CMA algoritmos de módulo constante en ecualización adaptativa

0. CMA ALGORITMOS DE MODULO CONST.ANTE EN ECUALIZACION AD.Al'TATIVA URSI 1 86 Ma ga i a Cab e a y Miguel A. Lagunas T.T.I. P ocesado de Senal en Comunicaciones E.T.S.I.Telecomunicaci6n. Apdo. 30002; 08080 Ba celona ABSTRACT An adap a i e digi al 'il e ing algo i hm ha can compensa e o bo h equency-selec i e mul ipa h and in e e- ence on cons an en elope modula ed signals is p esen ed. The epo ed algo i hm adap s he coe icien s o a ini- e-imoulse- esponse (FIR) digi al il e . The main adYan age o he :~IA algo i hm esides ha i doesn' need ai- nig o e e ence signal in o de o pe om. The adquisi ion o acld.ng; hus, i is con inuosly adap ed w:i. hou u he needs as DFE me hods and e e ences which a dly cons ain he nobias ess o he Wiene app oach. INTiOIDCCION En es e a !culo se p esen s un algo i mo de il a- do digi al adap a i o, el cual compensa e ec os de die- o sion mul icsmino y o os enomenos de in e e encias en senales de en ol en e cons an e, an o en modulaci6n de ecuencia como en modulaci6n de ase. El me odo ne- cesi a un conocimien o ap i.o :!e ico sob e la o ma de o~ da de la senal ansmi ida ( su en ol en e cons an e) y con ello desa olla una clase de algo i mos, pa a adap- a las ganancias de lo s Slllpli icado es de un il o e- cap o digi al de espaes a impulsional ini a (FIR). La soluci6n alcanzada po el il o ecep o , ea la unci6n de ans e encia in e sa a la que ha p oducido el en6m~ no de des anecimien o selec i e en el canal o medio de ansmisi6n. Pa a adap a la unci6n de ans e encia del 'il o, el algo i mo u iliza el p ocedimien o de g adien e des- cenden s. En la unci6n de e o que se minimiza, se co~ pa a el m6dulo de la senal ecibida y ecualizada con una senal cons an e, la en ol en e deseada. En la mayo :!a de loa me odos clasicos, in e iene el e o ins an aneo en la unci6n de e o , lo que implica que en la adap acion se equie e conoce la se ial deseada, ea deci , la se ial emi ida y sin con amina . Es e conocimien o ep esen s£ na des en aja de loa algo i mos clasicos, en e al ipo de algo i mo al que pe enece el que aqu! se a a a a o En las secciones siguien es, se desc ibe un algo i - mo adap a i o pa icula de m6dulo cons an s (CNA) y al- gunas de sus p opiedades. Pos e io men e se p esen an ~ ias p uebas ealizaP.as con dicho algo i mo, as expli- ca la c eacion del escena io y del ipo de se 1al con que se a a abaja ; ambien se enume an odos loa pa i me os que se pueden a ia en e p uebas y que pe mi en alo a el uncionamien o del algo i mo. ADAPTACION Y PROPIEDADES IMPORTANTES DEL CMA Desc ipciones basicas: Suponemos que x(k) ea una se ial anal! ica mues eada Ill, modulada en PM y dis o sionada po un des anecimiea o selec i e con posible u!do adi i o gaussiano. nicha senal se aplica a la en ada de un il o ecep o FIR, ans .e sal, de coe icien ee ajus ables wi (k), cuyo es- quema puede e se en la igu a 1. Vec o de en ada: X(k) = (x(k),x(k-l), •• x(k-N+l)) Vec o de coe icien ea: W(k)=(w0 (k),w 1 (k),.wN_ 1 (k)) Salida del il o: y(k) =!(k).X(k) x(k) x(k-1) x(k-2) x(k-N+l) T T -------GJ]_ ~····~N-1 y(k) Figu a 1. nia,; ama del FIR ecep o . El ndice k de loa coe icien es indica que es os son ajus ables en iempo, el ajus e se ealiza una ez po cada nue a nues a. El obje i o de es e il ado adap a- i~o, ea alcanza una o ma de y(k) al, que en~a un m£ URSI'86 239 dulo ins an aneo cons an e. Ello se consigue eligiendo el ec o de coe icien es X, de al modo que minimice u- na medida de la a iacion del m6dulo de la se ial y(k), al medida es una 'unci6n de inida posi i a que puede I@ ne aliza se segUn (1). E ea el ope ado espe anza es~adis ica. En es e a !culo se ha omado p=2, q=2, ~ =1. Es os alo ea dan luga a la aiguien e Unci6n de e o ins ~ aneo. ( 2) El obje i o es alcanza X al que minimice J, lo que equi ale a consegui jy(k)l an p 6ximo a la unidad como sea posible. Algo i mo adap a i o: Dada la unci6n de e o J y asumida una ee uc u a del il o ecep o , hay muchos p ocedimien os posibles pa a encon a una espuea a impulaional ap opiada. Pa a acili a la implemen aci6n del ha dwa e, aqu! se emple~ a un algo i mo de g adien e descenden e. En !a icula se asume que~ ea adap ado segUn la ecuaci6n l3), donde V J (ope ado g adien e de J espec o a los elemen os · d:l ec o !), se es ima po el alo ins an &neo Vw 3 k· !(k+l) = ,!(k) - ·1,lk Ope ando sob e la unci6n de e o se llega a la si- guien e exp esi6n, pa a la es imaci6n de su g adien e: h 2 l iwJ = ( jy(k)l -l).y(k).!, (k) (4) Si ademas se de ine el e mino eecala e(k) BegUn (5) ( 5) Uniendo (3), (4) y (5) se llega a (6) ,.J * ,!(k+l) = ,!(k) -./' .E(k) ·! (k) (6) Dos cosaa impo an es pueden se di ec amen e no adas en es e algo i mo CMA. La p ime s de ellas es su apa en e simila idad con la e si6n compleja del bien conocido al go i mo LMS. En ealidad si e(k) = y{k) - d(k) se sua i= uye po E(k), donde d(k) ea una se ial e e encia aplic~ da ex e namen e, se ob iene la e sion compleja LMS. El segundo aspec o in e esan e del algo i mo CHA es que no equie e una se ial e e encia d(k). En luga de u iliza una o ma de onda d(k), se u iliza una in o macion ap i.Q.. :!s ica eob e la medida I y(k) I jn ausencia de dis o si6n mul ic amino. Se obse a que si z; (k) ea igual a ce o, jy(k)j es igual a la unidad en sis emas de ansmisi6n de en ol en e cons an e. La impo ancia p ac ica del p ime pun= o obse ado, ea que el ha dwa e de un algo i mo LMS, puede ap o echa se pa a un algo i mo CMA, simplemen e cambiando e(k) po E(k) o Ill Symposium Nacional del Comi e Espa iol de la URSI P opiedades: 1. Fo ma.de la unci6n de e o : La igu a 2 mues a J como una Unci6n de las componen es eal e imagina ia de y(k). J ea una supe icie hipe boloide, que alcanza un m!nimo de alo ce o, en odos loa pun os de un c! c~ lo de adio unidad cen ado en el o igen. Dos condicio- nes pue.den lle a a la ai uaci6n de gxadien e ce o, don- de el algo i mo deja de adap a . La p ime a de ellas es el con o no !y(k)l =1, lo que ep esen s la con e gencia deeeada. La segunda es el pun o y(k) = (0,0). Es a ul i- ma no cons i uye un p oblema p ac ico ya que ea un pun o de equilib io ines able. Pa a e i a p oblemas, ea con ~ nien e no empeza la adap aci6n con un ec o de pesos nulo. Una inicializaci6n adecuada pod !a ae un il o pasa- odo. Re(y(k)) Im(y(k)) Figu a 2. Funci6n de e o J como unci6n de y(k). 2. l o unicidad: El p ocedimien o de m6dulo cons an e es con enien e cuando se p oducen a iaciones inciden s- lea de ampli u d. En ee e apa ado se supond a que la se- ial e(k) = ~.e p(j~(k)), ea una o ma de onda de m6dulo cone an e A 1 que con olucionada con la Unci6n de an~ e encia h(n) (con oluci6n de canal y il o) da luga a la se ial de salida y(k). Se demuea a que y(k) ea de m6- dulo cons an s s! y solo e! h(n) iene una nnica e apa no nula. Pa a demos a lo supond emoe que h(n) iene dos e apaa no nulae. y(k) = h(m)A.exp(jO(k-m)) + h(q)A.exp(jc (k-q)) (7) lz~~)l 2 = ih(m)j 2 + ih(q)l 2 + A (a) 2lh(m) l.jh( q) l.cos(B'(k-m) -V' (k-q) + b - c) b y c son espec i emen e los a gumen oa de h(m) y h(q). Se obae a que pa a e i a modulaciones de ampli- ud debe ocu i que :0 (no ans: e encia de :in o ma- ci6n 6 bien que k sea i.gual a q. La demos aci6n puede 8% ende ee a cualquie n&me o de e apas. Ee a soluci6n, se basa en la conaecuci6n de una ae- ial de m6dulo cons an s y lle a a dos smbigUedades, una de : ase y o a de e a do en iempo: a/ csmbio de : ase: La p ueba de no unicidad, no esp~ ci ica la ase de h(n), po lo que si la aoluci6n de pe- sos V ea sa is ac o ia, ambien lo es el ec o de la exp eg{on (9), pa a cualquie alo de !IS. ! = ~.e p(js<1) La unci6n de e o J, es insensible· a las a iacio- nea de~. Es e cambio de ase a bi a~o, no ep esen s ningUn p oblem& en FM, donde no se equie e sinc oniza ansmiso y ecep o , :pe o si cons i uye un p oblems en sis emas cohe en es (PM), donde hab a que es ima el c~ bio de ase y es a lo a la ase de la soluci6n inal. b/ e a do en iempo: La p ueba de no unicidad con- lle a ambien un e a do de iempo a bi a io. Bo ep e- sen s g a es p oblemas. 3. Relaci6n con el il o de Wiene : Puede eesc i- bi se y(k), como e(k) + y (k), donde IY (k) I = 1 y ie(k)l"'-1, se ob iene: 0 0 (10) 240 ~ es el angulo que o man y (k) y e(k). Cuando es oe dos ul imoa son independien es: 0 J = ~.E( ie(k)l 2) (11) La exp esi6n (11) indica que en la ecindad de la con e gencia el algo i mo CMA, equi ale a la minimi za- ci6n del e o cuad a ico medio, po lo que la eoluci6n que se ob iene con e ge a la eoluci6n op ima de Viene . 4. Acci6n de AGCs El c i e io de adap aci6n, segUn la minimizaci6n de la unci6n de e o J, hace que el il o ac ue como AGC (con ol au oma ico de ganancia). Sin emba go, a eces ea con enien e coloca un limi ado p e io al il o ecap o FIR, pa a limi a el ma gen d,i n!mico de la · se ial de llegada, en caso de que sea muy g ande. PRUEBAS BEALIZADAS Pa a p o ba el uncionamien o del a1go i mo CIU., se ha c eado una se ial de : ecuencia de po ado a nula y Dl.Q. dulada en Ql'SIC ( e(k)). Pos e io men e se ha aimulado un des anecimien o selec i o aob e ella y se le ha a iadido u! do adi i o gauaei ano n(k). En el des anecimi en o se- lec i o, loa )Bdme os a iables son la a enuaci6n (ex) y el e aeo ) de la se ial in e e en e espec o a la di ec a. La aenal c eada ea: x(k) = e(k) + o .x(k-~) + n(k) (12) La con e gencia y el deeajus e inales del algo i mo dependen del pa ame o de con ol J"; si se de sea indepen- diza al sia ema adap a i o de la po encia de la ael'ial ecibida, puede hace se ~ adap 8 i o segUn (13). (13) N ea el nUme o de coe icien es del FiR y P es una es imaci6n de la po encia de llegada. x O o pa ame o a iable ea el in e alo de mues eo ~ • Cabe la poaibilidad de hace al ecua1izado accio- n~do: T = (K/L)T (T es el iempo de baudio, K, L son en- e os) p 121. A1 a ia la elaci6n T /T, se elimina ma- yo 6 meno in e e encia in e s!mbo os IIS. En odas las p uebas ealizadae se a a 5 baudios de sel'ial en cads i e aci6n y se u iliza un ec o de pe- sos inicial equiTalen e a un : il o paea- odos ~(o) = (l,o,o, .• ) Se a ian loa eiguien es da oes - Relaci6n se ial uido SNR. - A enuaci6n y e aeo mul icamino ( !>( y ) • - Pa ame o de con ol)( • -Tiempo de mues eo ~ • p (14) Pa a compa a , se ep esen s g a icamen e, 1~ e olu- ci6n de la unci6n de e o J con el nUme o de i e acio- nes del algo i mo, en escala semi logan mica 6 en escala lineal, segUn loa alo es m!nimos a1canzados. En lae igu as 3,4 y 5 se p esen a la e oluci6n de la unci6n de e o J, en ee p uebaa des in as. -3." ------------'-----, I = - ~ I . ..,._ ' '· -H~.II'. --:--:-:--.------~;----__,__:,._,~~ 0.00 10 0 .00 2CO.OO 300.00 400.00 ~ Figu a 3. J(dB.), 120000 i e aciones, J-1::0,001, no uido. ~·~--------------------------------, -!03. -!V.~-----T~--~----~~----T---~ o.oo !00.00 200.00 . 300.00 400 .• 00 5 Figu a 4. J( dB.), 120000 i e aciones, ~ adap a :i o, no u!do o.oo 100.00 200.00 300.00 . 400.00 5o Figu a 5. J( dB.) 20000 i e acionea, Jl = 0, 001, SNR = 10 dB. Las ee p uebaa ea en ealizadas pa a la siguien e dis o si6n de canal: x(k) = s(k) + 0,9x(k-l) + n(k) (15) Bn ningona de ellas se ha u ilizado ecualizado ac cionado. Las ee es an en escala aemiloga !mica. Las dos p ime as, igu aa 3 ~ 4, co esponden a sendaa p ue- bas sin u!do adi i o (nlk)= 0). El iempo de con e gen- cia ea mucho meno en la igu a 4, debido a que el pa a- me o de con ol)! ea adap a i o. En la : igu a 5, el a- lo minimo alcanzado po la unci6n de e o , ea mucho mayo que en loa dos casos an e io es, debido a la p e- sencia de u:!do adi i o gauasiano. Po con a, el iempo de con e gencia del algo i mo pa a dicha p ueba ( ig. 5) ea mucho meno . En la abla 1, se halls la aae en adianea de 10 muea as de ae al emi ida ( s(k)) y ecualizada (y(k)), s_g_ gUn las condicionea de la : igu a 4. 241 k a(k) y(k) 1 1, 250000 PI 1, 345923 PI 2 1,250000 PI 1, 345922 PI 3 1,250000 PI 1, 345923 PI 4 1,750000 PI 1,845923 PI 5 0,250000 PI O, 345922 PI 6 1,750000 PI 1,845923 PI 7 0,750000 PI 0,845923 PI 8 O, 250000 PI O, 345923 PI 9 0,750000 PI 0,845923 PI 10 1, 250000 PI 1, 345923 PI ~abla 1. Faae de 10 muea aa de ae ial emi ida (s(k)) y se ial ecibida y ecualizada (y(k) ), pa :i.endo de un il o ya adap ado. La ecepci6n es co ec a, conside ando ( e abla 1) que el conjun o canal- il o ha a iadido una suma de ase cona an e de 0,095 PI adianes. : (k) = s(k).exp(j.0,095 PI) (16) Es a ase cons an s, se ha calculado ambien a pa - i de la unci6n de sns 'e encia del il o FIR ob eni da y se ha comp obado que coincide con la deducida de la abla 1. Se ha is o en apa ados an e io es, que es e aumen o de ase ea una de las p opiedades del algo i mo CMA (ambigUedad de : ase). Un modo posible de elimina e_g_ e p oblems, es abaja con se lales que ll n en la in o,!: maci6n en la di e encia de i'ase ( di: e encial QPSX:) en 1~ ga de lle a la in o maci6n ea el alo de la p opia ~ se ( QPSK). CONCLUSIONES Se ha lle ado a cabo el desa ollo e6 ico y pues a en p ac ice de un algo i mo pa a ecualizado es adap a i- os, en el abajo con se iales de en ol en e cons an s, dis o sionadas po dea anecimien os selec i os. !!."al al~ i mo iene la en ajosa p opiedad, de que no necel!li. a conoce p e iamen e el alo de la se ial que se es ! em!, iendo, p~ a ealiza la adap aci6n, aino que an solo se equie e conoce la o ma de onda de la se ial anam!_ ida. U :i.liza una ecnica de g adien s descenden s. Se ha comp obado con una seiial QPSK, que la p esencia de u!do adi i o gaussiano, ai'ec a al buen uncionamien o del algo i mo, mien as que en ausencia de u!do, el al- go i mo adap a de : o ma 6p ima. REFERENCIAS Ill J .R. 'l' eichle and B.G. Agee. "A In App oach o Hu.!, ipa h Co ec ion oi' Cons an :Modulus Signals" IEEE T ans. on Acous ics, Speech and Signal P ocessing, Vol ASSP-3l,N0.2, ap il 1983. j2IG. Unge boeck. "F ac ional Tap-Spacing Equalize and Consequences o Clock Reco e Y in Da a Modems" IEEE T ans. on Acous ••• , Vol COM-24,N0.8, augus 1976.