Formulaçao de um elemento finito de cabo incorporando o efeito do atrito (Elemento de cabos escorregando)

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 11,4, 565-576(1995) FORMULACÁO DE UM ELEMENTO FINITO DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO (Elemen o de cabos esco egando) RUY M. PAULETTI e PAULO M. PIMENTA Labo a ó io de Mec&nica Compu acional Depa amen o de Es u u as e Fundacoes Escola Poli écnica da Uni e sidade de Sao Paulo Caixa Pos al 61548, CEP 05424-930, SEO Paulo e-mail:[email p o ec ed]. b O abalho ap esen a a o mulacáo geome icamen e exa a e a implemen ac50 compu acional de um elemen o ini o de cabo que pe mi e o esco egamen o em p esenca de a i o. O no o elemen o o nece p ocedimen os na u ais pa a simula o p ocesso de mon agem e a espos a aos ca egamen os de es u u as de cabos em ge al, além de e campos p omisso es de aplicacáo no modelamen o de es u u as de conc e o p o endido e no es udo de oscilacoes au o-exci á eis. Resul ados de exemplos elemen a es sáo discu idos. SUMMARY This wo k p esen s a geome ically exac o mula ion as well as he compu a ional implemen a ion o a cable ini e elemen allowing sliding wi h ic ion. The new elemen p o ides na u al echniques o simula e he assembly and he s uc u al esponse o loading, besides ha ing p omising applica ions o he modelling o p es essed conc e e s uc u es as well as sel -induced oscilla ions. Resul s o elemen a y examples a e discussed. Tenso-es u u as, em pa icula as es u u as de cabos, Gm uso nob e e emp ego eqüen e na engenha ia ci il. O modelamen o ma emá ico des e ipo de es u u as despe a o in e esse de mui os pesquisado es (K ishnag, . . ., Make l1). O p oblema en ol e elasoes geome icamen e niio linea es, o nando-se a es u u a um mecanismo, na ausencia de o qas de p o ensiio. Além disso, a p óp ia con igu aqao o iginal da es u u a é incógni a, sendo o a amen o de al pa icula idade um assun o em abe o. Recibido: Ene o 1995 OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 566 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA Es e abalho ap esen a a o mulaciio de um elemen o ini o pa a es u u as de cabos que pe mi e o esco egamen o nao-ideal, is o é, em p esenca de a i o. Ao inco po a o e ei o do a i o, o no o elemen o gene aliza aquele ap esen ado po Au au e4, onde se equaciona o p oblema de um cabo passando po uma polia, no con ex o da simulacáo do icamen o dos cabos das linhas de ansmissiio de ele icidade. A ep esen aciio usual dos cabos po um ag upamen o de elemen os ini os do ipo elica in oduz uma condiciio de solida iedade en e os cabos, em co espondencia aos pon os de c uzamen o, que nao se e i ica pa a odas as es u u as, nem pa a odos os es ados de um pa icula a anjo cons u i o. Mesmo nos casos em que a solida iedade possa se ga an ida cons u i amen e, es a o p oblema ma emá ico de se de e mina em quais pon os ma e iais es a solida iedade se e i ica, uma ez que niio se conhece a p io i a con igu aciio de equilíb io. Além de con ibui pa a a esolueiio da classe de p oblemas acima, o no o elemen o pode, em concomi iincia com ou os elemen os es u u ais, ep esen a o compo amen o de es u u as esbel as de conc e o p o endido, quando é impo an e a nao-linea idade geomé ica. Finalmen e, no con ex o da análise diniimica, pode-se emp ega es e elemen o pa a o es udo de oscilacoes au o-exci á eis, semp e que se a a de cabos esco egando com elocidades nao-dep ezí eis. O caso clássico é o da co da do iolino2. ELEMENTO IDEAL DE CABOS ESCORREGANDO Conside e-se inicialmen e o elemen o de cabo ideal (cabo esco egando sem a i o ou cabo passando po uma polia), con o me se mos a na Figu a 1. Associados aos echos 1 e 2 do elemen o em-se os e o es dados na equacáo (1) Figu a 1. Elemen o de cabo ideal (sem a i o) onde Xl, X2 sáo as coo denadas dos nós de ex emidade e X3 aquelas do nó in e mediá io, na con igu acáo inicial, e Ul, U2 e U3 siio OS deslocamen os des es nós desde a con igu acáo inicial a é a con igu acáo a ual. Os comp imen os a uais dos dois echos podem se calculados po meio de O comp imen o o al inde o mado do cabo é e. = + e o comp imen o inicial, admi indo-se uma p o ensáo inicial N,, é e, = (el), + (e2),. . A pa i das equacóes (1) e (2) de inem-se ainda os e so es di ecionais dos echos 1 e 2 do elemen o de cabo Como a ensáo é a mesma em ambos os echos de cabo (p op iedade da polia ideal), a de o macáo é E = (el + Q2 - e,) /Qo Admi indo-se um ma e ial elás ico linea , a o ca no mal em ambos os echos do elemen o é N = EA€ + N, , onde E é o módulo de elas icidade e A a á ea da secáo ans e sal do cabo. A combinacáo das equaqóes acima o nece as o cas nodais agindo no elemen o, que podem se ag upadas no e o das o cas nodazs F De inido ainda o e o de deslocamen os inc emen ais SU SU = [E,] pode-se p ocu a a ma iz de igidez angen e K al que SF = KSU (6) O e o 6F é a de i ada di ecional do e o das o cas nodais, dado pela de i ada de Ga eaux onde sáo indicadas com uma ba a as g andezas calculadas na con igu acáo (U + XSU), is o é, = Xl + Ul + X SUl - X3 - U3 - X SU3 e de inicóes análogas pa a as demais g andezas. Con ém pa iciona K segundo as componen es dos e o es SF e SU, de modo que 6F, = KZJSUJ is o é, a de i ada di ecional da o ca nodal agindo no nó i (Fi) na di ecáo do deslocamen o do nó j (Uj) o nece a subma iz KZJ. P ocedendo-se po ando A de i acáo de SFl, ob ém-se a p imei a linha de subma izes KIJ. AS ou as F = lim F (U + XSU) - F (U) d X = -F (U + XSU) A-o d X = LFI x=o dX x=o (7) 568 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA subma izes ob ém-se po equilíb io de o sas e pe mu as50 de índices, o que essal a a sime ia de K (como se eque de um sis ema conse a i o5). Resul a onde se deno a, po concisiio, Mil = l T ; Mz2 = 2 i ; M12 = l i ; Mi = 13 - Mil ; MP = 13 - MZ2 (13 é a ma iz iden idade de o dem 3). Conside a-se ago a a ob ens50 da ma iz de igidez angen e nao ideal (is o é, incluindo o a i o en e cabos). P elimina men e, eco de-se o p oblema clássico do equilíb io de uma co eia passando po um ambo cilínd ico ixo, Figu a 2. Seja a o iingulo en e os echos da co eia nos dois lados do ambo e ,O o seu complemen o. ,O é ambém a abe u a angula do echo do ambo em con a o com a co eia. Sendo p o coe icien e de a i o es á ico en e cabo e co eia, as o cas no mais Ni e N2 agindo nos echos de cabo nos dois lados da co eia gua dam en e si a seguin e elas20 onde se admi e que a o ~a agindo no p imei o echo seja maio que no segundo, is o é, NI > N2. Obse a-se que a elas50 (9) independe do diame o do cilind o, podendo po an o se emp egada no p oblema dos cabos esco egando com a i o. Figu a 2. Co eia passando po ambo cilind ico ixo Nes e caso, o elemen o de cabo de e ep esen a dois di e en es egimes de compo amen o ' - o 4% < =+ náo há esco egamen o; N2 -7 - o 2 > 7 + a polia esco ega, e os cabos ea anjam-se a é que a condicso de náo-esco egamen o seja a ingida, o que oco e com 3 = 7. Relasoes análogas alem pa a N2 > NI. O p oblema é análogo ao da elas oplas icidade ideal. Náo ha endo esco egamen o, o elemen o de cabo com polia nao-ideal compo a-se como o encadeamen o de dois elemen o de elica. A mon agem da ma iz de igidez do elemen o pa a es e caso é i ial. Pa a o caso em que o equilíb io se dá após o esco egamen o do cabo, conside e-se a con igu acáo de equilíb io do elemen o de cabo nao-ideal mos ada na Figu a 3a. Os e so es di ecionais dos dois echos de cabo sáo dados pelas equacoes (3). Sendo Ni e N2 as o cas no mais nos dois echos do cabo, o e o de o cas nodais agindo num elemen o em equilíb io é: Fl, F2 e F3 sáo necessa iamen e coplana es. Po ém, enquan o no caso da polia ideal F3 e a necessa iamen e di igida segundo a bisse iz do angulo a, no caso náo ideal F3 e á uma componen e pa alela e ou a componen e no mal ?i bisse iz. Con ém decompo F3 nes as duas di ecoes, con o me a equaciio (11) (Figu a 3b) Figu a 3. (a) Elemen o de cabo nao ideal; (b) DecomposicZo de o cas no elemen o nao ideal 570 R.M. PAULETTI E P.M. PIMENTA F& indica a componen e de F3 segundo a bisse iz do iingulo a. Pa a a i o nulo, F: = F3, daí o índice supe io i (de "ideal"). F?, po ou o lado, é a componen e de F3 sus en ada pelo a i o, daí o índice supe io ni (de "nao-ideal"). A pa cela F3 é esponsá el po sus en a uma ae50 cons an e Ni em ambos os echos do cabo. Pa a um ma e ial elás ico linea , exis e uma de o macao e' associada a es e elemen o, al que onde, analogamen e ao que se de iniu pa a o caso ideal, o comp imen o o al inde o mado do cabo é lo = + ( 2)o e O comp imen o inicial, assumindo lima p o ensao inicial Ni é ei = (el)i + Des a manei a, pode-se esc e e , pa a as o cas no mais o ais agindo nos lois echos O a, como F; é di igida segundo a bisse iz do angula a, F? de e e a di eqiio da bisse iz do iingulo ,O (Figu a 3b), o que somen e é possí el se ANF~ e AN~ o em iguais em módulo. E como es as pa celas de em inc emen a ou eduzi a pa cela ideal nos dois echos do cabo, AsT= -Ac? = Aen'. Subs i uindo-se A€"' cm (13) e es as em (9), ob é i-se Asn' = 5s' (semp e pa a Ni > N2). Como deco encia, as o qas no mais nos dois echos de cabo podem se pos as em unqao de NZ In oduzindo-se as exp essoes acima na equaciio (lo), pode-se ob e a ma iz de igidez angen e do elemen o de cabo esco egando po uma polia nao ideal, analogamen e a quan o ei o pa a a polia ideal. Conside e-se as duas p imei as linhas da pa iciio 6Fi = Kij6Uj. Indicando com uma ba a as g andezas calculadas na con igu aqao (U + XSU), em-se, le ando e i con a (7) P ocedendo-se As de i as ies necessá ias, chega-se As duas p imei as linhas de subma izes de K. A e cei a linha de subma izes ob ém-se conside ando o equilíb io de o cas. O esul ado inal é onde o índice supe io i oi ac escido aos e mos da ma iz de igidez da polia ideal (is o é, K21, e c.), con o me de e minados an e io men e, e além disso, ni 2pq Ni 11 = -M12M1 (q + 1)' sin p i ni 2pq N~ 12 = -M11M2 (q + 1)' sin /3 -e2 K;; = - 2pq Ni -M21M2 (q + I)~ sin /3 -e2 As ma izes Mi, M2, Mil, M12 , e ML1 em de inicoes iden icas Aquelas do caso ideal. Ressal a-se que, em uncáo da in oduciio do a i o, K pe de a sime ia. Com deduciio análoga, conclui-se ainda que, pa a cons ui -se a ma iz de igidez pa a o caso em que N2 > Ni, bas a in e e os coe icien es que mul iplicam as pa celas ideais das subma izes de K, e oca o sinal das pa celas nao ideais. A o mulacáo acima oi implemen ada no p og ama CABLE, em desen ol imen o no Labo a ó io de Meclinica Compu acional (LMCIPEF) da Escola Poli écnica da USP. O algo i mo de soluciio u ilizado oi o mé odo inc emen al i e a i o, com as i e acóes sendo e e uadas a a és do mé odo de New on exa o, com busca unidimensional pa a acele a a con e gencia, quando necessá io. A solugáo do sis ema de equacóes linea es em cada i e aciio u iliza a decomposicáo de C ou pa a ma izes assimé icas. Na e sáo a ual o p og ama exclui casos pa ológicos, como a polia que escapa do elemen o, o cabo que se e i ica ou que se dob a comple amen e sob e si mesmo. Como p imei o exemplo conside a-se um único elemen o de cabo com polia náo ideal. As ex emidades sáo ixas. O nó da polia es á localizado no pon o médio do cabo. Os echos, de comp imen o i o mam en e si um iingulo de 90'. Inicialmen e O cabo, com EA = 2 . 10' e p = 0,25, é acionado em co espondencia ao nó in e mediá io po uma o ca e ical Fz (is o é, segundo a bisse iz do angulo en e os echos de cabo) de in ensidade 2 . lo5. Em seguida aplica-se uma o ca la e al Fx, c escen e. A Figu a 4a mos a as con igu acóes de equilíb io pa a di e en es alo es de ca ga. A Figu a 4b, po sua ez, mos a o alo do deslocamen o la e al do nó de polia ao c esce de Fx. O esco egamen o oco e com 0,3875 . lo5 < Fx < 0,3890 . lo5. A pa i daí, esgo a-se a capacidade da polia equilib a a componen e de o qa no mal 2, 572 R.M. PAULETTI E P.M. PIMEKTA bisse iz do angulo en e os echos de cabo po meio do a i o, de modo que o cabo de e ea anja -se a é encon a uma no a con igu acáo de equilíb io. Desp ezando- se a de o ma550 do cabo, a polia passa ocupa pon os de uma elipse cujos polos s5o as duas ex emidades ixas do cabo. Ainda desp ezando-se a de o macáo do cabo, é acil de e mina anali icamen e o alo máximo da o ca la e al pa a o qual náo há esco egamen o, esul ando Fx = F' = 3,8773. lo4, alo que conco da com os esul ados ob idos pelo p og ama CABLE. Deslocamen o do n6 in e medi8 io ao c sce de Fx 01 1 . I mmÑooomlam~amo7ooaamoooom ~ Fo p la e al Fx [N] Figu a 4. (a) Elemen o de cabo esco egando em sucessi as con igu aqoes de equilíb io; (b) Deslocamen o do nó in e mediá io ao c esce de Fx Como segundo exemplo, conside a-se a pe da de ensáo em um cabo en olado a um pila cilínd ico ígido, con o me se mos a na Figu a 5a. Uma das ex emidades do cabo oi ca egada com uma o ca no mal 2. lo5, enquan o a ou a oi ixada. A Figu a 5b mos a a pe da de as50 ao longo do desen ol imen o do cabo, pa a coe icien es de a i o en e 0,01 e 0,lO. Os alo es de e minados pelo p og ama CABLE coincidem com os alo es analí icos, dados po N (P) = ~epp, onde T é a acáo aplicada A ex emidade do cabo e ,O o seu desen ol imen o angula (is o é, P o al = 47 ). O exemplo seguin e conside a o cabo p incipal de uma pon e pensil com um áo de 80 m en e pila es. O cabo, com EA = 2 . lo9, é ixado ao solo e esco ega pelo opo dos pila es, que se admi e sejam ígidos. Po sime ia, modela-se a me ade da es u u a, con o me a Figu a 6, que mos a a geome ia inicial ( e ilínea) e a geome ia de equilíb io do cabo sob a acá0 do peso p óp io (Pp = 300/nó). A Figu a 7, po sua ez, mos a a de o macáo p o ocada po uma sob eca ga P, = 104/nó. No caso de esco egamen o sem a i o, oco e um inc emen o de 0,274m na lexa do áo cen al do cabo, em elaqáo A geome ia de equilíb io sob a acá0 do peso p óp io. A Figu a 8 mos a como es e inc emen o se eduz, A medida que se conside am coe icien es de a i o c escen es, a é um alo assin ó ico de ce ca de O, 2m. Mos a-se ainda o c escimen o da acáo no cabo, em co espondencia ao apoio supe io , a é o alo assin ó ico de 0,2337 - lo6, igual ao alo que se ob ém ao se conside a o cabo solidá io ao pila . FORMULACÁO DE UM E. F. DE CABO INCORPORANDO O EFEITO DO ATRITO 5 73 Necessa iamen e, a ae50 na base do es aio (is o é, o pon o de ixaciio do cabo ao solo), em compo amen o in e so, endendo a ze o a medida que p c esce. T apo no cabo com p=l%. 2% 4%. 8% e 10% eooo O 2 1 8 (0 12 (4 18 Desen ol imen o do cabo (n o do elemen o) Figu a 5. (a) Cabo en olado a um pila cilínd ico; (b) T acáo no cabo pa a di e sos coe icien es de a i o Figu a 6. Cabo de pon e pensil. Geome ia inicial ( e ilínea) e de equilíb io sob a a550 do peso p óp io Figu a 7. Cabo de pon e pensil. Geome ia de o mada sob a ac5o da sob eca ga Como um úl imo exemplo, sob e a con igu ac50 de equilíb io do cabo sujei o ao peso p óp io, ex ende-se um cabo secundá io, ao qual se imp6e uma acáo de 2 . lo5, Figu a 9 ao mesmo empo em que ambos os cabos siio ca egados com P, = 104/nó. Conside a-se ainda que o pila seja lexí el, com k:ilaT = lo5. A Figu a 10 mos a a