Estrategias de solución para análisis de consolidación acoplados en medios porosos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Calculo y Diseño e.n Ingenie ía. Vol. 7, 1, 55-66( 1991) ESTRATEGIAS DE SOLUCION PARA ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS A. SAETTA B.A. SCHREFLER Y R. VITALIANI Is i u o di Scienza e Tecnica delle Cos uzioni, Vía Ma zolo 9, 35131 Pado a, I alia. RESUMEN Se e isan b e emen e las es a egias empleadas usualmen e pa a esol e las ecuaciones acopladas del p oblema de la consolidación de suelos sa u ados. Luego se in oduce un nue o esquema basado en la solucion pa icionada del conjun o de ecuaciones acopladas y se desa ollan los c i e ios de con e gencia y es abilidad necesa ios. SUMMARY Commonly used solu ion s a egies o he coupled se o equa ions go e ning consolida ion o sa u a ed soil a e b ie ly e iewed. Then a new p ocedu e based on he pa i ioned solu ion o he coupled se o equa ions is in oduced and he necessa y s abili y and con e gence c i e ia a e de i ed. INTRODUCCION Las p ime as aplicaciones del mé odo de elemen os ini os al análisis de consolidación de suelos elás icos iso é micos apa ecie on hacia el inal de la década de los sesen a'12. Desde en onces el ema ha susci ado mucho in e és y se han conseguido conside ables p og esos en los p ocedimien os de solución y en la complejidad de los p oblemas esuel os. Desc ipciones de la li e a u a del ema más ecien es pueden encon a se en las e e encias [3] y [4]. En ocamos aquí nues o in e és en los p ocedimien os de solución de las ecuaciones acopladas que manejan el p oblema. Es e in e és es á jus i icado po el hecho de que los análisis de consolidación que siguen las líneas de la eo ía de Bio 5, implican un núme o de g ados de libe ad po nodo que gene almen e es la suma de los g ados de libe ad de los dos campos in e ac uan es (campos de desplazamien o y lujo), y más aún, a menudo conducen a la gas his o ias en el iempo. Así, es impo an e dispone de esquemas de solución e icien es pa a el Recibido: No iemb e 1989 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 A. SAETTA, B. SCHREFLER Y R. VITALIANI análisis de p oblemas de ingenie ía eal que a menudo son no lineales y exigen una ex ensión a p oblemas idimensionales . Recien emen e Pa k y Felippa6 han p opues o un esquema de solución pa icionada pa a el análisis de in e acción en e dos o más campos. Es e p ocedimien o se ha adap ado con éxi o pa a el análisis de consolidación no iso é mica4J. Median e la in oducción de una pa ición se descompone el p oblema en una pa e de consolidación (campos de desplazamien o y lujo) y o a é mica (campo de empe a u as), puede consegui se una des acable e iciencia compu aciona18. Aquí in es igamos la posibilidad de ex ende más aún la pa ición, es deci , descompone el p oblema de consolidación en dos campos sepa ados. La posible exis encia del campo de empe a u as no complica la si uación, ya que el acoplamien o en e es e campo y los de p esión y desplazamien os es débil8. Podemos así en oca nues a a ención solamen e en la consolidación iso é mica. El p oceso esul an e ambién esul a a ac i o pa a el análisis de consolidación iso é mica po si misma, especialmen e si se emplean nic ocompu ado es. Es impo an e eco da que descompone no signi ica desacopla las ecuaciones, sino que consis e en p ocesa los ec o es de es ado del p oblema acoplado median e módulos sepa ados, llamados analizado es de campo. Es os analizado es de campo se sinc onizan pa a ope a de mane a secuencia1 o pa alela6. En lo que sigue se emplea el esquema secuencial ya que es el más ap opiado paia o denado es pequeños An es de a a con la solución pa icionada se es ablecen simplemen e las ecuaciones del p oblema y se e isan los esquemas de solución más comunes pa a des aca sus di e encias. ECUACIONES DISCRETAS DEL PROBLEMA Las ecuaciones que desc iben el p oblema de la consolidación iso é mica pueden ob ene se ya sea imponiendo la nulidad de las de i adas de Ga eaux de un p incipio a iacional con enien e113, bien median e el empleo del p incipio de abajos i uales4J0, o median e. una o mulación de esiduos ponde ados4~". La eo ía subyacen e se basa o bien en la eo ía del con inuo de mezclas o en la eo ía del con inuo de ma e iales con mic oes uc ~ a'~~'~. Las ecuaciones que desc iben el p oblema se es ablecen simplemen e aquí, como se han ob enido en la e e encia [14], luego de disc e iza el espacio median e elemen os ini os. donde u y p son, los alo es nodales de las a iables básicas, ,es deci el ec o desplazamien os del esquele o sólido y el ec o de p esiones de po os del luido sa u ado, H y M son las ma ices de igidez y masa usuales de un p oblema de equilib io desacoplado en mecánica de sólidos y S y H son las ma ices de capaci ancia y conduc i idad que co esponden a un p oblema de il ación desacoplado. Gene almen e es as ma ices son simé icas, de inidas y posi i as, aún si K esul a no simé ica en el caso de plas icidad no asociada. ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS 57 Finalmen e Q es la ma iz de in e acción en e los dos campos. La exp esión de allada de,es os dos campos puede encon a se en la li e a u a". Pa a los desa ollos pos e io es la ecuación (1) se esc ibe en una o ma más concisa como El signi icado de las ma ices y ec o es an e io es su ge inmedia amen e de la inspección de la ecuación (1). En es e abajo la ma iz de masa se desp ecia y el sis ema de ecuaciones (2) esul a simplemen e: Pa a esol e el p oblema de alo es iniciales, deben ans o ma se las ecuaciones di e enciales (3) en un sis ema algeb aico disc e o median e la in eg ación en el iempo. Los esquemas empo ales adop ados po di e sos au o es se e isan en la e e encia (31. Aquí u ilizamos un esquema empo al de dos ni eles (e-s anda d) y el sis ema (3) esul a: donde A indica el inc emen o de iempo, u,+l, p,+l, y u, y p, son los desplazamien os y p esiones calculados en los pasos de iempo n + 1 y n espec i amen e, 0 es un pa áme o lib e que con ola la es abilidad y la p ecisión del esquema. Gene almen e se supone O < 0 < 1. El lec o puede e i ica ácilmen e que en nues o caso el acoplamien o en e los dos campos ocu e solamen e en el ansi i o y desapa ece cuando se alcanza el es ado es aciona io. PROCEDIMIENTOS DE SOLUCION Di e sos au o es han abo dado la solución di ec a de la ecuación (3), o de ecuaciones ~imila es'.~.ll. Es a écnica p opo ciona ambas a iables al mismo iempo y no equie e ope aciones ma iciales adicionales, una ez de inidas las ma ices. Smi h15 y K auselo, educen el núme o de g ados de libe ad en el caso lineal, median e la eliminación o bien de la p esión de luido p, o del desplazamien o del suelo u. La p ime a écnica ha sido denominada mé odo de los desplazamien os po K auselo y la segunda mé odo de las p esiones. En cada ins an e sólo se conoce la his o ia de una a iable. Si se ha de e minado el campo de desplazamien os, el campo de p esiones se calcula median e di e enciación numé ica, con la consiguien e pé dida de exac i ud. 58 A. SAETTA, B. SCHREFLER Y R. VITALIANI En el mé odo de las p esiones, donde el núme o de g ados de libe ad se educe a un mínimo, los desplazamien os se ob ienen median e la solución de las ecuaciones de equilib io. En el mé odo de las p esiones las ma ices no son dispe sas. El esquema de solución pa icionada, que se a a á a con inuación, man iene la en aja de a a con ma ices más pequeñas sin pe de su ca ac e ís ica de banda. Más aún, p o ee la his o ia empo al pa a ambas a iables de es ado. Comenzamos con la ecuación (4). La ma iz D = (B + BA C) del p ime miemb o de la ecuación (4) se descompone según donde La ecuación (6) se sus i uye aho a cn la ecuación (4) y D~x"+' se ans ie a al segundo miemb o, donde xn+l se sus i uye median e un p edic o xi+' adecuado. PREDICTORES Hay una g an a iedad de p edic o es de la solución en el ins an e n + 1. Dos de los más empleados son: con O < 7 < 1. A menudo se hace 7 = 0 o y = O. En el Úl imo caso el p edic o iene dado po la Úl ima solución conocida xn. La exp esión gene al de los p edic o es puede esc ibi se según: donde el p edic o se exp esa como una unción de la solución an e io . Fo mas ípicas de la ecuación (10) pueden ob ene se de las ó mulas de in eg ación numé ica según: O as o mas del p edic o incluyen ambién la p ime a de i ada empo al de la a iable de es ado x y son de la o ma geneial ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS 5 9 Es as son comunes en p oblemas con de i adas empo ales de segundo o den6. Los alo es de las de i adas pueden ob ene se de la ecuación (3). Es o equie e sin emba go que se conozca B-', lo que no es an a ac i o en nues o caso. En lo que sigue empleamos p edic o es dados po la ecuación (9). SOLUCION ESCALONADA Median e la adopción de la ecuación (9) y descomponiendo la ma iz D como en la ecuación (7), podemos esc ibi el sis ema siguien e que pueden eesc ibi se como Es e esquema escalonado comienza esol iendo la p ime a ecuación del sis ema (3) con y = O (úl ima solución), luego se esuel e la segunda ecuación con h+l ya calculado y con el ec o ac ual del pa áme o y. A con inuación el esquema es i e a i o y con inúa has a que la solución con e ge. Dado que el acoplamien o de los dos campos es no malmen e ue e, al menos en ma e iales como suelos, se necesi an i e aciones den o de cada paso de iempo pa a log a con e gencia. Los equisi os de con e gencia dan un lími e in e io pa a el amaño del paso de iempo como se e á en el p óximo apa ado. Las i e aciones no son una des en aja p imo dial, ya que en muchos p oblemas p ác icos algún g ado de no linealidad es á p esen e. Tales no linealidades equie en gene almen e i e aciones en dos esquemas empo ales. No se equie en ope aciones ma iciales adicionales excep o las necesa ias pa a la descomposición del' p ime miemb o de la ecuación (12). A. SAETTA, B. SCHREFLER Y R. VITALIANI ANALISIS DE LA CONVERGENCIA Se in es iga aho a la con e gencia de las i e aciones den o de cada caso de iempo pa a el caso lineal. Las ecuaciones (13) esul an "+' = bu, + hp, + dp:+, + F, ep:$ = u, + gp, - ui+, + Fp (14) donde s indica la i e ación. Rema cando los é minos implicados en la i e ación, la ecuación (14) puede esc ibi se simplemen e como y sus i uyendo u:+, = u2 de la p ime a ecuación en'la segunda Conside ando la segunda ecuación, podemos esc ibi d+l - + G ePn+i - donde donde J = (-e-' a-ld) es la ma iz i e a i a del sis ema. Puede mos a sels que el mé odo i e a i o con e ge si donde p(J) es el el mayo au o alo de J. Desp eciando la comp esibilidad de los g amos del sólido y la del luido (S = O), que usualmen e esul a acep able pa a suelos, la ma iz de i e ación esul a ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS POROSOS y la ecuación (20) se educe a Debido al hecho que en nues o caso J es eal y simé ico, pa a los alo es de 6 y 7 elegidos, puede consegui se la con e gencia del p oceso i e a i o sólo si se cumple lo que ep esen a un lími e in e io pa a el amaño del inc emen o de iempo. Cuan es ic i a esul a es a condición depende de los au o alo es de la ma iz H-'QTK-'Q esul ando así una unción de las p opiedades del ma e ial, pe meabilidades y da os geomé icos. ANALISIS DE ESTABILIDAD La es abilidad numé ica de las ecuaciones pa icionadas no sólo depende de la ó mula de in eg ación sino ambién de la descomposición y de la exp esión del p edic o 6. Como ejemplo se examina la es abilidad numé ica de las ecuaciones (3), eesc i as según (13). Pa a ello se busca una solución no i ial del ipo pa a el caso de espues a lib e, es deci cuando odos los é minos de ca ga son nulos en la ecuación (1). El pa áme o y es el coe icien e de ampli icación de la solución. La sus i ución de la ecuación (24) en la (13) p opo ciona la ecuación ca ac e ís ica P(X)xn = o donde P(X) = [DT + yDE + (1 - 7)DE - B + (1 - B)A C] (26) Una solución no i ial de la (25) equie e de P(X) = O (27) Pa a la in es igación de la ecuación (25) es con enien e in oduci la ans o mación A. SAETTA, B. SCHREFLER Y R. VITALIANI que ans o ma el cí culo de es abilidad )A) 5 1 sob e el semiplano deñnido po Re(z) 5 O". La ecuación (27) puede así eesc ibi se como Desa ollando el de e minan e la ecuación (29) queda Si las ma ices a, b y c son de inidas posi i as, el polinomio (30) no iene aices eales posi i as (Teo ema de Rou h). La condición de ma iz de inida posi i a pa a a, b y c, puede asegu a se imponiendo EJEMPLOS NUMERICOS La e ec i idad del p ocedimien o de solución pa icionado p opues o se demues a median e dos ejemplos simples omados de la li e a u a Ejemplo lZ0 En la Figu a 1 se mues a una columna de suelo suje a a ca gas supe iciales q, que a ían con el iempo (Figu a 2). Las condiciones de con o no y las p opiedades del ma e ial se mues an en la misma igu a. m 0.1,O O. 4,O Pe meabilidad (di ección x) K, : = 1 m/seg Pe meabilidad (di ección y) Ky : = 1 m/seg Módulo de Elas icidad E : = 1 KN/m2 Coe icien e de Poisson u: = O Módulo oluiiié ico del luido K : = .1.106 KN/m2 Po osidad po . : = 0.3 21 2 3 -1 =- 1,o Figu a 1. Ejeiiiplo 1: Malla y da os. - -- ANALISIS DE CONSOLIDACION ACOPLADOS EN MEDIOS PO&OSOS '~oad KN/~~ 1.0 Time (sec ) -- 10 Figu a 2. Función de ca ga. Pa a ga an iza la con e gencia (p(J) 5 l), el amaño del paso de iempo se a elegido igual a 90 segundos. Nó ese que és e es un inc emen o de iempo acep able en p oblemas de consolidación. Los esul ados numé icos se ilus an en las Figu as 3 y 4 en unción de los desplazamien os y p esión nodal espec i amen e. Figu a 3. Desplazamien os Nodales. Figu a 4. P esiones nodales. Ejemplo 2'l En la Figu a 5 se mues a un plano de suelo semi-in ini o, suje o a la misma ca ga supe icial que en el ejemplo 1. Las ca ac e ís icas del suelo se indican en dicha Figu a y ambién en es e caso el amaño del paso de iempo debe se 90 seg. Igual que en el ejemplo an e io los desplazamien os y las p esiones nodales se mues an en las Figu as 6 y 7 espec i amen e. Los mismos esul ados numé icos de los dos casos p e ios se han ob enido con un p ocedimien o global ensayado en a ios casos.