Re is a In e nacionai de Mé odos Numé icos
pa a
Cáiculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
5,
S,
379-394( 1989)
LA FISURACION DISCRETA: UNA
ALTERNATIVA A LOS MODELOS DE ANALISIS
NO-LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON
MIGUEL ANGEL FERNANDEZ PRADA
Y
PEDRO MIGUEL SOSA
E.T.S.I. Caminos, Canales
y
Pue os
Dp o. de Ingenie zá de la Cons ucción
Uni e sidad Poli écnica de Valencia
Camino de Ve a s/n
46071
Valencia
RESUMEN
En es e abajo se p esen a un modelo de elemen os ini os con isu ación disc e a pa a
el análisis no lineal de es uc u as planas de ho migón ca gadas en su plano. Median e la
u ilización de cinco ipos de elemen os ini os di e en es se incluyen en el análisis, no sólo el
compo amien o no lineal del ace o y el ho migón, sino ambién los e ec os de la adhe encia,
encajamien o de á idos y pasado de las a madu as que c uzan una isu a. Se ha desa ollado
un algo i mo que esuel e de mane a au omá ica los p oblemas de i ados de la egene ación de
la mda p opios de la écnica de la isu ación disc e a. Po úl imo, algunos de los esul ados
ob enidos con el modelo son compa ados con los ob enidos expe imen almen e en igas con
o u as po co an e y lexión.
SUMMARY
This pape p esen s
a
disc e e-c ack ini e elemen model o he nonlinea analysis o
conc e e s uc u es unde plane-s ess condi ions. The model inco po a es i e ypes o ini e
elemen s in o de o ake in o accoun he di e en mechanisms o s ess ansmission in conc e e
s uc u es: conc e e and s eel ini e elemen s, and special ini e elemen s o he modelling o
bond, agg ega e in e lock and dowel-ac ion. The modi ica ions o he ini e elemen mesh,
ypical o he disc e -c ack app oach, a e ca ied ou using a ully au oma ic s a egy. Finally,
he model is applied o he analysis o beams ailing in lexu e and in shea and he analy ical
p edic ions compa ed wi h he expe imen al da a.
INTRODUCCION
La aplicación del mé odo de los elemen os ini os
al
cálculo de es uc u as,
Y
en
conc e o a las es uc u as de ho migón, ha dado luga a la apa ición de nume osos
modelos que, incidiendo en unos u o os aspec os,
han
sido desa ollados a lo la go de
la Úl ima mi ad de siglo po nume osos in es igado es.
Recibido: Oc ub e
1988
OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-131
6
380
M.A. FERNANDEZ PRADA
Y
P. MIGUEL
SOSA
Desde hace algunos años en el G upo de In es igación de Ho migón del
Depa amen o de Ingenie ía de la Cons ucción de la Uni e sidad Poli écnica de
Valencia se iene desa ollando una línea de in es igación de análisis de es uc u as
de ho migón median e la u ilización del mé odo de los elemen os ini os. Como p ime
esul ado de la línea de in es igación se incluye el p og ama MEFFD' (Modelo de
Elemen os Fini os con Fisu ación Disc e a) que se p esen a en es e a ículo.
El ámbi o de aplicación del modelo es el de las es uc u as planas ca gadas en
su plano ( igas, igas de g an can o
...)
incluyendo en el análisis mecanismos de
ansmisión de es ue zos que, siendo bien conocidos, son habi ualmen e desp eciados.
Es os son: la adhe encia en e el ho migón y las a madu as, no conside ada pe ec a
sino con la posibilidad de p oduci se desplazamien os ela i os en e ambos ma e iales;
y, sob e odo, los e ec os pasado de las a madu as y de encajamien o de á idos. El
modelo emplea además la écnica denominada de isu ación disc e a pa a ep esen a
la isu ación en el ho migón.
La écnica de la isu ación disc e a consis e en ep esen a la isu ación median e
la inco po ación de discon inuidades en la malla de elemen os ini os
allí
donde las
isu as apa ecen. Es as discon inuidades se ob ienen duplicando los nodos con o me la
isu ación a p og esando.
El esul ado de la in oducción de las isu as de es a mane a es que, con o me
la isu ación a p og esando, la malla que ep esen a la es uc u a isu ada dis a de
pa ece se a la o iginal en mayo o meno medida, dependiendo de la complejidad de
la ed de isu ación, debido a la apa ición de los nue os nodos y elemen os que an
con o mando dicha es uc u a isu ada. Es e hecho plan ea uno de los p incipales
incon enien es de i ados del uso de la écnica de la isu ación disc e a, pues o que
es p eciso ede ini la malla con la apa ición de cada nue o amo de isu a, al mismo
iempo que se hace necesa io lle a a cabo una pues a
al
día de las a iables de es ado
de cada uno de los elemen os ya exis en es y de los que se an gene ando al p oduci se
las isu as. His ó icamen e se han adop ado di e en es soluciones pa a esol e es e
p oblema, desde la más simple de p ede ini las isu as, las cuales no se modi ican
du an e odo el p oceso de análisisa, has a soluciones con mayo o meno g ado de
au oma ismo en la egene ación de la malla3*'.
En es e abajo se ha pues o especial én asis en diseña un p oceso absolu amen e
au omá ico en el p oceso de decisión de la p opagación o iniciación de las isu as
y
en
la pos e io eadap ación de la malla a las nue as condiciones es uc u ales esul an es
de la apa ición de las isu as.
DESCRIPCION DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Y
ECUACIONES CONSTITUTIVAS
Pa a ep esen a los di e en es mecanismos y e ec os
a
a és de los cuales se
ansmi en los es ue zos en una es uc u a de ho migón isu ada (Figu a
1)
(ho migón,
ace o, adhe encia, encaja nien o y e ec o pasado ) se han u ilizado cinco ipos de
elemen os ini os que b e emen e se desc iben a con inuación, jun o con las ecuaciones
cons i u i as empleadas.
Xg, Yg ejes de coo denadas globales
xl,
yi
ejes de coo denadas locales
Figu a
1.
Elemen os ini os u ilizados en el modelo.
(a) Disposición gene al.
(b) E.F. de ho migón.
(c) E.F. de ace o.
(d) E.F. de adhe encia.
(e) E.F. de encajamien o.
( ) E.F. de e ec o pasado .
Ho migón
Pa a ep esen a el ho migón se u iliza el elemen o ini o iangula de de o mación
cons an e, ampliamen e conocido y u ilizado, cuyas unciones de o ma pueden
encon a se en cualquie ex o gene al de elemen os ini os5.
La ecuación cons i u i a que de ine la elación en e las ensiones
y
las
de o maciones es
la
p opues a po Kos o os6~' pa a compo amien o iaxial. En
MEFFD
se
impone la condición de ensión o de o mación plana, según el caso. Es a
o mulación p esen a la en aja de que pa a su o al de inición, an o en lo que se e ie e
382
M.A. FERNANDEZ PRADA
Y
P.
MIGUEL
SOSA
a la elación ensión-de o mación p opiamen e dicha, como a la de e minación de la
o u a del ma e ial, únicamen e es p eciso conoce la esis encia en p obe a cilínd ica
del ho migón empleado.
Ace o
Pa a ep esen a la a madu a se u iliza el elemen o hi o lineal de de o mación
cons an e, cuyo g ado de in e polación es del mismo o den que el del elemen o ini o
u ilizado pa a ep esen a
al
ho migón.
La ecuación cons i u i a u ilizada es, la ambién ampliamen e di undida, ecuación
bilineal. Cualquie elación ensión-de o mación de o o ipo puede se u ilizada sin
di icul ad.
Adhe encia
Pa a ep esen a la dhe encia en e la a madu a y el ho migón que le odea se u iliza
un
elemen o ini o de cua o nodos, dos co espondien es al ace o y dos
d
ho migón,
cuya unción de o ma in e pola Linealmen e el deslizamien o ela i o en e los nodos
del ace o (ul, y u2,) y los dos nodos del ho migón (ul, y u2,) en la di ección del
elemen o (Figu a 2.a):
S
=
(1
-
x/L)
(211,
-
ul,)
+
x/L (u2,
-
212,)
do.nde L es la longi ud del elemen o.
La ecuación cons i u i a (Figu a 2.b) elaciona dicho deslizamien o ela i o con la
ensión angencial
T
que se desa olla en e el ace o
y
el ho migón median e la exp esión:
T
p-K-p2
--
-
S
<
S,
l (k-2)ep
T
=7b,
S,
5
S
<
su
T
=O
S
2
su
donde p
=
S/S,
y K
=
Ko.S,/%.
Es a ecuación cons i u i a queda dehida con la pendien e inicial (Ko), el
deslizamien o co espondien e a la máxima ensión angencial (S,), el deslizamien o
Úl imo (S,) y el diáme o de la a madu a (4). La máxima ensión angencial
(%)
puede ob ene se en unción del diáme o de la a madu a a pa i de las exp esiones:
7b,
=115 4<8
%
=130
-
1.9
4
854532
7b,
=69
32
<
4
con
4
en milíme os
y
7b,
en ~~/cm~.
LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON
383
(B)
Figu a
2.
(a) In e polación
de
los deslizamien os.
(b)
Ecuación cons i u i a.
Encajamien o
El e ec o del encajamien o de á idos en e ca as de isu a se in oduce median e la
conside ación de
un
elemen o ini o lineal de cua o nodos (dos a cada lado de la isu a)
con in e polación lineal de los mo imien os ela i os en e ca as de isu a (abe u a
y
deslizamien o) de o ma que conocidos los mo imien os (ui,
i)
y
(uk, k) de los dos
nodos de
un
labio de isu a
y
los mo imien os (uj, j)
y
(ul, l) de los dos nodos del
o o lado de la isu a, la abe u a
w
y
el deslizamien o
S
en e ca as de isu a iene
dado po (Figu a 3.a):
w
=(l-
x/L) ( k
-
i)
+
x/L.
(VI
-
j)
=
(1
-
xIL) A 1
+
x/L. A 2
S
=(l-
x/L)
-
(UK
-
U;)
+
x/L (u1
-
uj)
=
(1
-
z/L) Aul
+
x/L Au2
La ecuación cons i u i a empleada es la p opues a po Wal a ene (Figu a 3.b) que
elaciona las ensiones angencial
y
no mal en e ca as de isu a con los mo imien os
ela i os de las mismas y pa a cuya de inición se u iliza únicamen e la esis encia del
ho migón.
Es e elemen o pe mi e la inclusión de e ec os de i ados de los concep os de mecánica
de ac u a, de acue do con el modelo de la isu a ic icia desa ollado po Hille bo gs.

Y
14
X
O
1,
k
J.
1
U
L
1
1
h.2
l
a
I
I
X
J(x)
J
-
(A)
(B)
Figu a
3.
Elemen o ini o de encajamien o:
(a) In e polación de los mo imien os en e ca as de isu a.
(b)
Ecuación cons i u i a.
E ec o pasado
El e ec o pasado de las a madu as que a a iesan una isu a se iene en cuen a
median e la inclusión de un elemen o ini o adimensional que une los nodos que quedan
a uno y o o lado de la isu a comunes con el ho migón.
A
es e elemen o se le do a de
igidez en la di ección no mal a las a madu as.
La di e encia de los mo imien os en e dichos dos nodos en la di ección no mal a la
a madu a pe mi e conoce el deslizamien o ela i o a pa i del cual se puede ob ene
el es ue zo de pasado desa ollado po las a madu as. La ecuación que elaciona el
es ue zo de pasado con el deslizamien o ela i o en e ca as de isu as ha sido omada
del abajo de Milla d
y
Jonhsonl'.
CRITERIO DE FISURACION
El c i e io es ablecido pa a la de e minación del nodo isu ado, es deci , del nodo
donde comienza una nue a isu a o a pa i del cual se p opaga una isu a ya exis en e,
se basa en c i e ios ensionales.
El p oceso gene al de elección del nodo isu ado (Figu a
4)
comienza con la
ob ención del equilib io de la es uc u a pa a el ni el de ca ga dado, pa a lo que se
emplea un mé odo i e a i o de New on-Raphson. Una ez ob enida una si uación
de equilib io, pa a el ni el de ca ga dado, se ob iene el es ado ensional exis en e
en odos los nodos de la es uc u a de acue do con los c i e ios de in e polación de
Loo ". Cuando las ensiones alcanzadas son ales que supe an la en ol en e de o u a
adop ada7, se conside a que dicho nodo es po encialmen e isu able, sin emba go, la
decisión inal ace ca del nodo a isu a no se es ablece an es de chequea odos los
nodos, ya que es posible que al condición se supe e en más de un nodo pa a un
LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON
385
T;;M~%
/
ESCALON
DE
CARGA
/
Figu a
4.
Esquema gene al del p oceso.
de e minado ni el de ca ga. En es e caso se adop a como nodo isu ado aquel cuya
acción sea mayo de en e odos los que supe an el c i e io de o u a. A1 mismo
iempo, la di ección no mal a la di ección de la máxima acción del nodo isu ado
de e mina el ángulo de a ance de la isu a que se gene a á a pa i de ese nodo. Una
ez deñnido el nodo isu ado y el ángulo de a ance de la isu a, se pasa a edeñni la
malla y a comp oba el equilib io en la nue a si uación esul an e, sin aumen a el ni el
de ca ga.
REORGANIZACION DE LA MALLA
Pa a log a el obje i o plan eado de ob ene un p oceso absolu amen e au omá ico
du an e la egene ación de la malla se ope a con una sis emá ica que pe mi e con empla
la g an a iedad de casos posibles que pueden p esen a se. Es a sis emá ica cons a de
una se ie de pasos que se desc iben a con inuación.
Pa iendo del conocimien o del nodo isu ado y la di ección de a ance de la isu a,
el p ime p oblema que se plan ea es la elección del elemen o a a és del cual la isu a
a a p opaga se, ya que, en gene al, exis en dos elemen os a a esados po la ec a
que de ine la di ección del a ance. El c i e io seguido es el de escoge como elemen o
isu ado aquel que, a a esado po la di ección de la isu a, gene a un nue o amo de
isu a que o ma con el amo ya exis en e un ángulo mayo que
~/2,
es o es, se desecha
el elemen o a a és del cual la isu a "a anza ía hacia a ás" (Figu a
5).
Si el nodo
isu ado no es cabeza de isu a de ninguna isu a an e io (p.e.
un
nodo de bo de o un
nodo in e io ) esul a i ele an e la decisión ace ca de la elección del elemen o isu ado.
Una ez de inido el elemen o isu ado se conside a que el nue o amo de isu a se
p opaga has a encon a se con el lado opues o
al
nodo isu ado, di idiendo
al
elemen o
en dos. Sin emba go, es o plan ea una nue a di icul ad, ya que en muchas ocasiones el
nue o amo de isu a se sepa a muy poco de algunos de los lados del iángulo y,
al
desdobla se és e en dos, uno de ellos esul a excesi amen e ala gado, p opo cionando
M.A. FERNANDEZ PRADA
Y
P.
MIGUEL
SOSA
di eccih de isu a
elemen o
isu a e ia
desechado
Figu a
5.
Elección del elemen o isu ado.
una malla muy descompensada e in oduciendo un ac o de imp ecisión en el pos e io
análisis. La solución más simple consis e en de ini un ángulo máximo que medido
a pa i del lado del iángulo, pe mi a de ini si el nue o amo de isu a se sepa a
más o menos que él a pa i de dicho lado. Si el nue o amo de isu a o ma con el
lado del iángulo
un
ángulo mayos que el ángulo máximo se p ocede a de ini el nue o
amo a a és del elemen o (Figu a 6a), en caso con a io se hace coincidi el nue o
amo con el lado del iángulo (Figu a 6c). Es a solución en a en con lic o con la
idea de pe mi i la máxima lexibilidad en la di ección de a ance de la isu a, po lo
cual, caso de p oduci se la segunda de las posibilidades ci adas an e io men e, se ha
op ado po inclui una e ce a al e na i a consis en e en modi ica la posición del lado
del iángulo pa a hace lo coincidi con el amo de isu a (Figu a 6b). Siemp e que
sea posible (cuando la isu a se apa e poco del lado del iángulo) el modelo escoge
es a posibilidad, ese ando la al e na i a de desplaza el amo de isu a pa a hace lo
coincidi con el lado pa a las ocasiones en que sea es ic amen e p eciso, las cuales se
p oducen cuando el nodo se deñne como no-desplazable, al es el caso de de nodos de
bo de o de aquellos po donde pasa una a madu a.
Du an e los p ocesos desc i os has a es e momen o oda ía no se ha llegado a
e ec ua ninguna modi icación en la malla, an solo se ha de e minado el luga en el
que el nue o amo de isu a se a a inclui den o de la malla de elemen os ini os
exis en e.
El paso siguien e, que se ha denominado p oceso de gene ación de nodo, consis e
en econoce el en o no del elemen o isu ado pa a iden i ica los elemen os a ec ados
po la apa ición de la nue a isu a. En la Figu a
7
se ep esen an las posibilidades que
pueden da se dependiendo del ipo de elemen os a ec ados. En esencia, du an e es e
p oceso se gene an los nodos y se duplican y gene an los elemen os necesa ios pa a
que la con igu ación inal de la malla se componga del mismo ipo de elemen os ya
de inidos ( iángulos o elemen os lineales). Como ejemplo en la Figu a
8
se indican
LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON
387
o
nodo isu ado
;'
di eccion de la
isum
//
isu a
(elemen o encapmien o)
Figu a
6.
(a) Caso gene al
con
gene ación de un nodo.
(b)
Caso de nodo desplazable: se modi ica la posición del nodo.
(c) Caso de nodo no-desplazable: se modi ica la di ección de la isu a.
los cambios que ienen luga du an e es e p oceso en uno de los casos ci ados en la
Figu a
7
(conc e amen e el caso (e) de esa igu a). En dicha Figu a
8
se mues a
ien sean
como se easignan los nodos asociados a cada elemen o ( a iable NODE), b'
an iguos, bien gene ados, e igualmen e como se modi ican las a iables que almacenan
la in o mación de los elemen os que llegan a cada nodo ( a iable NENOD), in o mación
que consis e en indica el núme o
y
ipo del elemen o
(1
ho migón,
2
ace o,
3
adhe encia,
4
encajamien o
y
5
pasado ).
La eo ganización opológica de la malla ñnaliza con el
p oceso de duplicación de
nodo
consis en e en la inclusión de un elemen o encajamien o, jun o con la pos e io
duplicación de uno, los dos, o ninguno de los nodos que delimi an el nue o amo de
isu a (Figu a
9),
dependiendo de la si uación del nodo:
Si uación del nodo an es ;Se duplica? Si uación del nodo después
In e io No Cabeza de isu a
Cabeza de isu a Si Labio de isu a
Labio de isu a Si Labio de isu a
Ex e io Si Ex e io
y
labio de isu a
además de la inclusión de un elemen o pasado si ello ue a necesa io.
La Úl ima ope ación del
p oceso de duplicación de nodo
consis e en esigna a cada
uno de los nodos, an o an iguo, como duplicado, los elemen os que an es llegaban al
nodo an iguo.
394
M.A. FERNANDEZ PRADA
Y
P. MIGUEL SOSA
p incipalmen e, cuando la o u a sob e iene po la apa ición de una isu a diagonal
debida
al
co an e.
La in luencia del ipo de malla es mínimamen e ele an e an o en lo que se e ie e
a las edes de isu ación ob enidas como a las cu as ca ga- lecha.
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