Ts~ n~ os DE ESTADIS ICA Y
DE INVES IGACI6N OPE~T VA
Vo1. 35. Ndm. 2, 1984, pp. 215 a 221
SOBRE EL TEST DE ~IMA POTENCIA PARA
HIP(~FF.SIS NULA SIMPLE CONTRA HIPOTESIS
ALTERNATIVA SIMPLE
Ped o
Jos~ Padl
Escolano
Depa amen o de Ma emd icas
de la E.T.S. Ingenie os lndus iales de Se illa
RESUMEN
El p op6si o de es e abajo es da una cons ucci6n explici a del es de m~ixi-
ma po encia pa a un cons as e de hip6 esis pa am& ico en el que an o la hi-
p6 esis nual como la hip6 esis al e na i a son simples; u ilizando pa a ello ~c-
nicas de Amilisis Funcional y de P og amaci6n Ma em~i ica.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y NOMENCLATURA (1)
Sea una a iable alea o ia unidimensional con unci6n de dis ibuci6n
F(x; 0).
Suponga nos conocida la o ma uncional de
F(x; 0)
sal o el
pa ~ me o 0. Con una mues a alea o ia simple de ama io n: X =
= (xx, x2, .... x,,), cuya unci6n de e osimili ud es:
n
dF(X; O) = 1"[ dF(xi; O)
i=1
(*) Recibido. Mayo. 1982
215
amos a con as a la hip6 esis nula:
H0: 0=0o
con a la hip6 esis al e na i a:
/-/1:0=01
Si ep esen amos el uncional
ama~o
de una unci6n
p ~ L 1 (R n, dF(X; 0o))
po :
T(p) = ELo/O
= 001
= ~Rn P dF(X; 0o)
y el
uncionalpo encia
de una unci6n 6 del conjun o
LI(R n, dF(X; 00)
po :
P(~k) = E[~k/O = 01] = ~m ~ dF(X; 01)
en onces la clase de los
es de amago a
pa a el con as e an e io con
0<oL< 1 es:
ck~ = { p:
R" ~ R/O
es medible; 0 ~< p(X) ~< 1; T(p) ~< o~ }
En onces, el p oblema de halla el es m~ s po en e de ama io c~ pa a
con as a Ho eon a/-/1, puede o mula se:
Maximiza P(p)
Suje o a p e ck~
o, mils desa oilado:
Maximiza P(p)
Suje o a TO) ~< oL
0 6 p(X) .< ] pa a odo
X ~ R n
PROPOSICIONF~ Bh, SICAS
P oposici6n 1. ~ es un
Ll(Rn,
dF(X; 0o)).
con jun o con exo y ce ado en
216
DEMOSTRACION. Si llamamos a la medida de Bo el-S iel jes induci-
da en R n po la unci6n de dis ibuci6n de p obabilidad
F(X; 0o),
(R ~)
= 1; en onces:
a) Si o ~ ~ O <~ p(X) <~ 1 VX E Rn ~ p
es zi aco ada:
p ~ L ~
(R", dF(X,
00)). Pe o
(R n)
= 1 yen ese caso:
L~(R n, dF(X; 00)) c_
c_ L I(R n, dF(X; 0o)) = o ~ L ~(R n, dF(X;
00)) de donde 6,~ G
L *(R n,
dF(X; 0o)).
b) Si
pl,P2EOc,
y 0~<~,~< 1 al se ol Y
/92
medibles, es ),p, + (1 -
- )002 medible.
Po o o lado:
T(KOl + (1 - )~)p2) = ),T(01) + (1 - )~)T(a2) ~< ho + (1 - )~)o = o
y po il imo:
0 ~< ~ol(X) + (1 - )~)p2(X) = (hal + (1 - )0p2)(X) ~< )~ + (1 - )0 = 1
pa a odo
X e R n.
Po an o 4~= es con exo.
c) En
LI(R n, dF(X;
00)) enemos de inida la no ma:
I1 111 =
dF(X; 0o)
Sea (pn)~*= 1 ~- ~, una sucesi6n con e gen e a o, eamos que p e ~.
Como (On) con e ge a pen
I1" II
1, exis e una subsucesi6n (Onk) que
con e ge a O casi uni o memen e, po an o con e ge en casi odo, de
donde O es medible.
Luego, sal o
Z c R n
con (L0 = 0 es
lim
pn(X) = p(X) ~ p(X)~
[0, 1]
u
Eligiendo un ep esen an e de p que e i ique 0 ~<
p(X)
~< 1 pa a X ~ Z
end emos:
O <~ o(X) <~ I VX e R n
Adem~is 0 ~< T(pn) = ]l o,, [I 1 ~< a pa a odo n e N po se On posi i as,
como se iene
lim lion - o
II, = 0 es 0 T(p) .<
n ---~ oo
217
po se p ambi6n posi i a. []
P oposid6n
2. El uncional P: 4),~ ~ R de inido:
P(P) = u, p dF(X;
01)
e i ica:
P(4)~) es un ce ado con enido en [0, 1].
DEMOSTRACI6N.
p~4)~=O~<p(X)~<l pa a odo
X~R"=O<.ImpdF(X:Ol)<.
[0,
1]
Conside emos el espacio de medidas
(R ~, (g, #)
siendo ~ =
dF(X; 0o) +
+ dF(X; OIL
en onces
dF(X; 0o) y dF(X; 0~)
son absolu amen e con i-
nuas espec o de ~; po an o, exis en dos unciones
g, h~ L~(R ", #)
a-
les que:
dF(X; 0o) = g d# y
dF(X; 01) = h dl~
(como se sigue del eo ema de Radon-Nikodym: (2))con lo que
P(p)=
~w, pdF(X;O,)= ~R,,phd# Y
T(p) = ~m p dF(X; Oo) = ~e.pg d #
e i ic indose adem~ que P es un uncional lineal y cominuo de
L~176 ", I~)
en R(IP(p)I ~<
Ipl
9 ghU,).
Do emos a
L| ", #)
de la opologia d~bil
o[LO~ n, ix), L I(R ",
#)] que
deno amos
o[L | L n]
en onces P es <(c [L 0~, Ll]-con inuo>>. Sea adem~is
4)0 = [ : ](p, )] ~< 1 pa a odo p ~ 4)~ } el pola de 4)~ en la dualidad
[L|
Si
~ ll,<~ l= ~e.[ [dl~<~ l= lSw, p d#l <<. w, L ld#<~ l u
= ~ 4) ~ O sea, la bola B(0, 1) c_ 4)0, podemos aplica el eo ema de
Alaoglu-Bou baki (3)y conclui que 4)~ es a[L ~176 Ll]-compac o.
218
P obemos que ~ es
o[L ~,
Lll-ce ado: como ~ = 0~ II (3), si
(pi)i~
es una ed con e gen e a pen la opologia
o[L ~176 L L]
como
g 9 L (R ",/D
esl
~s" ]pi - Pl dF(X; 0o) = ~R" IPi -- Pig d# -* 0
y, po [a P oposici6n 1, es p9 = ~ es
a[L~176 O~
a[L | L1]_compac o y q~ c_ ~ = 4)~ es
o[L |
Ll]-co apac o = P(O.) es
ce ado en [0, 1]. []
CONSTRUCCION DEL TEST M~S POTENTE
Vamos a aplica 6cnicas de p og amaci6n al p oblema:
Maximiza
Suje o a
Lema 1. Exis e un es p* que alcanza el m iximo del p oblema an e-
io .
DF~,IOSTgACI6N. A1 se P(~) ce ado en [0, 1] iene m~iximo =* exis e
un es p* que alcanza dicho mAximo. []
Lema 2. El es p* ob enido en el lema an e io e i ica T(p*) = ix.
DEMOSTRACION. LOS uncionales T y P son lineales, po an o son
Ga eaux-di e enciables y su G-di e encial coincide con ellos. R iene un
cono posi i o [0, + oo), asi que podemos aplica el eo ema de Kuhn y
Tucke . (4), y en onces pa a la soluci6n, p*, del p oblema
Maximiza P(p)
Suje o a T(p) ~<
O <~ p(X) ~ l
pa a odo
X 9 R n
exis en es mul iplicado es de Lag ange: kj, k2, )~3 9 R ales que:
)~I(T(p*) -
O )
+ )~2(,0" --
I)
+ X3(-p*)
=
0
Xi/>0 i=1,2,3, yno odosnulos.
219

Si k~ = 0 esul a k260" - 1) + ks(-/3*) = 0, pe o p* - 1 y -p* son
n ime os nega i os no nulos a la ez po an o, a! se k2 y k3 posi i os,
alguno es ic amen e, lega iamos a unan con adicci6n. Asi pues,
k~>0.
Si T(p*) < o , XI(T(p*) - o0 + k2(p* - 1) + k3(-p*) < 0 luego debe
se T(#*) -- o y, en onces, nos queda:
k2(p* - 1) = k3(-p*) = 0.
p*(X) no puede se siemp e igual a 1 pues se end ia TO*) -- 1 > o~
asi pues exis e Y al que p*(Y)- 1 < 0 ~, k2 = 0. Asimismo si
p*(X) = 0 pa a odo X R" es TO*) = 0 < o~ con a TO*) = o~ > 0, en-
onces exis e Z R" al que p*(Z) > 9 de donde k3 = 0.
Pe o el eo ema de Kuhn y Tucke ambi6n asegu a que p* es am-
bi6n soluci6n del p oblema:
Maximiza H(a) = P(#) - kT(#)
Suje o a T(p) =
O~<p(X)~<l pa a odo X ~ R n
No amos:
o(X) dX = dF(X; 00)
~(X) dX = dF(X; 01)
66
se in unciones de densidad o de p obabilidad seg in la
a iable
alea o ia sea con inua o disc e a).
En onces:
H(.) = P( , - X o)
clX
Sill(X) > k o(X), p* debe oma el mayo alo posible: p*(X) = 1.
Si j(X) < k o(X), p* debe oma el meno alo posible: p*(X) = O.
Si l(X) = k o(X), p* puede oma cualquie alo en el in e alo
[0, 1]. Veamos que exis e un alo ~/~ [0, 1] al que si p*(X) = .y pa a
odo X/ l(X) = k o(X) # 0 es T(p*) = ol (hemos supues o 0(X) # 0
po que si no ue a asi en es e il imo caso no in luye el alo p(X) ni
en el uncional P ni en el
T)
o = T(p*) = ~nn p* 0(X)
dX =
220
= P ob [X: I(X) > )~ o(X)/O = 0ol + P ob {X: ~(X) = X o(X)/O = 0ol
= 1 - P ob IX: ( l(X)/ o(X)) <<. ),; 0 = 0o1 +
+ 7 P ob {X: ( i(X)/ o(X)) = ),; 0 = 0ol
Si exis e X = ),o al que:
P ob {X: ( l(X)/ o(X)) <~ Xo; 0 = 0o1 = 1 - o~
se oma 7 = O. (Es o ocu e con unciones de dis ibuci6n con inuas).
Si no exis e el alo an e io si exis e o o, que seguimos no ando ),o
que e i ica:
P ob IX." ( l(X)/ o(X)) < X0; 0 = 0o1 ~< 1 - <
< P ob IX:, ( l(X)/ o(X)) <<. Xo; 0 = 0o1
y omamos:
P ob IX."
( l(X)/ o(X)
~< Xo; 0 = 0o1 - (1 - ~)
"Y
= P ob
IX:
( ,(X)/ o(X))
= Xo; 0 = 0ol
Asi que el es de m ixima po encia buscado es:
l si
~(X) > ko o(X)
p*(X) = si l(X)
= ko o(X)
si
l(X) < ko o(X)
elegidos 7 Y k0 como se ha expues o. []
BIBLIOGRAF A
(1) GRAYBILL,
F. A. y MooD, A. M. (1963): In oduc ion o he heo y o S a is-
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(4) LU~.SSERGER, D. (1968): Op imiza ion by ec o spaces me hods. Ed. John
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221