Análisis dinámico de estructuras con equipos livianos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseiío en Ingenie ía. Vol. 8, 4, 407-416( 1992) ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS JORGE E. CREMPIEN LABORIE* Y ERNESTO ARAVENA OLIVA** *Depa amen o de Ingenie ía Ci il, Facul ad de Ingenie ía, Uni e sidad de Concepción, Casilla 53-C, Concepción, Chile. **Depa amen o de Ingenie ía Ci il, Uni e sidad de Chile, Casilla 228-3, San iago, Chile. RESUMEN Se u iliza el mé odo de ib aciones es ocás icas pa a analiza la espues a de es uc u as con equipos. En la ob ención de la ma iz de co elación modal c uzada de espues a se emplea el mé odo de ec o es de Ri z en un es ue zo de e i a la esolución del p oblema de alo es y ec o es p opios en es uc u as complejas. Los esul ados ob enidos se compa an con el mé odo de supe posición modal adicional. SUMMARY The me hod o andom ib a ion analysis is used o s udy he esponse o s uc u es wi h ligh a achemen s. To ob ain he modal c oss co ela ion esponse ma ix, he me hod o Ri z ec o s is used in an e o o a oid he eigen alue and eigen ec o p oblem in complex s uc u es. The esul s ob ained a e hen compa ed o he esul s ob ained using he classical modal supe sposi ion me hod. INTRODUCCION El análisis del compo amien o dinámico de es uc u as en las cuales se encuen an ins alados equipos lige os como an enas, ube ías, e c., es un ema que ha a aído la a ención de los in es igado es desde hace algún iempo. El p ocedimien o usual ha sido supone que la exci ación es un p oceso es ocás ico es a~iona io'~~*~~~, y pa a la ob ención de la espues a se ha usado, en la mayo ía de los casos, el mé odo de supe posición moda15g6. .O o camino seguido consis e en supone que los equipos son una pe u bación de la es uc u a7. . En el p esen e abajo, la p eocupación es la es imación de la espues a es uc u al cuando la solici ación es ansien e, como en el caso de exci ación sísmica, po lo cual Recibido: No iemb e 1991 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 408 J.E. CREMPIEN LABORIE Y E. ARAVENA OLIVA se supond á que la exci ación a que el sis ema es uc u a-equipo es á some ido es una acele ación basa1 modelada po un%p oceso es ocás ico Gaussiano, no es aciona io an o en ampli udes como en con enido de ecuencias. Pa a es e e ec o se adop a el modelo de C empien De -Kiu eghian8, en el cual la acele ación del suelo es á dada po en que IIi( ) es una unción de e minís ica del iempo que modula a s;( ) que es un p oceso es ocás ico Gaussiano de media nula y a ianza uni a ia y de banda ancha. Es e p oceso es ocás ico ca ac e iza el con enido de ecuencias en una banda de ecuencias de e minada Di, de al o ma que no se aslada con la banda de ecuencia del p oceso es ocás ico sj( ) pa a i y j. Se ha adop ado el modelo an e io po que ep esen a en o ma adecuada la e olución de las ampli udes y del con enido de ecuencias en acele og amas egis ados en e emo osg. Las unciones $;( ) se eligen usualmen e como unciones Gamma o Be a. FORMULACION DE LA RESPUESTA ESTRUCTURAL La espues a es uc u al ob iene a pa i de la ecuación di e encial de equilib io dada po en que M, C y K son las ma ices de masa, de amo iguamien o y de igidez espec i amen e. Si se usa el mé odo de supe posición modal, la espues a es uc u al puede esc ibi se siendo 4; el ec o modal i y z, la coo denada modal i, la cual se ob iene a a és de la in eg al de Duhamel en que hi (%) es la unción de espues a de impulso uni a io del modo i. Po o a pa e, como la exci ación se ha supues o de ipo es ocás ico, la espues a modal zj( ) ambién es un p oceso es ocás ico. Más aún, dado que la es uc u a es lineal y elás ica, en onces la espues a es ambién Gaussiana y de media ce o, siendo necesa io encon a la ma iz de co elación modal c uzada pa a conoce o almen e su es uc u a p obabilís ica. Si se conside a una a iable de espues a cualquie a q( ), en gene al és a se puede esc ibi como: ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS 409 en que B es una ma iz de coe icien es de in luencia de los desplazamien os de la es uc u a en la a iable q( ). Como la ecuación (5) es lineal, in onces q( ) ambién es un p oceso es ocás ico gaussiano, no es aciona io de media nula. La a ianza de q( ) es á dada po en que P( ) el la ma iz de co elación modal c uzada de espues a, y que es á dada Po y @ es la ma iz de los ec o es modales. Po lo an o, la e aluación de la ma iz de co elación modal es undamen al en la de e minación de la es uc u a p obabilís ica de la espues a es uc u al. Sin emba go, pa a es uc u as de a ios g ados de libe ad, el p ime p oblema es la de e minación de los ec o es modales y de las ecuencias p opias de ib a . Una o ma de hace es o mismo es a a és del uso de ec o es de I i z como se explica más adelan e. La o a di icul ad es que en el caso de n g ados de libe ad y exci ación no- es aciona ia, hay que e alua n*n co elaciones modales pa a cada in e alo de iempo, lo cual supone una a ea o midable. A o unadamen e, cuando las ecuencias de los modos de ib a es án bien sepa adas, la co elación en e los modos es de~p eciable'~, es o sugie e la posibilidad de es ablece un c i e io que es ablezca a p io i si es necesa io calcula la co elación modal pa a dos modos a bi a ios i y j o no. En el caso de exci ación es aciona.~a es e c i e io exis e1'. l METODO DE VECTORES DE RITZ El p oblema an e io se puede acili a si en luga de usa los ec o es modales esul an es del p oblema de alo es p opios del p oblema dinámico, se usa o o conjun o de ec o es o ogonales como base del espacio de las soluciones y que sean más áciles de ob ene . Una o ma de ob ene un conjun o de ec o es con las ca ac e ís icas mencionadas es a a és del uso de ec o es de Ri z. En es e caso, la idea es u iliza un espacio con una base de meno dimensión, es deci , se ap oxima la solución en un subespacio de dimensión m < n, eniéndose una buena ap oximación con menos coo denadas. En es e caso se busca ep esen a la espues a es uc u al a a és de la combinación lineal de un núme o < n de ec o es linealmen e independien es en e sí - -- J.E. CREMPIEN LABORIE Y E. ARAVENA OLIVA donde x; son ec o es de Ri z, linealmen e independien es, y ;( ) son unciones del iempo desconocidas, que son las coo denadas de Ri z. Si T = n, la ecuación (9) es equi alen e a la ecuación (3). La idea del mé odo, sin emba go, es que T < n pa a simpli ica el p oblema, po la espues a ob enida median e es a ep esen ación es una espues a ap oximada ya que el espacio de la espues a es di e en e al de la ep esen ación de Ri z. La elección de los ec o es, po lo an o debe hace se de mane a de ga an iza que la solución ap oximada sea buena. Los obje i os de es a ans o mación, son ob ene un nue o sis ema de ma ices de igidez, masa y amo iguamien o (Ii*, M* y C*) con un amaño y ancho de banda más educido que el sis ema de ma ices o iginal. La e aluación au omá ica de ec o es de Ri z se ha desa ollado en o no a algo i mos numé icos, que gene an esul ados de buena exac i ud con un cos o en ecu sos compu acionales meno que el cálculo adicional de ec o es p opios. El mé odo de gene ación de ec o es, adop ado1', es á basado en la siguien e elación de ecu encia: en que, el ec o x es solución del sis ema: En cada paso del mé odo, los ec o es son o ogonalizados a a és ,del p oceso de o ogonalización de G am-Schmid : donde: y no malizados como: Una ez ob enidos los ec o es de Ri z, en onces se puede educi el sis ema de ecuaciones (2) a un sis ema con menos ecuaciones, del ipo donde: ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS Es a úl ima ecuación, puede se esuel a po mé odos di ec os de in eg ación paso a paso o po la in oducción de una ans o mación adicional pa a lle a el sis ema a la o ma desacoplada. En caso de amo iguamien o p opo cional, la solución del p oblema de alo es p opios es: y p opo ciona un conjun o de coo denadas modales 2, las cuales diagonalizan el sis ema de ecuaciones (13), y ales que en que &( ) es la coo denada moda1 asociada al ec o 2;. La ma iz diagonal R2, ep esen a a los alo es p opios exac os del sis ema educido y ap oximan a las ecuencias del sis ema o iginal. Los ec o es p opios Z son u ilizados pa a gene a el se de ec o es o ogonales de Ri z, como: La ma iz OX, o ogonal espec o a las ma ices de masa y igidez del sis ema o iginal y ap oxima las p ime as o mas modales exac as de la es uc u a. EVALUACION MATRIZ DE CORRELACION MODAL Si se conside a nue amen e las ecuaciones (6), (9) y (18), se iene que el alo cuad á ico espe ado de la espues a q( ), en é mino de los ec o es de Ri z, es: y donde J.E. CREMPIEN LABORIE Y E. ARAVENA OLIVA con: donde los subíndices i, j iden i ican a los modos co espondien es. No emos que el é mino E{z~z~} es eal y que además cumple que E{(;(j) = E{[j j). Po lo an o, la ma iz de co elación modal es eal y simé ica. Usando el Teo ema de Wiene - Kchin chine y pasando al dominio de la ecuencia se iene: en que: En que Ijk(w, ) es la unción de espues a en e olución y I*jk(w, ) es su complejo conjugado. Se han desa ollado mé odos pa a e alua la espues a modal c uzada, conside ando que la exci ación es no es aciona iaQ los cuales se usan en es e abajo, pe o con la di e encia que en luga de usa las coo denadas modales se aplica a las coo denadas de Ri z. ANALISIS DE ERROR Hans een y Bell12, demos a on que la inexac i ud del mé odo de uncación modal es causada po la omisión de componen es de ca ga que son o ogonales a los modos incluídos en la solución. Po es a azón, es necesa io in oduci un pa áme o que cuan i ique qué po cen aje del ec o de ca gas ex e nos no es á incluído en el análisis de supe posición. Po o o lado, el ac o de pa icipación modal del sis ema educido, es á de inido po : o pj = xj (25) En el uso de ec o es p opios o ec o es de Ri z el ac o de pa icipación modal es un indicado de la con ibución de ec o Oxj en la espues a dinámica del sis ema. Pa a el caso de un ec o de ca ga, es e puede se exp esado en unción de los ec o es del sis ema educido, de la siguien e o ma: Si los ec o es Oxj cumplen la condición de no malización, se puede demos a que qj es idén ico al ac o de pa icipación modal pj. Po lo an o, el e o en la ap oximación del ec o de ca ga , po el sis ema educido, es á dado po : Con mo i o de compa a dos ap oximaciones al ec o de ca ga, el e o no malizado se de ine como: El cual mide la acción del ec o de ca gas que no es usado en el análisis. El e o ,e es a se mues a en la Figu a 2, donde se puede e que los ec o es de Ri z de inidos 3, mane a con e gen más ápido que los ec o es modales. [MI = 1 0.0002 0.0002 0.02 0.02 0.02 d~cig. 2 0. 02 0. 02 0. 02 1 on-seg /cm 3 4 5 [kl COL. = [.-=: -::] 0n.c- 6 PP~L~ 7 8 [kl = [ -2 -: ] on/c i COL. se un . Figu a 1. Sis ema es uc u a p incipal y es uc u a secunda ia. 2 3 4 5 6 7 8 Nume o de Vec o es Conside ados Figu a 2. E o no malizado. J.E. CREMPIEN LABORIE Y E. ARAVENA OLIVA EJEMPLO DE APLICACION A con inuación se aplica el mé odo de ec o es de Ri z al análisis de un sis ema es uc u al compues o po una es uc u a p incipal y una es uc u a secunda ia. El sis ema y sus p opiedades se mues an en la Figu a 1 jun o con las p opiedades de igidez de las columnas. Los esul ados ob enidos se compa an con los ob enidos a a és del mé odo de supe posición modal adicional. En la Tabla 1 se mues an los pe íodos (T) y sus co espondien es ac o es de pa icipación modal (a), ob enidos con ambos mé odos. En el caso de conside a odos los ec o es modales y un núme o equi alen e de ec o es de Ri z se puede ap ecia que ambos mé odos son equi alen es. En las úl imas dos columnas de es a abla se mues an los esul ados pa a el caso de 4 ec o es de Ri z que son los que se usan en cálculo de la espues a del sis ema, el e o no malizado co espondien e a es e caso se mues a en la Figu a 2, de donde se puede e que iende ápidamen e a ce o. No. de SUPERPOSICION DE SUPERPOSICION DE Modos VECTORES PROPIOS VECTORES DE RITZ T (sed (Y T (sed Q T (sed a 1 0.8267 0.3235 0.8267 0.3235 0.8287 0.3235 2 0.2810 0.1036 0.2810 0.1036 0.2810 0.1036 3 0.1754 0.0570 0.1754 0.0570 0.1748 0.0581 4 0.1331 0.0349 0.1331 0.0349 0.1241 0.0401 5 0.1125 0.0207 0.1125 0.0207 6 0.1027 0.0099 0.1027 0.0099 7 0.0999 0.0019 0.0999 0.0019 8 0.0388 0.0000 0.0388 0.0000 en que: T = pe íodo en segundos. a! = ac o de pa icipación modal. Tabla 1. P opiedades dinámicas de la es uc u a. A pa i de los ec o es de Ri z ob enidos se calcula el alo cuad á ico espe ado ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS CON EQUIPOS LIVIANOS 415 del desplazamien o ela i o en e el equipo y la es uc u a, es o es u,( ) = ui( ) - us( ) cuando el sis ema es solici ado po un p oceso es ocás ico de la o ma de la ecuación (1). En es e caso, los pa áme os que ca ac e izan el p oceso es ocás ico se ob u ie on a pa i del egis o de acele aciones de O ion 8244, NOOW, co espondien e al e emo o de San Fe nando de 1971. La Figu a 3 mues a el esul ado ob enido median e el mé odo de ec o es de'Ri z con 4 ec o es y el mé odo de supe posición modal. Como unciones modulan es en la ecuación (1) se usa on unciones Be a. De los esul ados se puede e que el uso del mé odo de Ri z da buenos esul ados. 0 030 - Me odo de R i z - - Supe posicion Modal - *6 - # - N - m - u> 0.015- O - - - .a u N L 3 " W 0 o O 10 20 30 4 0 Tiempo (seg.1 Figu a 3. Respues a Media Cuad á ica de Desplazamien o Rela i o. CONCLUSIONES El mé odo de ec o es de Ri z se puede usa con en aja en el análisis p obabilís ico de la espues a de sis emas es uc u ales con equipos o subes uc u as li ianas. Los e o es que se ob ienen se pueden maneja den o de lími es adecuados con un núme o educido de ec o es lo cual educe conside ablemen e el iempo compu acional. REFERENCIAS 1. T. Igusa y A. De Kiu eghian, "Response Spec um Me hod o Sys ems wi h Nonclassical Damping", P oceedings, ASCE-EMD Special y Con e ence, pp. 380-384, Wes La aye e, Indiana, (1983). 2. M.P. Singh, "Gene a ion o Seismic Floo Spec a", Jou nal o he Enginee ing Mechanics Di ision, ASCE, Vol. 101, No. Em5, pp. 543-545, (1971). 3. T. Igusa, A. De Kiu eghian, J. Sackman, "Modal Decomposi ion Me hod o S a iona y Response o Nonclasically Damped Sys ems" , Ea hquake Enginee ing and S uc u al Dynamics, Vol. 12, No. 1, pp. 121-136, (1984). 4. A. De Kiu eghian, T. 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