Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Calculo
y
Diseño e.n Ingenie ía. Vol.
7,
1,
55-66(
1991)
ESTRATEGIAS DE SOLUCION PARA
ANALISIS DE CONSOLIDACION
ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS
A. SAETTA
B.A. SCHREFLER
Y
R.
VITALIANI
Is i u o di Scienza e Tecnica delle Cos uzioni,
Vía Ma zolo
9,
35131
Pado a, I alia.
RESUMEN
Se e isan b e emen e las es a egias empleadas usualmen e pa a esol e las ecuaciones
acopladas del p oblema de la consolidación de suelos sa u ados. Luego se in oduce un
nue o esquema basado en la solucion pa icionada del conjun o de ecuaciones acopladas y
se desa ollan los c i e ios de con e gencia y es abilidad necesa ios.
SUMMARY
Commonly used solu ion s a egies o he coupled se o equa ions go e ning consolida ion
o sa u a ed soil a e b ie ly e iewed. Then
a
new p ocedu e based on he pa i ioned solu ion
o he coupled se o equa ions is in oduced and he necessa y s abili y and con e gence c i e ia
a e de i ed.
INTRODUCCION
Las p ime as aplicaciones del mé odo de elemen os ini os
al
análisis de
consolidación de suelos elás icos iso é micos apa ecie on hacia el
inal
de la década de
los sesen a'12. Desde en onces el ema ha susci ado mucho in e és
y
se han conseguido
conside ables p og esos en los p ocedimien os de solución
y
en la complejidad de los
p oblemas esuel os. Desc ipciones de la li e a u a del ema más ecien es pueden
encon a se en las e e encias
[3]
y
[4].
En ocamos aquí nues o in e és en los
p ocedimien os de solución de las ecuaciones acopladas que manejan el p oblema. Es e
in e és es á jus i icado po el hecho de que los análisis de consolidación que siguen las
líneas de la eo ía de Bio 5, implican un núme o de g ados de libe ad po nodo que
gene almen e es la suma de los g ados de libe ad de los dos campos in e ac uan es
(campos de desplazamien o
y
lujo),
y
más aún, a menudo conducen a la gas his o ias
en el iempo. Así, es impo an e dispone de esquemas de solución e icien es pa a el
Recibido: No iemb e 1989
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
A. SAETTA,
B.
SCHREFLER
Y
R.
VITALIANI
análisis de p oblemas de ingenie ía eal que a menudo son no lineales y exigen una
ex ensión a p oblemas idimensionales
.
Recien emen e Pa k y Felippa6 han p opues o
un
esquema de solución pa icionada
pa a el análisis de in e acción en e dos o más campos. Es e p ocedimien o se ha
adap ado con éxi o pa a el análisis de consolidación no iso é mica4J. Median e la
in oducción de una pa ición se descompone el p oblema en una pa e de consolidación
(campos de desplazamien o y lujo) y o a é mica (campo de empe a u as), puede
consegui se una des acable e iciencia compu aciona18. Aquí in es igamos la posibilidad
de ex ende más aún la pa ición, es deci , descompone el p oblema de consolidación
en dos campos sepa ados. La posible exis encia del campo de empe a u as no complica
la si uación, ya que el acoplamien o en e es e campo y los de p esión y desplazamien os
es débil8. Podemos así en oca nues a a ención solamen e en la consolidación
iso é mica. El p oceso esul an e ambién esul a a ac i o pa a el análisis de
consolidación iso é mica po si misma, especialmen e si se emplean nic ocompu ado es.
Es impo an e eco da que descompone no signi ica desacopla las ecuaciones, sino
que consis e en p ocesa los ec o es de es ado del p oblema acoplado median e módulos
sepa ados, llamados analizado es de campo. Es os analizado es de campo se sinc onizan
pa a ope a de mane a secuencia1 o pa alela6. En lo que sigue se emplea el esquema
secuencial ya que es el más ap opiado paia o denado es pequeños
An es de a a con la solución pa icionada se es ablecen simplemen e las
ecuaciones del p oblema y se e isan los esquemas de solución más comunes pa a
des aca sus di e encias.
ECUACIONES DISCRETAS DEL PROBLEMA
Las ecuaciones que desc iben el p oblema de la consolidación iso é mica pueden
ob ene se ya sea imponiendo la nulidad de las de i adas de Ga eaux de un
p incipio a iacional con enien e113, bien median e el empleo del p incipio de abajos
i uales4J0, o median e. una o mulación de esiduos ponde ados4~". La eo ía
subyacen e se basa o bien en la eo ía del con inuo de mezclas o en la eo ía del con inuo
de ma e iales con mic oes uc ~ a'~~'~.
Las ecuaciones que desc iben el p oblema se es ablecen simplemen e aquí, como se
han ob enido en la e e encia
[14],
luego de disc e iza el espacio median e elemen os
ini os.
donde
u
y
p
son, los alo es nodales de las a iables básicas, ,es deci el ec o
desplazamien os del esquele o sólido y el ec o de p esiones de po os del luido
sa u ado,
H
y
M
son las ma ices de igidez y masa usuales de un p oblema
de equilib io desacoplado en mecánica de sólidos y
S
y
H
son las ma ices de
capaci ancia y conduc i idad que co esponden a un p oblema de il ación desacoplado.
Gene almen e es as ma ices son simé icas, de inidas y posi i as, aún si
K
esul a no
simé ica en el caso de plas icidad no asociada.
ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS
57
Finalmen e
Q
es la ma iz de in e acción en e los dos campos. La exp esión
de allada de,es os dos campos puede encon a se en la li e a u a". Pa a los desa ollos
pos e io es la ecuación
(1)
se esc ibe en una o ma más concisa como
El signi icado de las ma ices
y
ec o es an e io es su ge inmedia amen e de la
inspección de la ecuación
(1).
En es e abajo la ma iz de masa se desp ecia
y
el sis ema de ecuaciones
(2)
esul a
simplemen e:
Pa a esol e el p oblema de alo es iniciales, deben ans o ma se las ecuaciones
di e enciales
(3)
en un sis ema algeb aico disc e o median e la in eg ación en el iempo.
Los esquemas empo ales adop ados po di e sos au o es se e isan en la e e encia
(31.
Aquí u ilizamos un esquema empo al de dos ni eles (e-s anda d)
y
el sis ema
(3)
esul a:
donde
A
indica el inc emen o de iempo, u,+l, p,+l,
y
u,
y
p, son los desplazamien os
y
p esiones calculados en los pasos de iempo
n
+
1
y
n
espec i amen e,
0
es
un
pa áme o lib e que con ola la es abilidad
y
la p ecisión del esquema. Gene almen e
se supone
O
<
0
<
1.
El lec o puede e i ica ácilmen e que en nues o caso el acoplamien o en e los
dos campos ocu e solamen e en el ansi i o
y
desapa ece cuando se alcanza el es ado
es aciona io.
PROCEDIMIENTOS DE SOLUCION
Di e sos au o es han abo dado la solución di ec a de la ecuación
(3),
o de
ecuaciones ~imila es'.~.ll. Es a écnica p opo ciona ambas a iables al mismo iempo
y
no equie e ope aciones ma iciales adicionales, una ez de inidas las ma ices.
Smi h15
y
K auselo, educen el núme o de g ados de libe ad en el caso lineal,
median e la eliminación o bien de la p esión de luido p, o del desplazamien o del suelo
u. La p ime a écnica ha sido denominada mé odo de los desplazamien os po K auselo
y
la segunda mé odo de las p esiones.
En
cada ins an e sólo se conoce la his o ia de
una a iable. Si se ha de e minado el campo de desplazamien os, el campo de p esiones
se calcula median e di e enciación numé ica, con la consiguien e pé dida de exac i ud.
58
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B.
SCHREFLER
Y
R.
VITALIANI
En el mé odo de las p esiones, donde el núme o de g ados de libe ad se educe a
un
mínimo, los desplazamien os se ob ienen median e la solución de las ecuaciones de
equilib io. En el mé odo de las p esiones las ma ices no son dispe sas.
El esquema de solución pa icionada, que se a a á a con inuación, man iene la
en aja de a a con ma ices más pequeñas sin pe de su ca ac e ís ica de banda.
Más aún, p o ee la his o ia empo al pa a ambas a iables de es ado.
Comenzamos con la ecuación
(4).
La ma iz
D
=
(B
+
BA C)
del p ime miemb o
de la ecuación
(4)
se descompone según
donde
La ecuación
(6)
se sus i uye aho a cn la ecuación
(4)
y
D~x"+'
se ans ie a
al
segundo miemb o, donde
xn+l
se sus i uye median e un p edic o
xi+'
adecuado.
PREDICTORES
Hay una g an a iedad de p edic o es de la solución en el ins an e
n
+
1.
Dos de
los más empleados son:
con
O
<
7
<
1.
A
menudo se hace
7
=
0
o
y
=
O.
En el Úl imo caso el p edic o iene
dado po la Úl ima solución conocida
xn.
La exp esión gene al de los p edic o es puede
esc ibi se según:
donde el p edic o se exp esa como una unción de la solución an e io . Fo mas ípicas
de la ecuación
(10)
pueden ob ene se de las ó mulas de in eg ación numé ica según:
O as o mas del p edic o incluyen ambién la p ime a de i ada empo al de la
a iable de es ado
x
y son de la o ma geneial
ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS
5
9
Es as son comunes en p oblemas con de i adas empo ales de segundo o den6. Los
alo es de las de i adas pueden ob ene se de la ecuación
(3).
Es o equie e sin emba go
que se conozca B-', lo que no es an a ac i o en nues o caso. En lo que sigue
empleamos p edic o es dados po la ecuación (9).
SOLUCION ESCALONADA
Median e la adopción de la ecuación (9)
y
descomponiendo la ma iz
D
como en
la ecuación
(7),
podemos esc ibi el sis ema siguien e
que pueden eesc ibi se como
Es e esquema escalonado comienza esol iendo la p ime a ecuación del sis ema (3)
con
y
=
O
(úl ima solución), luego se esuel e la segunda ecuación con
h+l
ya calculado
y
con el ec o ac ual del pa áme o
y.
A
con inuación el esquema es i e a i o
y
con inúa has a que la solución con e ge.
Dado que el acoplamien o de los dos campos es no malmen e ue e, al menos
en ma e iales como suelos, se necesi an i e aciones den o de cada paso de iempo
pa a log a con e gencia. Los equisi os de con e gencia dan
un
lími e in e io pa a el
amaño del paso de iempo como se e á en el p óximo apa ado.
Las i e aciones no son una des en aja p imo dial, ya que en muchos p oblemas
p ác icos algún g ado de no linealidad es á p esen e. Tales no linealidades equie en
gene almen e i e aciones en dos esquemas empo ales. No se equie en ope aciones
ma iciales adicionales excep o las necesa ias pa a la descomposición del' p ime
miemb o de la ecuación (12).

A. SAETTA,
B.
SCHREFLER
Y
R.
VITALIANI
ANALISIS DE
LA
CONVERGENCIA
Se in es iga aho a la con e gencia de las i e aciones den o de cada caso de iempo
pa a el caso lineal.
Las ecuaciones (13) esul an
"+'
=
bu,
+
hp,
+
dp:+,
+
F,
ep:$
=
u,
+
gp,
-
ui+,
+
Fp
(14)
donde
s
indica la i e ación.
Rema cando los é minos implicados en la i e ación, la ecuación (14) puede
esc ibi se simplemen e como
y sus i uyendo
u:+,
=
u2
de la p ime a ecuación en'la segunda
Conside ando la segunda ecuación, podemos esc ibi
d+l
-
+
G
ePn+i
-
donde
donde
J
=
(-e-' a-ld)
es la ma iz i e a i a del sis ema.
Puede mos a sels que el mé odo i e a i o con e ge si
donde p(J) es el el mayo au o alo de J.
Desp eciando la comp esibilidad de los g amos del sólido y la del luido
(S
=
O),
que usualmen e esul a acep able pa a suelos, la ma iz de i e ación esul a
ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS
y
la ecuación (20) se educe
a
Debido al hecho que en nues o caso
J
es eal
y
simé ico, pa a los alo es de 6
y
7
elegidos, puede consegui se la con e gencia del p oceso i e a i o sólo si se cumple
lo que ep esen a
un
lími e in e io pa a el amaño del inc emen o de iempo. Cuan
es ic i a esul a es a condición depende de los au o alo es de la ma iz H-'QTK-'Q
esul ando así una unción de las p opiedades del ma e ial, pe meabilidades
y
da os
geomé icos.
ANALISIS DE ESTABILIDAD
La es abilidad numé ica de las ecuaciones pa icionadas no sólo depende de la
ó mula de in eg ación sino ambién de la descomposición
y
de la exp esión del
p edic o 6. Como ejemplo se examina la es abilidad numé ica de las ecuaciones
(3),
eesc i as según (13). Pa a ello se busca una solución no i ial del ipo
pa a el caso de espues a lib e, es deci cuando odos los é minos de ca ga son nulos
en la ecuación (1). El pa áme o y es el coe icien e de ampli icación de la solución. La
sus i ución de la ecuación (24) en la (13) p opo ciona la ecuación ca ac e ís ica
P(X)xn
=
o
donde
P(X)
=
[DT
+
yDE
+
(1
-
7)DE
-
B
+
(1
-
B)A C] (26)
Una solución no i ial de la (25) equie e
de P(X)
=
O
(27)
Pa a la in es igación de la ecuación (25) es con enien e in oduci la ans o mación
A. SAETTA,
B.
SCHREFLER
Y
R.
VITALIANI
que ans o ma el cí culo de es abilidad
)A)
5
1
sob e el semiplano deñnido po
Re(z)
5
O".
La ecuación (27) puede así eesc ibi se como
Desa ollando el de e minan e la ecuación (29) queda
Si las ma ices
a,
b
y
c son de inidas posi i as, el polinomio (30) no iene aices
eales posi i as (Teo ema de Rou h).
La condición de ma iz de inida posi i a pa a a,
b
y
c, puede asegu a se imponiendo
EJEMPLOS NUMERICOS
La e ec i idad del p ocedimien o de solución pa icionado p opues o se demues a
median e dos ejemplos simples omados de la li e a u a
Ejemplo
lZ0
En la Figu a
1
se mues a una columna de suelo suje a a ca gas supe iciales
q,
que a ían con el iempo (Figu a 2). Las condiciones de con o no
y
las p opiedades del
ma e ial se mues an en la misma igu a.
m
0.1,O
O.
4,O
Pe meabilidad (di ección
x)
K,
:
=
1 m/seg
Pe meabilidad (di ección
y)
Ky
:
=
1 m/seg
Módulo de Elas icidad
E
:
=
1
KN/m2
Coe icien e de Poisson
u:
=
O
Módulo oluiiié ico del luido
K
:
=
.1.106 KN/m2
Po osidad po .
:
=
0.3
21
2
3
-1
=-
1,o
Figu a 1. Ejeiiiplo 1: Malla
y
da os.
-
--
ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS PO&OSOS
'~oad
KN/~~
1.0
Time
(sec
)
--
10
Figu a
2.
Función de ca ga.
Pa a ga an iza la con e gencia
(p(J)
5
l),
el amaño del paso de iempo se
a
elegido igual a 90 segundos. Nó ese que és e es
un
inc emen o de iempo acep able en
p oblemas de consolidación.
Los esul ados numé icos se ilus an en las Figu as
3
y
4
en unción de los
desplazamien os y p esión nodal espec i amen e.
Figu a
3.
Desplazamien os Nodales. Figu a
4.
P esiones nodales.
Ejemplo
2'l
En la Figu a
5
se mues a un plano de suelo semi-in ini o, suje o a la misma ca ga
supe icial que en el ejemplo
1.
Las ca ac e ís icas del suelo se indican en dicha Figu a
y ambién en es e caso el amaño del paso de iempo debe se 90 seg.
Igual que en el ejemplo an e io los desplazamien os y las p esiones nodales se
mues an en las Figu as
6
y
7
espec i amen e.
Los mismos esul ados numé icos de los dos casos p e ios se
han
ob enido con
un
p ocedimien o global ensayado en a ios casos.