Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 14,2, 145-166(1993)
INTEGRACAO
REDUZIDA
PARA
PROBLEMAS
ADVECTIVOS-DIFUSIVOS ESCALARES
DISCRETIZADOS
PELA
FORMULACÁO
SUPG COM OPERADOR DE CAPTURA
DE DESCONTINUIDADES
C.M. DIAS
e
A.L.G.A. COUTINHO
P og anza
de
El~gelzha ia Ci il
-
COPPE/UFRJ
Cx. Pos al 68506, Rio
de
Janei o, RJ 21945-970, B asil
Tel.:
+
55-21-280 9993
,
Faz:
+
55-21-280 9545
E-nzail: [email p o ec ed]. b
Es e aba1110 ap esen a iiina écnica de con ole das oscilacoes esgú ias que podein su gi
quando as in eg ais p o eiiieii es da disc e iza~iio de p oblemas escala es ad ec i os-di usi os em
egiine pe manen e pela o iiiulaciio SUPG com ope ado de cap u a de descon ii~uidades, sao
a aliadas u ilizailclo-se uin pon o de quad a u a de Gauss. Os e mos de co ecao siio ob idos
&
pa i do p iilcípio a iacional de Hu-Wasliizu. Di e sos exeinplos numé icos siio ap esen ados
de o ina a alida a écnica p opos a.
REDUCED INTEGRATION FOR STEADY ADVECTIVE-DIFFUSIVE PROBLEMS
DISCRETIZED BY THE SUPG FORMULATION WITH
DISCONTINUITY-CAPTURING
SUMMARY
This wo lc p esen s a ecliiiique o con ol lie spu ious oscilla ions ha inay appea when
he in eg als a isiilg oin he disc e iza ion o scala s eady-s a e ad ec i e-di usi e p oblems
by he SUPG o inula ioii wi li discon inui y-cap u ing a e e alua ed usiilg one-poin Gaussiai~
quad a u e. Tlie co ec ion e ms a e cle i ed oin a Hu-Wasl-iizu a ia ional o inula ion.
Se e a1 nume ical esamples a. e slzown, alida ing he p oposed echnique.
Recibido: Sep iemb e 1996
OUni e si a Poli ecnica de Ca alu iya (España) ISSN 0213-1315
146
C.M.
DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
Na soluc5o de p oblemas ad ec i os-di usi os pelo Mé odo dos Elemen os Fini os
su gein in eg ais que podem se a aliadas u ilizando-se uma eg a de in eg as50
numé ica, ge almen e a quad a u a de Gauss.
O
cus o compu acional da a aliaqáo
des as in eg ais
é
p opo cional ao núme o de pon os de in eg as20 u ilizados.
Assiin, a u ilizac50 da in eg as50 com um pon o de quad a u a em eduzii-
signi ica i amen e o cus o des as a aliacóes. A ualmen e mui os p og amas u ilizam
es a In eg aq50 Reduzida com sucesso em p oblemas de mecanica dos sólidos, cascas
e di usao, eduzindo o núme o de a aliacóes do ope ado semi-disc e o e das equaqóes
cons i u i as. No en an o, al p ocedin~en o pode p o oca o apa ecimen o de oscilasóes
espú ias conhecidas como modos hou glass, que podem comp ome e os esul ados.
Des a o ma, o na-se necessá ia a u ilizasáo de uma écnica de con ole des as
oscilacóes. Exis em di e sas écnicas capazes de pe mi i a u ilizas50 da In eg as50
Reduzida com um pon o de quad a u a em malhas de elemen os quad ilá e os
e hexaed os linea es pa a es as classes de p oblemas. Den e elas des aca-se a
desen ol ida po Liu e Bely sclikol0 e Bely schko
e
al.l, onde os modos singula es
espú ios que podem su gi com a In eg a550 Reduzida s5o eliminados com a adic5o
de uma pa cela de es abilizaciio
&
ma iz de elemen o. Malle
e
al.
l1
es endeu
al me odologia de es abilizas50
&
sis emas ad ec i os-di usi os.
O
p esen e abalho
ol ado pa a a o inulasao SUPG (B ooks e Hughes2), ac escida de um ope ado de
cap u a de descon inuidades (Codina4,
Gale5o e Du a do Ca mo8), u iliza a In eg ac50
Reduzida com um pon o de quad a u a, es abilizada a pa i do p incípio a iacional
de Hu-Washizu, em p oblemas ad ec i os-di usi os escala es em egiine pe manen e,
disc e izados po elemen os isopa amé icos quad ilá e os bilinea es.
O
a igo
é
o ganizado da seguin e o ma. P imei amen e
é
ei a uma ápida e isa0
das equacóes en ol idas e sua disc e izas50 pelo Mé odo dos Elemen os Fini os pa a
a o nulaq50 SUPG ac escida do ope ado de cap u a de choque.
É
ap esen ada a
o ma ma icial do p oblema.
O
i em seguin e discu e a me odologia de es abilizaciio
emp egada. Em seguida, ap esen am-se alguns expe imen os numé icos de alidac50, e
po úl imo s5o ei os comen á ios e conclusóes sob e o abalho.
Sendo
R
um domínio em
R2
com con o no
d
=
TI
U
F2, a equasao de ad ecc5o-
di usiio escala em eginle pe manen e
é
dada po
com condicóes de con o no
+=$*
em i
(2)
n.kV$=$,
emT2
(3)
onde
,
+*
e
4,
sáo unsóes conhecidas,
,8
é
a elocidade do luido al que
V
-
B
=
0,
k
é
o
enso de di usi idade, conside ado mui o pequena,
n
é
o e o uni á io no mal
i
on ei a e o ien ado pa a o ex e io e
q5
a incógni a do p oblema. U ilizando-se o
mé odo SUPG (S eamline Upwind Pe o -Gale l in) p opos o po B ooks e Hughes2,
ac escido de um ope ado de cap u a de descon inuidades (Galeáo e Du a do Ca mo8,
Codina4), chega-se
ii
seguin e o mulaciio de Elemen os Fini os pa a a equacáo
(1)
nnos
onde
q5h
=
N;+;
é
a
o ma disc e a de 4;
q5;,
i
=
1,.
.
.iznos
sáo as incógni as iiodais;
i
N;
siio as uizc6es de in e polaciio usuais de elemen os ini os e
wh
é
a uiiciio disc e a
de ponde acáo. Assume-se que a inalha possua
nnos
pon os nodais. As unc6es de
in e polacáo pa a elemen os quad ilá e os bilinea es, es i as aos elemen os sáo dadas
po
pa a o domínio de e e encia,
[E
=
-
1,
E
=
11
x
[q
=
-
1,
q
=
11,
coiz o ine mos ado na
Figu a 1. Na equacáo
(4)
o p iinei o soma ó io co esponde
ii
pa cela de es abilizaciio
da o mulacáo SUPG, eiiquaii o que o segundo soma ó io ep esen a
A
pa cela do e izio
de cap u a de descon inuidades.
A
exp essáo
(5)
co espoiide
i
pa cela de Gale kin e o
ope ado de esíduo disc e o da equacáo de ad eccáo-di usáo
é
dado pela equacáo
(6).
Plaiio ísico
(x,
y)
Plano de e e encia
(E,
11)
Figu a
1.
Elemen o quad ilá e o bilinea
-
plano ísico e plailo de e e encia
Na equacáo
(4)
nel
é
o núme o de elemen os na malha, ais que
izel
R=URe e @=R;nR;, i j e i,j=l,
...)
7zel
(8)
Conside a-se que a con ibuicáo descon ínua
2i
inon an e das linhas de co en e
é
calculada pela exp essáo assin ó ica (B ool<s e Hughes2)
sendo
Pe
o núme o de Pécle do elemen o, ou seja
O
comp imen o ca ac e ís ico do elemen o he, pode se calculado segundo Codina
e
aL3,
is o
é
onde
11
.II
indica a no ma euclidiana e
é
a p ojecáo de
P
no plano de e e encia. Pa a
a pa cela de cap u a de descon inuidades, as g andezas co esponden es sáo de inidas
como
lzi P~II
7-2
=
-
min
(?;
O,
7)
2
onde o subíndice
11
indica
a
p ojecáo de
P
na di ecáo pa alela a
Vq5.
A
exp essáo (12)
é
uma ap oximas50 assin ó ica ob ida
a
pa i da elacáo dada ein Codiiia4. Subs i uindo-
se as ap oximac6es de Elemen o Fini os ein (4)
A
(6),
chega-se a o ma ina icial do
p oblema exp essa po
K e
F
sáo ob idos de o ma usual, a pa i das con ibuicGes dos elemen os
nel
K
=
~(KZ
+
K:,
K:,
KL,)
e=l
nel
Conside ando-se as uiic6es de iii e polacáo bilinea es dadas pela exp essáo
(7)
e
o eleinen o quad ilá e o da Figu a
1,
as pa celas de
K
p esen es em (16) podem se
explici adas como
Ma iz de di usiio de Gale l in:
[Kz]
=
/Re
N6,jkGN,,idR, a,b
=
1,.
.
.,4;
i,
j
=
1,2 (l8)
e
Ma iz de ad eccáo de Gale l iii:
[K:,]
=
/
NbP VN,dR, a,
b
=
1,.
.
.
,4
Re
(19)
Ma iz de ad ecciío de Pe o -Gale kin:
[K:,,]
=
/
-Nb,jpi @@;N,,;, a,b
=
1,.
.
.,4; i,
j
=
1,2
Re
IlPll
(20)
Ope ado de cap u a de descoil iiluidades:
onde
A
é
a á ea do eleinen o dada po
1
A
=
-(.2'311/42
+
224~31)
2
pa a
Tais in eg ais podem se a aliadas a a és da quad a u a de Gauss com um pon o,
conduzindo a
[~;](~)=~b;l;.;~~b', ~j=1,2 e n
[=?=O
(24)
[K:,](')
=
~~~bj&p;bT,
i
=
1,2 e n
[
=
q
=
0 (27)
onde, segundo Codiila4 ein-se

150
C.M.
DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
Obse a-se que pa a o ope ado de cap u a do ipo CAU (Galeáo e Du a do
Ca ino8),
P
=
1.
Nas exp essóes aciina, bl e b2 sáo as pa celas de
VN
=
[bl b2],
dadas po
e o e o
ep eseii a un1 ino iineii o de co po ígido
As ina izes iii eg adas iio poii o
(E
=
0,
11
=
O
)
so de icieii es cle pos o, o
que pode ocasioiia oscilacóes espú ias (Hayesg). Des a o ma, se az iiecessá ia a
u ilizacáo de u na ine odologia capaz de aiiula os e ei os llega i os da de icieiicia
de pos o das ina izes. Nes e aba1110 os e mos de co ecáo das oscilacóes espú ias
se áo deseii ol idos coin base iios es udos de Liu e Bely sclil o10 e Bely scliko
e
al.
pa a a equacáo de di usáo, e os abalhos de Malle
e
al.
l1
e Dias6 pa a p oblemas
p edominaii eineii e coii ec i os. Tais e mos sáo ob idos a pa i de uin p iiicípio
a iacional do ipo Hu-Ilasliizu, como se á is o a segui .
A o mulacáo aca e111 cada eleineii o, pelo uiicioilal de Hu-Wasliizu
é
onde
S
iiidica a a iacáo e
k
é
o enso de di usi idade soinado
i
di usáo a i icial
o iuiida da o inulacáo SUPG coin ope ado de cap u a de descoil iiluidades.
A iii e polacáo de
4
pocle se esc i a coi110
45
=
450
+
4512
+
452~
+
4llh
oiide
a
uiicáo
1%
é
dada po
Pode-se p o a que sáo álidas as seguiii es p op iedades de o ogoiializacáo
sendo o e o
h,
ideii i icado como o moclo
lzozi glciss,
dado po
U iliza ido ais p op ieclades, juii aiileii e coin os alo es iiodais de
4,
oinados a
pa i de
(35)
cliega-se a esp essáo
oiide o supe íiidice
e
indica que os alo es siio omados ein elacáo ao eleineii o
e
e
o e o
y
é
calculado seguiido Bely scliko
e
al.',
de o ina que o pos o do g adieii e
disc e o
VN,
seja
3.
De iiiiiido-se as ap oxiinacoes
onde
onde
g
e
q
si50 as pa celas cle es abilizacáo do g adien e e do luxo espec i aineii e.
152
C.M.
DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
Subs i uindo-se (41) ein (34), e ainbéin as ap oximacóes (44) e (45), ein
S,.
64eT(cT
+
bjxj
+
7h)(pi(gj1)
+
gh,i)
-
)d l-
6qFT(bi
+
-yhji)(p{')
+
óh,i)d l+
S,.
(6ql1lT
+
6qT1x,;)(y{i)
+
yh,i
-
bTg5e
-
7Tq5eh,i)dQ+
(1)T
(1)
+
Le(6gi
+
6~~h,i)(q,
+
jh,;
+
kijgjl)
kijgh,j)dQ
=
0,
i
=
1,2
A pa i da p imei a in eg al da equacáo (49) clzega-se
A
exp essao do l.uxo
ad ec i o em cada elemen o, e a pa i da segunda, do luxo di usi o
obse a-se que as duas p imei as pa celas co espondein ao e mo de ad eccáo de
Gale kiii e as demais aos e inos de di usáo de Gale lcin e di usáo a i icial o iunda
dos e mos do SUPG e do ope ado de cap u a de descon inuidades. Es as quando
desmemb adas, o iiain possí el a iden i icacao das ina izes de co ecáo da de iciencia
de pos o p o ocada pela in eg acáo eduzida. Des a o ma, em-se
Ma iz de co ecáo da di usáo:
Ma iz de co ecáo da ad eccáo:
Ma iz de co ecao da ad eccáo de Pe o -Gale kin:
Ma iz de co ecáo pa a o ope ado de cap u a de descon inuidades:
Assim, as pa celas da izza iz
K
en1 (16) se 50 dadas pela soma dos e mos
p o enien es da
in eg agáo de Gauss con1 uin pon o, equacóes (24) a (27), e as ma izes
de es abilizacao, equacóes (51) a (54)) is o
é
A o iiia esplíci a des as iiia izes eiicoii a-se
1x0
Apeiidice.
e
É
iinpo aii e no a que pa a o cálculo do esíduo iio in e io do eleineii o,
IL(C$~)~,
oma-se os e mos a aliados iio poii o de coo cleiiadas
([
=
O,
q
=
O). Logo, es e
e ino ambéiii de e á se es abilizado, u ilizaiido-se uina co ecáo seiiielliaii e
a
emp egada iios casos aii e io es, oiide
e
Nas equacóes (51) a (54), as in eg ais coiis i uem os cliainados pa ame os de
es abilizagiio
Él
=
E
zih,;clR,
i,
j
=
1,2 (pa, a acl ecciio de Gale liiii)
S,.
(61)
&
=
E
S,
l~,;h,~dR,
i
=
1,2 (pa a os deinais casos) (62)
e
O
coe icieii e li e
E
que apa ece iias equacóes (61) e (62) iios dá a possibilidade de
ajus a a p ecisáo dos esul ados. Assiin, quaiido
E
=
1
e i ica-se que
[Ke]
se á exa a
pa a inalhas de eleineii os e aiigula es e pa alelog ainos.
Coin o obje i o de salieii a o papel da escollia do coe icieii e
E
iia qualidade
das solucóes ob idas, Liii e Bely s~lilio~~ ap eseii a ain uina abela coinpa aiido as
o inulag6es de Eleineii os Fiiii os pa a di e sos alo es de
E
coin as co espoiideii es
moléculas de Di e eiigas Fiiii as pa a a equacáo de di usáo, coiiside aiido uina inallia de
4 eleineii os quad ados de lado
An:
e omaiido-se os esul ados eiii o iio do izó cen al.
Aquí, ap eseli a-se iia Tabela
1
esul aclos seinelliaii e aos ci ados aii e io ilieii e, des a
ez omaiido-se as moléculas co espoiicleii es
a
iiioii ageiii global en1 o iio clo lió cen al
da mesilla inallia de 4 eleineii os ci ada aciina pa a as pa celas da ad ecg5o ob idas
coin a o inulacáo aclui ap eseii ada, coin
E
=
O
e
E
=
1,
pa a aiigulos de escoaiiieii o
de 45" e O". Ve i ica-se iia Tabela
1
que as moléculas siio iden icas as ap eseii adas po
Swamiiia liaii e Volle 13 pa a o iiié oclo
SUPG
coi11 in eg a550 2
x
2.
Obse a-se iia Tabela
11
que as solucóes ob idas coi11
E
=
O,
is o
6,
sein
es abilizacáo ap eseil ain oscilacGes espií ias.
Já
as solucóes ob idas com a ine odologia
de es abilizacáo, conside aiido-se
E
=
1,
siio simila es aos esul ados ob idos com
a iii eg acáo com
2
x
2
poii os de quad a u a. Ein seguida, o mesino exemplo oi
solucionado pa a os casos aii e io es, po ém com a iilallia iiáo-uili o ine da Figu a
3.
Os
esiil ados co espoiideii es eiicoii am-se iia Tabela
111.
Es es esul aclos sáo bas aii e
acei á eis cluaiido coizzpa ados coln os ob idos coi11
2
x
2 pon os de quad a u a.
160
C.M.
DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
Figu a
3.
P obleilla
de
ad eccao pu a com iialha 11.50-uiii o ine
P oblema de ad eccao-di usa0 com ope ado de cap u a de descoi~ inuidades
Conside aiido-se o mesillo doiníiiio do exeinplo an e io , com
le
=
lo-'
e elocidade
coiis aii e de inódulo uiii á io, pa a uin iingulo
O
=
26,5", o p obleina oi solucioiiado
com uma malha egula de 20
x
20
elemen os a a és das o inulacóes es abilizadas
com ope ado de cap u a de descoii inuidades. Os esul ados ob idos eiicoii am-se iia
Figu a
4,
oilde pocle-se isualiza a solucáo da So mulacáo SUPG, coi11 o ope ado de
cap u a de Codiiia4 e com o ope ado CAU (Galeáo e Du a clo Ca mo8). Em odas as
soluc6es conside ou-se
E
=
1.
As solucóes aciina di e eiiz eii e si basicaineil e juil o
A
camada limi e. No a-se que
a iii oducáo do ope ado de cap u a diminui sigiii ica i aineii e as oscilacóes p óximas
As descoil iiiuidacles. Obse a-se ainbém que o ope ado CAU
6
isi elineii e mais
dihsi o do que o ope ado dado coin a equaciio (28).
Ein seguida, o l~ oblema oi solucionado pa a ou os alo es do pa aine o de
es abilizacáo
E.
Os esul ados pa a
E
=
O
e
E
=
2 sáo plo ados iia Figu a
5,
ambos pa a
o ope ado CAU. Como pode se is o os esul ados con1
E
=
O
ap eseii ain oscilacóes
espií ias, eiiqua i o que os esul ados con1
E
=
2 sáo bas an e sa is a ó ios.

SUPG coin
E
=
1
SUPG
+
ope ado de Codiiia SUPG
+
ope ado CAU
COlll
E
=
1
coin
E
=
1
Figu a
4.
Tes es con1 ope ado de cap u a
E
=
O
Figu a
5.
Tes es com
E
=
O
e
E
164
C.M. DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
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M.
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As ina izes de eleiiieii o pa a a equacao de ad ecsao-di usa0 escala conside anclo-
se uin elemeil o quad ilá e o bilinea , in eg adas con1 uin pon o e es abilizadas coin a
me odologia do i em 3, eiicoii ain-se
A
segui . De o ma ge al, a p imei a ma iz ep esen a
o esul aclo da iil eg acáo coin uin poii o, eilquan o que a segunda iiia iz
é
o e mo
de
es abilizacáo.
e
Ad eccZo
(Galeikin):
~4
=
-2A
-
c 1y13
-
c 2x31
Di usiio (Gale l in):
(A.13)
(A.
14)
(A.15)
166
C.M.
DIAS
E
A.L.G.A.
COUTINHO
clcl clc2 clc3 c1c4
1
C2C1
~2~2
~2~3
~2~4
C3C1
C3Cz
C3C3
C3C4
cqc1
C4C2 C4C3
C4C4
onde
1
12
=
p,?/;1
+
p Jx;3
+
2PzPyi~31.2'13
Ope ado de cap u a de descon inuidades:
onde
(A.22)
(A.23)
(A.
24)
(A.25)
(A.26)
(A.27)
(A.28)