Re is a In e nacional
de
Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseiío en Ingenie ía. Vol.
8,
4,
407-416( 1992)
ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS
CON EQUIPOS LIVIANOS
JORGE E. CREMPIEN LABORIE*
Y
ERNESTO ARAVENA OLIVA**
*Depa amen o de Ingenie ía Ci il, Facul ad de Ingenie ía,
Uni e sidad de Concepción, Casilla 53-C, Concepción, Chile.
**Depa amen o de Ingenie ía Ci il, Uni e sidad de Chile,
Casilla 228-3, San iago, Chile.
RESUMEN
Se u iliza el mé odo de ib aciones es ocás icas pa a analiza la espues a de es uc u as
con equipos. En la ob ención de la ma iz de co elación modal c uzada de espues a se emplea
el mé odo de ec o es de Ri z en un es ue zo de e i a la esolución del p oblema de alo es y
ec o es p opios en es uc u as complejas. Los esul ados ob enidos se compa an con el mé odo
de supe posición modal adicional.
SUMMARY
The me hod o andom ib a ion analysis is used o s udy he esponse o s uc u es wi h
ligh a achemen s. To ob ain he modal c oss co ela ion esponse ma ix, he me hod o
Ri z ec o s is used in an e o o a oid he eigen alue and eigen ec o p oblem in complex
s uc u es. The esul s ob ained a e hen compa ed o he esul s ob ained using he classical
modal supe sposi ion me hod.
INTRODUCCION
El
análisis del compo amien o dinámico de es uc u as en las cuales se encuen an
ins alados equipos lige os como an enas, ube ías, e c., es un ema que ha a aído
la a ención de los in es igado es desde hace algún iempo. El p ocedimien o usual
ha sido supone que la exci ación es un p oceso es ocás ico es a~iona io'~~*~~~, y pa a
la ob ención de la espues a se ha usado, en la mayo ía de los casos, el mé odo de
supe posición moda15g6. .O o camino seguido consis e en supone que los equipos son
una pe u bación de la es uc u a7.
.
En el p esen e abajo, la p eocupación es la es imación de la espues a es uc u al
cuando la solici ación es ansien e, como en
el
caso de exci ación sísmica, po lo cual
Recibido: No iemb e
1991
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
408
J.E. CREMPIEN LABORIE
Y
E. ARAVENA OLIVA
se supond á que la exci ación a que el sis ema es uc u a-equipo es á some ido es una
acele ación basa1 modelada po un%p oceso es ocás ico Gaussiano, no es aciona io an o
en ampli udes como en con enido de ecuencias. Pa a es e e ec o se adop a el modelo
de C empien De -Kiu eghian8, en el cual la acele ación del suelo es á dada po
en que IIi( ) es una unción de e minís ica del iempo que modula a s;( ) que es un
p oceso es ocás ico Gaussiano de media nula
y
a ianza uni a ia
y
de banda ancha. Es e
p oceso es ocás ico ca ac e iza el con enido de ecuencias en una banda de ecuencias
de e minada
Di,
de al o ma que no se aslada con la banda de ecuencia del p oceso
es ocás ico sj( ) pa a
i
y
j.
Se ha adop ado el modelo an e io po que ep esen a en o ma adecuada la
e olución de las ampli udes
y
del con enido de ecuencias en acele og amas egis ados
en e emo osg. Las unciones $;( ) se eligen usualmen e como unciones Gamma o
Be a.
FORMULACION DE LA RESPUESTA ESTRUCTURAL
La espues a es uc u al ob iene a pa i de la ecuación di e encial de equilib io
dada po
en que
M,
C
y
K
son las ma ices de masa, de amo iguamien o
y
de igidez
espec i amen e. Si se usa el mé odo de supe posición modal, la espues a es uc u al
puede esc ibi se
siendo
4;
el ec o modal
i
y
z, la coo denada modal
i,
la cual se ob iene a a és de
la in eg al de Duhamel
en que
hi
(%)
es la unción de espues a de impulso uni a io del modo
i.
Po o a pa e,
como la exci ación se ha supues o de ipo es ocás ico, la espues a modal zj( ) ambién
es un p oceso es ocás ico. Más aún, dado que la es uc u a es lineal
y
elás ica, en onces
la espues a es ambién Gaussiana
y
de media ce o, siendo necesa io encon a la ma iz
de co elación modal c uzada pa a conoce o almen e su es uc u a p obabilís ica.
Si se conside a una a iable de espues a cualquie a q( ), en gene al és a se puede
esc ibi como:
ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS
409
en que
B
es una ma iz de coe icien es de in luencia de los desplazamien os de la
es uc u a en la a iable
q( ).
Como la ecuación
(5)
es lineal, in onces
q( )
ambién es
un p oceso es ocás ico gaussiano, no es aciona io de media nula. La a ianza de
q( )
es á dada po
en que
P( )
el la ma iz de co elación modal c uzada de espues a,
y
que es á dada
Po
y
@
es la ma iz de los ec o es modales. Po lo an o, la e aluación de la ma iz de
co elación modal es undamen al en la de e minación de la es uc u a p obabilís ica
de la espues a es uc u al.
Sin emba go, pa a es uc u as de a ios g ados de libe ad, el p ime p oblema es
la de e minación de los ec o es modales y de las ecuencias p opias de ib a . Una
o ma de hace es o mismo es a a és del uso de ec o es de I i z como se explica más
adelan e. La o a di icul ad es que en el caso de
n
g ados de libe ad y exci ación no-
es aciona ia, hay que e alua n*n co elaciones modales pa a cada in e alo de iempo,
lo cual supone una a ea o midable. A o unadamen e, cuando las ecuencias de los
modos de ib a es án bien sepa adas, la co elación en e los modos es de~p eciable'~,
es o sugie e la posibilidad de es ablece un c i e io que es ablezca a p io i si es necesa io
calcula la co elación modal pa a dos modos a bi a ios
i
y
j
o no. En el caso de
exci ación es
aciona.~a es e c i e io exis e1'.
l
METODO DE VECTORES DE RITZ
El p oblema an e io se puede acili a si en luga de usa los ec o es modales
esul an es del p oblema de alo es p opios del p oblema dinámico, se usa o o conjun o
de ec o es o ogonales como base del espacio de las soluciones y que sean más áciles
de ob ene . Una o ma de ob ene un conjun o de ec o es con las ca ac e ís icas
mencionadas es a a és del uso de ec o es de Ri z.
En es e caso, la idea es u iliza un espacio con una base de meno dimensión, es
deci , se ap oxima la solución en un subespacio de dimensión
m
<
n, eniéndose una
buena ap oximación con menos coo denadas.
En es e caso se busca ep esen a la espues a es uc u al
a
a és de la combinación
lineal de un núme o
<
n
de ec o es linealmen e independien es en e sí
-
--
J.E. CREMPIEN LABORIE
Y
E.
ARAVENA OLIVA
donde
x;
son ec o es de Ri z, linealmen e independien es, y ;( ) son unciones del
iempo desconocidas, que son las coo denadas de Ri z. Si T
=
n,
la ecuación (9)
es equi alen e a la ecuación (3). La idea del mé odo, sin emba go, es que
T
<
n
pa a simpli ica el p oblema, po la espues a ob enida median e es a ep esen ación
es una espues a ap oximada ya que el espacio de la espues a es di e en e al de la
ep esen ación de Ri z. La elección de los ec o es, po lo an o debe hace se de mane a
de ga an iza que la solución ap oximada sea buena.
Los obje i os de es a ans o mación, son ob ene un nue o sis ema de ma ices de
igidez, masa
y
amo iguamien o (Ii*,
M*
y
C*) con un amaño y ancho de banda más
educido que el sis ema de ma ices o iginal.
La e aluación au omá ica de ec o es de Ri z se ha desa ollado en o no a
algo i mos numé icos, que gene an esul ados de buena exac i ud con un cos o en
ecu sos compu acionales meno que el cálculo adicional de ec o es p opios.
El mé odo de gene ación de ec o es, adop ado1', es á basado en la siguien e
elación de ecu encia:
en que, el ec o
x
es solución del sis ema:
En cada paso del mé odo, los ec o es son o ogonalizados a a és ,del p oceso de
o ogonalización de G am-Schmid
:
donde:
y no malizados como:
Una ez ob enidos los ec o es de Ri z, en onces se puede educi el sis ema de
ecuaciones (2) a un sis ema con menos ecuaciones, del ipo
donde:
ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS
Es a úl ima ecuación, puede se esuel a po mé odos di ec os de in eg ación paso
a paso o po la in oducción de una ans o mación adicional pa a lle a el sis ema
a
la o ma desacoplada.
En caso de amo iguamien o p opo cional, la solución del p oblema de alo es
p opios es:
y
p opo ciona un conjun o de coo denadas modales
2,
las cuales diagonalizan el sis ema
de ecuaciones
(13),
y
ales que
en que
&( )
es la coo denada moda1 asociada al ec o
2;.
La ma iz diagonal R2, ep esen a a los alo es p opios exac os del sis ema educido
y
ap oximan a las ecuencias del sis ema o iginal. Los ec o es p opios
Z
son u ilizados
pa a gene a el se de ec o es o ogonales de Ri z, como:
La ma iz
OX,
o ogonal espec o a las ma ices de masa
y
igidez del sis ema
o iginal
y
ap oxima las p ime as o mas modales exac as de la es uc u a.
EVALUACION MATRIZ
DE
CORRELACION MODAL
Si se conside a nue amen e las ecuaciones
(6),
(9)
y
(18),
se iene que el alo
cuad á ico espe ado de la espues a q( ), en é mino de los ec o es de Ri z, es:
y
donde

J.E. CREMPIEN LABORIE
Y
E. ARAVENA OLIVA
con:
donde los subíndices
i,
j
iden i ican a los modos co espondien es. No emos que el
é mino
E{z~z~}
es eal
y
que además cumple que
E{(;(j)
=
E{[j j).
Po lo an o,
la ma iz de co elación modal es eal
y
simé ica. Usando el Teo ema de Wiene -
Kchin chine
y
pasando al dominio de la ecuencia se iene:
en que:
En que Ijk(w,
)
es la unción de espues a en e olución
y
I*jk(w,
)
es su complejo
conjugado.
Se han desa ollado mé odos pa a e alua la espues a modal c uzada, conside ando
que la exci ación es no es aciona iaQ los cuales se usan en es e abajo, pe o con la
di e encia que en luga de usa las coo denadas modales se aplica a las coo denadas de
Ri z.
ANALISIS
DE ERROR
Hans een
y
Bell12, demos a on que la inexac i ud del mé odo de uncación modal
es causada po la omisión de componen es de ca ga que son o ogonales a los modos
incluídos en la solución. Po es a azón, es necesa io in oduci un pa áme o que
cuan i ique qué po cen aje del ec o de ca gas ex e nos no es á incluído en el análisis
de supe posición.
Po o o lado, el ac o de pa icipación modal del sis ema educido, es á de inido
po :
o
pj
=
xj
(25)
En el uso de ec o es p opios o ec o es de Ri z el ac o de pa icipación modal
es un indicado de la con ibución de ec o Oxj en la espues a dinámica del sis ema.
Pa a el caso de un ec o de ca ga, es e puede se exp esado en unción de los
ec o es del sis ema educido, de la siguien e o ma:
Si los ec o es Oxj cumplen la condición de no malización, se puede demos a
que qj es idén ico al ac o de pa icipación modal pj. Po lo an o, el e o en la
ap oximación del ec o de ca ga
,
po el sis ema educido, es á dado po :
Con mo i o de compa a dos ap oximaciones
al
ec o de ca ga, el e o
no malizado se de ine como:
El
cual mide la acción del ec o de ca gas
que
no es usado en el análisis. El e o
,e
es a
se mues a en la Figu a
2,
donde se puede e que los ec o es de Ri z de inidos
3,
mane a con e gen más ápido que los ec o es modales.
[MI
=
1
0.0002 0.0002 0.02 0.02 0.02
d~cig.
2
0. 02
0.
02
0.
02
1
on-seg
/cm
3
4
5
[kl
COL.
=
[.-=:
-::]
0n.c-
6
PP~L~
7
8
[kl
=
[
-2
-:
]
on/c i
COL.
se
un
.
Figu a
1.
Sis ema es uc u a p incipal
y
es uc u a secunda ia.
2
3
4
5
6
7
8
Nume o de Vec o es Conside ados
Figu a
2.
E o no malizado.
J.E. CREMPIEN LABORIE
Y
E. ARAVENA OLIVA
EJEMPLO DE APLICACION
A
con inuación se aplica el mé odo de ec o es de Ri z al análisis de un sis ema
es uc u al compues o po una es uc u a p incipal
y
una es uc u a secunda ia. El
sis ema
y
sus p opiedades se mues an en la Figu a
1
jun o con las p opiedades de
igidez de las columnas. Los esul ados ob enidos se compa an con los ob enidos a
a és del mé odo de supe posición modal adicional.
En la Tabla
1
se mues an los pe íodos
(T)
y
sus co espondien es ac o es de
pa icipación modal
(a),
ob enidos con ambos mé odos.
En
el caso de conside a odos
los ec o es modales
y
un núme o equi alen e de ec o es de Ri z se puede ap ecia
que ambos mé odos son equi alen es. En las úl imas dos columnas de es a abla se
mues an los esul ados pa a el caso de
4
ec o es de Ri z que son los que se usan en
cálculo de la espues a del sis ema, el e o no malizado co espondien e a es e caso se
mues a en la Figu a
2,
de donde se puede e que iende ápidamen e a ce o.
No.
de SUPERPOSICION DE SUPERPOSICION DE
Modos VECTORES PROPIOS VECTORES DE RITZ
T
(sed
(Y
T
(sed
Q
T
(sed
a
1 0.8267 0.3235 0.8267 0.3235 0.8287 0.3235
2 0.2810 0.1036 0.2810 0.1036 0.2810 0.1036
3 0.1754 0.0570 0.1754 0.0570 0.1748 0.0581
4 0.1331 0.0349 0.1331 0.0349 0.1241 0.0401
5 0.1125 0.0207 0.1125 0.0207
6
0.1027 0.0099 0.1027 0.0099
7 0.0999 0.0019 0.0999 0.0019
8 0.0388 0.0000 0.0388 0.0000
en que:
T
=
pe íodo en segundos.
a!
=
ac o de pa icipación modal.
Tabla 1. P opiedades dinámicas de la es uc u a.
A
pa i de los ec o es de Ri z ob enidos se calcula el alo cuad á ico espe ado
ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS
415
del desplazamien o ela i o en e el equipo
y
la es uc u a, es o es
u,( )
=
ui( )
-
us( )
cuando el sis ema es solici ado po un p oceso es ocás ico de la o ma de la ecuación
(1).
En es e caso, los pa áme os que ca ac e izan el p oceso es ocás ico se ob u ie on a
pa i del egis o de acele aciones de O ion 8244,
NOOW,
co espondien e
al
e emo o
de San Fe nando de
1971.
La Figu a
3
mues a el esul ado ob enido median e el
mé odo de ec o es de'Ri z con 4 ec o es
y
el mé odo de supe posición modal. Como
unciones modulan es en la ecuación
(1)
se usa on unciones Be a. De los esul ados se
puede e que el uso del mé odo de Ri z da buenos esul ados.
0 030
-
Me odo de
R
i z
-
-
Supe posicion Modal
-
*6
-
#
-
N
-
m
-
u>
0.015-
O
-
-
-
.a
u
N
L
3
"
W
0
o
O
10 20 30
4
0
Tiempo (seg.1
Figu a 3. Respues a Media Cuad á ica de Desplazamien o Rela i o.
CONCLUSIONES
El mé odo de ec o es de Ri z se puede usa con en aja en el análisis p obabilís ico
de la espues a de sis emas es uc u ales con equipos o subes uc u as li ianas. Los
e o es que se ob ienen se pueden maneja den o de lími es adecuados con un núme o
educido de ec o es lo cual educe conside ablemen e el iempo compu acional.
REFERENCIAS
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