ANALISIS
DE
ERRDRES
EN
LA
TEORIA
DE
TRANSICIDNES
EN
Ll-
NEAS
DE
TRANSMlSION
JAVIER
BARA
TEMES
Ca ed a
d8
Mic oondas,
Esc.
Tee.
Sup.
lng.
de
Telecomunicacion,
Ba celona.
ABSTRACT
The
analysis
o
ansmission
line
ape s
is
app oached
h ou
s h
an
in eg al
equa ion
o mula ion
(e~ui alen
o
a
se i~s
solu ion
o
p opaga ion
h ough
an
inhomoge-
neous
medium
gi en
by
B emme )
which
can
be
used
o
i e-
~ i ely
ob ain
app oxima ions,
he
i s
o
which
is
he
o mula
o dina ily
used
in
he
analysis
and
syn hesis
p oblems.
F om
he
second,
an
es ima ion
o
he
e o
in-
ol ed
in
he
compu a ion
o
he
e lec ion
is
ob ained
and
s udied
in
de ail
o
he
exponen ial
and
he
Cheby-
che
ape s.
This
la e
is
ound
o
be
e y
sensi i e
o
he
app oxima ions
in ol ed
a
la ge
misma ches
and/
o
low
esidual
e lec ions.
Fo mulas
and
g aphs
a e
gi-
en
ha
allow
one
o
assess
he
accu acy
and
o
imp o-
e
he
design.
INTRODUCCION
Nos
e
e
i emos
a
la
si uacion
de
la
ig.
1:
Una
l!nea
de
ansml
sion
ideal
de
impedancia
ca ac e-
!s ica
Z0=1
canec ada
median s
u-
na
ansicion
de
longi ud
L a
una
sacci
on
adap ada
de
Z0=Z
L.
Es amas
in s ssadas
en
el
coe icien s
de
e lexion
p(o)
a
la
en ada
de
la
l nea
en
egimen
senoidal
ps mane~
e.
Si
se
supone
la
elacidad
de
~
se
cons an s
en
el
sis ema,
p(x)
obedece
la
ecuacion
/1/,
/2/:
dP
1.
dx
_
=2Y~-(l- )F(x)
(1)
con
y
la
cons an s
de
p opagacion.
E:~
a
ecuacion
sola
puede
in eg a se
en
cie as
cas6s;
pa a
si
se
supo-
ne
(x)<<
1 en
la
~nsicion,
de
o ma
que
pueda
desp ecia se,
se
in eg a
apidamen e,
p opo ciona~
do:
I
I
l(:zO
I
J(•l-
Fig.
1.-
Si uacion
baja
es udio.
I
·
2yx
L
-2 y
·.
(x)=e
x
F(y)s
dy=R(x)
(2)
Es a
exp esion
es
~ il
an o
en
analisis
coma
en
s!n esis,
~e a
pa
su
ca ac e
ap oximado
se
con-
side a
p ecise
solamen e
pa a
des~
dap aciones
pequanas.
En
es e
abajo
se
in es iga
el
111a gen
de
'
alidez
de
(2)
y
se
es ~
blecen
ca as
pa a
las
e o es
in o
luc ados
sin
ecu i
a
la
in eg ~
cion
nums ica
de
(1).
ANALISIS PRELIMINAR
En
la
ansicion,
la
ension
y
la
ca ien e
es an
elacionados
m~
dian e:
67
68
d
dx
J(x)=
-P0
(x
)I(
x)
(3a)
~ x
I(x)=-
zo
x)
V(x)
(3b)
con
' la
con
s an s
de
p opagacion,
s
upu
es a
independien e
de
la
posi-
ci
on
(en
caso
con
a
io,
Ias
ec
ua-
cione
s
siemp e
pu
ed
en
ed
uci se
a
las
(3)
median e
un
cambio
de
a~
iab
le
/2/,/3/)
y Z0(x)
la
impe-
dancia
ca ac e is ica
loc
a l
de
l a
ansicion.
Si
las
solucion
es
las
exp esa-
mos
en
la
o ma
(me odo
wKB,
/4/,
/5/):
REFLEXION
ES
MULTIPLES
La
in e p e acion
del
inal
del
pa a
o
an
e
io
se
puede
pone
de
mani ias o
si
en
(~)
sus i uimos
(x)
po
s (x)
y pone
mos:
P<1
A =
Z snA±
(7)
D n
con
s
una
can idad
que
se
in odu-
ce
po
con eniencia
y q
ue
pos e-
io men e
ed
ucimos
a
la
unid
a
d.
Se
ob ien
e :
L
;;
+ 1
=- (x)e
-
2
y
xA ~
(n D)
(Ba)
dx
n
V(x)=(Z
0
(
x
))
1
/
2
(
A
(
x
)e-~(
x
)
A
-(
x)e~
(
x))
I(
x
)=(Z
0
(
x)
)-l/
2
(
A
+(
x
)e-
(x
)_
~
~(
x)eP
(
x
))
(4a)
(4b)
esul a
~(x)=(xi
·
y,
con
(x)
coma
en
(
1):
. · ·
(Sa)
(sb)
Si
SUROQemos
una
onda
inciden s
de
amp:).i ud
unidad,
A
-(O)=V-(0)=1,
y
~nemos
en
.
cuen a
que
A-(L)=D,
la~
e6uaci6~ss
an e
o es
se
in e-
g an
~cilmen e,
ob eniendo:
I ' ' •
--------------~-------------------
d -
-2Y
X +
d;
·~m
l
=- (x)e
Am (m D)
(Bb)
y l as
de i adas
de
A~
y
A
~
nul
a
s.
Es e
iden e
de
es as
exp esio-
nes
que
el
e mino
A~
1
ep esen-
s
la
onda
gene ada
p~
e lexion
, +
'1
con 1n¥a
de
1~
Am
y
ana
ogamen e
pa a
An+l
y
An
( ig.
2).
Con
las
mismas
condiciones
que
pa a
ob ene
(6)
se
ob iene
aho a:
_
L
-2
IL
(
_(
A
(x)=
X
( )e
d
0 K0
x, )A
)d
(6)
con
el
n~cleo
dado
pa
. .
K ( x
, )=- ( )e
2
Y JL
(
)
( )e-
2
Y d
·O . .
ma
x x, (
7)
A;n
2
(x)=J;
K0
(x, )A2n( )d
(2n+2 l),
A'i(x)=J~
( )e-
2
1 d
I
(9)
A~{L)
A~ L)
La
ec.
(6)
puede
u iliza se
pa-
a
calcula
(D)=A-(0)
po
i e a-
cion.
Comenzando
pa
la
ap oxima-
cion
inicial
A-(0)=0,
se
ob iene
la
.
ap oxim
aci-Dn
clasica
(l),
. y
p o
~
-
ediendo
de
es a
mane a
ob en-d i;;~:
mos
una
solucion
en
se ie
de
Neu-
mann
pa a
la
ecuacion
in eg al
(6),
~
un
~
ue
su
c ~
mpl
~
jid
a
d
anali ies
la
hace
imp ac ica
pa a
calculos.
Una
e
cu
acio
n a
na
loga
ue
ob enid
a p
a
p
i
~
e a
ez
po
B emme
en
ela-
c
ion
con un
p oj!
~
~a
de
p opaga-
ci6n
. en un
media
inh:nnogeneo
po
sus i ucion
jel
madio
pa
un co
n-
jun a
da
capa
s y con
side
aci6n
da
las
Jo ~
~
xia
n
~s
m~l i
p
les
en
e
e-
llas
:.1
.
Fig.
2
.-
[sq
uam
a
de
ge
n
e a
ci6n
de
e l
exio
n
es
mul iples.
Es
dac
i ,
se
ob
ian
en
las
mism
as
exp asiones
de
las
ap
ox
imaci
on
es
sucesi as
de l a
ecuacio
n
in eg al
(6),
como
ad~lan am
os
en
el
p2 ~
o
an
e io .
£5TIM
A~
IL
N
~
EL
E I
RC
H
P
odemos
u ilize
A;(
o)
como
es
ima
cion
del
c
a com
e id:
al
u
i
liz;o
(2)
,
£=
// (
O)i
-/
H(U)
//:
E.~
..I)G)/ =
IJ~
(-4
~( )
)2
( )
e2
y d
I
~~li~ !ed
iJ~
( )d =M
(
10)
(No ese
qua
si
se
'
supo
ne
L
(x)
mo
no ona
en
la
ansl
cion,
8~
sign~
de
(x)
es
cons an s).
5e
puede
comp o
ba
, do
do
el
ea
ac e
oscil
a o
io
de
H- y e l
com-
po amian o
de
(x)
en ±
as
ansl
clones
u ili
ze
das
no malmen e,
~ u e
(11)
co
n
0,5~ :>LJ,7.
Si
ademas
la
nn
s
icion
as
sime ics,
as
deci ,
si
(x
)= (x-L),
as
l
(x)
=i (L/2)
max
E.~ A
3
(o) :S
2
2
j (~)
2
lnZJ=
M
(1
2 )
0,5~ ·~0,7
TRANSICION
EXPUN
EN
CIA
L
Es
u il
:Ja:::c
·:
i ic
a
las
CO!:!_
clusion
es
a
n
e io es
ya
ue
se
d
i
~
po
ne
de
su
solucion
exa
c
a
/2/
.
Los
e
sul ados
se
ac
oge
n
en
la
a
bla
1 y en
la
i
g .
3.
T - 6L
1.-
Comp
2 a
ci6n
del
alo
69
~n
la
l
ao
la
1
puede
obse a se
como,
oa
a
L~A•
.1;
supone
una
ex-
celen e
c o
eccion
al
alu
ap oxl
ma
do H
u ilizado
con encionalmen e.
TRANSIClCN
JE
CHEBICHEV
Se
sabe
~ue
ss
op im
a en
el
se~
ido
de
~
ue
~
a a
ZL
y
e lexion
~
si
du
al
Rj
dados
en
la
ba
nda
de
p~
s:J , l;e
lo~gi ud
e
c;
ue ida
es
mini
-
ma
/
6/.
La
ig.
4
ep e
s
en s
es a
lon
gi
ud
en
uncion
de
ZL
conjRj
coma
pa a~e o
.
- m
En
el
analisis
que
sigue
ha e-
mos
las
si~uian es
hipo esis:
1)
Ya
que
el
e o
de
R
es
signi ica-
i o
pa a
ZL
g ande
y H m
~eque
ii
o,
sup
o
nd
emos
que
la
long1 ud
de
la
ansicion
es
pa
lo
menos
0,5A
0
2)
Las
discon inuidades
de
Z
(x)
en
!os
ex emos
de
la
ansi8ion
se
desp eci
an
en
la
es imacion
de
!os
e o es
(se
comp ueba
que
es-
as
discon inuidades
ep esen an
menos
de
l
5
~
de
la
desadap acion
lo9a i mica
0,5
ln
ZL).
Se
puede
demos a
ambien
que
!as
condiciones
que
pe mi en
esc ~
bi
(11)
se
sa is acen
ambien
en
es e
caso.
En
pa icula ,
cue:
~~
=
0
11
~
-
2(3
F(x)
~
O,OB
Se
ob iene
en onces:
0,5
~ ~·0,7
con
ln
Z ) 3
L
ex
ac o
ds
i !
con
j;;:(o)j
(13)
(14)
y
su
co
a PI
pa a
una
ansicion
sxponencial
de
lon
gi ud
al
que H=O.
(JL I
Pi
IA;(o)l
1"
1 (
=O,
6)
n
0,0020
0,0022
0,0025
2
0,0005
o,coos
0,0006
ZL= 2
3 l
ll,OU02
0,0002
0,0003
I!
ll,
OB46
O,U776
0,0928
211
0,0196
0,0191
0,0232
i.L=lO
3n
0,0085
0,0086
0,0103
n
0,1966
C,l705
0,2LJ43
2
11
0,0439 0,0423
O,G.Jll
ZL
=20
3
11
0,0191
0,0190
0,0227
70
con
~
0
y
•l
los
alo es
de~
Y
l'l
en
el
ex emB
in e io
de
la
banda
de
paso
de
la
ansicion.
En
la
Fig.
4,
donde
se
ep ess£!_
an
lineae
ds
l'l
cons an s,
ss
o£
ss a
su
apido
0
c ecimien o
con
la
ca ga
Z ;
la
.
ansicion
ds
Chebi-
che
sslmuy
sensible
a
las
ap oxl
maciones
implici as
en
la
Fo mula
(2).
En
la
misma
igu a
ss
dibuja
la
linea
donde
la
co a
del
e o
as imado
l'l
iguala
el
coe icisn-
'
o'
e
de
s lexion
esidual
an
la
ba£!_
da de
paso:
Es o
da
una
idea
de
los
ma genes
de
z y
IRI
pa a
los
L m F •
que
loa
dise~os
basados
en
la
o -
mule
(2)
pueden
u iiiza se
co ec-
amen s.
REFERENCIAS
/1/
/2/
/3/
/4/
/5/
/6/
L.R.
Walke
y N .• Wax,
Jou
.
Appl.
Phys,•,
Vol.
17,
PP•
1043
-1045,
Dec.
1946
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R.E.
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Comm.
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Kiop ens sin,
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1956,
pp,
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E-X 'ON NC-IAI.-
.i!L.
= 10
·,
ID
.
O.IG
A-
1~1
B-
E o
c-
I
A-
3
o>J
D-M
A
(A
en
e. s
.:~u "eY lo)
05
c e,c,o en e e
cle. eelnD)
QOS
Fig.
3.
Cae icien e
de
e lexion
ap a
x
imado
R
(A),
p ime a
ca eccion
·
(C),
ca a
calculada
del
ala
an e io
(D)
y
e o
e daae o
(B)
en
un
cion
de
la
longi ud
na malizada
de
la
linea
pa a
una
ansicion
expane~
cial.
Ca ga
no malizada
ZL=
10.
L
I.
ID
0.5
0.0
CHEBYCHEV
0.02
15 ' ' 9
Fig
. 4.
Lineas
de
coe icien e
de
e le
x
ion
ep oximedo
cons an s
Rm
(
az
o s
olido
) y
co a
es
i
m
ada
de l
e o
~0
( azo
disc
on inue)
pa
a
u-
na
a
nsicion
de
Chebyche
en
uncion
de
la
impedancia
(no m
H
lizada)
de
c
a
a LL•
7l