La fisuración discreta: una alternativa a los modelos análisis no-lineal de estructuras de hormigón

Re is a In e nacionai de Mé odos Numé icos pa a Cáiculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 5, S, 379-394( 1989) LA FISURACION DISCRETA: UNA ALTERNATIVA A LOS MODELOS DE ANALISIS NO-LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON MIGUEL ANGEL FERNANDEZ PRADA Y PEDRO MIGUEL SOSA E.T.S.I. Caminos, Canales y Pue os Dp o. de Ingenie zá de la Cons ucción Uni e sidad Poli écnica de Valencia Camino de Ve a s/n 46071 Valencia RESUMEN En es e abajo se p esen a un modelo de elemen os ini os con isu ación disc e a pa a el análisis no lineal de es uc u as planas de ho migón ca gadas en su plano. Median e la u ilización de cinco ipos de elemen os ini os di e en es se incluyen en el análisis, no sólo el compo amien o no lineal del ace o y el ho migón, sino ambién los e ec os de la adhe encia, encajamien o de á idos y pasado de las a madu as que c uzan una isu a. Se ha desa ollado un algo i mo que esuel e de mane a au omá ica los p oblemas de i ados de la egene ación de la mda p opios de la écnica de la isu ación disc e a. Po úl imo, algunos de los esul ados ob enidos con el modelo son compa ados con los ob enidos expe imen almen e en igas con o u as po co an e y lexión. SUMMARY This pape p esen s a disc e e-c ack ini e elemen model o he nonlinea analysis o conc e e s uc u es unde plane-s ess condi ions. The model inco po a es i e ypes o ini e elemen s in o de o ake in o accoun he di e en mechanisms o s ess ansmission in conc e e s uc u es: conc e e and s eel ini e elemen s, and special ini e elemen s o he modelling o bond, agg ega e in e lock and dowel-ac ion. The modi ica ions o he ini e elemen mesh, ypical o he disc e -c ack app oach, a e ca ied ou using a ully au oma ic s a egy. Finally, he model is applied o he analysis o beams ailing in lexu e and in shea and he analy ical p edic ions compa ed wi h he expe imen al da a. INTRODUCCION La aplicación del mé odo de los elemen os ini os al cálculo de es uc u as, Y en conc e o a las es uc u as de ho migón, ha dado luga a la apa ición de nume osos modelos que, incidiendo en unos u o os aspec os, han sido desa ollados a lo la go de la Úl ima mi ad de siglo po nume osos in es igado es. Recibido: Oc ub e 1988 OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-131 6 380 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA Desde hace algunos años en el G upo de In es igación de Ho migón del Depa amen o de Ingenie ía de la Cons ucción de la Uni e sidad Poli écnica de Valencia se iene desa ollando una línea de in es igación de análisis de es uc u as de ho migón median e la u ilización del mé odo de los elemen os ini os. Como p ime esul ado de la línea de in es igación se incluye el p og ama MEFFD' (Modelo de Elemen os Fini os con Fisu ación Disc e a) que se p esen a en es e a ículo. El ámbi o de aplicación del modelo es el de las es uc u as planas ca gadas en su plano ( igas, igas de g an can o ...) incluyendo en el análisis mecanismos de ansmisión de es ue zos que, siendo bien conocidos, son habi ualmen e desp eciados. Es os son: la adhe encia en e el ho migón y las a madu as, no conside ada pe ec a sino con la posibilidad de p oduci se desplazamien os ela i os en e ambos ma e iales; y, sob e odo, los e ec os pasado de las a madu as y de encajamien o de á idos. El modelo emplea además la écnica denominada de isu ación disc e a pa a ep esen a la isu ación en el ho migón. La écnica de la isu ación disc e a consis e en ep esen a la isu ación median e la inco po ación de discon inuidades en la malla de elemen os ini os allí donde las isu as apa ecen. Es as discon inuidades se ob ienen duplicando los nodos con o me la isu ación a p og esando. El esul ado de la in oducción de las isu as de es a mane a es que, con o me la isu ación a p og esando, la malla que ep esen a la es uc u a isu ada dis a de pa ece se a la o iginal en mayo o meno medida, dependiendo de la complejidad de la ed de isu ación, debido a la apa ición de los nue os nodos y elemen os que an con o mando dicha es uc u a isu ada. Es e hecho plan ea uno de los p incipales incon enien es de i ados del uso de la écnica de la isu ación disc e a, pues o que es p eciso ede ini la malla con la apa ición de cada nue o amo de isu a, al mismo iempo que se hace necesa io lle a a cabo una pues a al día de las a iables de es ado de cada uno de los elemen os ya exis en es y de los que se an gene ando al p oduci se las isu as. His ó icamen e se han adop ado di e en es soluciones pa a esol e es e p oblema, desde la más simple de p ede ini las isu as, las cuales no se modi ican du an e odo el p oceso de análisisa, has a soluciones con mayo o meno g ado de au oma ismo en la egene ación de la malla3*'. En es e abajo se ha pues o especial én asis en diseña un p oceso absolu amen e au omá ico en el p oceso de decisión de la p opagación o iniciación de las isu as y en la pos e io eadap ación de la malla a las nue as condiciones es uc u ales esul an es de la apa ición de las isu as. DESCRIPCION DE LOS ELEMENTOS FINITOS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS Pa a ep esen a los di e en es mecanismos y e ec os a a és de los cuales se ansmi en los es ue zos en una es uc u a de ho migón isu ada (Figu a 1) (ho migón, ace o, adhe encia, encaja nien o y e ec o pasado ) se han u ilizado cinco ipos de elemen os ini os que b e emen e se desc iben a con inuación, jun o con las ecuaciones cons i u i as empleadas. Xg, Yg ejes de coo denadas globales xl, yi ejes de coo denadas locales Figu a 1. Elemen os ini os u ilizados en el modelo. (a) Disposición gene al. (b) E.F. de ho migón. (c) E.F. de ace o. (d) E.F. de adhe encia. (e) E.F. de encajamien o. ( ) E.F. de e ec o pasado . Ho migón Pa a ep esen a el ho migón se u iliza el elemen o ini o iangula de de o mación cons an e, ampliamen e conocido y u ilizado, cuyas unciones de o ma pueden encon a se en cualquie ex o gene al de elemen os ini os5. La ecuación cons i u i a que de ine la elación en e las ensiones y las de o maciones es la p opues a po Kos o os6~' pa a compo amien o iaxial. En MEFFD se impone la condición de ensión o de o mación plana, según el caso. Es a o mulación p esen a la en aja de que pa a su o al de inición, an o en lo que se e ie e 382 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA a la elación ensión-de o mación p opiamen e dicha, como a la de e minación de la o u a del ma e ial, únicamen e es p eciso conoce la esis encia en p obe a cilínd ica del ho migón empleado. Ace o Pa a ep esen a la a madu a se u iliza el elemen o hi o lineal de de o mación cons an e, cuyo g ado de in e polación es del mismo o den que el del elemen o ini o u ilizado pa a ep esen a al ho migón. La ecuación cons i u i a u ilizada es, la ambién ampliamen e di undida, ecuación bilineal. Cualquie elación ensión-de o mación de o o ipo puede se u ilizada sin di icul ad. Adhe encia Pa a ep esen a la dhe encia en e la a madu a y el ho migón que le odea se u iliza un elemen o ini o de cua o nodos, dos co espondien es al ace o y dos d ho migón, cuya unción de o ma in e pola Linealmen e el deslizamien o ela i o en e los nodos del ace o (ul, y u2,) y los dos nodos del ho migón (ul, y u2,) en la di ección del elemen o (Figu a 2.a): S = (1 - x/L) (211, - ul,) + x/L (u2, - 212,) do.nde L es la longi ud del elemen o. La ecuación cons i u i a (Figu a 2.b) elaciona dicho deslizamien o ela i o con la ensión angencial T que se desa olla en e el ace o y el ho migón median e la exp esión: T p-K-p2 -- - S < S, l (k-2)ep T =7b, S, 5 S < su T =O S 2 su donde p = S/S, y K = Ko.S,/%. Es a ecuación cons i u i a queda dehida con la pendien e inicial (Ko), el deslizamien o co espondien e a la máxima ensión angencial (S,), el deslizamien o Úl imo (S,) y el diáme o de la a madu a (4). La máxima ensión angencial (%) puede ob ene se en unción del diáme o de la a madu a a pa i de las exp esiones: 7b, =115 4<8 % =130 - 1.9 4 854532 7b, =69 32 < 4 con 4 en milíme os y 7b, en ~~/cm~. LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 383 (B) Figu a 2. (a) In e polación de los deslizamien os. (b) Ecuación cons i u i a. Encajamien o El e ec o del encajamien o de á idos en e ca as de isu a se in oduce median e la conside ación de un elemen o ini o lineal de cua o nodos (dos a cada lado de la isu a) con in e polación lineal de los mo imien os ela i os en e ca as de isu a (abe u a y deslizamien o) de o ma que conocidos los mo imien os (ui, i) y (uk, k) de los dos nodos de un labio de isu a y los mo imien os (uj, j) y (ul, l) de los dos nodos del o o lado de la isu a, la abe u a w y el deslizamien o S en e ca as de isu a iene dado po (Figu a 3.a): w =(l- x/L) ( k - i) + x/L. (VI - j) = (1 - xIL) A 1 + x/L. A 2 S =(l- x/L) - (UK - U;) + x/L (u1 - uj) = (1 - z/L) Aul + x/L Au2 La ecuación cons i u i a empleada es la p opues a po Wal a ene (Figu a 3.b) que elaciona las ensiones angencial y no mal en e ca as de isu a con los mo imien os ela i os de las mismas y pa a cuya de inición se u iliza únicamen e la esis encia del ho migón. Es e elemen o pe mi e la inclusión de e ec os de i ados de los concep os de mecánica de ac u a, de acue do con el modelo de la isu a ic icia desa ollado po Hille bo gs. Y 14 X O 1, k J. 1 U L 1 1 h.2 l a I I X J(x) J - (A) (B) Figu a 3. Elemen o ini o de encajamien o: (a) In e polación de los mo imien os en e ca as de isu a. (b) Ecuación cons i u i a. E ec o pasado El e ec o pasado de las a madu as que a a iesan una isu a se iene en cuen a median e la inclusión de un elemen o ini o adimensional que une los nodos que quedan a uno y o o lado de la isu a comunes con el ho migón. A es e elemen o se le do a de igidez en la di ección no mal a las a madu as. La di e encia de los mo imien os en e dichos dos nodos en la di ección no mal a la a madu a pe mi e conoce el deslizamien o ela i o a pa i del cual se puede ob ene el es ue zo de pasado desa ollado po las a madu as. La ecuación que elaciona el es ue zo de pasado con el deslizamien o ela i o en e ca as de isu as ha sido omada del abajo de Milla d y Jonhsonl'. CRITERIO DE FISURACION El c i e io es ablecido pa a la de e minación del nodo isu ado, es deci , del nodo donde comienza una nue a isu a o a pa i del cual se p opaga una isu a ya exis en e, se basa en c i e ios ensionales. El p oceso gene al de elección del nodo isu ado (Figu a 4) comienza con la ob ención del equilib io de la es uc u a pa a el ni el de ca ga dado, pa a lo que se emplea un mé odo i e a i o de New on-Raphson. Una ez ob enida una si uación de equilib io, pa a el ni el de ca ga dado, se ob iene el es ado ensional exis en e en odos los nodos de la es uc u a de acue do con los c i e ios de in e polación de Loo ". Cuando las ensiones alcanzadas son ales que supe an la en ol en e de o u a adop ada7, se conside a que dicho nodo es po encialmen e isu able, sin emba go, la decisión inal ace ca del nodo a isu a no se es ablece an es de chequea odos los nodos, ya que es posible que al condición se supe e en más de un nodo pa a un LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 385 T;;M~% / ESCALON DE CARGA / Figu a 4. Esquema gene al del p oceso. de e minado ni el de ca ga. En es e caso se adop a como nodo isu ado aquel cuya acción sea mayo de en e odos los que supe an el c i e io de o u a. A1 mismo iempo, la di ección no mal a la di ección de la máxima acción del nodo isu ado de e mina el ángulo de a ance de la isu a que se gene a á a pa i de ese nodo. Una ez deñnido el nodo isu ado y el ángulo de a ance de la isu a, se pasa a edeñni la malla y a comp oba el equilib io en la nue a si uación esul an e, sin aumen a el ni el de ca ga. REORGANIZACION DE LA MALLA Pa a log a el obje i o plan eado de ob ene un p oceso absolu amen e au omá ico du an e la egene ación de la malla se ope a con una sis emá ica que pe mi e con empla la g an a iedad de casos posibles que pueden p esen a se. Es a sis emá ica cons a de una se ie de pasos que se desc iben a con inuación. Pa iendo del conocimien o del nodo isu ado y la di ección de a ance de la isu a, el p ime p oblema que se plan ea es la elección del elemen o a a és del cual la isu a a a p opaga se, ya que, en gene al, exis en dos elemen os a a esados po la ec a que de ine la di ección del a ance. El c i e io seguido es el de escoge como elemen o isu ado aquel que, a a esado po la di ección de la isu a, gene a un nue o amo de isu a que o ma con el amo ya exis en e un ángulo mayo que ~/2, es o es, se desecha el elemen o a a és del cual la isu a "a anza ía hacia a ás" (Figu a 5). Si el nodo isu ado no es cabeza de isu a de ninguna isu a an e io (p.e. un nodo de bo de o un nodo in e io ) esul a i ele an e la decisión ace ca de la elección del elemen o isu ado. Una ez de inido el elemen o isu ado se conside a que el nue o amo de isu a se p opaga has a encon a se con el lado opues o al nodo isu ado, di idiendo al elemen o en dos. Sin emba go, es o plan ea una nue a di icul ad, ya que en muchas ocasiones el nue o amo de isu a se sepa a muy poco de algunos de los lados del iángulo y, al desdobla se és e en dos, uno de ellos esul a excesi amen e ala gado, p opo cionando M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA di eccih de isu a elemen o isu a e ia desechado Figu a 5. Elección del elemen o isu ado. una malla muy descompensada e in oduciendo un ac o de imp ecisión en el pos e io análisis. La solución más simple consis e en de ini un ángulo máximo que medido a pa i del lado del iángulo, pe mi a de ini si el nue o amo de isu a se sepa a más o menos que él a pa i de dicho lado. Si el nue o amo de isu a o ma con el lado del iángulo un ángulo mayos que el ángulo máximo se p ocede a de ini el nue o amo a a és del elemen o (Figu a 6a), en caso con a io se hace coincidi el nue o amo con el lado del iángulo (Figu a 6c). Es a solución en a en con lic o con la idea de pe mi i la máxima lexibilidad en la di ección de a ance de la isu a, po lo cual, caso de p oduci se la segunda de las posibilidades ci adas an e io men e, se ha op ado po inclui una e ce a al e na i a consis en e en modi ica la posición del lado del iángulo pa a hace lo coincidi con el amo de isu a (Figu a 6b). Siemp e que sea posible (cuando la isu a se apa e poco del lado del iángulo) el modelo escoge es a posibilidad, ese ando la al e na i a de desplaza el amo de isu a pa a hace lo coincidi con el lado pa a las ocasiones en que sea es ic amen e p eciso, las cuales se p oducen cuando el nodo se deñne como no-desplazable, al es el caso de de nodos de bo de o de aquellos po donde pasa una a madu a. Du an e los p ocesos desc i os has a es e momen o oda ía no se ha llegado a e ec ua ninguna modi icación en la malla, an solo se ha de e minado el luga en el que el nue o amo de isu a se a a inclui den o de la malla de elemen os ini os exis en e. El paso siguien e, que se ha denominado p oceso de gene ación de nodo, consis e en econoce el en o no del elemen o isu ado pa a iden i ica los elemen os a ec ados po la apa ición de la nue a isu a. En la Figu a 7 se ep esen an las posibilidades que pueden da se dependiendo del ipo de elemen os a ec ados. En esencia, du an e es e p oceso se gene an los nodos y se duplican y gene an los elemen os necesa ios pa a que la con igu ación inal de la malla se componga del mismo ipo de elemen os ya de inidos ( iángulos o elemen os lineales). Como ejemplo en la Figu a 8 se indican LA FISURACION DISCRETA EN ESTRUCTURAS DE HORMIGON 387 o nodo isu ado ;' di eccion de la isum // isu a (elemen o encapmien o) Figu a 6. (a) Caso gene al con gene ación de un nodo. (b) Caso de nodo desplazable: se modi ica la posición del nodo. (c) Caso de nodo no-desplazable: se modi ica la di ección de la isu a. los cambios que ienen luga du an e es e p oceso en uno de los casos ci ados en la Figu a 7 (conc e amen e el caso (e) de esa igu a). En dicha Figu a 8 se mues a ien sean como se easignan los nodos asociados a cada elemen o ( a iable NODE), b' an iguos, bien gene ados, e igualmen e como se modi ican las a iables que almacenan la in o mación de los elemen os que llegan a cada nodo ( a iable NENOD), in o mación que consis e en indica el núme o y ipo del elemen o (1 ho migón, 2 ace o, 3 adhe encia, 4 encajamien o y 5 pasado ). La eo ganización opológica de la malla ñnaliza con el p oceso de duplicación de nodo consis en e en la inclusión de un elemen o encajamien o, jun o con la pos e io duplicación de uno, los dos, o ninguno de los nodos que delimi an el nue o amo de isu a (Figu a 9), dependiendo de la si uación del nodo: Si uación del nodo an es ;Se duplica? Si uación del nodo después In e io No Cabeza de isu a Cabeza de isu a Si Labio de isu a Labio de isu a Si Labio de isu a Ex e io Si Ex e io y labio de isu a además de la inclusión de un elemen o pasado si ello ue a necesa io. La Úl ima ope ación del p oceso de duplicación de nodo consis e en esigna a cada uno de los nodos, an o an iguo, como duplicado, los elemen os que an es llegaban al nodo an iguo. 394 M.A. FERNANDEZ PRADA Y P. MIGUEL SOSA p incipalmen e, cuando la o u a sob e iene po la apa ición de una isu a diagonal debida al co an e. La in luencia del ipo de malla es mínimamen e ele an e an o en lo que se e ie e a las edes de isu ación ob enidas como a las cu as ca ga- lecha. REFERENCIAS 1. M.A. Fe nández P ada, "Un modelo po el mé odo de los elemen os ini os pa a el análisis no-lineal de es uc u as de ho migón en ensión plana con ep esen ación eal de la isu an, Tesis Doc o al, Publicación UPV/ic.88.2, Dp o. de Ing. de la Cons ucción (UPV), Valencia, (1988). 2. D. Ngo y A.C. Sco delis "Fini e elemen analysis o ein o ced conc e e beamsn, ACI JOUT~U~, Vol. 64, No. 3, pp. 152-163, (1967). 3. D. 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