Predicciones de las tasas de crecimiento relativas de los productos interiores brutos reales de un conjunto de países de la Comunidad Europea. Aplicación de los modelos lineales bayesianos.

V REUNIÓN DE ECONOMÍA MUNDIAL. SEVILLA 2003 Predicciones de las tasas de crecimiento relativas de los productos interiores brutos reales de un conjunto de países de la Comunidad Europea. Aplicación de los modelos lineales bayesianos. Jesús Basulto Santos 954557539 [email protected] Fco. Javier Ortega Irizo 954556970 [email protected] Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla. Avda. Ramón y Cajal, 1 41018 - Sevilla Resumen: Los datos, tomados de la “University of Groningen and the conference Board, GGDC Total Economy Database, 2000, http://www.eco.rug.nl/ggdc”, comprenden 13 países de la Comunidad Europea y el período de 1950 a 2002. Los datos son los productos interiores brutos en volumen, tanto espacial como temporal, con 1999 como el año base, y per-cápita; estos datos provienen del trabajo de la OCDE sobre “Purchansing Power Parities and Real Expenditures 1999 Benchmark year”. Hemos incluido también el PIB real y per-cápita conjunto para los 13 países estudiados, que hemos podido calcular a partir de agregar todos los PIBs y dividir por la población total, siempre para cada año. A partir de los datos de PIB, en volumen y per-cápita, hemos calculado las tasas de variación interanuales para el período 1951 a 2002. Estas tasa de crecimiento relativas las hemos expresado en porcentajes. Para los PIB per-cápita del conjunto de países considerados, también hemos calculado sus tasas de crecimiento relativas. Con las tasas de crecimiento hemos ensayado varios modelos que van desde el más simple a otros más complicados. La evaluación de cada uno de los modelos considerados ha consistido en dividir el intervalo de los años en dos partes, una se ha utilizado para ajustar el modelo y la otra para comprobar la bondad de las predicciones. Tales predicciones son de un “salto”, es decir, con un horizonte de un año. Los modelos simples se han tomado como origen para comparar las bondades de los modelos más complicados. En la construcción de los modelos hemos ensayado la idea de que, por ejemplo, si queremos hacer predicciones sobre las tasas de crecimiento de Austria, es útil, además de usar las predicciones calculadas de las tasas de crecimiento de Austria, también usar la media de las predicciones del conjunto de países considerados. La justificación de combinar la predicción de un país con la media de las predicciones de todos los países se ha sustentado en la estimación bayesiana usando una función de pérdida específica. 2 1. Introducción. Es conocido que las economías nacionales, en sus grandes agregados de estadísticas económicas, presentan estructuras muy parecidas. Esto último es más fuerte en conjuntos de países con economías interdependientes. Investigar el comportamiento común, por ejemplo, de las tasas de crecimiento de sus producciones finales, puede ser utilizado para mejorar las predicciones de cada uno de los países del conjunto estudiado. Trabajos que han estudiado este tipo de mejoras en las predicciones son los de GarcíaFerrer, Highfield, Palm y Zellner (1987) y de Zellner y Hong (1989) entre otros. En este trabajo, estudiamos estas mejoras de la predicción en los crecimientos reales de una muestra de países europeos en el período de 1951 a 2002. Nuestra aproximación al problema de mejorar las predicciones de agregados estadísticos, a nivel internacional, comienza por examinar las propiedades de estos agregados estadísticos para cada país y a lo largo del tiempo, para llegar a elaborar sencillos modelos de predicciones y, finalmente, evaluar la calidad de las predicciones que generan. Estos simples modelos sirven como origen de comparación para evaluar otros modelos más elaborados. A partir de aquí, nuestro trabajo lo hemos estructurado en las siguientes secciones. En la sección 2, presentamos los datos de las tasas de crecimiento reales del PIB para cada uno de los 13 países europeos considerados; en la sección 3, se describen los modelos y procesos de predicción que utilizamos; en la 4ª, presentamos y analizamos los resultados obtenidos con cada uno de los modelos, para finalizar con un apartado de conclusiones y cuestiones abiertas. 2. Datos utilizados. La base de datos que utilizamos en nuestro trabajo contiene los productos interiores brutos (PIB) en volumen y por habitante para el período de 1950-2002 y 13 países Europeos, que son Austria, Bélgica, Dinamarca, Finlandia, Francia, Grecia, Irlanda, Italia, Holanda, Portugal, España, Suecia y Reino Unido. El año base es 1999 y las paridades han sido estimadas a partir del trabajo “Purchasing Power Parities and Real Expenditures 1999 Berchmark year, 2002” de la OCDE. Los trece países y sus paridades de 1999 se recogen en el apéndice 2 de nuestro trabajo. Los datos de producción están medidos en miles de dólares americanos del año 1999, al haber tomado a Estados Unidos como el país origen de comparación. 3 Hemos de destacar la importancia de la ausencia de datos de Alemania, motor de la economía europea, debido a que en el período que hemos considerado tuvo lugar la unificación de las antiguas Alemania Oriental y Occidental, lo que conllevaría el problema de cómo agregar y hacer comparables las tasas anteriores y posteriores a la unificación. Los datos son comparables en el tiempo y en el espacio, lo que permite agregar los productos interiores brutos de los 13 países y así construir un producto total para cada período. Estos productos totales los hemos expresado en productos por habitante a partir de los totales de habitantes de los 13 países. La base de datos ha sido tomada de la University of Groningen and the Conference Board, GGDC Total Economy Database, 2003, http://www.eco.rug.nl/ggdc. Las paridades estimadas por la OCDE, 1999, han sido elaboradas por el método EKS (Eltetö and Köves (1964), Szulc (1964)) aplicado en las sucesivas agregaciones. A partir de los productos interiores brutos, en volumen y per-cápita, hemos calculado para cada país las tasas de variación interanual, en porcentaje, para el período 1951 a 2002. Estas tasas de variación relativas reales deben, aproximadamente, coincidir con las correspondientes tasas de variación relativas reales que estiman los países por medio de sus contabilidades nacionales. Para los productos interiores brutos reales del agregado formado por los 13 países hemos también calculado sus tasas de variación interanuales en porcentajes. Veremos que estas tasas de crecimiento relativo del agregado de 13 países serán de gran utilidad para mejorar las predicciones de las tasas de crecimiento relativo de cada uno de los países que estudiamos. En el apéndice 1 ofrecemos las gráficas de las tasas de variación obtenidas para cada uno de los 13 países. Por su parte, las tasas de variación conjuntas se han representado en la figura 1. Por último, señalar que los datos de los 13 países del año 2002 son predicciones a partir del 2001 (OCDE, Economic Outlook 72, november 2002). 3. Descripción de los modelos y del proceso de predicción. En esta sección, describiremos los modelos de series temporales utilizados para describir el comportamiento pasado de las tasas de crecimiento de los países, así como los procesos de predicción y valoración de tales predicciones. 4 3.1 Modelos ingenuos En primer lugar es conveniente utilizar los llamados “modelos ingenuos”, que nos servirán como punto de referencia para valorar el grado de ajuste de las predicciones efectuadas con modelos más complicados. Vamos a plantear los dos modelos ingenuos (MI) siguientes: Modelo ingenuo 1: it ˆ TV0 = Modelo ingenuo 2: itit1 ˆ TVTV − = donde TVit representa la tasa de crecimiento del país i-ésimo en el período o año t. Es interesante señalar que las predicciones obtenidas con el MI1 son óptimas en el sentido mínimo cuadrático bajo la hipótesis de que las tasas de crecimiento sigan un proceso de ruido blanco de media nula; por su parte, las predicciones obtenidas con el MI2 son óptimas si suponemos que las tasas de crecimiento siguen un camino aleatorio, es decir, si itit1it TVTV − =+ε donde it ε siguen un proceso de ruido blanco con media nula. 3.2 Modelo AR(3) Como primer paso para mejorar el comportamiento de las predicciones, vamos a ajustar un modelo autorregresivo de orden 3, AR(3), sobre las tasas de crecimiento de cada país. Es decir, it0i1iit12iit23iit3it TVTVTVTV,i1,...,N,t1,...,T −−− =β+β+β+β+ε== La elección de un modelo AR(3) permite la posibilidad de obtener dos raíces complejas, asociadas con una componente cíclica y una raíz real asociada a una componente de tendencia (Zellner y Hong (1989)). La estimación de los parámetros para cada país por separado, nos permitirá hacer las predicciones a un año por delante para el período elegido de predicción, donde los modelos son reestimados año a año. Por ejemplo, para las predicciones del año 1994, utilizaremos los datos desde 1953 hasta 1993 (el período 1950-1952 no se tiene en cuenta puesto que necesitamos efectuar retardos de orden tres en los datos), mientras que para las predicciones de 1995 necesitamos reestimar el modelo con los datos desde 1953 hasta 1994, etc. Los parámetros se estiman por el método de mínimos cuadrados, lo que resulta equivalente a 5 obtener la estimación bayesiana usando una distribución a priori no informativa para los parámetros del modelo (Zellner, 1971). 3.3 Modelo AR(3)-Ampliado En Zellner y Hong (1989), donde se lleva a cabo un estudio de predicción de las tasas de crecimiento para 8 países europeos junto con Estados Unidos, se propone incluir variables explicativas adicionales al modelo AR(3), ya que éste por sí solo no resulta suficiente para conseguir un grado de ajuste de las predicciones satisfactorio. No obstante, en este trabajo pretendemos ofrecer una primera aproximación con modelos simples, basados exclusivamente en el comportamiento pasado de la propia variable que pretendemos predecir. Para completar el modelo AR(3), usaremos la idea de que el comportamiento global del conjunto de países es también un factor importante para explicar la evolución de cada país por separado, máxime si tenemos en cuenta que estamos trabajando con países “relativamente homogéneos” en cuanto a su evolución económica, puesto que todos ellos pertenecen a la Unión Europea. El modelo AR(3) será completado introduciendo como variable explicativa t w , que representa la tasa de crecimiento del conjunto de los trece países para cada año t, que hemos calculado como se describe en el epígrafe 2. Por tanto, el modelo completado sería: it0i1iit12iit23iit3itit TVTVTVTVw,i1,...,N,t1,...,T −−− =β+β+β+β+α+ε== donde la estimación de los parámetros se llevará a cabo a través del método de mínimos cuadrados, lo que resulta equivalente a obtener la estimación bayesiana utilizando distribuciones a priori no informativas. Evidentemente, a la hora de predecir it1 TV + para cada país, no debemos utilizar el valor t1 w + . No obstante, hemos llevado a cabo el procedimiento descrito para tomarlo como punto de referencia, destacando que la inclusión de esta variable mejora significativamente el modelo. Ahora, el problema consiste en buscar una buena predicción t1 ˆ w + del valor t1 w + , que sería utilizada para obtener it1 ˆ TV + , siempre desde la perspectiva de buscar modelos simples en los que sólo intervenga el propio pasado de la variable. Inicialmente, para obtener la predicción t ˆ w , parecería natural volver a plantear un modelo AR(3), si bien hemos comprobado que en este caso dicho modelo no funciona correctamente. Observando la gráfica de la variable w en el período analizado (ver figura 1), puede apreciarse que a partir de 1975 6 aparece un comportamiento cíclico con un período de alrededor de 10 a 12 años, por lo que una predicción razonable de t1 w + es tomar t1t10 ˆ ww +− =, o lo que es lo mismo, considerar un comportamiento cíclico de 11 años sobre la variable w. Figura 1: Tasas de crecimiento conjuntas de los 13 países (variable W) 3.4 Descripción de las η-predicciones. Las predicciones it ˆ TV obtenidas para cada país y período usando cualquiera de los modelos planteados, pueden mejorarse aplicando sobre ellas procedimientos de “reducción” o “encogimiento” hacia la media (“shrinkage forecasts”). Vamos a explicar y a utilizar las denominadas “η-predicciones”, cuya definición viene dada por: ( ) * ittittitt ˆˆˆˆˆ TVTV(1)TVTV(1)TVTV =η+−η=+−η− % donde 01 <η< y ( ) N tit i1 ˆˆ TVTVN = =∑ , es decir, la media de todas las predicciones del período t. Como puede apreciarse a partir de la definición, la filosofía de este procedimiento es “acercar” las predicciones it ˆ TV de cada país a la predicción media t ˆ TV . En los modelos de regresión que hemos planteado anteriormente, estas predicciones resultan óptimas desde el punto de vista bayesiano para una elección adecuada de la distribución a priori y de la función de pérdida. Concretamente, si escribimos los modelos de regresión en la forma genérica ' ititiit TVxu =β+ , donde it x es el vector de variables explicativas correspondientes al país ir-ésimo en el instante t (incluido el valor 1 de la ordenada en el origen) y i β es el vector de parámetros de la regresión, si empleamos una distribución a priori no informativa para i β y una función de pérdida de la forma: 7 ( ) 2 N 2it ititit i1 TV LTVTVcTV N =  =−+−   ∑ %% (donde it TV son las tasas de variación reales desconocidas y it TV % son alguna predicción de las mismas) entonces las η-predicciones derivadas de las predicciones mínimo-cuadráticas de los modelos de regresión son óptimas para el valor c/(1c) η=+ (Zellner y Hong, 1989). Observemos que esta función de pérdida tiene un primer término que es el usual pero incorpora un segundo término que penaliza la desviación de las predicciones individuales con respecto a la tasa media. Haciendo variar η entre 0 y 1 con precisión de 1 décima, podemos observar cuál es el valor más adecuado de η para hacer las predicciones con cada uno de los modelos de regresión planteados. 4. Resultados. En esta sección presentamos los resultados obtenidos con los distintos modelos, donde los mismos son valorados en función de su capacidad de predicción, utilizando como coeficiente de bondad de las predicciones la raíz cuadrada del error cuadrático medio (RECM). Concretamente, si el período de predicción es de J años, la raíz del error cuadrático medio correspondiente al país i-ésimo sería ( ) ( ) 2002 2 iitit t2002J1 ˆ RECM1/JTVTV =−+ =− ∑. Asimismo, resulta interesante obtener alguna medida representativa del conjunto de errores cuadráticos medios de los distintos países, tal como su promedio o su mediana, pues también resultarán útiles para valorar la capacidad predictiva de los modelos. En la tabla I aparecen los RECM por países y el promedio de los mismos para los distintos modelos, cuando el período de predicción es de 9 años, es decir, desde 1994 a 2002. En las filas 1 y 2 están los RECM obtenidos para los modelos ingenuos 1 y 2 respectivamente; en la fila 3 los correspondientes al modelo AR(3); en la fila 5 aparecen los RECM del modelo AR(3) ampliado, en el que utilizamos t1t10 ˆ ww +− = para obtener las predicciones de it1 TV + , mientras que en la fila 7 están los errores correspondientes al modelo AR(3) ampliado cuando utilizamos el valor verdadero t1 w + para predecir it1 TV + . Por su parte, en las filas 4, 6 y 8 se presentan los RECM correspondientes a las η-predicciones asociadas a 8 cada uno de los tres modelos anteriormente reseñados, todas ellas calculadas para el valor η=0.3, pues es en este punto donde se alcanza el menor promedio de RECM para el conjunto de países en los tres casos considerados. En cuanto a los valores correspondientes a los métodos ingenuos, que son los que tomaremos como referencia de partida, es importante destacar que en nuestros datos el comportamiento del método ingenuo 2 es sorprendentemente bueno, consiguiendo una notable reducción en los RECM respecto del método ingenuo 1, situación que no suele resultar habitual. Por ejemplo, en Zellner y Hong (1989) y en García-Ferrer y otros (1987) se analizan las tasas de crecimiento de 8 países de Europa junto con las de Estados Unidos, siendo el período de predicción 1974-1981, obteniéndose un promedio de RECM de 3.2655 para el MI1 y de 3.5733 para el MI2; además los valores de RECM de los dos métodos ingenuos son similares para todos los países. En nuestros datos, el promedio para el MI1 es 2.9043 (algo inferior al de los datos de Zellner y Hong y de García-Ferrer y otros) y sin embargo el del MI2 desciende hasta 1.7952, dándose además la circunstancia de que en todos los países los RECM son notablemente inferiores cuando se aplica el MI2. El modelo AR(3) representa una mejora significativa con respecto a los métodos ingenuos para nuestros datos y período de predicción, pues se consigue una reducción de RECM en 11 de los 13 países (las únicas excepciones son Irlanda y Holanda), y un promedio de 1.4564. La utilización en este caso de las η-predicciones, como puede observarse, prácticamente no mejora el promedio de RECM. En cuanto a los países, se consigue una reducción en 7 de los 13, si bien los valores son muy similares siempre en ambos casos. La introducción de la variable w (tasa de crecimiento media contemporánea) en el modelo AR(3) sí que resulta significativa, pues se consigue una mejora en 10 de los 13 países, siendo en la mayoría de los casos las diferencias importantes. Sólo en el caso de Grecia resulta que este último modelo consigue un grado de ajuste sensiblemente peor que el AR(3), lo que hace aumentar bastante el promedio de RECM. La utilización de las η-predicciones consigue disminuir ligeramente el promedio y una reducción en 9 de los 13 países. No obstante, no debemos olvidar que este último modelo sólo ha sido incluido como referencia, ya que en él para hacer la predicción de it1 TV + hemos utilizado el valor contemporáneo t1 w + . El buen comportamiento de este último modelo nos lleva a pensar que sería interesante centrar esfuerzos en conseguir una buena predicción de t1 w + que sería posteriormente utilizada para estimar it1 TV + . Tal vez para ello resulte necesario introducir variables 9 explicativas adicionales, si bien como ya hemos comentado, nuestro objetivo es valorar la capacidad predictiva de modelos simples en los que sólo intervenga el propio pasado de la variable a predecir. Puesto que el modelo AR(3) parece no funcionar bien para este propósito, como ya señalamos en el epígrafe 3.3, optamos por predecir t1 w + a través de t10 w − . Para nuestros datos, las η-predicciones asociadas a este procedimiento consigue mejorar ligeramente los resultados del modelo AR(3) en promedio, además de reducir el RECM en 9 de los 13 países. Incluimos también en el apéndice 3 las gráficas de las tasas de variación de cada uno de los países a partir del año 1980 así como las predicciones en el período 1994-2002 obtenidas con el método AR(3) ampliado, en las cuales puede apreciarse en qué países se consigue un mejor ajuste. Es bien conocido que los años de más difícil predicción son aquellos en los que se producen caídas en las tasas de crecimiento. Si observamos las gráficas de las tasas de variación de los países del apéndice 2, vemos que el año 1993 es de caída generalizada, lo cual se traduce también, obviamente, en una caída de la tasa conjunta como puede apreciarse en la figura 1. Por ello, pensamos que resulta interesante también ofrecer los resultados que se obtienen con los distintos modelos cuando el período de predicción es 1993-2002, y compararlos con los ya comentados cuando el período es 1994-2002 (en el que no se produce ninguna caída). Los resultados para este nuevo período de predicción de 10 años y que incluye un año de caída se ofrecen en la tabla II, en la que se mantiene la misma estructura que en la tabla I, con la diferencia de que ahora las η-predicciones no se hacen siempre para el valor η=0.3, puesto que ahora el promedio de RECM no se minimiza siempre para dicho valor, sino que depende del modelo considerado. Hemos incluido en el apéndice 4 las gráficas de las tasas de variación de Francia y Finlandia junto con sus predicciones para el período 1993-2002. El caso de Francia es representativo del comportamiento de la mayoría de países, en donde puede apreciarse como la predicción del año 1993 es muy superior al valor observado; la única excepción es Finlandia, donde la predicción del año 1993 es más acertada, debido a que en este país la gran caída se produce antes (en el año 1991). A grandes rasgos, podemos observar como los valores de RECM aumentan en general cuando incluimos el año 1993 en el período de predicción, debido a que en ese año los modelos no predicen correctamente. Podemos destacar que este hecho no se manifiesta en el 16 Apéndice 2: En este apéndice ofrecemos las paridades de los 13 países considerados, donde el año base es 1999 y el país de referencia es EEUU. País Paridad Austria 13.02 Bélgica 37.68 Dinamarca 8.24 Finlandia 5.92 Francia 6.38 Grecia 241.25 Irlanda 0.72 Italia 1554.82 Holanda 1.97 Portugal 127.31 España 124.62 Suecia 9.68 Reino Unido 0.65 Estados Unidos 1.00 17 Apéndice 3: En este apéndice ofrecemos las gráficas de las tasas de variación de los países a partir de 1980 y las predicciones del período 1994-2002 obtenidas con el modelo AR(3) ampliado. 18 19 20 21 22 Apéndice 4: En este apéndice ofrecemos las gráficas de las tasas de variación a partir de 1980 de Francia y Finlandia y las predicciones del período 1993-2002 obtenidas con el modelo AR(3) ampliado. 23 Bibliografía: ♦ Eltetö, O and P. Köves.(1964), "On a Problem of Index Number Computation Relating to International Comparisons." 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