Dimensionamiento óptimo del armado de secciones rectangulares de hormigón sometidas a flexocompresión esviada

12 Estado del conocimiento _ 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.1 El problema de la obtención de la respuesta de secciones frente a solicitaciones de flexocompresión esviada Definición de la solicitación Una sección se encuentra en un estado de flexión o compresión compuesta esviada cuando el plano de la flexión no coincide con sus planos principales de inercia. Esta situación se caracteriza por no conocer a priori la dirección de la fibra neutra. Dicho estado se presenta en los casos siguientes: A. Secciones que no presentan un plano de simetría. (Por ejemplo una sección en L de lados desiguales) B. Secciones que, siendo simétricas en cuanto a la forma, están armadas de forma asimétrica respecto a su plano de simetría. (No es muy habitual) C. Secciones que, siendo simétricas por su forma y armaduras, están sometidas a una solicitación que no está contenida en el plano de simetría. (Por ejemplo un pilar de esquina) A B C Y MY X M X Figura 2.1 El último caso es el más frecuente. En él se encuentran también los siguientes elementos estructurales: - Algunas vigas, que pueden estar sometidas a cargas laterales (viento, empuje de tierras en muros y cimientos, empuje de agua en depósitos, empuje del material almacenado en silos, vigas pretensadas durante fase de tesado con tendones excéntricos respecto del eje de simetría, etc.) 13 Estado del conocimiento _ - La mayoría de los pilares, pues aunque formen parte de pórticos planos, la acción del viento o del sismo puede producir flexiones secundarias, que con frecuencia se desprecian. Lo mismo puede decirse de las flexiones que resultarían de una consideración rigurosa del pandeo y de las posibles inexactitudes de construcción, con las consiguientes excentricidades situadas fuera del plano principal de flexión Respuesta tensodeformacional de la sección Sea una sección rectangular con armadura simétrica sometida a una solicitación de flexocompresión esviada ( Nd , Mxd , Myd ). La figura muestra una posición del eje neutro con una curvatura determinada, es decir, un plano de deformaciones, que da lugar a unas tensiones en el hormigón y en el acero que deben estar en equilibrio con los esfuerzos externos ( Nd , Mxd , Myd ). Como puede observarse, la respuesta tensional de los materiales es no lineal, al no serlo el diagrama parábola rectángulo en el hormigón y el diagrama elasto-plástico en el acero. Figura 2.2 Tanto su dimensionado como su comprobación exigen determinar la posición del eje neutro, usando para ello las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Como estas ecuaciones no pueden expresarse analíticamente tomando como variables parámetros que fijen la posición de la fibra neutra, el problema no admite solución analítica exacta, debiendo recurrirse a métodos aproximados. Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráficos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo de cálculo laborioso y por ello adecuados para su resolución mediante ordenador. 14 Estado del conocimiento _ El cálculo de los esfuerzos resistidos para una sola posición del eje neutro ya se escapa de su resolución manual. Lo más complejo es la obtención de la resultante de las tensiones del hormigón. Aunque hay varias maneras de calcular este valor, unas más complejas que otras, ninguna es abordable sin un ordenador. Entre otras, algunas de estas opciones pasan por discretizar la sección en una serie de elementos diferenciales, realizar integración numérica evaluando la tensión en determinados puntos o calcular de forma exacta la integral analítica. Para el cálculo de la resultante del acero basta con suponer toda el área de acero de una barra concentrada en su baricentro, determinar su deformación y tensión y realizar el sumatorio para todas ellas. El objetivo es conseguir un valor lo más aproximado posible de la forma más rápida y sencilla posible. En nuestro caso hemos sacrificado la sencillez de la formulación para conseguir un resultado rápido y exacto. A continuación hay que ir variando la posición de la fibra neutra hasta encontrar la que satisface las ecuaciones de equilibrio. Mientras mejor sea el método que aproxime esta posición a la final mayor será la exactitud en la obtención de la cuantía de armadura necesaria. No se trata solo de acercarse tanto como sea posible a la posición buscada sino de hacerlo con el mínimo número de iteraciones para así agilizar el cálculo. 2.2 Métodos de dimensionamiento y comprobación frente a esfuerzos de flexocompresión esviada. Ejemplos de aplicación Se entiende por métodos de cálculo de secciones en flexocompresión los procedimientos a través de los cuales se puede obtener la respuesta tenso-deformacional de la sección frente a solicitaciones de este tipo. En otras palabras, dados unos esfuerzos de flexocompresión se trata de obtener las tensiones y deformaciones en todas las fibras de la sección o viceversa. Los métodos de cálculo pueden clasificarse en dos grandes grupos: los rigurosos y los simplificados. La diferencia más importante entre unos y otros está, generalmente, en la complejidad de los diagramas tensión-deformación de cálculo adoptados para los materiales y en el ámbito de aplicación (unos están restringidos a flexocompresión recta o a flexocompresión esviada, a secciones rectangulares etc., mientras que los otros pueden ser totalmente generales) Entre los métodos rigurosos o generales de cálculo, podemos citar los basados en el método parábola-rectángulo y que dan lugar a diagramas de interacción, programas de ordenador, tablas y fórmulas. En los temas que siguen se describirán diferentes métodos de cálculo, tanto generales como simplificados, para el dimensionamiento y comprobación de secciones de hormigón armado frente a solicitaciones normales. Antes y como paso previo, se diferenciará entre métodos numéricos y gráficos y se explicará la obtención de este último. 15      Estado del conocimiento _ Métodos numéricos Están basados en el empleo de programas informáticos. Consiste en encontrar por tanteo una posición del eje neutro tal que, con ella, la carga de agotamiento Nu de la sección tenga excentricidades ex, ey iguales a las de la solicitación mayorada o de cálculo Nd. Si se verifica Nd ≤ Nu la sección está en buenas condiciones de seguridad. La precisión y rapidez de estos programas es más que satisfactoria. No obstante suelen presentar limitaciones en la disposición de la armadura lo que impide usarlos para optimizar el resultado. Así, existen programas para disposiciones prefijadas de armado, como son las que se muestran en la figura adjunta Figura 2.3 Métodos gráficos Los métodos gráficos no son más que la materialización en forma de curvas equirresistentes, ábacos, diagramas de interacción o similares de los resultados de métodos numéricos utilizados de forma sistemática. Tienen la ventaja de que facilitan al proyectista su uso, sin necesidad de disponer de los programas informáticos que los generan, aunque padecen de la limitación propia de que solo pueden utilizarse para secciones con las características de geometría y distribución de armaduras para las que fueron creados. Entre alguno de estos métodos destacaremos los siguientes: - Ábacos adimensionales en roseta - Ábacos de interacción (previa reducción a flexión recta) - Curvas equirresistentes Método de superposición - Métodos tradicionales Método de la instrucción rusa Método de Jakobsen 16 Estado del conocimiento _ 2.2.1 Diagramas de interacción Son ábacos que relacionan los pares o ternas de esfuerzos (axil y momentos) que agotan la sección, para una geometría, cuantía y disposición de armaduras conocidas. Su definición, obtención, propiedades y utilización se describirán a continuación. Las ventajas de los diagramas de interacción son: “Sencillez de utilización”, ya que la operación de comprobar o dimensionar se hace de forma directa y “precisión” ya que estos diagramas se obtiene por medio de ordenador utilizando hipótesis precisas de comportamiento de los materiales respecto a la realidad. El inconveniente fundamental es que su utilización está limitada a las secciones con formas y disposiciones de armadura predeterminadas. Así, existen diagramas para secciones rectangulares, circulares, anulares, etc. con armadura simétrica en las cuatro caras, en las cuatro esquinas etc. En los casos más usuales, especialmente en pilares suelen ser muy útiles. No obstante, el concepto de diagrama de interacción es totalmente general pudiendo obtenerse dicho diagrama para cualquier sección, materiales, etc. Concepto y obtención Los dominios de deformación corresponden a todas las solicitaciones normales de una manera continua, desde la tracción simple hasta la compresión simple, al variar la profundidad del eje neutro desde -∞ a +∞. Puede decirse que cada plano contenido en un dominio de deformación está asociado a un par de esfuerzos (Nu, Mu) que agotan la sección. Veamos cómo se relacionan entre sí. Considérese una sección con armaduras de tracción y compresión y recubrimiento nulos (lo cual es una abstracción teórica para dar más claridad a la exposición). Si representamos en unos ejes las deformaciones extremas de la sección (εc = εs2, εs1) para cada plano de rotura se obtiene el siguiente diagrama continuo y cerrado. Figura 2.4 Cualquier punto interior al diagrama de interacción representa un plano en el que no agota ningún material y, por tanto, corresponde a una solicitación resistida. 17 Estado del conocimiento _ Para pasar de una deformación interior a una exterior o post-límite es preciso, necesariamente, cortar el diagrama, es decir, pasar por una situación límite. Un par (εc, εs1) fija unívocamente la posición de la fibra neutra y el plano de deformaciones (esto es, el valor de la deformación de todas las fibras de la sección). La ley de deformaciones, mediante los diagramas σ – ε del hormigón en rotura y del acero define unívocamente una ley de tensiones. Figura 2.5 La resultante y el momento resultante de las tensiones normales constituyen los esfuerzos últimos (Nu, Mu) o solicitación resistida y se obtienen planteando las ecuaciones de equilibrio seccional. 22 ' 11 0 2 ' 1 0 )()()( )()( zAzAdzzzzbzM AAdzzbzN ssss x scu ssss x cu ⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅= ⋅+⋅+⋅⋅= ∫ ∫ οοο οοο Es decir, el proceso es: Ecuación. Diagramas Ecuaciones De Tensión Esfuerzos Plano (εs1, εs2) → Compatibilidad → Deformación → Equilibrio ε(z) σ(z) (Nu, Mu) Se obtiene así, un diagrama (Nu, Mu) correspondiente a las solicitaciones límite, llamado diagrama de Interacción. Cualquier solicitación de flexocompresión corresponde a un punto A (Nd, Md) en unos ejes (N, M), que puede ser interior, exterior o estar sobre el diagrama. En el primer caso constituirá una solicitación resistida por la sección y en los otros agotará la sección. 18 Estado del conocimiento _ Diagramas de interacción en tres dimensiones Hasta ahora se han considerado casos de secciones con un plano de simetría y solicitaciones actuantes en dicho plano, o sea, casos de flexocompresión recta. Sin embargo en muchos casos no se presenta estas circunstancias, como en secciones de forma asimétrica, secciones de forma simétrica pero asimétricamente armadas o secciones simétricas en forma y disposición de armaduras pero sometidas a solicitaciones fuera del plano de simetría. Figura 2.6 En estos casos se producen solicitaciones de flexocompresión esviada, y, a pesar de implicar una mayor complejidad pueden ser tratados con un total paralelismo con los de flexión recta, como veremos a continuación Basándose en las hipótesis del método, que son totalmente generales, en un caso de flexocompresión esviada se plantean tres ecuaciones de equilibrio. isisi n i ccyd isisi n i ccxd sisi n i ccd yAdsyM xAdsxM AdsN ⋅⋅Σ+⋅⋅= ⋅⋅Σ+⋅⋅= ⋅Σ+⋅= = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ οο οο οο 1 1 1 Los diagramas de deformación correspondientes al estado límite siguen siendo los mismos que en flexocompresión recta. Pero ahora las deformaciones en dos puntos no son suficientes; necesitamos bien la deformación en tres puntos, bien el ángulo que forma la fibra neutra con uno de los ejes y las deformaciones en dos puntos, ya que se trata de definir un plano en el espacio. (Ver figura 2.7) Para una posición de la fibra neutra (en ángulo solamente) podemos recorrer, como en flexocompresión recta, los dominios de deformación o diagrama de pivotes. De esta forma se obtiene una línea continua en el espacio Mxu – Myu – Nu. Si variamos también 19 Estado del conocimiento _ Figura 2.7 el ángulo de la fibra neutra, de forma continua, obtenemos una superficie que es el diagrama de interacción de la sección según se muestra en la figura siguiente. Figura 2.8 Esta superficie presenta el inconveniente de que a un mismo par de momentos (Mxu, Myu) corresponden varios axiles (Nu1, Nu2). Para obviar este problema se pueden utilizar los valores siguientes: ud u yu x u xu yNN N M e N M e=== Estas expresiones son válidas siempre que Nu≠0, lo cual es el caso más normal en flexocompresión esviada. De esta forma obtenemos, para Nd positivo, la superficie 20 Estado del conocimiento _ transformada del diagrama de interacción, con la ventaja de que a un par de excentricidades dado (ex, ey) sólo corresponde un axil Nu de la superficie de rotura. Figura 2.9 2.2.2 Ábacos adimensionales en roseta Son el equivalente, en flexión esviada, a los diagramas de interacción en flexión recta. Del mismo modo que en flexión recta, al variar la cuantía se obtiene para cada sección un conjunto de diagramas de interacción (N, M), en flexión esviada se obtiene un conjunto de superficies de interacción (N, Mx, My) Figura 2.10 Estas superficies pueden representarse mediante las curvas de nivel, es decir las que resultan al cortarlas por planos N=cte. En cada hoja pueden agruparse cuatro u ocho de estos gráficos, aprovechando las simetrías (esta idea, ha dado lugar a la denominación «en roseta»). Si además se preparan en forma adimensional, llevando en los ejes los esfuerzos reducidos ( υ, µx, µy ), son válidos para una sección rectangular cualesquiera 27 Estado del conocimiento _ Con los nuevos valores reducidos entramos en el ábaco de interacción y obtenemos la nueva cuantía de armadura.        = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ = 331,0 20350350300 106,243 4,0 20350300 10840 6 ' 3 cd xd x cd d fhhb M fhb N µ ν ⇒ 77,0= tot ϖ Estos valores representados en el ábaco son: Figura 2.14 Calculamos el área total y dividimos entre las 8 barras. 22 2 2,8043211.581 8 8.4648 8 8.4648 83,347 2035030077,0 mmmm A A mm f fhb A tot yd cdtot tot =<=== = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = φ ϖ φ Este es un método aproximado que está demasiado por el lado de la seguridad. Si comparamos este resultado con el obtenido usando los ábacos en roseta, observamos un incremento en acero de un 28% en la armadura teórica necesaria, y al escoger el diámetro en un incremento de un 64%. 28 Estado del conocimiento _ Solución mediante método de superposición En primer lugar se obtienen los valores reducidos de axil y momento. 127,0 20300350300 1080 204,0 20350350300 10150 4,0 20350300 10840 6 6 3 = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ = cd yd y cd xd x cd d fbhb M fhhb M fhb N µ µ ν A continuación descomponemos la flexión esviada en dos solicitaciones de flexión recta y finalmente, entramos en los ábacos de interacción (ver figura 2.15) para obtener la cuantía necesaria para cada caso. 08,0 127,0 4,0 35,0 204,0 4,0 =⇒    = = =⇒    = = y y x x ω µ ν ω µ ν Figura 2.15 La cuantía total es la suma de las dos anteriores 43,008,035,0 = + = + =yxtot ω ω ω 29 Estado del conocimiento _ Finalmente, se calcula el área total y se divide entre las 8 barras. 22 2 9,4902515,324 8 3,2596 8 3,2596 83,347 2035030043,0 mmmm A A mm f fhb A tot yd cdtot tot =<=== = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = φ ϖ φ Este método, como lo muestra este ejemplo, puede estar del lado de la inseguridad. Si comparamos este resultado con el obtenido usando los ábacos en roseta, observamos una reducción de un 28% en la cantidad de armadura teórica necesaria. Aunque finalmente al escoger diámetro no ha habido variación respecto al determinado por el ábaco en roseta, se desaconseja el uso de este método, que carece de justificación teórica. Resolución mediante el método de la Instrucción rusa Es un método de comprobación, así que para dimensionar hay que proceder por tanteos. Con los ábacos en roseta la armadura necesaria estaba formada por barras de diámetro 25mm. Vamos a comprobar primeramente si, según este método, con el armado propuesto, la sección está en buenas condiciones de seguridad. En primer lugar se calcula la cuantía de armadura existente en la sección: NfAUmmA ydtottottot 32 1092,136583,34799,392699,3926258 ⋅=⋅=⋅=⇒=⇒ φ 65,0 20350300 1092,1365 3 = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ = cd ydtot tot fhb fA ω En el ábaco de interacción (ver figura 2.16) dibujamos dos rectas que salgan del origen de coordenadas. La primera pasa por el punto: 204,0 20350350300 10150 4,0 20350300 10840 6 3 = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ = cd xd x cd d fhhb M fhb N µ ν Representa el conjunto de valores (N, M) con excentricidad: m N M e d xd y179,0 840 150 === 30 Estado del conocimiento _ La segunda pasa por el punto: 127,0 20300350300 1080 4,0 20350300 10840 6 3 = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ = cd yd y cd d fbhb M fhb N µ ν Representa el conjunto de valores (N, M) con excentricidad: m N M e d yd x095,0 840 80 === La intersección de la curva ω=0,65 representativa de la cuantía existente con las rectas anteriores y con el eje horizontal (µ=0) nos da los siguientes valores reducidos. NfhbN NfhbN NfhbN cdxxo cdxxy cdxxx 3 3 3 100,315020350300500,1500,1 100,155420350300740,0740,0 105,112320350300535,0535,0 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ν ν ν ν ν ν Representamos estos valores en el gráfico siguiente: Figura 2.16 31 Estado del conocimiento _ Introduciendo los valores en la fórmula de comprobación: CUMPLENOkNNkNN NNNN du yxu 8403,822 0,3150 1 0,1554 1 5,1123 11111 0 =<=⇒ −+=−+= Si probamos con barras de diámetro 32 mm NfAUmmA ydtottottot 32 1093,223783,34798,643398,6433328 ⋅=⋅=⋅=⇒=⇒ φ 066,1 20350300 1093,2237 3 = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ = cd ydtot tot fhb fA ω La intersección de las mismas rectas ahora con la curva ω=1,066 da los siguientes valores: NfhbN NfhbN NfhbN cdxxo cdxxy cdxxx 3 3 3 105,402120350300915,1915,1 100,203720350300970,0970,0 105,148020350300705,0705,0 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒= ν ν ν ν ν ν Introduciendo los valores en la fórmula de comprobación: CUMPLEkNNkNN NNNN du yxu 8407,1089 5,4021 1 0,2037 1 5,1480 11111 0 =>=⇒ −+=−+= Este método puede dar valores que estén por el lado de la inseguridad. En este caso da valores sobredimensionados. Además es un método de comprobación y hay que proceder por tanteos, por eso no resulta ni cómodo ni práctico para el dimensionado. En este caso, por ejemplo, nos obliga a poner un diámetro mayor del que realmente es necesario. Resolución mediante el método de Jakobsen Las excentricidades referidas a los ejes de la sección son: m N M e d xd y179,0 840 150 === m N M e d yd x095,0 840 80 === 32 Estado del conocimiento _ En este caso la excentricidad ficticia se aplica en la dirección y. 167,1 300 350 88,1 095.0 179.0 ==>== b h e e x y y su valor es: m b h e e ee y x yy 2105,0 300 350 179,0 095,0 1179,01 2 2 '=      ⋅+⋅=        ⋅+= Las nuevas acciones para dimensionar en flexión recta son: mkNeNM kNN ydxd d 82,1762105,0840 840 '' =⋅=⋅= = Procedemos igual que con el método de reducción a flexión recta y con los valores reducidos entramos en el ábaco de interacción correspondiente y obtenemos la cuantía total de armadura necesaria.        = ⋅⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ = 24,0 20350350300 1082,176 4,0 20350300 10840 6 ' 3 cd xd x cd d fhhb M fhb N µ ν ⇒ 46,0= tot ϖ Calculamos el área total y dividimos entre las 8 barras. 22 2 9,4902511,347 8 5,2777 8 5,2777 83,347 2035030046,0 mmmm A A mm f fhb A tot yd cdtot tot =<=== = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅ = φ ϖ φ Este método similar al de reducción a flexión recta en el planteamiento conduce a valores en cambio que pueden estar por el lado de la inseguridad. En este caso por ejemplo da una armadura teórica igual a un 23% menor de la necesaria. La conclusión, obtenida a la luz de los resultados, es que ninguno de los métodos simplificados nos da resultados satisfactorios. Algunos métodos, como el que propone la EHE, proporcionan valores muy sobredimensionados y otros en cambio dan valores que están en contra de la seguridad.