Estabilidad de espacios localmente convexos por ultraproductos

Es abilidad de espacios localmen e con exos po ul ap oduc os Po JOSE ANTONIO FACENDA AGUIRRE Recibido: 2 ma zo 1983 P esen ado po el académico co espondien e D. An onio de Cas o B zezicki. Resumen Es udiamos en es e a ículo la es abilidad de algunas clases de espacios localmen e con exos bajo la o mación de ul ap oduc os. Se demues a que los espacios bo nologicos y ul abo nológicos son es ables ( eo ema 2) pe o no así los espacios onelados, Mon ei, comple os, JS-comple os y ¿^-com- ple os ( eo ema 4). Abs ac In his pape we s udy he s abili y o some classes o locally con ex spaces unde ul ap o- duc s. I is p o ed ha he bo nological and ul abo nological spaces a e s able ( heo em 2) bu ba e- lled, Mon ei, comple e, 5-comple e and ^-comple e spaces a e no ( heo em 4). Admi iendo la exis encia de ca dinales medióles se de ine en ¡2| el ul- ap oduc o de una amilia de espacios localmen e con exos, cuya cons uc- ción eco damos a con inuación: Sea [E¡: i E /] una amilia de espacios localmen e con exos ales que ca d(T) > ß, p ime ca dinal medible no nume able y deno emos po un ul a il o no i ial, nume ablemen e comple o sob e 7. En el espacio p o- duc o U[E¡: i e/] se de ine la elación de equi alencia < x. : i e I > = <y¡: i£I]> si [i e /.- X) = y. ] & En el espacio cocien e se conside an las semino mas dadas po p([<x.:ze/>]) = lím p.(x), l y l l donde p deno a una semino ma con inua a bi a ia sob e E.. A dicho espa- cio do ado de la opología localmen e con exa de inida po es a amilia de semino mas lo llamamos ul ap educ o de [£,•: i £/] y lo no amos po P(E¡). iel Si C es una clase de espacios localmen e con exos, se dice que es es a- ble po ul ap oduc os si siemp e que [E¡: i € /] sea una amilia de C es 106 JOSE ANTONIO FACENDA AGUIRRE P(E¡) un espacio de C. En |2| es udiamos algunas clases es ables po ul a- é/ p oduc os. Se demos ó que los espacios (HM) o espacios con en ol en es no es ánda in a ian es |3|, no son es ables. En es e a ículo amos a es udia la es abilidad de algunas clases no conside adas en |2|. Es conocido que si [E¡ : i £ I es una amilia de espacios bo nológicos, el p oduc o es bo nológico sí y sólo si no exis e una medida de Ulam sob e /. Vamos a demos a a con inuación que los espacios bo nológicos son no obs an e es ables po ul ap oduc os, y pa a ello necesi amos un esul ado de ácil demos ación: Lema 1.—"Los espacios de Banach son es ables po ul ap oduc os". Demos ación: Sea [E¡:iEI] una amilia de espacios de Banach, ca d(7) mayo que M y sea 7 un ul a il o no i ial nume ablemen e com- ple o sob e /. Sea P(E¡) el ul ap oduc o de la amilia a a és de 3 . Es co- iel nocido |2| que al espacio es no mado. Sea p la no ma del ul ap oduc o y pi la de E¡. Sea [xn : n < co] una sucesión de Cauchy pa a p, es deci , pa a cada e > O exis e k na u al al que p(xm -x")<e si m>kyn>k. Dado que p(x) - lím Pi(x¡), exis ed e e i al que si i e A e es p¡ ($m - x" ) <e. Sea A = nue: e>0]e5 Es cla o que pa a cada i &A es [x" : n < co] una sucesión de Cauchy en EI. Llamemos x¡ a su lími e. De inamos i y =0 si« &A, y i =Xi siz<£A Es ácil p oba que y es el limi e de la sucesión [x" : n < co]. Podemos pues a i ma que los espacios me izables y comple os son es- ables po ul ap oduc os. Sin emba go, demos a emos po e io men e que los espacios comple os no lo son. Teo ema 2.— "Los espacios bo nológicos y ul abo nológicos son es a- bles po ul ap oduc os". Demos ación: Sea [E¡: i e /] una amilia de espacios ul abo nológi- cos, ca d(T) ^ P, y sea un ul a il o no i ial nume ablemen e comple o sob e /. Sea E el ul ap oduc o de [E¡: i e /] a a és de J". Pa a cada / e / sea [Xa : a e A¡] una amilia de espacios de Banach al que E¡ es lími e in- duc i o de dicha amilia. Po comodidad en la no ación, suponemos que los ESTABILIDAD DE ESPACIOS LOCALMENTE CONVEXOS POR ULTRAPRODUCTOS 107 conjun os de índices A¡, i E 7, son disjun os. Pa a cada Oi&A¡ enemos dada po hipó esis una aplicación lineal y con inua/a : Xa ~> E¡. Deno amos po 3Ì el conjun o de los selec o es de la amilia [A¡: i €/]. Es deci , cada conjun o B eíB co a a cada A¡ en exac amen e un pun o. Dado que ca d(/) = ca d(£), conside amos el ul a il o sob e B y lo iden i ica emos con su imagen en B. Sean los espacios de Banach YB = P(Xa) y las aplicaciones li- aeB neales gB : YB -*• E ales que gB([<ya:o £B>]) = [< a(y¿:<*eB>],Be.&. Es ácil e que es án bien de inidas. Deno emos po T la opología de E como ul ap oduc o de la amilia [E¡: z e /] y po T la opología sob e E lími e induc i o ela i a a los espacios de Banach YB y las aplicaciones ge, B & 3 . Veamos que coinciden: a) T<Ti. Sea O = [x £ E: p(x) < 1 ], donde p = lim p¡ es una semino ma con i- nua sob e E(T). Llamemos U,- = [ e E¡: p¡( ) < 1], en o no de ce o e uE/ y sea Va = a1(U{), en o no de ce o enXa. En onces, g~¿(Ü)= [z e YB: [</0(za): «e5 >] E O] = = [z e yß:limp,-(/a(za))<!] = •^ =[z e FB:a ^ e^ ,/&A -*P¡ (/a(za))< i] = ^[z^Y^.-aA & ,a^A-^za £Va] = = P(Va), aeB que e iden emen e es un en o no de ce o en YB . Luego cada aplicación gB es con inua pa a la opología T sob e E y po an o, T < TI . b)Ti< T. Si U B es la bola unidad abie a de YB bas a p oba que #B(Í/B) es en o no de ce o en E(T). Nó ese po o a pa e que si llamamos 5a a la bola unidad abie a de Xa es z = [<za:OL&B>}<EÜB<*'aA<E5 OL(=:A-*za&B0. luego _ gB(ÜB)= {[< a(za):a&B> }:z&UB}=P( a(Ba)). aeB que es en o no de ce o en E(JT) po se lo cada/a(5a) en EL Si la amilia [E¡: i € /] es de espacios bo nológicos, pa a cada i & I se conside a [Xa: a G A{] amilia de espacios no mados al que E¡ es lími e in- 108 JOSE ANTONIO FACENDA AGUIRRE duc i o de ella. En onces, P(E) es lími e induc i o de la amilia de espacios ¿ei no mados [ YB : B €= ¿B ] igual que en la demos ación an e io y po an o el ul ap oduc o es bo nológico. En la segunda pa e de nues o abajo, amos a da algunos ejemplos de clases de espacios que no son es ables po ul ap oduc os. Si [E¡: i £/] es una amilia cualquie a de espacios y deno amos po E el dual algeb aico de E¡, es ácil demos a que se e i ica la con ención P(E*) C (P(E¡))*. Pa a iel ' iel ob ene ejemplos de clases no es ables, amos a p oba en p ime luga la exis encia de clases pa a las que la con ención an e io es es ic a: Teo ema 3.— "Exis en amilias de espacios [E¡ € /], ca d (7) > ju ales que el ul ap oduc o de los duales algeb aicos P(E ) es á con enido es ic a- men e en el dual algeb aico (P(Ei))*". iel iel Demos ación: Sea E un espacio ec o ial con base de Hamel [< . a < p ] y pa a cada i < /z sea E¡ = E. Conside emos un ul a il o no i ial nume a- blemen e comple o sob e el p ime ca dinal medible M y llamemos P(E) al ul ap oduc o de la amilia [E¡: i < ju] a a és del ul a il o . Deno emos po PU el ul ap oduc o de n, luego sus elemen os son clases K < y: z < M >], OLI < p ( e 111). En onces, a) P(E) iene base de Hamel P¡i. En e ec o, sea x =[< x,: i < M >] un elemen o de P(E). Cada x¡ £ E¡ luego podemos exp esa Xi - S Oi cCüi c : l < k < «(/)] y <x¡ c < M- Dado que ß = *J [i < ju: a(z') = w] exis e un n na u al al que A = n <C ü = [i < /x: a(¿) — «] es á en 51". Pe o pa a cada k e [1, ... , n] es ^4 = U [/ E A: ik = ], luego exis e un eal k al que el conjun o eIR AK = [i £ A: ik = k] es à en . De inamos B = AI n...n An y la clase de <a/ c : z < M > en /*M. En onces es 5ë=S[ *&: K c</i] pues si í e 5 es x¿ = I,[ k(xik: Kk<n]. b) Podemos po an o a i ma que el ca dinal del dual algeb aico (TO))* es igual a (2xo)ca d<pM) =2ca d^> Po o a pa e, el ca dinal de cada espacio E es 2ß po lo que el ca di- nal del ul ap oduc o de los duales algeb aicos P(E ) es meno o igual que KM ESTABILIDAD DE ESPACIOS LOCALMENTE CONVEXOS POR ULTRAPRODUCTOS 109 (2M)M = 2M. Pe o dado que 2M < ca d(P/z) < 2ca d^)( e |4|, p. 145 lema 8. 7(0) se sigue queP(E?) es á con enido es ic amen e en (P (E¡))*- /•5J1 '<ß Debido a la exis encia de amilias con es a p opiedad podemos enun- cia : Teo ema 4.— "Los espacios B —comple os, B—comple os, onelados y Mon ei no son es ables po ul ap oduc os". Demos ación: Sea E el espacio del eo ema 3 do ado de la opología localmen e con exa más ina y conside emos E do ado de la opología dé- bil o(E , E¡). Es conocido que es os espacios son .ß-comple os (|5|, p. 123), po an o ^—comple os y comple os, y de Mon ei (|5|, p. 75). Más aún, el ul ap oduc o />(£*) es á do ado de la opología débil o(P(E*), P(E )) iel iel iel ( e |2| ). Dado que es-P(E.*) dis in o de (P (£,-))* se sigue que/"(E.*) no es iel leí iel ' comple o (luego no es B—comple o ni B —comple o) ni onelado (luego no es Mon ei). BIBLIOGRAFIA [1] BELL, J. L. y SLOMSON, A. B.: Models and ul ap oduc s: an in oduc ion. (Ams e dam: No h Holland). (1967). 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