• Como consecuencia inmedia a de la p opiedad an e io , la
supe icie ex e io del olumen
es
angen e a la malla
de
con ol
en
las 8 esquinas
Pooo,
Pmoo
,
Pono
,
Pmno
,
Pooq,
Pmoq
,
Ponq
,
Pmnq
·
• El olumen es á con enida en
el
con ex hui/
de
la malla
de
con ol.
• El olumen puede subdi idi se en las di ecciones , ,s.
• Un esul ado simila
es
álido pa a
el
p oceso
de
ele ación
de
g ado,
que
puede ealiza se
en
la di ección
(m~k
m)
,
(n~n+l),
s
(q~q+l).
Ejemplos
En la Fig. 4.1
se
ap ecia la es uc u a in e io
de
dos
olumenes cilínd icos,
con
sus co espondien es mallas
de
pun os
de
con ol.
Se
han
ep esen ado
las
capas
co espondien es a las on e as del olumen
s=O,
s=l
y 2
capas
in e medias
s=l/3,
s=2/3.
Los dos olúmenes se
di e encian en
la
posición del pun o in e no
de
con ol
ma cado
en
neg o.
Es os
pun os
in e io es
pe mi en
modi ica la dis ibución de las dis in as láminas de ma e ial.
Fig. 4.1 Sólidos cilínd icos
con
pa ame ización in e na
(m
,n,q) = (2,2,2)
112
5. CONCLUS:.~.
Las supe icies uni aluadas cons i uyen una al e na i a
pa a
la
modelización
de
sólidos
de
lib e diseño.
La
de inición
de
supe icies cilínd icas uni aluadas
se
ealiza
ácilmen e a pa i
de
una
malla
de
pun os
de
con ol
median e p oduc o enso ial.
Dichas supe icies e i ican p opiedades in e esan es
d~sde el
y~n o
de
is a
de
_diseño, y pueden uni se en e
si ~speci icando las condiciones
de
con inuidad
en
la
unión.
El modelo ma emá ico esul an e se ex iende de mane a
~nmedia a a
la
de inición
de
sólidos
con
pa ame ización
in e na.
6. REFERENCIAS
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Ano 7 ,Vol.
3,
pp. 113-117
VIII
CONGRESO
NACIONAL
DE
INGENIERÍA
MECÁNICA
Ba celona,
diciemb e
de
1989
lACTOIIS
DIDJIICOS
DE
IITUSIDD
DE
TDSIO• D
IIODO
11I l'O
Gallego
Se illa,
Ra ael,
Do•inguez
Abasoal,
José
Dp o.
d•
s o{nioa
d• &dios Con inuos, T.o ia d• Es uc u as• I igwni• i•
d•l
T• eo
E.so'lll l&
Técnica Supe io d• Ingi ni• os IJw:lus iales d•
S.•illa
lYd&.
biM
IS OMH
s/n.
41012
SETILL.
Resuaen.
-
En
el
es e
abajo
se
u iliza
la
o mulación
dinámica en
el
dominio
del
iempo
del
Mé odo de
los
Elemen os de Con o no,
jun o
a
elemen os
singula e~
a
un
cua o
que
ep esen a
el
compo amien o de
las
ensiones
y
desplazamien os
ce ca
del
é ice
de
la
g ie a.
Se
p esen an
g a icas
de
los
ac o es
de
in ensidad
de
ensión
dinámicos,
en e
al
iempo,
calculados
di ec amen e
a
pa i
del
alo
nodal
de
la
ensión
en
el
é ice.
Los
esul ados
se
compa an con
los
ob enidos
po
o os
au o es,
con
o os
p oced1m1en os. Las
di e encias
son pequeñas, con
la
en aja
de que
los
esul ados
del
mé odo
p esen ado
aquí
mues an
meno
dependencia
en e
a
las
d1sc e 1zac1ones
en iempo y
espacio
.
Abs ao .
-
The
_ ime
_domain
dynamic
o mula ion
o
he
Bounda y Elemen
Me hod
1s
used
1n comb1na 1on
wi h
quad a ic
spa ial
disc e iza ion
and
wi h
singula
qua e -poin
elemen s
ha
ep esen
he
beha io
o
s esses
and
displacemen_
nea
he
c ack
ip.
T ansien
dynamic
s es
in ensi y
ac o s,
compu ed .
di ec ly
om
he
ac ion
nodal
alues
a
he
ip,
a e
plo ed
e sus
ime
o
wo
c acked
pla es
. The
ob ained
esul s
a e
compa ed
wi h
hose
due o
o he
au ho s
compu ed
by
di e en
p ocedu es.
The
esul s
a e
shown
_e y
.
accu a e
and
p esen
li le
dependenoy on
he
space
and
ime
d1sc e 1za 1on
.
l.
Il TRODUCCIOII
El
cálculo
de
Fac o es
de
In ensidad
de
Tensión
(FIT) dinamices
es
un
apa ado
muy
impo an e
en
la
mecánica de
la
ac u a
y ha
sido
abo dado
po
un
cie o
núme o de
au o es
en
los
úl imos
años.
El
Mé odo de
los
Elemen os de Con o no
(M.E.C.)
es
muy
adecuado
pa a
es e
ipo
de p oblemas y
ue
usado
po
Bland o d
e
al.
[l],
en combinación con
elemen os
singula es
a
un
cua o
(SOP), que
incluyen
la
singula idad
-1/2
de
las
ensiones,
pa a
calcula
el
FIT
es á ico
a
pa i
de
los
desplazamien os
de
ape u a
de
la
g ie a
(COD).
Ma inez
y
Dominguez
usa on
el
mismo
elemen o
de
con o no
singula
y
mos a on
que
el
alo
nodal
de
la
ensión
en
el
é ice
de
la
g ie a
daba
esul ados
muy
p ecisos
y menos
sensibles
a
la
disc e ización.
El
mismo
p ocedimien o
usa on
Dominguez y
Chi ino
[2, 3]
pa a
calcula
el
FIT
dinámico en
el
dominio de
la
ecuencia
En
la
comuni
caci
ón
p e
se
n e
se
usa
la
o mula
c
ión
del
ME
C en
el
dominio d
el
1
emp
o en co
mb
ina
c1on con
ap oxi
ma
ci
ones
113
cuad á icas
de
la
a iación
espacial
de
las
ensiones
y
desplazamien os
en
los
elemen os
del
con o no
. Se
u ilizan
elemen os
SOP
pa a
modela
las
ensiones
y
deslazamien os
ce ca
de
los
é ices
de
las
g ie as.
Los
FIT
calculados
en
es e
abajo
se
compa an con
los
ob enidos
po
o os
'
au o es
usando
p ocedimien os
dis in os.
Los
esul ados
ob enidos
son
muy
p ecisos,
no
p esen an
oscilaciones
en
el
iempo, y
mues an
muy
poca
dependencia
de
la
disc e ización
en
el
espacio
y
el
iempo.
2.EL K.E.C.
EN
EL
DOKINIO
DEL
TIEKPO
Se ha adop ado una
disc e izacion
en
el
iempo
lineal
a
ozos
pa a
los
desplazamien os
y
cons an e
a
ozos
pa a
las
ensiones
. Las
a iables
en
el
con
o
no
pu
eden
ap oxima se
como
·
¿ ¿
q,q
( )
Tlm
(l)
u
q m
¿ L
q
( )
µ.m
(l)
p
q m
donde "q"
indica
el
nodo
del
con o no
y
"m"
el
paso
de
iempo,
q,q
y
,q
son
las
unciones
de
in e polación
en
el
espacio,
y
Tlm
y
µ.m
son
las
unciones
de
in e polación
en
el
iempo.
Una
ez
que
in eg al
has
sido
esc ibi se
como
:
la
ep esen ación
disc e izada
puede
donde umij y Tmij
se
ob ienen
po
in eg ación
anali ica
a
lo
la go
del
iempo
de
la
solución
undamen al
mul iplicada
po
la
unción
de o ma en
el
iempo
co espondien e
[4]
.
Un
dominio con una
g ie a
se
di ide
en dos
sub egiones
median e
un
con o no
in e no
que
deja
un
labio
de
la
g ie a
en
el
con o no
de cada
sub egión
.
Los
dos
elemen os
adyacen es
a un
e ice
de una
g ie a
son
elemen os
SQP
(Fig.
1).
El
FIT
se
calcula
median e
las
ó mulas :
k
--
K ¡ = p2
./2nl
k
--
K
= p1
./2nl
donde
p
y pk2
son
los
alo es
nodales
de
las
ensiones
en
el
nodo que
se
encuen a
en
el
é ice
de
la
g ie a
y
en elemen o que
pa e
del
mismo y
se
aden a
en
el
in e io
del
dominio. El
j •
/4
/1+
1
-1
9;.:;!>''
.
k-;..------
)(-1
1(
11;.•
• 1
•
K+2.
Figu a
1. Elemen os a un c
ua o
en
el
é
ice
de
la
g
i
e a
114
FIT puede ambién
calcula se
a
pa i
del
COD
del
nodo k-1 o de
los
nodos k-1 y
k-2
(
Fig
. 1) usando
las
mismas
exp esiones
que en
elas os á ica
[1,2].
3.
LAIIIKA
COK
GRIETA
CENTRADA
La
igu a
2(a)
mues a
la
geome ia
y
condiciones
de
con o no
de una lámina con
una
g ie a
cen al
.
La
ca ga
aplicada,
a ia
en
el
iempo
como
una
unción
escalón
o de
Hea iside.
Es e
p oblema
lo
esol ió
Chen [5] median e
di e encias
ini as
median e una
malla
muy
ina
de
al ededo
de 5000
pun os,
y
se
usa
ecuen emen e
su
solución
pa a
alida
las
ob enidas
po
o os
mé odos. Las
p opiedades
del
ma e ial
son: módulo
de
igidez
ans e sal~=
76923
GPa,
módulo
de
Poisson
V = O.
3,
y
densidad
~
= 5000
kq/m3
Debido a
la
sime ía
del
p oblema,
sólo
se
diso e izó
un
cua o
de
la
lámina,
como
se
mues a
en
la
igu a
2(b)
.
Pa a
dieo e iza
la
semi-g ie a
se
usa on
dos elemen os de
igual
longi ud
(1/a
0.5),
siendo
el
elemen o
más
ce cano
al
é ice
singula
a un
cua o
.
El
paso
de iempo que
se
empleó,
ó =32
~s
es
al
que
las
ondas P, a anzan 2. 4
mm
po
in e alo.
Es e
paso
de iempo
se
eligió
en
elación
con
el
amall.o
de
los
elemen os de
la
disc e ización
espaoial.
Puede
encon a se
un
análisis
es a
elaoión
en e
las
disc e izaciones
espacial
y empo al en
la
e e encia
[4]
.
En
la
igu a
2 ( c)
se
mues a e 1 FIT
del
modo
I.
K , no malizado con
Cí
.j(Na),
calculado
di ec amen e
del
alo
de
la
'
ensión
' nodal en
el
é ice,
en e
al
iempo.
La
conco dancia
en e
el
esul ado
del
MEC
usando
es e
p ocediemien o
(K l y
los
ob enidos
po
Chen
es
muy
buena . Las
igu as
2(o) y
2(d)
mues an
el
FIT
calculado
igual
con
disc e ización
y dos
pun os y un
pun o,
espec i amen e
. El
acue do
con
los
esul ados
de
Chen
es
ambién
muy
bueno .
A
in
de
e alua
la
sensibilidad
a
la
dis
c
e iza
c
ion
espacial
de
las
di e en es
ap oximaci ó
nes,
la
longi ud
L
de
los
elemen os
adyacen es
al
é ice
de
la
g ie a
se
a ió
en e
0.
2·a
has a
0.9·
a,
mien as
que
el
elemen o p óximo
se
a io,
en e
0.8·a y 0.1 a .
La
igu a
2 (
)
ep esen a
la
aiz
cuad ada de
la
in eg al
de
la
di e encia
al
cuad ado,
en e
las
cu as
calculadas
po
cada uno
de
los
es
p o
c
edimien o
s
explicados
an e i
o men e y
la
de
Chen
,
di idida
en e
el
ie
mpo
o a
l cons
ide
a
do
Es
e
alo
se
ep
ese
n a
en
e al c
oci
en e
l
la
. Puede a
p e
c
ia
s
e de
la
g
a
ica,
que
la
ap
oxi
ma
ción
qu
e
usa
el
al o no
dal
de
L
40mm
1 a 1 • a 1
1 o
--o
--
-1
1
Ñn
-j
-o -
N o
- - 1
.....
+J~
-
-~
~
•
3.5
3.5
T abajo
p esen e
T abajo
p esen e
o
3.0
Solución
de
Chen
o
3.0
--·
·
Solución
de
Chen
Q Q
a:
2.5
a:
2.5
N N
H H
_J
2.0
_J
2.0
0.5
a: a:
:: :
:: :
1.5
e '.
1.5
e '.
o o
z
1.0
z
1.0
1-
0.5
1-
0.5
H H
,
0.0
,
0.0
u..
u..
-0.5 -0.5
0 2 4 6 e
10
12 14 0 2 4 6 e
10
12
14
[]
TIEMPO
(mic oseg.
)
~
TIEMPO
(mic oseg.
)
3.5
T abajo
p esen e
o
3.0
--··
Solución
de
Chen
..J
Q
a:
a:
2.5
·~
i :
.28
e,
N w
H
~
Kuls
-
_J
2.0
z
Kul•
a:
/a
=
0.5
H
:: :
o
.15
e '.
1.5
u Ku2•
H
o
-
z
1.0
a:
K
i :
~.
A
.18
a:
1-
0.5
::J
u
H
i :
•
0.0
o
.es
u..
·~
i :
8.1
11.3 11.5
8.7
11.
9
i :
-0.5
w
l/a
0 2 4 6 e
10
12
14 [I]
~ TIEMPO
(mic oseg.
)
Fiq
2.
(a
) Láaina
con
g ie a
c
en
al _
( i
)
Disc e lza
c
ión.
(
e)
FIT
calcul~do
coi1
· el al
o
nod
al
de la ens
ión
en el
é i
ce : (d) FIT calculado con el cOD
de
dos
p
1.
m
os
;
(e)
FI
T
calc
u
la
do con el C
OD
de
1.
m
pun o
; ( ) D
i
e enc
i&
cus.1
üé. ica
n e
g
,
~l
en e
lo
s
esul a
dos ,i el
m:c
y
los
de
C
hen
.
115
la
ensión
en
el
éi i.ce de
la
g ie a
pa a
calcula
el
FIT
(K ).
es
la
menos
sensible
a
la
disc e ización
espacial
y
po
an o.
a
mas
iable
pa a
p oblemas
donde
la
solución
es
desconocida
.
Como
e e encia
pa a
compa a ación,
se
incluyen
en
las
igu as
3(a)
y
3(b),
los
esul ados
ob enidos
con elemen os
ini os,
po
Mu i y
Valliappan
(6]
pa a
el
mismo
p oblema.
u ilizando
una
disc e ización
simila
sob e
los
con o nos
y
los
labios
de
la
g ie a,
y
u ilizando
ambién elemen os a un
cua o.
odeando
el
é ice
de
la
misma
.
La
igu a
3(b)
co esponde
al
esul ado
ob enido
u ilizando
una
ma iz
de masa
concen ada
y
la
igu a
3
(a)
ma iz
de
masa
consis en e.
Los
esul ados
de
la
igu a
3, son p obablemen e
los
mejo es
mos ados
po
es os
au o es
en
la
e e encia
[6] .
O as
disc e izaciones
p oducen
oscilaciones
aún mayo es
de
la
solución
.
...
=
..
-eo..-.-1-
..
-
..
- 'T""
...
-
..
--'T""- c-
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..
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"'-d
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1/• • o.s
Figu a
usando
[7 J .
3 FIT
el
emen
os
ans
i o
io
cal
culado
ini os
en
e e
en
cia
116
4.
LA1 INA
CON
GRIETA
INCLI.ADA
La lámina mos ada en
la
igu a
4
(a)
iene
una
g ie a
inclinada
45.0
El
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H
1.6
w
T abajo
p esen e
o
l.
4
K shi::-
:;
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e
al.
o
Thau
y
Lu
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o
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o 0 . 4
z
0.2
-
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2 4 6 8
10
12 14
16
18
20
22
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TIEMPO
(mic oseg.
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(mic oseg.)
Figu a
4.
(a ) Lámina con
in
clinada;
(b) Dis
c
e
iz
ac
ion;
m
odo
-
I,
(d)
FIT
modo
-
II.
g
ie
a
(c)
FIT
dominio
se
di ide
en dos
pa es
co
mo
mues
a
la
ig
u
a
4(b) en
la
cual
se
ep esen a
ambién
la
disc e ización
espacial
que
se
usó.
La
ca ga
es
de nue o
una
acción
uni o me
aplicada
como
una
unción
escalón
. Las
p opiedades
del
ma e ia
1
usadas
pa a
es e
p oblema
son
:
módulo de
igidez
an e sal
µ.
= 29. 4
GPa;
módulo de
Poisson
= O. 286; p =
24
50 kg/m3.
El
paso
iempo
escogido
ué
de 3.5
µ.s
.
Los
FIT
del
modo
-1 y modo-II,
se
calcula on
usando
el
alo
nodal
de
la
acción
en
el
é ice
de
la
g ie a.
Las
Figu as
4(o) y 4(d) mues an
los
dos FIT
no malizados con
O·l(na
0
).
Los
esul ados
se compa an con
los
ob enidos
po
Kishimo o
e
al.
(7].
usando
elemen os
ini os.
e
in eg ales
in a ian es
J.
pa a
calcula
el
FIT . También
se
ep esen an
los
esul ados
anal1 icos
ob enidos
po
Thau y
Lu
[8],
los
cuales
son
álidos
sólamen e
en un
co o
pe iodo
de iempo.
El
acue do
en e
los
esul ados
del
MEC
y
los
o os
mé odos puede
conside a se
muy
bueno, más.
eniendo
en
cuen a
el
poco
e inamien o
de
la
malla
y
la
complejidad
del
p oblema.
5.
AGR.lDECIDIEIITOS
Lo
s
au o es
quie en
exp esa
su
g a i ud
a
la
Comisión
In e minis e ial
de
Cienci
a y
Tecnologia
po
su
E
.poyo
inan
c
ie o
a
es e
aba
io
a
a és
del
P oyec o
de
In es igacióñ
e!
PB86
-0139.
6.
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