Au o de con ac o: S e ano Zaghi
e-mail: [email p o ec ed]
Año 2018
h p:// e is a.aemac.o g/ ISSN: 2531-0739
ol 2, nº 4, pág. 70-79
S. Zaghia, X. Ma íneza, R. Rossia
a Cen o In e nacional de Mé odos Numé icos en Ingenie ía (CIMNE), Ba celona, España
Nue o Modelo Disc e o Mul iescala (DM) pa a análisis no-lineales de
ma e iales compues os
His o ia del a ículo:
Recibido 5 de Mayo 2017
En la e sión e isada 5 de
Mayo 2017
Acep ado 31 de Mayo
2017
Accesible online 21 de
Junio 2017
En los úl imos años el es udio del compo amien o de los ma e iales a ni el mic oscópico ha aumen ado
signi ica i amen e en é minos de diseño de ma e iales de al as p es aciones. A pesa de los ecien es
a ances de o denado es de ele ado endimien o, la a
plicación de mé odos numé icos mul iescala pa a
simula g andes es uc u as aún equie e cos es compu acionales p ohibi i os. És e abajo p esen a
un
p ocedimien o capaz de p edeci la espues a mecánica no-
lineal de los ma e iales compues os con el in
de educi el cos e compu acional necesa io pa a el análisis numé ico
de es uc u as complejas. La
solución de la es uc u a mac oscópica a a és del mé odo mul iescala de p ime o den (FE2) se
sus i ui á po un modelo disc e o ob enido de un análisis del compo amien o de un
Volumen
Rep esen a i o Elemen al (RVE) del ma e ial
. A a és de las de iniciones de un pa áme o de daño
equi alen e (
), unción del es ue zo global en la mic oescala, se ealiza án una se ie de ensayos
i uales en con ol de de o mación, almacenando el es ado de ensión-
de o mación alcanzado po
cie os ni eles de  en una base de da os.
Analizando la e olución de la ac u a en los ma e iales
compues os se puede obse a como el égimen no-lineal se alcanza solo en algunos elemen os
de la
es uc u a.
Es po ello que se plan ea un p ocedimien o, el Disc e e Mul iscale Th eshold Su ace
(DMTS), en el que el análisis del RVE si e pa a ob ene la supe icie en la que empieza el daño (>0)
.
Es a ley pe mi e sabe si pa a un de e minado es ado enso-
de o macional el ma e ial ha dañado, sin
necesidad de esol e el mic o-modelo. Una ez iniciado el daño,
se p opone de gene a de o ma
adap i a un RVE con el que ob ene el compo amien o dañado del ma e ial. Luego, el mé odo
FE2 se
u iliza á solo en los pun os de in eg ación que hayan dañado. Es e abajo demues a que
el mé odo FE2
puede se emplazado po un Modelo Disc e o
Mul iescala, ep esen a i o del ma e ial compues o,
ob eniendo mejo as compu acionales signi ica i as.
Palab as cla e:
Mul iescala
Base de Da os
Op imización
No el Disc e e Mul iscale Model (DM) o non-linea analysis in
composi e ma e ials
Keywo ds:
Mul iscale
Da abase
Op imizacion
In ecen yea s, he s udy o he beha io o ma e ials a he mic oscopic le el has inc eased signi ican ly
in e ms o design o high-pe o mance ma e ials. Despi e ecen ad ances in high-
pe o mance
compu e s, he applica ion o mul iscale nume ical me
hods o simula e la ge s uc u es s ill equi es
p ohibi i e compu a ional cos s. The pu pose o his wo k is o p o ide a p ocedu e
capable o p edic he
nonlinea mechanical esponse o composi e ma e ials unde mono onic inc emen al load o educe he
compu a ional cos equi ed o he nume ical analysis o complex s uc u es. The solu ion o he
mac oscopic p oblem h ough he i s o de mul iscale me hod (FE2) will be eplaced by a
Disc e e
Mul iscale Model (DM) cha ac e is ic o he Rep esen a i e
Volume Elemen (RVE). Th ough he
de ini ions o an equi alen damage pa ame e (
), unc ion o he global s ess a he mic oscale, a
se ies o i ual es s in de o ma ion con ol will be ca ied ou , s o ing he s ess-
s ain s a e eached by
ce ain le els o  in a Da abase.
Analyzing he e olu ion o he ac u e in he composi e ma e ials can
be obse ed as he non-linea egime is eached only in some elemen s o he s uc u e. The e o e,
a
p ocedu e, he Disc e e Mul iscale Th eshold Su
ace (DMTS), in which he RVE analysis is used o
ob ain he su ace a which he damage begins (>0)
is p oposed. This law allows o know i o a
ce ain s ess-s ain s a e he ma e ial has damaged, wi hou needing o sol e he mic o-model. Once
he
damage is ini ia ed, i is p oposed o gene a e an RVE only a he in eg a ion poin s ha ha e been
damaged. This wo k will demons a e how he FE2 me hod can be eplaced by a Disc e e
Mul iscale
Model, ep esen a i e o he composi e ma e ial, ob aining signi ican compu a ional imp o emen s.
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 71
In oducción
El aumen o de complejidad de la mic oes uc u a in e na de
los ma e iales compues os hace que en los úl imos años los
mé odos numé icos basados en elemen os ini os ep esen en
una solución al p oblema de como analiza a ni el
mic oscópico el compo amien o de es os ma e iales. De
hecho, la sus i ución de análisis expe imen ales po
simulaciones i uales pe mi e ob ene esul ados
compa ables de o ma más económica. Pa a el análisis del
compo amien o de es os ma e iales se han desa ollado
a ias écnicas como la Simulación Numé ica Di ec a (DNS)
que u iliza el Mé odo de Elemen os Fini os a una escala pa a
modela la mic oes uc u a. Es e ipo de simulación ep esen a
el ni el más al o de p ecisión, pe o debido a la disc e ización
explíci a de la mic oes uc u a, la simulación de es uc u as
complejas de g andes dimensiones iene cos es
compu acionales p ohibi i os. En el caso pa icula de los
ma e iales compues os, se desa olla on o mulaciones
simpli icadas con las que educi el cos e del análisis, en e
ellas es á la homogenización enomenológica, o eo ía de
mezcla clásica [1], donde la hipó esis undamen al es que
pa a odos los componen es del compues o la de o mación
sea la misma. O o ipo de homogeneización enomenológica
es la eo ía de mezclas Se ial/Pa alelo (SP) [2,3], que
conside a la dis ibución opológica de cada uno de los
componen es que componen el compues o. Olle [4] y O e o
[5] ex endie on es a eo ía a los compues os con ma iz
e o zada y nano ubos. O as écnicas pe mi en de analiza a
ni el mic oscópico el compo amien o de los ma e iales que
componen una es uc u a son los Mé odos Mul iescala [6,7].
Es os mé odos se basan en la solución de a ios análisis
anidados, cada uno en una escala di e en e, pa a ob ene la
espues a global del sis ema que se quie e analiza . Es os
mé odos han llegado a acopla escalas a ómicas con escalas
es uc u ales [8].
En el caso de es uc u a de ma e iales compues os, el
compo amien o de la mic oes uc u a se de ine como la
solución de un Elemen o de Volumen Rep esen a i o (RVE) o
mic oes uc u a del ma e ial compues o. En la mayo ía de los
casos, es o consis e en ob ene las ensiones en la mac o-
escala a pa i de un modelo numé ico mic o del ma e ial
compues o, donde las condiciones de bo de se de inen desde
la mac o. Sin emba go, a pesa del aumen o de las
capacidades compu acionales ac uales, ealiza un análisis
mul iescala de una es uc u a eal, eniendo en cuen a las no
linealidades ma e iales, sigue siendo una a ea muy ca a en
é minos de cos e compu acional [9]. Va ios modelos de
educción se han desa ollado pa a la op imización de ese ipo
de análisis como Response Su ace Me hod (RSM) [10],
P ope O ogonal Decomposi ion (POD) [11] y o os [12] [13].
Analizando el ni el mac o, podemos obse a que en los
casos más comunes la ac u a empieza en una zona muy
pequeña de la es uc u a. Es o signi ica que la mayo pa e del
dominio sigue en égimen lineal-elás ico y no equie e el
cálculo de un RVE. En es a línea, el modelo p opues o po
O e o e al. [14] se basa en la de inición de una unción de
ac i ación no lineal (NLAF). Los au o es de inen una unción
de umb al, basada en la ene gía de de o mación eque ida po
el RVE pa a alcanza su ensión de allo. El p ocedimien o
equie e un p ime análisis de los di e en es RVE de la
es uc u a, bajo las di e en es ca gas que se les aplican. El
cos e compu acional de es a ope ación se educe g acias a un
algo i mo Sma Fi s S ep (SFS). Pos e io men e, el mé odo
sólo analiza los RVE que alcanzan la non-linealidad. La
p incipal en aja de es e mé odo es que pe mi e ealiza el
análisis no lineal de la es uc u a, con un cos e compu acional
azonable. En [14] se demues a que puede educi el cos e
compu acional del análisis en más de un 98% en compa ación
con un p ocedimien o Mul iescala Comple o. El p oblema de
es e mé odo su ge cuando que emos cambia la es uc u a
mac o, o las ca gas aplicadas, u ilizando el mismo RVE. En
ese caso el mé odo no puede u iliza ningún da o de los
calculados an e io men e y se debe de e mina nue amen e la
unción de ac i ación no lineal, con el consiguien e cos e
compu acional.
O a me odología pa a la op imización de es e ipo de análisis
es el p ocedimien o de simulación a up u a. En es e caso, la
mac oes uc u a se simula linealmen e u ilizando un enso de
igidez ob enido a pa i de un análisis inicial del RVE. Una ez
que ha e minado la mac o-simulación, se pueden localiza los
elemen os con campos de es ue zos de de o mación más
g andes y se puede analiza el RVE en esas condiciones. Es e
análisis p opo ciona á la ca ga en la que se p oduce el allo.
La p incipal en aja de es e en oque es que en la mayo ía de
los campos de ingenie ía el in e és p incipal es ob ene la
ca ga de allo, y no el endimien o de la es uc u a en campo
no-lineal.
El p opósi o de es e abajo es p opo ciona un p ocedimien o
capaz de p edeci la espues a mecánica no lineal de los
ma e iales compues os con el in de educi el cos e
compu acional necesa io pa a el análisis. A las o mulaciones
desa olladas les llama emos Modelos Mul iescala Disc e os
(Disc e e Mul iscale, DM). És os u ilizan un Da a Base (DB)
calculado a p io i que de ine el compo amien o del RVE. A
a és de la de inición de un pa áme o de daño equi alen e
(), unción de la ensión global esul an e desde la
mic oescala, se ealizan una se ie de ensayos i uales del
RVE, con olados po el campo de de o maciones, y los
esul ados se almacenan en el DB. Los esul ados a gua da
son el es ado de ensiones y de o mación homogenizados
alcanzados en cie os ni eles de . Finalmen e, la solución
de la es uc u a mac oescala a a és del Mé odo Mul iescala
de P ime O den (FE2) se á eemplazada po la in e polación
de los da os almacenados en el DB. El mé odo p opues o, el
Disc e e Mul iscale Th eshold Su ace (DMTS) ob iene el
es ado enso-de o macional pa a el que el ma e ial daña. En
es e momen o el modelo DM es sus i uido po un RVE.
En es e abajo se ha p es ado especial a ención a la c eación
y alidación de la base de da os. Pos e io men e se desc ibe
el modelo DMTS y su aplicación al es udio de una es uc u a
comple a compa ando los iempos de cálculo y los esul ados
con los que se ob end ían con un mé odo FE2.
Fo mulación Mul iescala de p ime
o den
Es a sección esume los p incipales concep os y ecuaciones
de la o mulación de Mul iescala de p ime o den [14]. És a se
basa en la ob ención de la espues a de la es uc u a
mac oscópica a pa i del análisis de un elemen o de olumen
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 72
ep esen a i o (RVE) que de ine el ma e ial a ni el de
mic oescala.
En un p ocedimien o de múl iple escala, la de o mación
ob enida al analiza la es uc u a mac oscópica se u iliza pa a
de ini las condiciones de con o no en el p oblema en la
mic oescala. La solución del p oblema en la mic oescala, en
ales condiciones, ac úa como una ley cons i u i a equi alen e
pa a la mac oescala, ya que p opo ciona pa áme os
ma e iales como la igidez y las ensiones. Es a ley cons i u i a
equi alen e se u iliza en odos los pun os de Gauss del
modelo mac oscópico pa a ob ene la espues a global de la
es uc u a. En caso de un compo amien o no lineal del
modelo mic oscópico, el RVE debe esol e se pa a di e en es
condiciones de con o no has a que ambas escalas alcancen el
equilib io, asegu ando la consis encia en e las soluciones de
mic o y mac oescala.
La écnica de homogeneización de p ime o den u ilizada
asume una sepa ación de escala de la mic o a la mac o-
escala, donde la longi ud ca ac e ís ica de la mic oescala se á
mucho meno que la longi ud de los elemen os
mac oscópicos. El p ocedimien o supone pequeños
desplazamien os y un compo amien o es uc u al cuasi
es á ico en ambas escalas, mac o y mic o.
El algo i mo p opues o puede de ini se en es ases
p incipales. El p ime paso es la ansición desde mac o a
mic o, donde la de o mación mac oscópica en cualquie pun o
de la malla mac oscópica se ans ie e a la mic oescala.
Pos e io men e, el p oblema de condición de on e a (BVP) se
esuel e en la mic oescala pa a ob ene su espues a
mecánica. Finalmen e, los pa áme os de mac oescala se
ob ienen a a és de la ansición desde mic o a mac o (Figu a
1). Se u iliza á el subíndice, pa a dis ingui las dos escalas, μ
pa a el mic o dominio (RVE) y m pa a el mac o dominio.
En el ni el mac o, el pun o de pa ida pa a un mé odo de
homogeneización compu acional basado en la cinemá ica es
la suposición de que el enso de de o mación mecánica, ,
en cada pun o del dominio en la mac oescala, Ω (donde la
posición se de ine a a és del ec o ) Se puede ob ene
po un cie o ins an e como el p omedio de olumen del
campo de de o mación mecánica mic oscópica, , de inido en
cada pun o del dominio de la mic oescala, Ω (donde la
posición se de ine a a és del ec o ) y en el mismo
ins an e como:
(,)=
∫,
Ω (1)
El campo mic oscópico de de o mación puede exp esa se
como el g adien e simé ico del campo de desplazamien o
mic oscópico, =(,):
(,)=
∫
Ω (2)
Sin pé dida de gene alidad, podemos descompone el
desplazamien o en la mic oescala como:
,=(,)∙−+
, (3)
Donde 
, son los desplazamien os y sus luc uaciones
con espec o a los campos medios y  (el cen oide de la
mic oescala) en cada ins an e .
Finalmen e, ambién enemos que de ini las condiciones de
con o no co espondien es en la mic oescala. Pa a los campos
de luc uación de desplazamien o, aplicamos condiciones de
con o no pe iódicas, ya que gene almen e p opo cionan una
espues a in e media y más exac a en compa ación con o o
ipo de condiciones de con o no, al como se desc ibe en [15]
[16] [17] [18]:


,=

, ∀ 
,
 ∈ Ω (4)
Siendo  y  dos pun os opues os en el lími e RVE Ω.
Pa a el p oblema mecánico, el p incipio Hill-Mandel de mac o-
homogeneidad es ablece que la po encia de ensión
mac oscópica, p oduc o del enso de ensión mac o, , y la
asa de de o mación mac o, , debe se igual a la po encia
de ensión mic oscópica sob e el p omedio RVE en el dominio
de olumen. Po lo an o:
:=
∫:
Ω (5)
El enso de es ue zo mac oscópico homogeneizado puede
ob ene se como el campo de es ue zo mic oscópico del RVE
p omediado en el olumen como:
=
∫,
Ω (6)
La elación mac oscópica cons i u i a de inida po las
p opiedades homogeneizadas del RVE puede ob ene se
después de la solución de la mic oescala.
Suponiendo que el equilib io de la mic oescala se exp esa
como:
∫:

Ω=0 (7)
Como se desc ibe en [19] y [20], el enso cons i u i o
homogeneizado  puede de ini se como:
=
∫
Ω (8)
Donde  es el enso cons i u i o del RVE.
La e aluación del enso cons i u i o homogeneizado se
ealiza con un mé odo de pe u bación. Pa a cada columna j
del enso cons i u i o se aplica al RVE una pequeña
pe u bación de de o mación (δ) pa a ob ene , jun o con la
Ecuación 7, un enso de ensión pe u bado (δ). Las j
columnas del enso cons i u i o homogeneizado pueden
ob ene se como:
≡

 (9)
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 73
Figu a 1. Esquema de o mulación mul iescala de p ime o den.
Implemen acion de un Modelo
Disc e o Mul iescala
Como se ha desc i o an es, p oponemos un mé odo que
ep esen a la solución del p oblema de la mac oescala y
sus i uye el FE2 po un Modelo Disc e o Mul iescala (DM). És e
consis e en analiza el compo amien o del RVE en un núme o
disc e o de es ados enso-de o macionales pa a,
pos e io men e, u iliza los mismos pa a p edeci el
compo amien o del ma e ial. Un caso pa icula de un modelo
disc e o es el Disc e e Mul iscale Th eshold Su ace (DMTS)
en el que la in o mación disc e a se u iliza pa a e alua si el
RVE ha alcanzado su compo amien o no lineal. Si lo ha
alcanzado, el p og ama esol e á el mic o-modelo RVE cada
paso de iempo. En la Figu a 2 se mues a el p ocedimien o
del mé odo DMTS.
Figu a 2. Algo i mo DMTS.
Tal como se ha comen ado, un modelo disc e o mul iescala se
basa en la ealización de un es udio p elimina del RVE pa a
di e en es casos de ca ga, como acción, comp esión,
co an e, e c... Es os análisis, que denomina emos his o ial de
de o maciones, pueden de ini se en los espacios
mul idimensionales (,,) pa a 2D o
(,,,,,) pa a p oblemas mecánicos en 3D. En
es e capí ulo, po simplicidad, sólo desc ibi emos el caso 2D,
pe o es pe ec amen e ex ensible a 3D.
La Base de Da os de ensiones homogeneizadas, cuya
es uc u a se á desc i a en el siguien e capí ulo, almacena á la
in o mación de la mic oescala pa a hace accesibles es os
da os du an e el análisis de mac oescala. Po azones ob ias
de las dimensiones de la base de da os y pa a ob ene el
compo amien o del RVE en un de e minado es ado de
es ue zo-de o mación se in oduci á un pa áme o,
denominado daño equi alen e, que p opo ciona la elación del
es ue zo homogeneizado y el co espondien e elás ico. Es e
pa áme o se de ini á como:
=∥∥
∥∥ , ∈[0,1] (10)
Donde  es la ensión homogeneizada, =
: es la
ensión elás ica y 
 es el Tenso Elás ico Cons i u i o
Homogeneizado.
La disc e ización de la espues a RVE con un pa áme o único
es necesa ia pa a la in e polación de las in o maciones
alamcenadas en el DB en caso de di ecciones de de o mación
di e en es de las calculadas an e io men e.
Disc e ización espacio de de o maciones
Pa a ob ene una de inición comple a del compo amien o de
la mic oescala, se impond á como his o ial de de o maciones
el alo del pun o equispacio p oyec ado a la es e a de adio
uni a io cen ada en el o igen de los ejes (,,).
Podemos de ini de o ma única es os pun os en el sis ema de
coo denadas es é icas 3D como la combinación de es
pa áme os ,,, como podemos e en la Figu a 3. Donde
los ángulos  y  ep esen an la di ección de las ca gas de
de o mación que aplicamos a la mic oescala y  es la
in ensidad de de o mación uni a ia.
De coo denadas es é icas a ca esianas podemos econs ui
el ec o de de o mación como:
󰇱=⋅()
=⋅()⋅()
=⋅()⋅() (11)
=
+
+
 (12)
De la Ecuación 11 podemos obse a que la de o mación es
pe iódica con unciones  y  de los ángulos ∈[0,] y
∈[0,2]. La subdi isión de es e in e alo de e mina el
núme o de análisis a ealiza y la p ecisión de la
disc e ización.
Figu a 3. Es e a de adio uni a io en el espacio de de o maciones.
(b)
Figu a 4. E olución del núme o de análisis necesa ias.
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 74
In oduciendo el pa áme o ∈[1,in [ como subdi isión del
in e alo [0,2] podemos de ini de o ma única la di ección de
de o mación con dos pa áme os en e os ∈[−,], que
llama emos ag. Con es e mé odo cada pun o se á uni a io
espaciado uni o memen e del o o y los ángulos  y  a ia án
en e [
,
]. De es a mane a, podemos obse a que la
can idad o al de análisis es (2⋅+1). Conside ando la
supe posición de di ecciones de de o mación debido al uso de
[−,] como in e alo pa a ambos ángulos, la can idad única
de his o ias de de o maciones se educi á a (2⋅)·(−1)+2.
A pesa de es a educción, la de inición de un alo al o de m
implica un aumen o exponencial del cos e de análisis, como se
puede e en la Figu a 4 an e io .
Análisis de la mic oes uc u a y
cons ucción de la Base de Da os
Las di e en es de o maciones de inidas an e io men e se án
aplicadas al RVE haciendo un Análisis Clásico de Mul iescala
de P ime O den, como se desc ibe en el Capí ulo 1. Pa a
simpli ica u ilizamos como geome ía en la mac oescala un
iángulo con un pun o de in eg ación donde las de o maciones
se imponen como desplazamien o a los nodos. De es a o ma,
odos los g ados de libe ad del iángulo se án ijos y pa a
cada paso de iempo se esol e á el p oblema de la
mic oescala, e aluando el es ue zo homogeneizado y el
enso cons i u i o. Con es as in o maciones podemos
de e mina el alo co espondien e de daño equi alen e en
cada paso de iempo y gua da en el da abase el
co espondien e es ado enso-de o macional. En es e abajo
el ==0.01
En el caso de un análisis 2D, la siguien e igu a puede
p opo ciona una mejo comp ensión de cómo unciona el
algo i mo p opues o con una ep esen ación g á ica.
Figu a 5. Rep esen ación g á ica de la Base de Da os en el espacio
de de o maciones.
La cons ucción de la Da a Base (DB) se ealiza aplicando
sob e el modelo del RVE los dis in os campos de
de o maciones de inidos po los ags. És os co esponden a
los pun os A, B, C y D de la Figu a 5. La supe icie de inida po
es os pun os pa a  co esponde al Th eshold en el que
empieza el daño. La supe icie de inida po los pun os A’, B’,
C’, D’ co esponde ía a un daño equi alen e mayo .
Cuando se ealiza una simulación, la de o mación que se
aplique sob e el elemen o no iene po qué coincidi con
ninguno de los ags analizados. Los pun os E y E' ep esen an
la in e sección de la di ección de la ensión y la de o mación
con las supe icies co espondien es dis in os daños
equi alen es.
El alo de ensión y de o mación pa a el pun o E de la Figu a
5 ep esen a el lími e elás ico y se de e mina in e polando los
da os almacenados en el DB co espondien es a los ags
ce canos. De es a o ma podemos econs ui la espues a de
de o mación y ensión del RVE pa a cualquie di ección
posible en el espacio de de o maciones.
De inición de la Disc e e Mul iscale
Th eshold Su aces pa a dis in os
ma e iales
Ma e ial de daño a T acción y Comp esión
Pa a alida la cons ucción de la base de da os con un
ma e ial simple analizamos un RVE con una ley cons i u i a de
daño en ensión y comp esión, de acue do con la ley
cons i u i a implemen ada en [21].
Tabla 1. Damage T ac ion/Comp ession P ope ies
Young Modulus 900 MPa
Poisson Ra io 0.15
S ess T ac ion Limi 0.25 MPa
T ac ion F ac u e Ene gy 0.016 J/mm2
S ess Comp ession Limi 10.5 MPa
Comp ession F ac u e Ene gy 40.0 J/mm2
A con inuación, se p esen a la sección de la supe icie lími e
elás ica de de o mación pa a ==0.01.
Las supe icies ob enidas con el modelo educido p opues o
en Figu a 6 ep esen an la de o mación limi e elás ica del
modelo cons i u i o de daño. Pos e io men e, se á posible
ep oduci una supe icie de luencia de daño a a és de una
se ie de pun os disc e os ob enidos desde los análisis del
RVE.
(a) (b)

S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 75
(c) (d)
Figu a 6. Supe icie limi e elás ica en el espacio de de o maciones.
Ma e ial compues o
El ma e ial compues o es udiado se compone de una ma iz
de esina epoxi (F155) y ib a de ca bono. La esina epoxy se
simula á median e la ley cons i u i a u ilizada en el apa ado
4.1 y [21], mien as que la ib a de ca bono se simula á como
ma e ial elás ico. La geome ía del RVE se compone de 5
inclusiones simé icas como en la Figu a 7 y la malla u ilizada
pa a el análisis es á compues a po 272 elemen os lineales en
pequeñas de o maciones con 305 nodos.
Figu a 7. Geome ía y malla RVE.
Tabla 2. P opiedades Mecánicas Resina Epoxy
Young Modulus 3.24e3 MPa
Poisson Ra io 0.32
S ess T ac ion Limi 80 MPa
T ac ion F ac u e Ene gy 0.73 J/mm2
S ess Comp ession Limi 240 MPa
Comp ession F ac u e Ene gy 2.19 J/mm2
Tabla 3. P opiedades Mecánicas ib as de ca bono
Young Modulus 235e3 MPa
Poisson Ra io 0.21
El análisis del RVE desc i o an e io men e p opo ciona una
se ie de pun os disc e os con los que de ini la supe icie de
daño o, lo que es lo mismo, una Disc e e Mul iscale Th eshold
Su ace. A con inuación, se p esen a la sección de la
supe icie lími e elás ica pa a =0.01 en el espacio de las
ensiones no males.
Figu a 8. Supe icie lími e elás ica en el espacio de ensiones pa a el
ma e ial compues o.
Valida ión
Tes a co an e
Se ha ealizado una p ueba de co an e po una geome ía
cuad ada, de 1 m de lado, compues a po elemen os lineales
en pequeñas de o maciones u ilizando el ma e ial compues o
de inido en la sección 4.2. En caso de DMTS, sólo los
elemen os de la mac oescala que exceden el lími e elás ico
gene an el RVE mien as los que oda ía siguen en el égimen
lineal no necesi an la gene ación RVE.
En la siguien e igu a se mues a el compo amien o del
compues o si es e se analiza median e un p ocedimien o FE2
o si se analiza con la o mulación DMTS p opues a. Como se
puede e , los esul ados son p ác icamen e idén icos.
Figu a 9. Cu as Fue za-Desplazamien o pa a los di e en es mé odos
analizados.
La Figu a 9 y la Tabla 4 a con inuación p opo cionan
espec i amen e la espues a de Fue za-Desplazamien o de la
mac oescala bajo la p ueba de co an e y los esul ados en
é minos de iempo y memo ia pa a odos los mé odos: FE2,
MCM comple o y adap i o.
Tabla 4. Compa ación de iempo y memo ia
Type Time [s] Memo y
[kB] Numbe o
Ac i e RVEs
Time
Speedup
Full
Mul iscale 844.72 169788 484/484 -
DMTS 646.39 92140 388/484 1.307
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 76
En las siguien es igu as podemos e la e olución de , ,
,  pa a cada uno de los mé odos analizados a
di e en es ni eles de de o mación en la di ección y. Podemos
ap ecia cómo los esul ados ob enidos con DMTS e lejan los
alo es de e e encia calculados con FE2.
Re ue zo en ma e ial compues o
En es e capí ulo analizamos una iga ealizada con el ma e ial
compues o desc i o en la sección 4.2 pa a alida el mé odo
DMTS p opues o.
La iga es á disc e izada con una malla de elemen os lineales
en pequeñas de o maciones (1075 elemen os y 678 nodos)
con una geome ía como en Figu a 11.
Figu a 11. Geome ía y malla.
La iga es á some ida a un desplazamien o e ical impues o
 y ija en oda su base in e io . En es e ejemplo, igual que en
el an e io , se analiza án los esul ados ob enidos a a és de
la simulación DMTS, con los esul ados de un modelo
mul iescala de p ime o den (FE2). Pa a educi el cos e
compu acional de és a úl ima simulación, únicamen e se
analiza án con RVEs los 84 elemen os ma cados en ojo en la
Figu a 11.
Como se puede obse a en la Figu a 10, las cu as Fue za-
Desplazamien o ob enidas median e la o mulación p opues a
(DMTS) coinciden con el mé odo FE2. Se puede ap ecia
ambién que la ue za máxima alcanzada sea la misma pa a
los dos casos.
La compa ación de los esul ados de ensiones,
de o maciones y daño ob enidos con FE2 y DMTS mues a
ambién alo es muy pa ecidos. En las Figu as 13 y 14 se
p opo cionan el es ado inal del e ue zo y la dis ibución de
daño en la es uc u a en el RVE. Mien as en la Figu a 15 se
obse an los elemen os que se han ac i ados, gene ando un
RVE, después de alcanza el alo lími e de .
Figu a 12. Compa ación de cu as Fue za-Desplazamien o pa a el
e ue zo.
Figu a 13. Dis ibución de  en el e ue zo pa a el caso FE2.
Figu a 14. Dis ibución de  en el e ue zo pa a el caso DMTS.
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 77
0.5 mm 2.25 mm 4.5 mm


FM2
DMTS
0.5 mm 2.25 mm 4.5 mm


FM2
DMTS
0.5 mm 2.25 mm 4.5 mm


FM2
DMTS
0.5 mm 2.25 mm 4.5 mm


FM2
DMTS
Figu a 10. Resul ados de desplazamien o e ical (), ensión (), de o mación () y daño equi alen e ().
S. Zaghi e al./ Ma e iales Compues os ol 2, nº 4 78
Figu a 15. Elemen os ac i os, donde se equie e RVEs, pa a el caso
DMTS
Las igu as siguien es p oponen una compa ación en e FE2 y
DMTS, pa a el mismo alo de =2.27 espec i amen e en
é minos de daño equi alen e, ensión máxima y mínima,
de o mación máxima y mínima. Podemos obse a como los
esul ados en el caso DMTS ep oducen de mane a óp ima el
modelo FE2 de e e encia.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figu a 16. Compa ación de Resul ados de daño equi alen e (),
ensión (,) y de o mación (,) pa a el mé odo FE2
(izquie da) y el mé odo DMTS (de echa).
Finalmen e, analizamos los iempos de cálculo y la memo ia
necesa ios pa a los análisis del e ue zo en los dos casos.
G acias al mé odo DMTS el iempo de cálculo se ha educido
de 2 eces pa a el modelo adap i o y la memo ia u ilizada de
un 30% espec o al caso FE2, que hemos conside ado
simpli icado analizando 84 de los 1075 elemen os del e ue zo.
Table 5. Compa ación de iempo y memo ia
Type Time [s] Memo y
[kB] Numbe o
Ac i e RVEs
Time
Speedup
Full
Mul iscale 40267.5 152212 84/1075 -
DMTS 19183.3 108696 70/1075 2.1
Conclusions
En es e documen o se ha analizado un nue o mé odo de
cálculo median e modelos mul iescala pa a el es udio de
es uc u as en ma e iales compues os, que op imiza el cos e
compu acional de la simulación. El Disc e e Mul iscale
Th eshold Su ace (DMTS) se basa en la de inición de una
base de da os que con iene el compo amien o del ma e ial, la
cual se ob iene a pa i del análisis de un RVE en un núme o
disc e o de es ados enso-de o macionales.
G acias a una p e ia alidación del mé odo con un ma e ial
simple y la ca ac e ización de una base de da os especi ica de
una mic oes uc u a con ib as la gas, se ha p ocedido al
es udio de un e ue zo en ib as de ca bono.