Sobre el test de máxima potencia para hipótesis nula simple contra hipótesis alternativa simple

Ts~ n~ os DE ESTADIS ICA Y DE INVES IGACI6N OPE~T VA Vo1. 35. Ndm. 2, 1984, pp. 215 a 221 SOBRE EL TEST DE ~IMA POTENCIA PARA HIP(~FF.SIS NULA SIMPLE CONTRA HIPOTESIS ALTERNATIVA SIMPLE Ped o Jos~ Padl Escolano Depa amen o de Ma emd icas de la E.T.S. Ingenie os lndus iales de Se illa RESUMEN El p op6si o de es e abajo es da una cons ucci6n explici a del es de m~ixi- ma po encia pa a un cons as e de hip6 esis pa am& ico en el que an o la hi- p6 esis nual como la hip6 esis al e na i a son simples; u ilizando pa a ello ~c- nicas de Amilisis Funcional y de P og amaci6n Ma em~i ica. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y NOMENCLATURA (1) Sea una a iable alea o ia unidimensional con unci6n de dis ibuci6n F(x; 0). Suponga nos conocida la o ma uncional de F(x; 0) sal o el pa ~ me o 0. Con una mues a alea o ia simple de ama io n: X = = (xx, x2, .... x,,), cuya unci6n de e osimili ud es: n dF(X; O) = 1"[ dF(xi; O) i=1 (*) Recibido. Mayo. 1982 215 amos a con as a la hip6 esis nula: H0: 0=0o con a la hip6 esis al e na i a: /-/1:0=01 Si ep esen amos el uncional ama~o de una unci6n p ~ L 1 (R n, dF(X; 0o)) po : T(p) = ELo/O = 001 = ~Rn P dF(X; 0o) y el uncionalpo encia de una unci6n 6 del conjun o LI(R n, dF(X; 00) po : P(~k) = E[~k/O = 01] = ~m ~ dF(X; 01) en onces la clase de los es de amago a pa a el con as e an e io con 0<oL< 1 es: ck~ = { p: R" ~ R/O es medible; 0 ~< p(X) ~< 1; T(p) ~< o~ } En onces, el p oblema de halla el es m~ s po en e de ama io c~ pa a con as a Ho eon a/-/1, puede o mula se: Maximiza P(p) Suje o a p e ck~ o, mils desa oilado: Maximiza P(p) Suje o a TO) ~< oL 0 6 p(X) .< ] pa a odo X ~ R n PROPOSICIONF~ Bh, SICAS P oposici6n 1. ~ es un Ll(Rn, dF(X; 0o)). con jun o con exo y ce ado en 216 DEMOSTRACION. Si llamamos a la medida de Bo el-S iel jes induci- da en R n po la unci6n de dis ibuci6n de p obabilidad F(X; 0o), (R ~) = 1; en onces: a) Si o ~ ~ O <~ p(X) <~ 1 VX E Rn ~ p es zi aco ada: p ~ L ~ (R", dF(X, 00)). Pe o (R n) = 1 yen ese caso: L~(R n, dF(X; 00)) c_ c_ L I(R n, dF(X; 0o)) = o ~ L ~(R n, dF(X; 00)) de donde 6,~ G L *(R n, dF(X; 0o)). b) Si pl,P2EOc, y 0~<~,~< 1 al se ol Y /92 medibles, es ),p, + (1 - - )002 medible. Po o o lado: T(KOl + (1 - )~)p2) = ),T(01) + (1 - )~)T(a2) ~< ho + (1 - )~)o = o y po il imo: 0 ~< ~ol(X) + (1 - )~)p2(X) = (hal + (1 - )0p2)(X) ~< )~ + (1 - )0 = 1 pa a odo X e R n. Po an o 4~= es con exo. c) En LI(R n, dF(X; 00)) enemos de inida la no ma: I1 111 = dF(X; 0o) Sea (pn)~*= 1 ~- ~, una sucesi6n con e gen e a o, eamos que p e ~. Como (On) con e ge a pen I1" II 1, exis e una subsucesi6n (Onk) que con e ge a O casi uni o memen e, po an o con e ge en casi odo, de donde O es medible. Luego, sal o Z c R n con (L0 = 0 es lim pn(X) = p(X) ~ p(X)~ [0, 1] u Eligiendo un ep esen an e de p que e i ique 0 ~< p(X) ~< 1 pa a X ~ Z end emos: O <~ o(X) <~ I VX e R n Adem~is 0 ~< T(pn) = ]l o,, [I 1 ~< a pa a odo n e N po se On posi i as, como se iene lim lion - o II, = 0 es 0 T(p) .< n ---~ oo 217 po se p ambi6n posi i a. [] P oposid6n 2. El uncional P: 4),~ ~ R de inido: P(P) = u, p dF(X; 01) e i ica: P(4)~) es un ce ado con enido en [0, 1]. DEMOSTRACI6N. p~4)~=O~<p(X)~<l pa a odo X~R"=O<.ImpdF(X:Ol)<. [0, 1] Conside emos el espacio de medidas (R ~, (g, #) siendo ~ = dF(X; 0o) + + dF(X; OIL en onces dF(X; 0o) y dF(X; 0~) son absolu amen e con i- nuas espec o de ~; po an o, exis en dos unciones g, h~ L~(R ", #) a- les que: dF(X; 0o) = g d# y dF(X; 01) = h dl~ (como se sigue del eo ema de Radon-Nikodym: (2))con lo que P(p)= ~w, pdF(X;O,)= ~R,,phd# Y T(p) = ~m p dF(X; Oo) = ~e.pg d # e i ic indose adem~ que P es un uncional lineal y cominuo de L~176 ", I~) en R(IP(p)I ~< Ipl 9 ghU,). Do emos a L| ", #) de la opologia d~bil o[LO~ n, ix), L I(R ", #)] que deno amos o[L | L n] en onces P es <(c [L 0~, Ll]-con inuo>>. Sea adem~is 4)0 = [ : ](p, )] ~< 1 pa a odo p ~ 4)~ } el pola de 4)~ en la dualidad [L| Si ~ ll,<~ l= ~e.[ [dl~<~ l= lSw, p d#l <<. w, L ld#<~ l u = ~ 4) ~ O sea, la bola B(0, 1) c_ 4)0, podemos aplica el eo ema de Alaoglu-Bou baki (3)y conclui que 4)~ es a[L ~176 Ll]-compac o. 218 P obemos que ~ es o[L ~, Lll-ce ado: como ~ = 0~ II (3), si (pi)i~ es una ed con e gen e a pen la opologia o[L ~176 L L] como g 9 L (R ",/D esl ~s" ]pi - Pl dF(X; 0o) = ~R" IPi -- Pig d# -* 0 y, po [a P oposici6n 1, es p9 = ~ es a[L~176 O~ a[L | L1]_compac o y q~ c_ ~ = 4)~ es o[L | Ll]-co apac o = P(O.) es ce ado en [0, 1]. [] CONSTRUCCION DEL TEST M~S POTENTE Vamos a aplica 6cnicas de p og amaci6n al p oblema: Maximiza Suje o a Lema 1. Exis e un es p* que alcanza el m iximo del p oblema an e- io . DF~,IOSTgACI6N. A1 se P(~) ce ado en [0, 1] iene m~iximo =* exis e un es p* que alcanza dicho mAximo. [] Lema 2. El es p* ob enido en el lema an e io e i ica T(p*) = ix. DEMOSTRACION. LOS uncionales T y P son lineales, po an o son Ga eaux-di e enciables y su G-di e encial coincide con ellos. R iene un cono posi i o [0, + oo), asi que podemos aplica el eo ema de Kuhn y Tucke . (4), y en onces pa a la soluci6n, p*, del p oblema Maximiza P(p) Suje o a T(p) ~< O <~ p(X) ~ l pa a odo X 9 R n exis en es mul iplicado es de Lag ange: kj, k2, )~3 9 R ales que: )~I(T(p*) - O ) + )~2(,0" -- I) + X3(-p*) = 0 Xi/>0 i=1,2,3, yno odosnulos. 219 Si k~ = 0 esul a k260" - 1) + ks(-/3*) = 0, pe o p* - 1 y -p* son n ime os nega i os no nulos a la ez po an o, a! se k2 y k3 posi i os, alguno es ic amen e, lega iamos a unan con adicci6n. Asi pues, k~>0. Si T(p*) < o , XI(T(p*) - o0 + k2(p* - 1) + k3(-p*) < 0 luego debe se T(#*) -- o y, en onces, nos queda: k2(p* - 1) = k3(-p*) = 0. p*(X) no puede se siemp e igual a 1 pues se end ia TO*) -- 1 > o~ asi pues exis e Y al que p*(Y)- 1 < 0 ~, k2 = 0. Asimismo si p*(X) = 0 pa a odo X R" es TO*) = 0 < o~ con a TO*) = o~ > 0, en- onces exis e Z R" al que p*(Z) > 9 de donde k3 = 0. Pe o el eo ema de Kuhn y Tucke ambi6n asegu a que p* es am- bi6n soluci6n del p oblema: Maximiza H(a) = P(#) - kT(#) Suje o a T(p) = O~<p(X)~<l pa a odo X ~ R n No amos: o(X) dX = dF(X; 00) ~(X) dX = dF(X; 01) 66 se in unciones de densidad o de p obabilidad seg in la a iable alea o ia sea con inua o disc e a). En onces: H(.) = P( , - X o) clX Sill(X) > k o(X), p* debe oma el mayo alo posible: p*(X) = 1. Si j(X) < k o(X), p* debe oma el meno alo posible: p*(X) = O. Si l(X) = k o(X), p* puede oma cualquie alo en el in e alo [0, 1]. Veamos que exis e un alo ~/~ [0, 1] al que si p*(X) = .y pa a odo X/ l(X) = k o(X) # 0 es T(p*) = ol (hemos supues o 0(X) # 0 po que si no ue a asi en es e il imo caso no in luye el alo p(X) ni en el uncional P ni en el T) o = T(p*) = ~nn p* 0(X) dX = 220 = P ob [X: I(X) > )~ o(X)/O = 0ol + P ob {X: ~(X) = X o(X)/O = 0ol = 1 - P ob IX: ( l(X)/ o(X)) <<. ),; 0 = 0o1 + + 7 P ob {X: ( i(X)/ o(X)) = ),; 0 = 0ol Si exis e X = ),o al que: P ob {X: ( l(X)/ o(X)) <~ Xo; 0 = 0o1 = 1 - o~ se oma 7 = O. (Es o ocu e con unciones de dis ibuci6n con inuas). Si no exis e el alo an e io si exis e o o, que seguimos no ando ),o que e i ica: P ob IX." ( l(X)/ o(X)) < X0; 0 = 0o1 ~< 1 - < < P ob IX:, ( l(X)/ o(X)) <<. Xo; 0 = 0o1 y omamos: P ob IX." ( l(X)/ o(X) ~< Xo; 0 = 0o1 - (1 - ~) "Y = P ob IX: ( ,(X)/ o(X)) = Xo; 0 = 0ol Asi que el es de m ixima po encia buscado es: l si ~(X) > ko o(X) p*(X) = si l(X) = ko o(X) si l(X) < ko o(X) elegidos 7 Y k0 como se ha expues o. [] BIBLIOGRAF A (1) GRAYBILL, F. 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