Factores dinámicos de intensidad de tensión en modo mixto

• Como consecuencia inmedia a de la p opiedad an e io , la supe icie ex e io del olumen es angen e a la malla de con ol en las 8 esquinas Pooo, Pmoo , Pono , Pmno , Pooq, Pmoq , Ponq , Pmnq · • El olumen es á con enida en el con ex hui/ de la malla de con ol. • El olumen puede subdi idi se en las di ecciones , ,s. • Un esul ado simila es álido pa a el p oceso de ele ación de g ado, que puede ealiza se en la di ección (m~k m) , (n~n+l), s (q~q+l). Ejemplos En la Fig. 4.1 se ap ecia la es uc u a in e io de dos olumenes cilínd icos, con sus co espondien es mallas de pun os de con ol. Se han ep esen ado las capas co espondien es a las on e as del olumen s=O, s=l y 2 capas in e medias s=l/3, s=2/3. Los dos olúmenes se di e encian en la posición del pun o in e no de con ol ma cado en neg o. Es os pun os in e io es pe mi en modi ica la dis ibución de las dis in as láminas de ma e ial. Fig. 4.1 Sólidos cilínd icos con pa ame ización in e na (m ,n,q) = (2,2,2) 112 5. CONCLUS:.~. Las supe icies uni aluadas cons i uyen una al e na i a pa a la modelización de sólidos de lib e diseño. La de inición de supe icies cilínd icas uni aluadas se ealiza ácilmen e a pa i de una malla de pun os de con ol median e p oduc o enso ial. Dichas supe icies e i ican p opiedades in e esan es d~sde el y~n o de is a de _diseño, y pueden uni se en e si ~speci icando las condiciones de con inuidad en la unión. El modelo ma emá ico esul an e se ex iende de mane a ~nmedia a a la de inición de sólidos con pa ame ización in e na. 6. REFERENCIAS B une , P. ai:id Ayala, D. (1987), Ex ended oc ee ep esen~auon ? ee o n, :m,iaces, Compu e Aided Geome zc Des1gn 4, 141-154, No h Holland. Casale, 1 1· an~ S an on, E.D. (1985), An o e iew o Anal uc_Sohd Modelling, IEEE Compu e G aphics & Appllca 1ons 5, No. 2, 45-56. Cas~le, M. (1987), F ee- o m Solid Modeling wi h nm :ied.su ace pa ches, IEEE Compu e, G aphics & App/1ca ions 7, No. 1, 33-43. Fa in, G. 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Resuaen. - En el es e abajo se u iliza la o mulación dinámica en el dominio del iempo del Mé odo de los Elemen os de Con o no, jun o a elemen os singula e~ a un cua o que ep esen a el compo amien o de las ensiones y desplazamien os ce ca del é ice de la g ie a. Se p esen an g a icas de los ac o es de in ensidad de ensión dinámicos, en e al iempo, calculados di ec amen e a pa i del alo nodal de la ensión en el é ice. Los esul ados se compa an con los ob enidos po o os au o es, con o os p oced1m1en os. Las di e encias son pequeñas, con la en aja de que los esul ados del mé odo p esen ado aquí mues an meno dependencia en e a las d1sc e 1zac1ones en iempo y espacio . Abs ao . - The _ ime _domain dynamic o mula ion o he Bounda y Elemen Me hod 1s used 1n comb1na 1on wi h quad a ic spa ial disc e iza ion and wi h singula qua e -poin elemen s ha ep esen he beha io o s esses and displacemen_ nea he c ack ip. T ansien dynamic s es in ensi y ac o s, compu ed . di ec ly om he ac ion nodal alues a he ip, a e plo ed e sus ime o wo c acked pla es . The ob ained esul s a e compa ed wi h hose due o o he au ho s compu ed by di e en p ocedu es. The esul s a e shown _e y . accu a e and p esen li le dependenoy on he space and ime d1sc e 1za 1on . l. Il TRODUCCIOII El cálculo de Fac o es de In ensidad de Tensión (FIT) dinamices es un apa ado muy impo an e en la mecánica de la ac u a y ha sido abo dado po un cie o núme o de au o es en los úl imos años. El Mé odo de los Elemen os de Con o no (M.E.C.) es muy adecuado pa a es e ipo de p oblemas y ue usado po Bland o d e al. [l], en combinación con elemen os singula es a un cua o (SOP), que incluyen la singula idad -1/2 de las ensiones, pa a calcula el FIT es á ico a pa i de los desplazamien os de ape u a de la g ie a (COD). Ma inez y Dominguez usa on el mismo elemen o de con o no singula y mos a on que el alo nodal de la ensión en el é ice de la g ie a daba esul ados muy p ecisos y menos sensibles a la disc e ización. El mismo p ocedimien o usa on Dominguez y Chi ino [2, 3] pa a calcula el FIT dinámico en el dominio de la ecuencia En la comuni caci ón p e se n e se usa la o mula c ión del ME C en el dominio d el 1 emp o en co mb ina c1on con ap oxi ma ci ones 113 cuad á icas de la a iación espacial de las ensiones y desplazamien os en los elemen os del con o no . Se u ilizan elemen os SOP pa a modela las ensiones y deslazamien os ce ca de los é ices de las g ie as. Los FIT calculados en es e abajo se compa an con los ob enidos po o os ' au o es usando p ocedimien os dis in os. Los esul ados ob enidos son muy p ecisos, no p esen an oscilaciones en el iempo, y mues an muy poca dependencia de la disc e ización en el espacio y el iempo. 2.EL K.E.C. EN EL DOKINIO DEL TIEKPO Se ha adop ado una disc e izacion en el iempo lineal a ozos pa a los desplazamien os y cons an e a ozos pa a las ensiones . Las a iables en el con o no pu eden ap oxima se como · ¿ ¿ q,q ( ) Tlm (l) u q m ¿ L q ( ) µ.m (l) p q m donde "q" indica el nodo del con o no y "m" el paso de iempo, q,q y ,q son las unciones de in e polación en el espacio, y Tlm y µ.m son las unciones de in e polación en el iempo. Una ez que in eg al has sido esc ibi se como : la ep esen ación disc e izada puede donde umij y Tmij se ob ienen po in eg ación anali ica a lo la go del iempo de la solución undamen al mul iplicada po la unción de o ma en el iempo co espondien e [4] . Un dominio con una g ie a se di ide en dos sub egiones median e un con o no in e no que deja un labio de la g ie a en el con o no de cada sub egión . Los dos elemen os adyacen es a un e ice de una g ie a son elemen os SQP (Fig. 1). El FIT se calcula median e las ó mulas : k -- K ¡ = p2 ./2nl k -- K = p1 ./2nl donde p y pk2 son los alo es nodales de las ensiones en el nodo que se encuen a en el é ice de la g ie a y en elemen o que pa e del mismo y se aden a en el in e io del dominio. El j • /4 /1+ 1 -1 9;.:;!>'' . k-;..------ )(-1 1( 11;.• • 1 • K+2. Figu a 1. Elemen os a un c ua o en el é ice de la g i e a 114 FIT puede ambién calcula se a pa i del COD del nodo k-1 o de los nodos k-1 y k-2 ( Fig . 1) usando las mismas exp esiones que en elas os á ica [1,2]. 3. LAIIIKA COK GRIETA CENTRADA La igu a 2(a) mues a la geome ia y condiciones de con o no de una lámina con una g ie a cen al . La ca ga aplicada, a ia en el iempo como una unción escalón o de Hea iside. Es e p oblema lo esol ió Chen [5] median e di e encias ini as median e una malla muy ina de al ededo de 5000 pun os, y se usa ecuen emen e su solución pa a alida las ob enidas po o os mé odos. Las p opiedades del ma e ial son: módulo de igidez ans e sal~= 76923 GPa, módulo de Poisson V = O. 3, y densidad ~ = 5000 kq/m3 Debido a la sime ía del p oblema, sólo se diso e izó un cua o de la lámina, como se mues a en la igu a 2(b) . Pa a dieo e iza la semi-g ie a se usa on dos elemen os de igual longi ud (1/a 0.5), siendo el elemen o más ce cano al é ice singula a un cua o . El paso de iempo que se empleó, ó =32 ~s es al que las ondas P, a anzan 2. 4 mm po in e alo. Es e paso de iempo se eligió en elación con el amall.o de los elemen os de la disc e ización espaoial. Puede encon a se un análisis es a elaoión en e las disc e izaciones espacial y empo al en la e e encia [4] . En la igu a 2 ( c) se mues a e 1 FIT del modo I. K , no malizado con Cí .j(Na), calculado di ec amen e del alo de la ' ensión ' nodal en el é ice, en e al iempo. La conco dancia en e el esul ado del MEC usando es e p ocediemien o (K l y los ob enidos po Chen es muy buena . Las igu as 2(o) y 2(d) mues an el FIT calculado igual con disc e ización y dos pun os y un pun o, espec i amen e . El acue do con los esul ados de Chen es ambién muy bueno . A in de e alua la sensibilidad a la dis c e iza c ion espacial de las di e en es ap oximaci ó nes, la longi ud L de los elemen os adyacen es al é ice de la g ie a se a ió en e 0. 2·a has a 0.9· a, mien as que el elemen o p óximo se a io, en e 0.8·a y 0.1 a . La igu a 2 ( ) ep esen a la aiz cuad ada de la in eg al de la di e encia al cuad ado, en e las cu as calculadas po cada uno de los es p o c edimien o s explicados an e i o men e y la de Chen , di idida en e el ie mpo o a l cons ide a do Es e alo se ep ese n a en e al c oci en e l la . Puede a p e c ia s e de la g a ica, que la ap oxi ma ción qu e usa el al o no dal de L 40mm 1 a 1 • a 1 1 o --o -- -1 1 Ñn -j -o - N o - - 1 ..... +J~ - -~ ~ • 3.5 3.5 T abajo p esen e T abajo p esen e o 3.0 Solución de Chen o 3.0 --· · Solución de Chen Q Q a: 2.5 a: 2.5 N N H H _J 2.0 _J 2.0 0.5 a: a: :: : :: : 1.5 e '. 1.5 e '. o o z 1.0 z 1.0 1- 0.5 1- 0.5 H H , 0.0 , 0.0 u.. u.. -0.5 -0.5 0 2 4 6 e 10 12 14 0 2 4 6 e 10 12 14 [] TIEMPO (mic oseg. ) ~ TIEMPO (mic oseg. ) 3.5 T abajo p esen e o 3.0 --·· Solución de Chen ..J Q a: a: 2.5 ·~ i : .28 e, N w H ~ Kuls - _J 2.0 z Kul• a: /a = 0.5 H :: : o .15 e '. 1.5 u Ku2• H o - z 1.0 a: K i : ~. A .18 a: 1- 0.5 ::J u H i : • 0.0 o .es u.. ·~ i : 8.1 11.3 11.5 8.7 11. 9 i : -0.5 w l/a 0 2 4 6 e 10 12 14 [I] ~ TIEMPO (mic oseg. ) Fiq 2. (a ) Láaina con g ie a c en al _ ( i ) Disc e lza c ión. ( e) FIT calcul~do coi1 · el al o nod al de la ens ión en el é i ce : (d) FIT calculado con el cOD de dos p 1. m os ; (e) FI T calc u la do con el C OD de 1. m pun o ; ( ) D i e enc i& cus.1 üé. ica n e g , ~l en e lo s esul a dos ,i el m:c y los de C hen . 115 la ensión en el éi i.ce de la g ie a pa a calcula el FIT (K ). es la menos sensible a la disc e ización espacial y po an o. a mas iable pa a p oblemas donde la solución es desconocida . Como e e encia pa a compa a ación, se incluyen en las igu as 3(a) y 3(b), los esul ados ob enidos con elemen os ini os, po Mu i y Valliappan (6] pa a el mismo p oblema. u ilizando una disc e ización simila sob e los con o nos y los labios de la g ie a, y u ilizando ambién elemen os a un cua o. odeando el é ice de la misma . La igu a 3(b) co esponde al esul ado ob enido u ilizando una ma iz de masa concen ada y la igu a 3 (a) ma iz de masa consis en e. Los esul ados de la igu a 3, son p obablemen e los mejo es mos ados po es os au o es en la e e encia [6] . O as disc e izaciones p oducen oscilaciones aún mayo es de la solución . ... = .. -eo..-.-1- .. - .. - 'T"" ... - .. --'T""- c- ....... --- .. le/• • 0,5 o . ... N- --.......,.- ..... .--+----+----1 .. .. o.se o.n .. •SO .;:,-------------- "'-d ... 1/• • o.s Figu a usando [7 J . 3 FIT el emen os ans i o io cal culado ini os en e e en cia 116 4. LA1 INA CON GRIETA INCLI.ADA La lámina mos ada en la igu a 4 (a) iene una g ie a inclinada 45.0 El <T H 1.6 w T abajo p esen e o l. 4 K shi::- :; ~ e al. o Thau y Lu l: 1. 2 o o 1.0 ([ N 0.8 H _J ([ 0.6 l: (l'. o 0 . 4 z 0.2 - 0.0 H ~-0.2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ~0 TIEMPO (mic oseg. ) P""'1 H l. 2 w T abajo p esen e o 1.0 Kish mo o e al. o Thau y Lu l: o 0.8 o / ([ .-,·../ / N 0.6 · H T _J ([ 0.4 ,,1 l: (l'. o 0.2 z - 0.0 H .-0. 2 ............................................................................... ..J.. ................... ........ LL 0 @] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 TIEMPO (mic oseg.) Figu a 4. (a ) Lámina con in clinada; (b) Dis c e iz ac ion; m odo - I, (d) FIT modo - II. g ie a (c) FIT dominio se di ide en dos pa es co mo mues a la ig u a 4(b) en la cual se ep esen a ambién la disc e ización espacial que se usó. La ca ga es de nue o una acción uni o me aplicada como una unción escalón . Las p opiedades del ma e ia 1 usadas pa a es e p oblema son : módulo de igidez an e sal µ. = 29. 4 GPa; módulo de Poisson = O. 286; p = 24 50 kg/m3. El paso iempo escogido ué de 3.5 µ.s . Los FIT del modo -1 y modo-II, se calcula on usando el alo nodal de la acción en el é ice de la g ie a. Las Figu as 4(o) y 4(d) mues an los dos FIT no malizados con O·l(na 0 ). Los esul ados se compa an con los ob enidos po Kishimo o e al. (7]. usando elemen os ini os. e in eg ales in a ian es J. pa a calcula el FIT . También se ep esen an los esul ados anal1 icos ob enidos po Thau y Lu [8], los cuales son álidos sólamen e en un co o pe iodo de iempo. El acue do en e los esul ados del MEC y los o os mé odos puede conside a se muy bueno, más. eniendo en cuen a el poco e inamien o de la malla y la complejidad del p oblema. 5. AGR.lDECIDIEIITOS Lo s au o es quie en exp esa su g a i ud a la Comisión In e minis e ial de Cienci a y Tecnologia po su E .poyo inan c ie o a es e aba io a a és del P oyec o de In es igacióñ e! PB86 -0139. 6. REFEREl CIAS (l] Bland o d,G.E ., Ing a ea,A .R. y Ligge ,J.A., (1981). "Two- dimensional S ess In ensi y Fac o Compu a ions Using he Bounda y Elemen Me hod . " In . J . Num. Me h . Eng ., Vol . 17, pp.387-404 . [2] Ma inez, J . and Dominguez, J ., ( 1984), "On he Use o Qua e -poin Bounda y Elemen s o S ess In ensi y Fac o Compu a ions. " In . J. Num . Me h. Eng . Vo l. 20, pp. 1941-1950. (3] Dominguez, J . y Chi ino, F. (1986), " B. E.M . o Dynamic C ack P oblems in Two Dimen sions.. BETECH 86, J .J .Co nno and C .A . B ebbia Ed ., Compu a ional Mechanics Publica ions Sou hamp on -Bos on. [ 4 J Do mínguez J. and Gallego R. 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