3.- Res icciones uncionales. Las es icciones uncionales caso dinámico las exp esiones más y donde no malmen e los g adien e labo iosos de ob ene . son en el complejas son más Las es icciones de es e ipo suelen ex- p esa se en o ma de limi aciones de ampli ud oen o os casos de elocidad o acele ación., en los es casos pueden se alo es picos o R.M.S. Un segundo ipo :::e es . icciones unciona- les son las de e .s iones y pa a su aco ación se á necesa io ene en cuen a las limi aciones po a iga con la consiguien e educción de (J mx Pasamos a con inuación a deduci las es- icciones de ampli ud. q=l, 2, ... , m m.- núme o de pun os de con ol. 1 2 . 2 .71 No malmen e se ob ienen mejo es esul ados, al modi ica la an e io condición en la o a: ipo (a) G k 12.2.e! O o ipo de uncional de ampl.:. ud, es el de di e encias de ampli udes: i¡)O ( b) 1 - 1 < o 12. 2 .91 Los g adien es espec i os pa a los dos casos se án, 1 2 . 2 .10 1 ipo (b) '7G k -3.lóq_=._ _l l a(óq_- .1q_, ) T .:.•q 3xl , ... 1 1 2 . 2 .11 1 La ob ención de es os g adien es, dada su ex ensión se ealizan en el anexo I. Las úl imas elaciones uncionales que con- side amos en el p oblema dinámico, son las de limi ación de ensiones. Las ensiones es án elacionadas con las de o maciones a a és de la ma iz de compo - amien o elás ico D, de al o ma que: <1 = D 12.2.121 Asimismo, exis e una elación maciones y mo imien os, al que: 8 ó con lo cual, sus i uyendo en 12. 2 .1 2 1, se ob iene: (J = s ó donde S = D"B. 1 2 .2.131 la ecuación 12. 2 .14 1 Las es icciones en ensión son, quizás las más complicadas de maneja , a causa de que es necesa io es ablece pun os de con ol en el sólido o sólidos manejados. Además es nece- sa io especi ica el ipo de c i e io u iliza- do pa a de e mina la ensión equi ale . e (T essca, Moh , ... ). O o aspec o a conside- a , si es amos es udiando un ma e ial sensi- ble a los e ec os a iga, se á el coe icien e de educción de ensión admisible en unción del núme o de ciclos. Suponiendo que se ha omado una decisión sob e los pun os an e io men e enunciados, y suponiendo N pun os de con ol, ob end emos las siguien es es icciones: (J < (J • - =l ,2, ... N 12. 2 .15 1 Ob eniendo la exp esión del uncional en la o ma acos umb ada ob end emos: G k c 1 2 1 < O • - o 12.2.15/ El g adien e de es e uncional se á: (J 00 oc 7G k .,. 2 (J • 1 • l 2 . 2 .171 Una ez de e minados odos los unciona- les, así como sus g adien es, pasa íamos a conside a el mé odo de op imización más idóneo 2.4.- Vec o de mo imien os El cálculo de los mo imien os puede eali- za se po dos caminos, bien di ec amen e me- dian e i . eg ación en el iempo, o bien po aplicación de los concep os de supe posición modal, y sin e iza de es a o ma el ec o de mo imien os. Es e 'ul imo mé odo, iene en- ajas, siemp e que el p oblema sea lineal, y es el que segui emos en nues o desa ollo. C:l mé odo de sín esis de la espues a me- dian e supe posición modal es ampliamen e cono- cido y puede encon a se en cualquie a ado de dinámica. l 21 . El p ime concep o que maneja emos se á el de la unción de espues a en ecuencia. La F.R.F. H .. ( íl ), no dá la ,espues a de la esi:: uc u a en 11.a coo denada q, debida a una exci ación a mónica de alo uni a io en la coo denada p y se exp esa como:: <P <P. H. ( íl) lJ n i: =l i J --y-- 2 ( 1- !"' ) + 1 1 ( 2 ) - donde: K e M .. = Q /1;:, 2 w . M e /2 Y! !" <P T e $ - M 12.2.181 '11 n.- núme o de modos conside ados. íl.- ecuencia de exci ación. w .- ,ecuencia na u al. 0 .- ec o modal. - K .- igidez mcdal. M .- masa modal. .- coe . de amo iguamien o modal. El ec o de espues a pa a los pun os del sólido o es uc u a es udiados se puede exp e- sa de una o ma gene al como: n <P T $ ? n ) cos - ü( ) - - i: ------- l(l- 2J 2 ; Y, :{ =l !" +(2 )-1 2 12.2.191 El sis ema es po en e y lexible al mismo iempo. ya que pe mi e oma en conside ación un1camence, quellos modos que sean de in e,és en unción de los limi es de ecuencia maneja- dos. En segundo luga se puede u iliza con cualquie ue za de exci ación ya que si és a no es a mónica, siemp e pod emos descompone la en se ie de Fou ie . O a de las posibles en :ajas es que la unción puede ob ene se expe imen almen e, y median e écnicas ap o- piadas, ob ene los pa áme os modales eales, con lo cual se puede inicia el p oceso de op- imización con pa áme os muy iables. Como con apa ida a las en ajas enuncia- das, el cálculo del g adien e se hace labo io- so, como se puede comp oba en el anexo. El núcleo p incipal del p og ama, es á con! i uído po es sec o es, el p ime o es un p og ama de elemen os ini os con encional, el segundo po el p og ama desa ollado en es e abajo en el cual se ealiza el cálculo de los g adien es de las dis in as unciones, po 252 úl imo, en el e ce luga , el p og ama de op- imización p opiamen e dicho. El op imizado ui::ilizado es del ipo de d: ección posible. 111. l 41. ?ARAMETROS M.E.?". GRADIENTES OPTIMIZADOR 3. APLICACION A UNA ESTRUCTURA. Se ha ealizado una aplicaci#on a una es- uc u a ípica ée edi icación, con un conpo - amien esis en e a co adu a, igu a 2. -u1 -----------1 --- u2 I' 1--------------+ --- C.)3 1--------------+ --- u 4 :'ig. 2 La unción obje i o en es :e caso se á el peso o al de la es uc u a esis en e, com- ues a po las columnas, que es lo que que emcs op imiza . ':J n E i=l 2. P,l.x. l l l 3.1 ¡ Las es icciones impues as son los despla- zamien os de los g ados de libe ad 1 y 2. La deducción de la ma iz de igidez, p e- sen a una pequeña complicación, ya que dicha ma iz es unción de los momen os de ine cia de los pila es que se desean op imiza , y no di ec amen e de las secciones: K .. lJ 12EI = !ij l 3.21 La solución a es e p oblema ha e ec uado, a e iguando que ipo de unción elaciona Xi con I .. Se ha u ilizado una écnica po mínimos cuad ados pa a los alo es omados de un p on ua io de los alo es de secciones y momen- :os de ine cia de pe iles ipo HEB, ob enién- dose la siguien e unción: I/1E5 = 81 + B2 • (X/ 1E5) + B3 • (X /1E5) 2 13.31 La ep esen ación g á ica de se puede ap ecia en la igu a 3. la unción REUCI()I .OEIITO OE I.·l"2 P Wll HES 200.-------------------, "' w .. '.! ! u a a z ! 7 150 125 100 75 50 2S 8!• 520 B2•. 540 B3•. 024 20 30 40 50 60 70 60 90 100 OJAMlOO OEl. . AEl 111 • 4) 11. E5 F'igu a 3 Los alo es de los coe icien es son: 81 0.520 82 0.540 B3 0.024 De es a o ma podemos exp esa los é minos de la ma iz de igidez en unción de las a- iables a op imiza Xi, en ez de Ii. Las de i adas de los é minos de la ma iz de igidez son de es a o ma deducidos ácil- men e. Los alo es iniciales de las a iables ue- on los siguien es: Xl X2 X3 50E-4 80E-4 155E::4 m2 m2 ·m2 X4 = 320E-4 m2 Se aco a on es as a iables en e los si- guien es alo es: lE-4 < Xi< 2700E-4 Las magni udes del p oblema omadas como cons an es ue on: Li 3.00 m Ei = 2.06 • Ell ul . J05 m u2 .003 m ? = 5000 N N/m2 Las ecuencias na u ales del sis ema ini- cial son: wl w2 w3 w4 40.1 109.5 165.4 388.5 ad/seg ad/seg ad/seg ad/seg 253 La espues a de la es uc u a pa a una ca - ga? colocada sucesi amen e en cada una de las ecuencias se puede ap ecia en la igu a 4. z "' 20 15 10 1 1 1/ 1 5 ¡/ , / l - I' ,,1 / ' o --- '-.'-: o o 100 U(I) U 121 U(Jl U (4) 1 ·" 150 200 250 00 50 400 FREC'..ENCIA aa/seg Fig. 4 Se ealizó una op imización con una ecuen cia de exci ación den o del espec o en e wl y w4 ob eniéndose los siguien es esul ados de espues a, mejo a de la unción obje i o y modi icación de secciones, igu as 5, 6 y 7. 20 z 15 • E 10 we 65 ad/seg UII) Ul2l Ul31 U (41 O O 100 1 200 2 00 350 400 FRECI.ENCil ICI/S19 Fig. 5 EVOLUCIOH OE U FIJICION 08JETIVO 30 ,------------------, 28 2 26 .... "' " o 24 20 .._.._.._ _ _.. ___ ..__ _._ ...... ----' o 1 2 J • 5 s I a 9 10 11 12 :J u 1 Fig. 6 EVOLUC :OH 0E LAS 'IARJ . BLES FEilF1L N 2 F'ig. 7 La educción en peso es, como puede obse - a se de un 13%. El iempo de C.P.U. ue educido, 30 seg., aunque si enemos en cuen a el amaño del p o- blema, ácilmen e pude a isba se que el mayo obs :áculo en es e ipo de p oblemas se á el iempo de cálculo. CONCLUSIONES El mé odo unciona de o ma sa is ac o ia y puede se :nuy adecuado pa a su aplicación a la esolución de algunos p oblemas es uc u- ales que se p oducen en es uc u as indus ia- les sob e las que exis en :náquinas y equipos que gene an ib aciones. BIBLIOGRAFIA 1.- Vande plaa s, G.N.- "Nume ical Op imiza ion echniques o enginee ing design".- McG aw Hill, 1984. 2 .- Roy R. C aig, J . -"S uc :u al dynamics" .- John Wiley & Sons, 1981. 3.- A ek, E., Gallage , R.H., Ragsdell, K.M., Zienkiewicz. ( Edi o ':!s}. -"New di ec ion in op imun s uc u al design. "- John Wiley & Sons L d. 4.- Vande ;,laa s, ,.·1. "CO?SS/AD3"" (Use ,'.a .ual) nginee 1n esing op i ica ion, 1936 ANEXO!. G adien e pli ud. de la es icción uncional de am- , ... ' ac. .a I T q¡ X iTI El p oblema se á, po lo an o, ob ene los ac. q/ a x. , po lo que eco da emos :.a o - mulación dad§ pa a C.q. 254 dl l ) ; 2 3µ ax." l aw ax. l a.i.. ax. l ªª ax. l .2 A. 0 T 0 p - - ,;2 1 ( 1 2 / + (2!; . l 2 I Y, = = = = A3 2 0 T - 0 T e - a.i.. Y, ax-:- l T cos ( íl p + 0 T a 0 - o X. 1 ax i µ -) a 0 - l • .l.. -Y, - - p Y, 0 + - -(l T 0 0 - 1 ax. I 3 X. - l Sen ( íl -C1 } 1 2 - (2 ¡; + l - a¡; 2) 1 3Cl ax. 1 p aw w -µ :- ax l i a c 3 X. !1J - l w -2 ( + ¡; a 2 a ax.") Í l - ) + 2 3 x . ¡; - N Como: = i: =l l 1 aA -2.!:)k X. ¡. 2 l = IK • /l.. 1 2 2 A2 d- x. l 1 K A 1 2 · · 2 ) A A l · 3 El g adien e de los au o ec o es se encuen- a desa ollado en la e 131. Re un a Es de qUE plE , blE de1 me< mi1 zac e: 1 , ca, 11, l. Dis en obj is a n cié e guj M s g La ció señ de ni o