0.
CMA
ALGORITMOS
DE
MODULO
CONST.ANTE
EN
ECUALIZACION
AD.Al'TATIVA
URSI 1
86
Ma ga i a
Cab e a
y Miguel
A.
Lagunas
T.T.I.
P ocesado
de
Senal
en
Comunicaciones
E.T.S.I.Telecomunicaci6n.
Apdo. 30002; 08080
Ba celona
ABSTRACT
An
adap a i e
digi al
'il
e ing
algo i hm
ha
can
compensa e
o
bo h
equency-selec i e
mul
ipa h
and
in e e-
ence
on
cons an
en elope
modula ed
signals
is
p esen ed.
The
epo ed
algo i hm
adap s
he
coe icien s
o
a
ini-
e-imoulse- esponse
(FIR)
digi al
il e .
The main adYan age
o
he
:~IA
algo i hm
esides
ha
i
doesn'
need
ai-
nig
o
e e ence
signal
in
o de
o
pe om.
The
adquisi
ion
o
acld.ng;
hus,
i
is
con inuosly
adap ed
w:i.
hou
u he
needs
as
DFE
me hods and
e e ences
which
a dly
cons ain
he
nobias ess
o
he
Wiene
app oach.
INTiOIDCCION
En
es e
a !culo
se
p esen s
un
algo i
mo
de
il
a-
do
digi al
adap a i o,
el
cual
compensa
e ec os
de
die-
o sion
mul icsmino
y
o os
enomenos de
in e e encias
en
senales
de
en ol en e
cons an e,
an o
en
modulaci6n
de
ecuencia
como
en modulaci6n de
ase.
El
me odo
ne-
cesi
a
un
conocimien o
ap i.o :!e ico
sob e
la
o ma de
o~
da de
la
senal
ansmi
ida
(
su
en ol en e
cons an e)
y
con
ello
desa olla
una
clase
de
algo i mos,
pa a
adap-
a
las
ganancias
de
lo
s
Slllpli icado es
de un
il
o
e-
cap o
digi al
de
espaes a
impulsional
ini a
(FIR).
La
soluci6n
alcanzada
po
el
il o
ecep o ,
ea
la
unci6n
de
ans e encia
in e sa
a
la
que
ha
p oducido
el
en6m~
no de
des anecimien o
selec i e
en
el
canal
o medio de
ansmisi6n.
Pa a
adap a
la
unci6n
de
ans e encia
del
'il o,
el
algo i
mo
u iliza
el
p ocedimien o
de
g adien e
des-
cenden s.
En
la
unci6n
de
e o
que
se
minimiza,
se
co~
pa a
el
m6dulo de
la
senal
ecibida
y
ecualizada
con
una
senal
cons an e,
la
en ol en e
deseada.
En
la
mayo :!a de
loa
me odos
clasicos,
in e iene
el
e o
ins an aneo
en
la
unci6n
de
e o ,
lo
que
implica
que
en
la
adap acion
se
equie e
conoce
la
se ial
deseada,
ea
deci ,
la
se ial
emi ida
y
sin
con amina .
Es e
conocimien o
ep esen s£
na
des en aja
de
loa
algo i
mos
clasicos,
en e
al
ipo
de
algo i
mo
al
que
pe enece
el que
aqu!
se
a
a
a a o
En
las
secciones
siguien es,
se
desc ibe
un
algo i
-
mo
adap a i o
pa icula
de m6dulo
cons an s
(CNA)
y
al-
gunas de
sus
p opiedades.
Pos e io men e
se
p esen an
~
ias
p uebas
ealizaP.as
con
dicho
algo i
mo,
as
expli-
ca
la
c eacion
del
escena io
y
del
ipo
de se 1al
con
que
se
a
a
abaja ;
ambien
se
enume an
odos
loa
pa i
me os
que
se
pueden
a ia
en e
p uebas
y que
pe mi en
alo a
el
uncionamien o
del
algo i
mo.
ADAPTACION
Y
PROPIEDADES
IMPORTANTES
DEL
CMA
Desc ipciones
basicas:
Suponemos que
x(k)
ea
una
se ial
anal! ica
mues eada
Ill,
modulada en
PM
y
dis o sionada
po
un
des anecimiea
o
selec i e
con
posible
u!do
adi i o
gaussiano.
nicha
senal
se
aplica
a
la
en ada
de
un
il o
ecep o
FIR,
ans .e sal,
de
coe icien ee
ajus ables
wi
(k),
cuyo
es-
quema puede
e se
en
la
igu a
1.
Vec o
de
en ada:
X(k) =
(x(k),x(k-l),
••
x(k-N+l))
Vec o
de
coe icien ea:
W(k)=(w0
(k),w
1
(k),.wN_
1
(k))
Salida
del
il o:
y(k)
=!(k).X(k)
x(k)
x(k-1)
x(k-2)
x(k-N+l)
T T
-------GJ]_
~····~N-1
y(k)
Figu a
1.
nia,; ama
del
FIR
ecep o .
El
ndice
k de
loa
coe icien es
indica
que
es os
son
ajus ables
en iempo,
el
ajus e
se
ealiza
una
ez
po
cada
nue a
nues a.
El
obje i o
de
es e
il
ado
adap a-
i~o,
ea
alcanza
una
o ma de
y(k)
al,
que
en~a
un
m£
URSI'86
239
dulo
ins an aneo
cons an e.
Ello
se
consigue
eligiendo
el
ec o
de
coe icien es
X,
de
al
modo
que
minimice
u-
na
medida de
la
a iacion
del
m6dulo de
la
se ial
y(k),
al
medida
es
una
'unci6n
de inida
posi
i a
que puede
I@
ne aliza se
segUn
(1).
E
ea
el
ope ado
espe anza
es~adis ica.
En
es e
a !culo
se
ha
omado p=2, q=2,
~
=1.
Es os
alo ea
dan
luga
a
la
aiguien e
Unci6n de
e o
ins ~
aneo.
( 2)
El
obje i o
es
alcanza
X
al
que
minimice
J,
lo
que
equi ale
a
consegui
jy(k)l
an
p 6ximo a
la
unidad
como
sea
posible.
Algo i mo
adap a i o:
Dada
la
unci6n
de
e o
J y asumida
una
ee uc u a
del
il o
ecep o ,
hay
muchos
p ocedimien os
posibles
pa a
encon a
una
espuea a
impulaional
ap opiada.
Pa a
acili a
la
implemen aci6n
del
ha dwa e,
aqu!
se
emple~
a
un
algo i mo
de
g adien e
descenden e.
En
!a icula
se
asume
que~
ea
adap ado
segUn
la
ecuaci6n
l3),
donde
V J
(ope ado
g adien e
de J
espec o
a
los
elemen os
·
d:l
ec o
!),
se
es ima
po
el
alo
ins an &neo
Vw
3
k·
!(k+l)
=
,!(k)
- ·1,lk
Ope ando
sob e
la
unci6n
de
e o
se
llega
a
la
si-
guien e
exp esi6n,
pa a
la
es imaci6n
de
su
g adien e:
h 2
l
iwJ
= (
jy(k)l
-l).y(k).!,
(k)
(4)
Si
ademas
se
de ine
el
e mino
eecala
e(k)
BegUn
(5)
( 5)
Uniendo (3), (4) y
(5)
se
llega
a (6)
,.J
*
,!(k+l)
=
,!(k)
-./'
.E(k)
·!
(k)
(6)
Dos
cosaa
impo an es
pueden
se
di ec amen e
no adas
en
es e
algo i mo
CMA.
La
p ime s
de
ellas
es
su
apa en e
simila idad
con
la
e si6n
compleja
del
bien
conocido
al
go i mo
LMS.
En
ealidad
si
e(k)
= y{k) -
d(k)
se
sua i=
uye
po
E(k),
donde
d(k)
ea
una
se ial
e e encia
aplic~
da
ex e namen e,
se
ob iene
la
e sion
compleja
LMS.
El
segundo
aspec o
in e esan e
del
algo i mo
CHA
es
que no
equie e
una
se ial
e e encia
d(k).
En
luga
de
u iliza
una
o ma de onda
d(k),
se
u iliza
una
in o macion
ap i.Q..
:!s ica
eob e
la
medida I
y(k)
I
jn
ausencia
de
dis o si6n
mul
ic
amino. Se
obse a
que
si
z;
(k)
ea
igual
a
ce o,
jy(k)j
es
igual
a
la
unidad
en
sis emas
de
ansmisi6n
de
en ol
en e
cons an e.
La
impo ancia
p ac ica
del
p ime
pun=
o
obse ado,
ea
que
el
ha dwa e
de un
algo i
mo
LMS,
puede
ap o echa se
pa a
un
algo i mo
CMA,
simplemen e
cambiando
e(k)
po
E(k)
o
Ill
Symposium
Nacional
del
Comi e
Espa iol de la
URSI
P opiedades:
1.
Fo ma.de
la
unci6n
de
e o :
La
igu a
2
mues a
J
como
una
Unci6n
de
las
componen es
eal
e
imagina ia
de
y(k).
J
ea
una
supe icie
hipe boloide,
que
alcanza
un
m!nimo de
alo
ce o,
en
odos
loa
pun os
de
un
c! c~
lo
de
adio
unidad
cen ado
en
el
o igen.
Dos
condicio-
nes
pue.den
lle a
a
la
ai
uaci6n
de
gxadien e
ce o,
don-
de
el
algo i mo
deja
de
adap a .
La
p ime a
de
ellas
es
el
con o no
!y(k)l
=1,
lo
que
ep esen s
la
con e gencia
deeeada.
La
segunda
es
el
pun o
y(k)
=
(0,0).
Es a
ul i-
ma
no
cons i uye
un
p oblema
p ac ico
ya
que
ea
un
pun o
de
equilib io
ines able.
Pa a
e i a
p oblemas,
ea
con ~
nien e
no empeza
la
adap aci6n
con
un
ec o
de
pesos
nulo.
Una
inicializaci6n
adecuada
pod !a
ae
un
il
o
pasa- odo.
Re(y(k))
Im(y(k))
Figu a
2.
Funci6n
de
e o
J
como
unci6n
de
y(k).
2.
l o
unicidad:
El
p ocedimien o
de m6dulo
cons an e
es
con enien e
cuando
se
p oducen
a iaciones
inciden s-
lea
de ampli
u
d.
En
ee e
apa ado
se
supond a
que
la
se-
ial
e(k)
=
~.e p(j~(k)),
ea
una
o ma de
onda
de m6dulo
cone an e
A 1 que
con olucionada
con
la
Unci6n
de
an~
e encia
h(n)
(con oluci6n
de
canal
y
il o)
da
luga
a
la
se ial
de
salida
y(k).
Se
demuea a
que
y(k)
ea
de m6-
dulo
cons an s
s!
y
solo
e!
h(n)
iene
una
nnica
e apa
no
nula.
Pa a
demos a lo
supond emoe
que
h(n)
iene
dos
e apaa
no
nulae.
y(k)
=
h(m)A.exp(jO(k-m))
+
h(q)A.exp(jc (k-q))
(7)
lz~~)l
2
=
ih(m)j
2 +
ih(q)l
2 +
A
(a)
2lh(m)
l.jh(
q)
l.cos(B'(k-m)
-V'
(k-q)
+ b -
c)
b y c son
espec i emen e
los
a gumen oa de h(m) y
h(q).
Se
obae a
que
pa a
e i a
modulaciones
de
ampli-
ud
debe
ocu i
que
:0
(no
ans: e encia
de
:in o ma-
ci6n
6
bien
que k
sea
i.gual
a
q.
La
demos aci6n
puede
8% ende ee
a
cualquie
n&me o
de
e apas.
Ee a
soluci6n,
se
basa
en
la
conaecuci6n
de
una
ae-
ial
de m6dulo
cons an s
y
lle a
a dos smbigUedades,
una
de
: ase
y
o a
de
e a do
en
iempo:
a/
csmbio de : ase: La
p ueba
de no
unicidad,
no
esp~
ci ica
la
ase
de
h(n),
po
lo
que
si
la
aoluci6n
de
pe-
sos
V
ea
sa is ac o ia,
ambien
lo
es
el
ec o
de
la
exp eg{on
(9),
pa a
cualquie
alo
de
!IS.
! =
~.e p(js<1)
La
unci6n
de
e o
J,
es
insensible·
a
las
a iacio-
nea
de~.
Es e
cambio de
ase
a bi a~o,
no
ep esen s
ningUn p oblem& en
FM,
donde no
se
equie e
sinc oniza
ansmiso
y
ecep o ,
:pe o
si
cons i
uye
un
p oblems
en
sis emas
cohe en es
(PM),
donde
hab a
que
es ima
el
c~
bio
de
ase
y
es a lo
a
la
ase
de
la
soluci6n
inal.
b/
e a do
en
iempo:
La
p ueba
de no
unicidad
con-
lle a
ambien
un
e a do
de iempo
a bi a io.
Bo
ep e-
sen s
g a es
p oblemas.
3.
Relaci6n
con
el
il o
de Wiene : Puede
eesc i-
bi se
y(k),
como
e(k)
+ y
(k),
donde
IY
(k)
I = 1 y
ie(k)l"'-1,
se
ob iene:
0 0
(10)
240
~
es
el
angulo
que o man y
(k)
y
e(k).
Cuando
es oe
dos
ul imoa
son
independien es:
0
J =
~.E(
ie(k)l
2)
(11)
La
exp esi6n
(11)
indica
que
en
la
ecindad
de
la
con e gencia
el
algo i
mo
CMA,
equi
ale
a
la
minimi
za-
ci6n
del
e o
cuad a ico
medio,
po
lo
que
la
eoluci6n
que
se
ob iene
con e ge
a
la
eoluci6n
op ima
de
Viene .
4.
Acci6n de
AGCs
El
c i e io
de
adap aci6n,
segUn
la
minimizaci6n
de
la
unci6n
de
e o
J,
hace
que
el
il o
ac ue
como
AGC
(con ol
au oma ico
de
ganancia).
Sin
emba go, a
eces
ea
con enien e
coloca
un
limi ado
p e io
al
il
o
ecap o
FIR,
pa a
limi
a
el
ma gen d,i
n!mico de
la
·
se ial
de
llegada,
en
caso
de que
sea
muy
g ande.
PRUEBAS
BEALIZADAS
Pa a
p o
ba
el
uncionamien o
del
a1go i
mo
CIU.,
se
ha
c eado
una
se ial
de
: ecuencia
de
po ado a
nula
y
Dl.Q.
dulada
en
Ql'SIC
(
e(k)).
Pos e io men e
se
ha
aimulado un
des anecimien o
selec i o
aob e
ella
y
se
le
ha
a iadido
u!
do
adi
i
o
gauaei
ano
n(k).
En
el
des anecimi
en
o
se-
lec i o,
loa
)Bdme os
a iables
son
la
a enuaci6n
(ex)
y
el
e aeo
)
de
la
se ial
in e e en e
espec o
a
la
di ec a.
La
aenal
c eada
ea:
x(k)
=
e(k)
+
o .x(k-~)
+
n(k)
(12)
La
con e gencia
y
el
deeajus e
inales
del
algo i
mo
dependen
del
pa ame o
de
con ol
J";
si
se
de
sea
indepen-
diza
al
sia ema
adap a i o
de
la
po encia
de
la
ael'ial
ecibida,
puede
hace se
~
adap 8 i o
segUn
(13).
(13)
N
ea
el
nUme o de
coe icien es
del
FiR y P
es
una
es imaci6n
de
la
po encia
de
llegada.
x
O o
pa ame o
a iable
ea
el
in e alo
de
mues eo
~
• Cabe
la
poaibilidad
de
hace
al
ecua1izado
accio-
n~do:
T =
(K/L)T
(T
es
el
iempo de
baudio,
K,
L
son
en-
e os)
p 121.
A1
a ia
la
elaci6n
T
/T,
se
elimina
ma-
yo
6 meno
in e e encia
in e s!mbo os
IIS.
En
odas
las
p uebas
ealizadae
se
a a
5
baudios
de sel'ial en
cads
i
e aci6n
y
se
u iliza
un
ec o
de
pe-
sos
inicial
equiTalen e
a
un
: il
o
paea- odos
~(o)
=
(l,o,o,
.• )
Se
a ian
loa
eiguien es
da oes
-
Relaci6n
se ial
uido
SNR.
- A
enuaci6n
y
e aeo
mul
icamino
(
!>(
y ) •
-
Pa ame o
de
con ol)(
•
-Tiempo de
mues eo
~
•
p
(14)
Pa a
compa a ,
se
ep esen s
g a icamen e,
1~
e olu-
ci6n
de
la
unci6n
de
e o
J
con
el
nUme o
de
i e acio-
nes
del
algo i
mo, en
escala
semi
logan
mica
6
en
escala
lineal,
segUn
loa
alo es
m!nimos
a1canzados.
En
lae
igu as
3,4
y 5
se
p esen a
la
e oluci6n
de
la
unci6n
de
e o
J,
en
ee
p uebaa
des in as.
-3." ------------'-----,
I
=
-
~
I .
..,._
'
'·
-H~.II'. --:--:-:--.------~;----__,__:,._,~~
0.00
10
0
.00
2CO.OO
300.00 400.00
~
Figu a
3.
J(dB.),
120000
i e aciones,
J-1::0,001,
no
uido.
~·~--------------------------------,
-!03.
-!V.~-----T~--~----~~----T---~
o.oo
!00.00
200.00 . 300.00
400
.• 00 5
Figu a
4.
J(
dB.),
120000 i
e aciones,
~
adap a :i o,
no
u!do
o.oo
100.00 200.00 300.00 . 400.00
5o
Figu a
5.
J(
dB.)
20000 i
e acionea,
Jl =
0,
001,
SNR
=
10
dB.
Las
ee
p uebaa
ea en
ealizadas
pa a
la
siguien e
dis o si6n
de
canal:
x(k)
=
s(k)
+
0,9x(k-l)
+
n(k)
(15)
Bn
ningona
de
ellas
se
ha
u ilizado
ecualizado
ac
cionado.
Las
ee
es an
en
escala
aemiloga !mica.
Las
dos
p ime as,
igu aa
3
~
4,
co esponden
a
sendaa
p ue-
bas
sin
u!do
adi i o
(nlk)=
0).
El
iempo
de
con e gen-
cia
ea
mucho meno
en
la
igu a
4,
debido
a
que
el
pa a-
me o
de
con ol)!
ea
adap a i o.
En
la
: igu a
5,
el
a-
lo
minimo
alcanzado
po
la
unci6n
de
e o ,
ea
mucho
mayo
que
en
loa
dos
casos
an e io es,
debido
a
la
p e-
sencia
de
u:!do
adi i o
gauasiano.
Po
con a,
el
iempo
de
con e gencia
del
algo i
mo
pa a
dicha
p ueba
( ig.
5)
ea
mucho
meno .
En
la
abla
1,
se
halls
la
aae
en
adianea
de
10
muea as
de
ae al
emi
ida
(
s(k))
y
ecualizada
(y(k)),
s_g_
gUn
las
condicionea
de
la
: igu a
4.
241
k
a(k)
y(k)
1
1,
250000
PI
1,
345923
PI
2
1,250000
PI
1,
345922
PI
3
1,250000
PI
1,
345923
PI
4
1,750000
PI
1,845923
PI
5
0,250000
PI
O,
345922
PI
6
1,750000
PI
1,845923
PI
7
0,750000
PI
0,845923
PI
8
O,
250000
PI
O,
345923
PI
9
0,750000
PI
0,845923
PI
10
1,
250000
PI
1,
345923
PI
~abla
1.
Faae
de 10
muea aa
de
ae ial
emi ida
(s(k))
y
se ial
ecibida
y
ecualizada
(y(k)
),
pa :i.endo
de
un
il o
ya
adap ado.
La
ecepci6n
es
co ec a,
conside ando
( e
abla
1)
que
el
conjun o
canal- il o
ha
a iadido
una
suma de
ase
cona an e
de
0,095
PI
adianes.
: (k)
=
s(k).exp(j.0,095
PI)
(16)
Es a
ase
cons an s,
se
ha
calculado
ambien
a
pa -
i
de
la
unci6n
de
sns 'e encia
del
il
o
FIR
ob eni
da
y
se
ha
comp obado
que
coincide
con
la
deducida
de
la
abla
1.
Se
ha
is o
en
apa ados
an e io es,
que
es e
aumen
o
de
ase
ea
una
de
las
p opiedades
del
algo i
mo
CMA
(ambigUedad
de
: ase).
Un
modo
posible
de
elimina
e_g_
e
p oblems,
es
abaja
con
se lales
que
ll n en
la
in o,!:
maci6n
en
la
di e encia
de
i'ase
(
di: e encial
QPSX:)
en
1~
ga
de
lle a
la
in o maci6n
ea
el
alo
de
la
p opia
~
se
( QPSK).
CONCLUSIONES
Se
ha
lle ado
a
cabo
el
desa ollo
e6 ico
y
pues a
en
p ac ice
de
un
algo i
mo
pa
a
ecualizado es
adap a i-
os,
en
el
abajo
con
se iales
de
en ol en e
cons an s,
dis o sionadas
po
dea anecimien os
selec i os.
!!."al
al~
i
mo
iene
la
en ajosa
p opiedad,
de
que
no necel!li.
a
conoce
p e iamen e
el
alo
de
la
se ial
que
se
es !
em!,
iendo,
p~ a
ealiza
la
adap aci6n,
aino
que
an
solo
se
equie e
conoce
la
o ma
de
onda
de
la
se ial
anam!_
ida.
U :i.liza
una
ecnica
de
g adien s
descenden s.
Se
ha
comp obado
con
una
seiial
QPSK,
que
la
p esencia
de
u!do
adi i o
gaussiano,
ai'ec a
al
buen
uncionamien o
del
algo i mo,
mien as
que
en
ausencia
de
u!do,
el
al-
go i
mo
adap a
de : o ma
6p ima.
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