Es abilidad
de
espacios localmen e
con exos
po
ul ap oduc os
Po
JOSE
ANTONIO
FACENDA AGUIRRE
Recibido:
2
ma zo
1983
P esen ado
po el
académico
co espondien e
D.
An onio
de
Cas o
B zezicki.
Resumen
Es udiamos
en
es e a ículo
la
es abilidad
de
algunas
clases
de
espacios localmen e
con exos
bajo
la
o mación
de
ul ap oduc os.
Se
demues a
que los
espacios
bo nologicos
y
ul abo nológicos
son
es ables ( eo ema
2)
pe o
no así los
espacios onelados,
Mon ei,
comple os,
JS-comple os
y
¿^-com-
ple os
( eo ema
4).
Abs ac
In
his pape
we
s udy
he
s abili y
o
some classes
o
locally con ex
spaces
unde
ul ap o-
duc s.
I is
p o ed
ha
he
bo nological
and
ul abo nological
spaces
a e
s able ( heo em
2) bu
ba e-
lled,
Mon ei,
comple e,
5-comple e
and
^-comple e
spaces
a e no
( heo em
4).
Admi iendo
la
exis encia
de
ca dinales
medióles
se
de ine
en
¡2|
el
ul-
ap oduc o
de una
amilia
de
espacios localmen e con exos, cuya cons uc-
ción eco damos
a
con inuación:
Sea
[E¡:
i E /] una
amilia
de
espacios localmen e con exos ales
que
ca d(T)
>
ß,
p ime ca dinal medible
no
nume able
y
deno emos
po
un
ul a il o
no
i ial, nume ablemen e comple o sob e
7.
En el
espacio p o-
duc o
U[E¡:
i
e/]
se
de ine
la
elación
de
equi alencia
<
x.
: i
e
I > = <y¡:
i£I]>
si [i e
/.-
X)
= y. ]
&
En
el
espacio cocien e
se
conside an
las
semino mas
dadas
po
p([<x.:ze/>])
=
lím
p.(x),
l
y l l
donde
p
deno a
una
semino ma con inua a bi a ia sob e
E..
A
dicho espa-
cio
do ado
de la
opología
localmen e con exa de inida
po
es a amilia
de
semino mas
lo
llamamos
ul ap educ o
de
[£,•:
i
£/]
y lo
no amos
po P(E¡).
iel
Si
C es una
clase
de
espacios localmen e con exos,
se
dice
que es
es a-
ble
po
ul ap oduc os
si
siemp e
que
[E¡:
i
€
/] sea una
amilia
de
C es
106
JOSE
ANTONIO FACENDA
AGUIRRE
P(E¡)
un
espacio
de
C. En |2|
es udiamos algunas clases es ables
po
ul a-
é/
p oduc os.
Se
demos ó
que los
espacios
(HM)
o
espacios
con
en ol en es
no
es ánda in a ian es
|3|,
no son
es ables.
En
es e a ículo amos
a
es udia
la
es abilidad
de
algunas clases
no
conside adas
en
|2|.
Es
conocido
que si
[E¡
: i
£
I
es una
amilia
de
espacios bo nológicos,
el
p oduc o
es
bo nológico
sí y
sólo
si no
exis e
una
medida
de
Ulam
sob e
/.
Vamos
a
demos a
a
con inuación
que los
espacios bo nológicos
son no
obs an e es ables
po
ul ap oduc os,
y
pa a ello necesi amos
un
esul ado
de
ácil
demos ación:
Lema
1.—"Los
espacios
de
Banach
son
es ables
po
ul ap oduc os".
Demos ación:
Sea
[E¡:iEI]
una
amilia
de
espacios
de
Banach,
ca d(7)
mayo
que
M
y sea 7 un
ul a il o
no
i ial
nume ablemen e
com-
ple o sob e
/. Sea
P(E¡)
el
ul ap oduc o
de la
amilia
a
a és
de
3 .
Es co-
iel
nocido
|2|
que al
espacio
es
no mado.
Sea p la
no ma
del
ul ap oduc o
y
pi
la
de E¡. Sea
[xn
: n < co] una
sucesión
de
Cauchy
pa a
p,
es
deci , pa a cada
e
> O
exis e
k
na u al
al que
p(xm
-x")<e
si
m>kyn>k.
Dado
que
p(x)
-
lím
Pi(x¡),
exis ed
e
e
i
al que si i
e
A
e
es
p¡
($m
-
x"
)
<e.
Sea
A
=
nue:
e>0]e5
Es
cla o
que
pa a cada
i
&A
es [x" : n < co] una
sucesión
de
Cauchy
en
EI.
Llamemos
x¡ a su
lími e. De inamos
i
y
=0
si«
&A,
y
i
=Xi
siz<£A
Es
ácil
p oba
que y es
el
limi e
de la
sucesión
[x" : n <
co].
Podemos pues
a i ma
que los
espacios
me izables
y
comple os
son es-
ables
po
ul ap oduc os.
Sin
emba go, demos a emos po e io men e
que
los
espacios
comple os
no lo
son.
Teo ema
2.—
"Los espacios bo nológicos
y
ul abo nológicos
son
es a-
bles
po
ul ap oduc os".
Demos ación:
Sea
[E¡:
i e /] una
amilia
de
espacios ul abo nológi-
cos,
ca d(T)
^
P,
y
sea
un
ul a il o
no
i ial nume ablemen e comple o
sob e
/. Sea E el
ul ap oduc o
de
[E¡:
i e /] a
a és
de
J".
Pa a cada
/
e
/
sea
[Xa
: a e
A¡]
una
amilia
de
espacios
de
Banach
al que E¡ es
lími e
in-
duc i o
de
dicha
amilia.
Po
comodidad
en la
no ación, suponemos
que los
ESTABILIDAD
DE
ESPACIOS LOCALMENTE CONVEXOS
POR
ULTRAPRODUCTOS
107
conjun os
de
índices
A¡,
i E
7,
son
disjun os. Pa a cada
Oi&A¡
enemos dada
po
hipó esis
una
aplicación lineal
y
con inua/a
:
Xa
~>
E¡.
Deno amos
po
3Ì
el
conjun o
de los
selec o es
de la
amilia
[A¡:
i
€/].
Es
deci , cada conjun o
B
eíB
co a
a
cada
A¡ en
exac amen e
un
pun o.
Dado
que
ca d(/)
=
ca d(£),
conside amos
el
ul a il o
sob e
B y lo
iden i ica emos
con su
imagen
en
B.
Sean
los
espacios
de
Banach
YB
=
P(Xa)
y las
aplicaciones
li-
aeB
neales
gB
:
YB
-*•
E
ales
que
gB([<ya:o £B>])
=
[< a(y¿:<*eB>],Be.&.
Es
ácil
e que
es án bien de inidas. Deno emos
po T la
opología
de
E
como ul ap oduc o
de la
amilia
[E¡:
z
e /] y po
T
la
opología sob e
E
lími e induc i o ela i a
a los
espacios
de
Banach
YB y las
aplicaciones
ge,
B
&
3
.
Veamos
que
coinciden:
a)
T<Ti.
Sea
O =
[x
£
E:
p(x)
< 1 ],
donde
p =
lim
p¡ es una
semino ma con i-
nua
sob e
E(T).
Llamemos
U,-
= [ e
E¡:
p¡( )
<
1],
en o no
de
ce o
e uE/
y
sea
Va
= a1(U{),
en o no
de
ce o
enXa.
En onces,
g~¿(Ü)=
[z
e
YB:
[</0(za):
«e5
>] E
O]
=
=
[z e
yß:limp,-(/a(za))<!]
=
•^
=[z
e
FB:a
^
e^
,/&A
-*P¡
(/a(za))<
i]
=
^[z^Y^.-aA
&
,a^A-^za
£Va]
=
=
P(Va),
aeB
que
e iden emen e
es un
en o no
de
ce o
en
YB
.
Luego cada aplicación
gB
es
con inua pa a
la
opología
T
sob e
E y po
an o,
T
<
TI
.
b)Ti<
T.
Si
U
B
es la
bola unidad abie a
de
YB
bas a p oba
que
#B(Í/B)
es
en o no
de
ce o
en
E(T).
Nó ese
po
o a pa e
que si
llamamos
5a
a la
bola
unidad
abie a
de
Xa
es
z
=
[<za:OL&B>}<EÜB<*'aA<E5 OL(=:A-*za&B0.
luego
_
gB(ÜB)=
{[< a(za):a&B>
}:z&UB}=P( a(Ba)).
aeB
que es
en o no
de
ce o
en
E(JT)
po
se lo
cada/a(5a)
en EL
Si
la
amilia
[E¡:
i
€
/]
es de
espacios bo nológicos, pa a cada
i
&
I
se
conside a
[Xa:
a G
A{]
amilia
de
espacios no mados
al que E¡ es
lími e
in-
108
JOSE
ANTONIO
FACENDA
AGUIRRE
duc i o
de
ella. En onces,
P(E)
es
lími e
induc i o
de la
amilia
de
espacios
¿ei
no mados
[
YB
: B
€=
¿B
]
igual
que en la
demos ación an e io
y po
an o
el
ul ap oduc o
es
bo nológico.
En
la
segunda pa e
de
nues o
abajo, amos
a da
algunos ejemplos
de
clases
de
espacios
que no son
es ables
po
ul ap oduc os.
Si
[E¡:
i
£/]
es
una
amilia cualquie a
de
espacios
y
deno amos
po E el
dual algeb aico
de
E¡, es
ácil
demos a
que se
e i ica
la
con ención
P(E*)
C
(P(E¡))*.
Pa a
iel
'
iel
ob ene ejemplos
de
clases
no
es ables, amos
a
p oba
en
p ime luga
la
exis encia
de
clases pa a
las que la
con ención an e io
es
es ic a:
Teo ema
3.—
"Exis en
amilias
de
espacios
[E¡ € /],
ca d
(7)
>
ju
ales
que el
ul ap oduc o
de los
duales algeb aicos
P(E )
es á con enido es ic a-
men e
en el
dual algeb aico
(P(Ei))*".
iel
iel
Demos ación:
Sea E un
espacio ec o ial
con
base
de
Hamel
[< .
a <
p ]
y
pa a cada
i <
/z
sea E¡
=
E.
Conside emos
un
ul a il o
no
i ial nume a-
blemen e
comple o
sob e
el
p ime ca dinal medible
M y
llamemos
P(E)
al
ul ap oduc o
de la
amilia
[E¡:
i <
ju]
a
a és
del
ul a il o
.
Deno emos
po PU el
ul ap oduc o
de
n,
luego
sus
elemen os
son
clases
K
< y:
z <
M
>],
OLI
< p
( e
111).
En onces,
a)
P(E)
iene base
de
Hamel
P¡i.
En
e ec o,
sea x =[<
x,:
i <
M
>] un
elemen o
de
P(E). Cada
x¡
£
E¡
luego podemos exp esa
Xi
- S
Oi cCüi c
: l
<
k
<
«(/)]
y
<x¡ c
<
M-
Dado
que
ß
=
*J
[i <
ju:
a(z') =
w]
exis e
un n
na u al
al que A
=
n
<C ü
= [i <
/x:
a(¿) —
«]
es á
en
51".
Pe o pa a cada
k e [1, ... , n] es
^4
=
U
[/
E A:
ik
=
],
luego exis e
un
eal
k
al que el
conjun o
eIR
AK
= [i
£
A:
ik
=
k]
es à
en .
De inamos
B =
AI
n...n
An
y la
clase
de
<a/ c
: z <
M
>
en
/*M.
En onces
es
5ë=S[ *&:
K c</i]
pues
si
í
e
5
es
x¿
=
I,[ k(xik:
Kk<n].
b)
Podemos
po
an o
a i ma
que el
ca dinal
del
dual algeb aico
(TO))*
es
igual
a
(2xo)ca d<pM)
=2ca d^>
Po
o a pa e,
el
ca dinal
de
cada espacio
E es
2ß
po lo que el
ca di-
nal del
ul ap oduc o
de los
duales algeb aicos
P(E )
es
meno
o
igual
que
KM
ESTABILIDAD
DE
ESPACIOS LOCALMENTE CONVEXOS
POR
ULTRAPRODUCTOS
109
(2M)M
=
2M.
Pe o dado
que
2M
<
ca d(P/z)
<
2ca d^)( e
|4|,
p. 145
lema
8.
7(0)
se
sigue
queP(E?)
es á
con enido
es ic amen e
en (P
(E¡))*-
/•5J1
'<ß
Debido
a la
exis encia
de
amilias
con
es a p opiedad podemos enun-
cia :
Teo ema
4.—
"Los
espacios
B —comple os,
B—comple os,
onelados
y
Mon ei
no son
es ables
po
ul ap oduc os".
Demos ación:
Sea E el
espacio
del
eo ema
3
do ado
de la
opología
localmen e con exa
más
ina
y
conside emos
E
do ado
de la
opología
dé-
bil
o(E ,
E¡).
Es
conocido
que
es os espacios
son
.ß-comple os
(|5|,
p.
123),
po
an o
^—comple os
y
comple os,
y de
Mon ei
(|5|,
p.
75).
Más
aún,
el
ul ap oduc o
/>(£*)
es á do ado
de la
opología débil
o(P(E*),
P(E ))
iel iel iel
( e
|2| ).
Dado
que
es-P(E.*)
dis in o
de
(P
(£,-))*
se
sigue
que/"(E.*)
no es
iel
leí
iel
'
comple o (luego
no es
B—comple o
ni
B —comple o)
ni
onelado (luego
no
es
Mon ei).
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