Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 11,4, 565-576(1995)
FORMULACÁO
DE
UM
ELEMENTO
FINITO
DE
CABO
INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO
(Elemen o de cabos esco egando)
RUY
M.
PAULETTI
e
PAULO
M.
PIMENTA
Labo a ó io de Mec&nica Compu acional
Depa amen o de Es u u as e Fundacoes
Escola Poli écnica da Uni e sidade de Sao Paulo
Caixa Pos al 61548, CEP 05424-930, SEO Paulo
e-mail:[email p o ec ed].
b
O
abalho ap esen a a o mulacáo geome icamen e exa a e a implemen ac50
compu acional de um elemen o ini o de cabo que pe mi e o esco egamen o em p esenca de
a i o. O no o elemen o o nece p ocedimen os na u ais pa a simula o p ocesso de mon agem e
a espos a aos ca egamen os de es u u as de cabos em ge al, além de e campos p omisso es
de aplicacáo no modelamen o de es u u as de conc e o p o endido e no es udo de oscilacoes
au o-exci á eis. Resul ados de exemplos elemen a es sáo discu idos.
SUMMARY
This wo k p esen s a geome ically exac o mula ion as well as he compu a ional
implemen a ion o a cable ini e elemen allowing sliding wi h ic ion. The new elemen p o ides
na u al echniques o simula e he assembly and he s uc u al esponse o loading, besides
ha ing p omising applica ions o he modelling o p es essed conc e e s uc u es as well as
sel -induced oscilla ions. Resul s o elemen a y examples a e discussed.
Tenso-es u u as, em pa icula as es u u as de cabos, Gm uso nob e e emp ego
eqüen e na engenha ia ci il.
O
modelamen o ma emá ico des e ipo de es u u as
despe a o in e esse de mui os pesquisado es (K ishnag,
. .
.,
Make l1).
O
p oblema
en ol e elasoes geome icamen e niio linea es, o nando-se a es u u a um mecanismo,
na ausencia de o qas de p o ensiio. Além disso, a p óp ia con igu aqao o iginal da
es u u a
é
incógni a, sendo o a amen o de al pa icula idade um assun o em abe o.
Recibido: Ene o 1995
OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315
566
R.M. PAULETTI
E
P.M. PIMENTA
Es e abalho ap esen a a o mulaciio de um elemen o ini o pa a es u u as de
cabos que pe mi e o esco egamen o nao-ideal, is o
é,
em p esenca de a i o. Ao
inco po a o e ei o do a i o, o no o elemen o gene aliza aquele ap esen ado po
Au au e4, onde se equaciona o p oblema de um cabo passando po uma polia, no
con ex o da simulacáo do icamen o dos cabos das linhas de ansmissiio de ele icidade.
A ep esen aciio usual dos cabos po um ag upamen o de elemen os ini os do ipo
elica in oduz uma condiciio de solida iedade en e os cabos, em co espondencia aos
pon os de c uzamen o, que nao se e i ica pa a odas as es u u as, nem pa a odos os
es ados de um pa icula a anjo cons u i o. Mesmo nos casos em que a solida iedade
possa se ga an ida cons u i amen e, es a o p oblema ma emá ico de se de e mina
em quais pon os ma e iais es a solida iedade se e i ica, uma ez que niio se conhece a
p io i a con igu aciio de equilíb io.
Além de con ibui pa a a esolueiio da classe de p oblemas acima, o no o
elemen o pode, em concomi iincia com ou os elemen os es u u ais, ep esen a o
compo amen o de es u u as esbel as de conc e o p o endido, quando
é
impo an e
a nao-linea idade geomé ica. Finalmen e, no con ex o da análise diniimica, pode-se
emp ega es e elemen o pa a o es udo de oscilacoes au o-exci á eis, semp e que se a a
de cabos esco egando com elocidades nao-dep ezí eis.
O
caso clássico
é
o da co da
do iolino2.
ELEMENTO IDEAL DE CABOS ESCORREGANDO
Conside e-se inicialmen e o
elemen o de cabo ideal
(cabo esco egando sem a i o
ou cabo passando po uma polia), con o me se mos a na Figu a
1.
Associados aos
echos
1
e
2
do elemen o em-se os e o es dados na equacáo
(1)
Figu a
1.
Elemen o de cabo ideal (sem a i o)
onde Xl,
X2
sáo as coo denadas dos nós de ex emidade e
X3
aquelas do nó
in e mediá io, na con igu acáo inicial, e Ul,
U2
e
U3
siio
OS
deslocamen os des es
nós desde a con igu acáo inicial a é a con igu acáo a ual.
Os
comp imen os a uais
dos dois echos podem se calculados po meio de
O
comp imen o o al inde o mado
do cabo
é
e.
=
+
e o
comp imen o
inicial,
admi indo-se uma p o ensáo inicial N,,
é
e,
=
(el),
+
(e2),.
.
A pa i das equacóes
(1)
e (2) de inem-se ainda os
e so es di ecionais
dos echos
1
e 2 do elemen o de cabo
Como a ensáo
é
a mesma em ambos os echos de cabo (p op iedade da polia
ideal), a de o macáo
é
E
=
(el
+
Q2
-
e,)
/Qo
Admi indo-se um ma e ial elás ico linea ,
a o ca no mal em ambos os echos do elemen o
é
N
=
EA€
+
N,
,
onde
E
é
o módulo
de elas icidade e
A
a á ea da secáo ans e sal do cabo.
A combinacáo das equaqóes acima o nece as o cas nodais agindo no elemen o, que
podem se ag upadas no
e o das o cas nodazs
F
De inido ainda o
e o de deslocamen os inc emen ais
SU
SU
=
[E,]
pode-se p ocu a a
ma iz de igidez angen e
K al que
SF
=
KSU
(6)
O e o 6F
é
a
de i ada di ecional
do e o das o cas nodais, dado pela
de i ada
de Ga eaux
onde sáo indicadas com uma ba a as g andezas calculadas na con igu acáo (U
+
XSU),
is o
é,
=
Xl
+
Ul
+
X
SUl
-
X3
-
U3
-
X
SU3 e de inicóes análogas pa a as demais
g andezas.
Con ém pa iciona K segundo as componen es dos e o es SF e SU, de modo
que 6F,
=
KZJSUJ is o
é,
a de i ada di ecional da o ca nodal agindo no nó
i
(Fi)
na di ecáo do deslocamen o do nó
j
(Uj) o nece a subma iz KZJ. P ocedendo-se
po ando
A
de i acáo de SFl, ob ém-se a p imei a linha de subma izes KIJ. AS ou as
F
=
lim
F
(U
+
XSU)
-
F
(U) d
X
=
-F
(U
+
XSU)
A-o
d
X
=
LFI
x=o dX x=o
(7)
568
R.M.
PAULETTI
E
P.M. PIMENTA
subma izes ob ém-se po equilíb io de o sas e pe mu as50 de índices, o que essal a
a sime ia de
K
(como se eque de um sis ema conse a i o5). Resul a
onde se deno a, po concisiio,
Mil
=
l T
;
Mz2
=
2 i
;
M12
=
l i
;
Mi
=
13
-
Mil
;
MP
=
13
-
MZ2
(13
é
a
ma iz iden idade de o dem
3).
Conside a-se ago a a ob ens50 da ma iz de igidez angen e nao ideal (is o
é,
incluindo o a i o en e cabos). P elimina men e, eco de-se o p oblema clássico do
equilíb io de uma co eia passando po um ambo cilínd ico ixo, Figu a
2.
Seja
a
o
iingulo en e os echos da co eia nos dois lados do ambo e
,O
o seu complemen o.
,O
é
ambém a abe u a angula do echo do ambo em con a o com a co eia. Sendo
p
o coe icien e de a i o es á ico en e cabo e co eia, as o cas no mais
Ni
e
N2
agindo
nos echos de cabo nos dois lados da co eia gua dam en e si a seguin e elas20
onde se admi e que a o ~a agindo no p imei o echo seja maio que no segundo,
is o
é,
NI
>
N2.
Obse a-se que a elas50 (9) independe do diame o do cilind o, podendo
po an o se emp egada no p oblema dos cabos esco egando com a i o.
Figu a
2.
Co eia passando
po
ambo cilind ico ixo
Nes e caso, o elemen o de cabo de e ep esen a dois di e en es egimes de
compo amen o
'
-
o
4%
<
=+
náo
há
esco egamen o;
N2
-7
-
o
2
>
7
+
a polia esco ega, e os cabos ea anjam-se a é que a condicso de
náo-esco egamen o seja a ingida, o que oco e com
3
=
7.
Relasoes análogas alem pa a
N2
>
NI.
O
p oblema
é
análogo ao da
elas oplas icidade ideal. Náo ha endo esco egamen o, o elemen o de cabo com polia
nao-ideal compo a-se como o encadeamen o de dois elemen o de elica.
A
mon agem
da ma iz de igidez do elemen o pa a es e caso
é
i ial.
Pa a o caso em que o equilíb io se dá após o esco egamen o do cabo, conside e-se
a con igu acáo de equilíb io do elemen o de cabo nao-ideal mos ada na Figu a 3a. Os
e so es di ecionais dos dois echos de cabo sáo dados pelas equacoes
(3).
Sendo
Ni
e
N2
as o cas no mais nos dois echos do cabo, o e o de o cas nodais agindo num
elemen o em equilíb io
é:
Fl,
F2
e
F3
sáo necessa iamen e coplana es. Po ém, enquan o no caso da polia
ideal
F3
e a necessa iamen e di igida segundo a bisse iz do angulo
a,
no caso náo ideal
F3
e á uma componen e pa alela e ou a componen e no mal
?i
bisse iz. Con ém
decompo
F3
nes as duas di ecoes, con o me a equaciio
(11)
(Figu a
3b)
Figu a
3.
(a) Elemen o de cabo nao ideal; (b) DecomposicZo de o cas no elemen o
nao ideal

570
R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA
F&
indica a componen e de
F3
segundo a bisse iz do iingulo
a.
Pa a a i o nulo,
F:
=
F3,
daí o índice supe io
i
(de "ideal").
F?,
po ou o lado,
é
a componen e
de
F3
sus en ada pelo a i o, daí o índice supe io
ni
(de "nao-ideal").
A
pa cela
F3
é
esponsá el po sus en a uma ae50 cons an e Ni em ambos os echos do cabo.
Pa a um ma e ial elás ico linea , exis e uma de o macao
e'
associada a es e elemen o,
al que
onde, analogamen e ao que se de iniu pa a o caso ideal, o comp imen o o al
inde o mado do cabo
é
lo
=
+
( 2)o
e
O
comp imen o inicial, assumindo lima
p o ensao inicial Ni
é
ei
=
(el)i
+
Des a manei a, pode-se esc e e , pa a as o cas no mais o ais agindo nos lois
echos
O a, como
F;
é
di igida segundo a bisse iz do
angula
a,
F?
de e e a di eqiio
da bisse iz do iingulo
,O
(Figu a 3b), o que somen e
é
possí el se
ANF~
e
AN~
o em
iguais em módulo.
E
como es as pa celas de em inc emen a ou eduzi a pa cela ideal
nos dois echos do cabo,
AsT= -Ac?
=
Aen'.
Subs i uindo-se
A€"'
cm (13) e es as
em
(9),
ob é i-se
Asn'
=
5s'
(semp e pa a Ni
>
N2). Como deco encia, as o qas
no mais nos dois echos de cabo podem se pos as em unqao de NZ
In oduzindo-se as exp essoes acima na equaciio
(lo),
pode-se ob e a ma iz
de igidez angen e do elemen o de cabo esco egando po uma polia nao ideal,
analogamen e a quan o ei o pa a a polia ideal.
Conside e-se as duas p imei as linhas da pa iciio 6Fi
=
Kij6Uj. Indicando com
uma ba a as g andezas calculadas na con igu aqao (U
+
XSU), em-se, le ando e i
con a
(7)
P ocedendo-se As de i as ies necessá ias, chega-se As duas p imei as linhas de
subma izes de K.
A
e cei a linha de subma izes ob ém-se conside ando o equilíb io
de o cas. O esul ado inal
é
onde o índice supe io
i
oi ac escido aos e mos da ma iz de igidez da polia ideal
(is o
é,
K21, e c.), con o me de e minados an e io men e, e além disso,
ni
2pq Ni
11
=
-M12M1
(q
+
1)'
sin
p
i
ni
2pq
N~
12
=
-M11M2
(q
+
1)'
sin
/3
-e2
K;;
=
-
2pq Ni
-M21M2
(q
+
I)~
sin
/3
-e2
As ma izes
Mi,
M2,
Mil, M12
,
e ML1 em de inicoes iden icas Aquelas do
caso ideal. Ressal a-se que, em uncáo da in oduciio do a i o,
K
pe de a sime ia.
Com deduciio análoga, conclui-se ainda que, pa a cons ui -se a ma iz de igidez pa a
o caso em que N2
>
Ni, bas a in e e os coe icien es que mul iplicam as pa celas ideais
das subma izes de K, e oca o sinal das pa celas nao ideais.
A o mulacáo acima oi implemen ada no p og ama CABLE, em desen ol imen o
no
Labo a ó io de Meclinica Compu acional
(LMCIPEF) da Escola Poli écnica da USP.
O
algo i mo de soluciio u ilizado oi o mé odo inc emen al i e a i o, com as i e acóes
sendo e e uadas a a és do mé odo de New on exa o, com busca unidimensional pa a
acele a a con e gencia, quando necessá io.
A
solugáo do sis ema de equacóes linea es
em cada i e aciio u iliza a decomposicáo de C ou pa a ma izes assimé icas. Na e sáo
a ual o p og ama exclui
casos pa ológicos,
como a polia que escapa do elemen o, o cabo
que se e i ica ou que se dob a comple amen e sob e si mesmo.
Como p imei o exemplo conside a-se um único elemen o de cabo com polia náo
ideal. As ex emidades sáo ixas. O nó da polia es á localizado no pon o médio do cabo.
Os echos, de comp imen o
i
o mam en e si um iingulo de 90'. Inicialmen e
O
cabo,
com
EA
=
2
.
10' e p
=
0,25,
é
acionado em co espondencia ao nó in e mediá io
po uma o ca e ical
Fz
(is o
é,
segundo a bisse iz do angulo en e os echos de
cabo) de in ensidade
2
.
lo5. Em seguida aplica-se uma o ca la e al
Fx,
c escen e.
A
Figu a 4a mos a as con igu acóes de equilíb io pa a di e en es alo es de ca ga.
A Figu a 4b, po sua ez, mos a o alo do deslocamen o la e al do nó de polia ao
c esce de Fx.
O
esco egamen o oco e com 0,3875
.
lo5
<
Fx
<
0,3890
.
lo5. A
pa i daí, esgo a-se a capacidade da polia equilib a a componen e de o qa no mal
2,
572
R.M.
PAULETTI E P.M. PIMEKTA
bisse iz do angulo en e os echos de cabo po meio do a i o, de modo que o cabo
de e ea anja -se a é encon a uma no a con igu acáo de equilíb io. Desp ezando-
se a de o ma550 do cabo, a polia passa ocupa pon os de uma elipse cujos polos s5o
as duas ex emidades ixas do cabo. Ainda desp ezando-se a de o macáo do cabo,
é
acil de e mina anali icamen e o alo máximo da o ca la e al pa a o qual náo
há
esco egamen o, esul ando
Fx
=
F'
=
3,8773.
lo4,
alo que conco da com os
esul ados ob idos pelo p og ama CABLE.
Deslocamen o do
n6
in e medi8 io ao
c sce
de
Fx
01
1
.
I
mmÑooomlam~amo7ooaamoooom ~
Fo p la e al
Fx
[N]
Figu a
4.
(a) Elemen o de cabo esco egando em sucessi as con igu aqoes de
equilíb io; (b) Deslocamen o do nó in e mediá io ao c esce de Fx
Como segundo exemplo, conside a-se a pe da de ensáo em um cabo en olado a
um pila cilínd ico ígido, con o me se mos a na Figu a 5a. Uma das ex emidades do
cabo oi ca egada com uma o ca no mal 2.
lo5,
enquan o a ou a oi ixada. A Figu a
5b
mos a a pe da de as50 ao longo do desen ol imen o do cabo, pa a coe icien es de
a i o en e 0,01 e 0,lO. Os alo es de e minados pelo p og ama CABLE coincidem
com os alo es analí icos, dados po
N
(P)
=
~epp, onde
T
é
a acáo aplicada
A
ex emidade do cabo e
,O
o seu desen ol imen o angula (is o
é,
P o al
=
47 ).
O exemplo seguin e conside a o cabo p incipal de uma pon e pensil com um áo
de 80 m en e pila es. O cabo, com
EA
=
2
.
lo9,
é
ixado ao solo e esco ega pelo
opo dos pila es, que se admi e sejam ígidos. Po sime ia, modela-se a me ade da
es u u a, con o me a Figu a
6,
que mos a a geome ia inicial ( e ilínea) e a geome ia
de equilíb io do cabo sob a acá0 do peso p óp io
(Pp
=
300/nó). A Figu a
7,
po sua
ez, mos a a de o macáo p o ocada po uma sob eca ga
P,
=
104/nó. No caso de
esco egamen o sem a i o, oco e um inc emen o de 0,274m na lexa do áo cen al
do cabo, em elaqáo
A
geome ia de equilíb io sob a acá0 do peso p óp io. A Figu a
8
mos a como es e inc emen o se eduz,
A
medida que se conside am coe icien es de a i o
c escen es, a é um alo assin ó ico de ce ca de
O,
2m. Mos a-se ainda o c escimen o
da acáo no cabo, em co espondencia ao apoio supe io , a é o alo assin ó ico de
0,2337
-
lo6,
igual ao alo que se ob ém ao se conside a o cabo solidá io ao pila .
FORMULACÁO DE
UM
E. F. DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO
5
73
Necessa iamen e, a ae50 na base do es aio (is o
é,
o pon o de ixaciio do cabo ao
solo), em compo amen o in e so, endendo a ze o a medida que
p
c esce.
T apo no
cabo
com
p=l%.
2%
4%.
8%
e
10%
eooo
O
2
1
8
(0
12
(4
18
Desen ol imen o do
cabo
(n o do elemen o)
Figu a
5.
(a) Cabo en olado a um pila cilínd ico; (b) T acáo no cabo pa a di e sos
coe icien es de a i o
Figu a
6.
Cabo de pon e pensil. Geome ia inicial ( e ilínea) e de equilíb io sob a
a550 do peso p óp io
Figu a
7.
Cabo de pon e pensil. Geome ia de o mada sob a ac5o da sob eca ga
Como um úl imo exemplo, sob e a con igu ac50 de equilíb io do cabo sujei o ao
peso p óp io, ex ende-se um cabo secundá io, ao qual se imp6e uma acáo de
2
.
lo5,
Figu a
9
ao mesmo empo em que ambos os cabos siio ca egados com
P,
=
104/nó.
Conside a-se ainda que o pila seja lexí el, com
k:ilaT
=
lo5.
A
Figu a 10 mos a a