Analisis de errores en la teoría de transiciones en líneas de transmisión

ANALISIS DE ERRDRES EN LA TEORIA DE TRANSICIDNES EN Ll- NEAS DE TRANSMlSION JAVIER BARA TEMES Ca ed a d8 Mic oondas, Esc. Tee. Sup. lng. de Telecomunicacion, Ba celona. ABSTRACT The analysis o ansmission line ape s is app oached h ou s h an in eg al equa ion o mula ion (e~ui alen o a se i~s solu ion o p opaga ion h ough an inhomoge- neous medium gi en by B emme ) which can be used o i e- ~ i ely ob ain app oxima ions, he i s o which is he o mula o dina ily used in he analysis and syn hesis p oblems. F om he second, an es ima ion o he e o in- ol ed in he compu a ion o he e lec ion is ob ained and s udied in de ail o he exponen ial and he Cheby- che ape s. This la e is ound o be e y sensi i e o he app oxima ions in ol ed a la ge misma ches and/ o low esidual e lec ions. Fo mulas and g aphs a e gi- en ha allow one o assess he accu acy and o imp o- e he design. INTRODUCCION Nos e e i emos a la si uacion de la ig. 1: Una l!nea de ansml sion ideal de impedancia ca ac e- !s ica Z0=1 canec ada median s u- na ansicion de longi ud L a una sacci on adap ada de Z0=Z L. Es amas in s ssadas en el coe icien s de e lexion p(o) a la en ada de la l nea en egimen senoidal ps mane~ e. Si se supone la elacidad de ~ se cons an s en el sis ema, p(x) obedece la ecuacion /1/, /2/: dP 1. dx _ =2Y~-(l- )F(x) (1) con y la cons an s de p opagacion. E:~ a ecuacion sola puede in eg a se en cie as cas6s; pa a si se supo- ne (x)<< 1 en la ~nsicion, de o ma que pueda desp ecia se, se in eg a apidamen e, p opo ciona~ do: I I l(:zO I J(•l- Fig. 1.- Si uacion baja es udio. I · 2yx L -2 y ·. (x)=e x F(y)s dy=R(x) (2) Es a exp esion es ~ il an o en analisis coma en s!n esis, ~e a pa su ca ac e ap oximado se con- side a p ecise solamen e pa a des~ dap aciones pequanas. En es e abajo se in es iga el 111a gen de ' alidez de (2) y se es ~ blecen ca as pa a las e o es in o luc ados sin ecu i a la in eg ~ cion nums ica de (1). ANALISIS PRELIMINAR En la ansicion, la ension y la ca ien e es an elacionados m~ dian e: 67 68 d dx J(x)= -P0 (x )I( x) (3a) ~ x I(x)=- zo x) V(x) (3b) con ' la con s an s de p opagacion, s upu es a independien e de la posi- ci on (en caso con a io, Ias ec ua- cione s siemp e pu ed en ed uci se a las (3) median e un cambio de a~ iab le /2/,/3/) y Z0(x) la impe- dancia ca ac e is ica loc a l de l a ansicion. Si las solucion es las exp esa- mos en la o ma (me odo wKB, /4/, /5/): REFLEXION ES MULTIPLES La in e p e acion del inal del pa a o an e io se puede pone de mani ias o si en (~) sus i uimos (x) po s (x) y pone mos: P<1 A = Z snA± (7) D n con s una can idad que se in odu- ce po con eniencia y q ue pos e- io men e ed ucimos a la unid a d. Se ob ien e : L ;; + 1 =- (x)e - 2 y xA ~ (n D) (Ba) dx n V(x)=(Z 0 ( x )) 1 / 2 ( A ( x )e-~( x ) A -( x)e~ ( x)) I( x )=(Z 0 ( x) )-l/ 2 ( A +( x )e- (x )_ ~ ~( x)eP ( x )) (4a) (4b) esul a ~(x)=(xi · y, con (x) coma en ( 1): . · · (Sa) (sb) Si SUROQemos una onda inciden s de amp:).i ud unidad, A -(O)=V-(0)=1, y ~nemos en . cuen a que A-(L)=D, la~ e6uaci6~ss an e o es se in e- g an ~cilmen e, ob eniendo: I ' ' • --------------~------------------- d - -2Y X + d; ·~m l =- (x)e Am (m D) (Bb) y l as de i adas de A~ y A ~ nul a s. Es e iden e de es as exp esio- nes que el e mino A~ 1 ep esen- s la onda gene ada p~ e lexion , + '1 con 1n¥a de 1~ Am y ana ogamen e pa a An+l y An ( ig. 2). Con las mismas condiciones que pa a ob ene (6) se ob iene aho a: _ L -2 IL ( _( A (x)= X ( )e d 0 K0 x, )A )d (6) con el n~cleo dado pa . . K ( x , )=- ( )e 2 Y JL ( ) ( )e- 2 Y d ·O . . ma x x, ( 7) A;n 2 (x)=J; K0 (x, )A2n( )d (2n+2 l), A'i(x)=J~ ( )e- 2 1 d I (9) A~{L) A~ L) La ec. (6) puede u iliza se pa- a calcula (D)=A-(0) po i e a- cion. Comenzando pa la ap oxima- cion inicial A-(0)=0, se ob iene la . ap oxim aci-Dn clasica (l), . y p o ~ - ediendo de es a mane a ob en-d i;;~: mos una solucion en se ie de Neu- mann pa a la ecuacion in eg al (6), ~ un ~ ue su c ~ mpl ~ jid a d anali ies la hace imp ac ica pa a calculos. Una e cu acio n a na loga ue ob enid a p a p i ~ e a ez po B emme en ela- c ion con un p oj! ~ ~a de p opaga- ci6n . en un media inh:nnogeneo po sus i ucion jel madio pa un co n- jun a da capa s y con side aci6n da las Jo ~ ~ xia n ~s m~l i p les en e e- llas :.1 . Fig. 2 .- [sq uam a de ge n e a ci6n de e l exio n es mul iples. Es dac i , se ob ian en las mism as exp asiones de las ap ox imaci on es sucesi as de l a ecuacio n in eg al (6), como ad~lan am os en el p2 ~ o an e io . £5TIM A~ IL N ~ EL E I RC H P odemos u ilize A;( o) como es ima cion del c a com e id: al u i liz;o (2) , £= // ( O)i -/ H(U) //: E.~ ..I)G)/ = IJ~ (-4 ~( ) )2 ( ) e2 y d I ~~li~ !ed iJ~ ( )d =M ( 10) (No ese qua si se ' supo ne L (x) mo no ona en la ansl cion, 8~ sign~ de (x) es cons an s). 5e puede comp o ba , do do el ea ac e oscil a o io de H- y e l com- po amian o de (x) en ± as ansl clones u ili ze das no malmen e, ~ u e (11) co n 0,5~ :>LJ,7. Si ademas la nn s icion as sime ics, as deci , si (x )= (x-L), as l (x) =i (L/2) max E.~ A 3 (o) :S 2 2 j (~) 2 lnZJ= M (1 2 ) 0,5~ ·~0,7 TRANSICION EXPUN EN CIA L Es u il :Ja:::c ·: i ic a las CO!:!_ clusion es a n e io es ya ue se d i ~ po ne de su solucion exa c a /2/ . Los e sul ados se ac oge n en la a bla 1 y en la i g . 3. T - 6L 1.- Comp 2 a ci6n del alo 69 ~n la l ao la 1 puede obse a se como, oa a L~A• .1; supone una ex- celen e c o eccion al alu ap oxl ma do H u ilizado con encionalmen e. TRANSIClCN JE CHEBICHEV Se sabe ~ue ss op im a en el se~ ido de ~ ue ~ a a ZL y e lexion ~ si du al Rj dados en la ba nda de p~ s:J , l;e lo~gi ud e c; ue ida es mini - ma / 6/. La ig. 4 ep e s en s es a lon gi ud en uncion de ZL conjRj coma pa a~e o . - m En el analisis que sigue ha e- mos las si~uian es hipo esis: 1) Ya que el e o de R es signi ica- i o pa a ZL g ande y H m ~eque ii o, sup o nd emos que la long1 ud de la ansicion es pa lo menos 0,5A 0 2) Las discon inuidades de Z (x) en !os ex emos de la ansi8ion se desp eci an en la es imacion de !os e o es (se comp ueba que es- as discon inuidades ep esen an menos de l 5 ~ de la desadap acion lo9a i mica 0,5 ln ZL). Se puede demos a ambien que !as condiciones que pe mi en esc ~ bi (11) se sa is acen ambien en es e caso. En pa icula , cue: ~~ = 0 11 ~ - 2(3 F(x) ~ O,OB Se ob iene en onces: 0,5 ~ ~·0,7 con ln Z ) 3 L ex ac o ds i ! con j;;:(o)j (13) (14) y su co a PI pa a una ansicion sxponencial de lon gi ud al que H=O. (JL I Pi IA;(o)l 1" 1 ( =O, 6) n 0,0020 0,0022 0,0025 2 0,0005 o,coos 0,0006 ZL= 2 3 l ll,OU02 0,0002 0,0003 I! ll, OB46 O,U776 0,0928 211 0,0196 0,0191 0,0232 i.L=lO 3n 0,0085 0,0086 0,0103 n 0,1966 C,l705 0,2LJ43 2 11 0,0439 0,0423 O,G.Jll ZL =20 3 11 0,0191 0,0190 0,0227 70 con ~ 0 y •l los alo es de~ Y l'l en el ex emB in e io de la banda de paso de la ansicion. En la Fig. 4, donde se ep ess£!_ an lineae ds l'l cons an s, ss o£ ss a su apido 0 c ecimien o con la ca ga Z ; la . ansicion ds Chebi- che sslmuy sensible a las ap oxl maciones implici as en la Fo mula (2). En la misma igu a ss dibuja la linea donde la co a del e o as imado l'l iguala el coe icisn- ' o' e de s lexion esidual an la ba£!_ da de paso: Es o da una idea de los ma genes de z y IRI pa a los L m F • que loa dise~os basados en la o - mule (2) pueden u iiiza se co ec- amen s. REFERENCIAS /1/ /2/ /3/ /4/ /5/ /6/ L.R. Walke y N .• Wax, Jou . Appl. Phys,•, Vol. 17, PP• 1043 -1045, Dec. 1946 . R.E. Collin, "Found. l'lw. Eng . " l'lcG aw-Hill, 1960 D.C, Youla, IEEE T ans. Ci c, Theo y, ol. CI-II, pp. 363- 372, Sep . 1964 H. 8 emme , Comm. Pu e Appl. !'la h. 4, pp; 105-115. G, Ty as, "Rad, and P op. o El'l Wa es", Academic P ess, 1969, pp. 82-85, R.W. Kiop ens sin, P oc. IRE Jan, 1956, pp, 31~35, E-X 'ON NC-IAI.- .i!L. = 10 ·, ID . O.IG A- 1~1 B- E o c- I A- 3 o>J D-M A (A en e. s .:~u "eY lo) 05 c e,c,o en e e cle. eelnD) QOS Fig. 3. Cae icien e de e lexion ap a x imado R (A), p ime a ca eccion · (C), ca a calculada del ala an e io (D) y e o e daae o (B) en un cion de la longi ud na malizada de la linea pa a una ansicion expane~ cial. Ca ga no malizada ZL= 10. L I. ID 0.5 0.0 CHEBYCHEV 0.02 15 ' ' 9 Fig . 4. Lineas de coe icien e de e le x ion ep oximedo cons an s Rm ( az o s olido ) y co a es i m ada de l e o ~0 ( azo disc on inue) pa a u- na a nsicion de Chebyche en uncion de la impedancia (no m H lizada) de c a a LL• 7l