Integraçao reduzida para problemas advectivos-difusivos escalares discretizados pela formulaçao Supg com operador de captura de descontinuidade

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 14,2, 145-166(1993) INTEGRACAO REDUZIDA PARA PROBLEMAS ADVECTIVOS-DIFUSIVOS ESCALARES DISCRETIZADOS PELA FORMULACÁO SUPG COM OPERADOR DE CAPTURA DE DESCONTINUIDADES C.M. DIAS e A.L.G.A. COUTINHO P og anza de El~gelzha ia Ci il - COPPE/UFRJ Cx. Pos al 68506, Rio de Janei o, RJ 21945-970, B asil Tel.: + 55-21-280 9993 , Faz: + 55-21-280 9545 E-nzail: [email p o ec ed]. b Es e aba1110 ap esen a iiina écnica de con ole das oscilacoes esgú ias que podein su gi quando as in eg ais p o eiiieii es da disc e iza~iio de p oblemas escala es ad ec i os-di usi os em egiine pe manen e pela o iiiulaciio SUPG com ope ado de cap u a de descon ii~uidades, sao a aliadas u ilizailclo-se uin pon o de quad a u a de Gauss. Os e mos de co ecao siio ob idos & pa i do p iilcípio a iacional de Hu-Wasliizu. Di e sos exeinplos numé icos siio ap esen ados de o ina a alida a écnica p opos a. REDUCED INTEGRATION FOR STEADY ADVECTIVE-DIFFUSIVE PROBLEMS DISCRETIZED BY THE SUPG FORMULATION WITH DISCONTINUITY-CAPTURING SUMMARY This wo lc p esen s a ecliiiique o con ol lie spu ious oscilla ions ha inay appea when he in eg als a isiilg oin he disc e iza ion o scala s eady-s a e ad ec i e-di usi e p oblems by he SUPG o inula ioii wi li discon inui y-cap u ing a e e alua ed usiilg one-poin Gaussiai~ quad a u e. Tlie co ec ion e ms a e cle i ed oin a Hu-Wasl-iizu a ia ional o inula ion. Se e a1 nume ical esamples a. e slzown, alida ing he p oposed echnique. Recibido: Sep iemb e 1996 OUni e si a Poli ecnica de Ca alu iya (España) ISSN 0213-1315 146 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO Na soluc5o de p oblemas ad ec i os-di usi os pelo Mé odo dos Elemen os Fini os su gein in eg ais que podem se a aliadas u ilizando-se uma eg a de in eg as50 numé ica, ge almen e a quad a u a de Gauss. O cus o compu acional da a aliaqáo des as in eg ais é p opo cional ao núme o de pon os de in eg as20 u ilizados. Assiin, a u ilizac50 da in eg as50 com um pon o de quad a u a em eduzii- signi ica i amen e o cus o des as a aliacóes. A ualmen e mui os p og amas u ilizam es a In eg aq50 Reduzida com sucesso em p oblemas de mecanica dos sólidos, cascas e di usao, eduzindo o núme o de a aliacóes do ope ado semi-disc e o e das equaqóes cons i u i as. No en an o, al p ocedin~en o pode p o oca o apa ecimen o de oscilasóes espú ias conhecidas como modos hou glass, que podem comp ome e os esul ados. Des a o ma, o na-se necessá ia a u ilizasáo de uma écnica de con ole des as oscilacóes. Exis em di e sas écnicas capazes de pe mi i a u ilizas50 da In eg as50 Reduzida com um pon o de quad a u a em malhas de elemen os quad ilá e os e hexaed os linea es pa a es as classes de p oblemas. Den e elas des aca-se a desen ol ida po Liu e Bely sclikol0 e Bely schko e al.l, onde os modos singula es espú ios que podem su gi com a In eg a550 Reduzida s5o eliminados com a adic5o de uma pa cela de es abilizaciio & ma iz de elemen o. Malle e al. l1 es endeu al me odologia de es abilizas50 & sis emas ad ec i os-di usi os. O p esen e abalho ol ado pa a a o inulasao SUPG (B ooks e Hughes2), ac escida de um ope ado de cap u a de descon inuidades (Codina4, Gale5o e Du a do Ca mo8), u iliza a In eg ac50 Reduzida com um pon o de quad a u a, es abilizada a pa i do p incípio a iacional de Hu-Washizu, em p oblemas ad ec i os-di usi os escala es em egiine pe manen e, disc e izados po elemen os isopa amé icos quad ilá e os bilinea es. O a igo é o ganizado da seguin e o ma. P imei amen e é ei a uma ápida e isa0 das equacóes en ol idas e sua disc e izas50 pelo Mé odo dos Elemen os Fini os pa a a o nulaq50 SUPG ac escida do ope ado de cap u a de choque. É ap esen ada a o ma ma icial do p oblema. O i em seguin e discu e a me odologia de es abilizaciio emp egada. Em seguida, ap esen am-se alguns expe imen os numé icos de alidac50, e po úl imo s5o ei os comen á ios e conclusóes sob e o abalho. Sendo R um domínio em R2 com con o no d = TI U F2, a equasao de ad ecc5o- di usiio escala em eginle pe manen e é dada po com condicóes de con o no +=$* em i (2) n.kV$=$, emT2 (3) onde , +* e 4, sáo unsóes conhecidas, ,8 é a elocidade do luido al que V - B = 0, k é o enso de di usi idade, conside ado mui o pequena, n é o e o uni á io no mal i on ei a e o ien ado pa a o ex e io e q5 a incógni a do p oblema. U ilizando-se o mé odo SUPG (S eamline Upwind Pe o -Gale l in) p opos o po B ooks e Hughes2, ac escido de um ope ado de cap u a de descon inuidades (Galeáo e Du a do Ca mo8, Codina4), chega-se ii seguin e o mulaciio de Elemen os Fini os pa a a equacáo (1) nnos onde q5h = N;+; é a o ma disc e a de 4; q5;, i = 1,. . .iznos sáo as incógni as iiodais; i N; siio as uizc6es de in e polaciio usuais de elemen os ini os e wh é a uiiciio disc e a de ponde acáo. Assume-se que a inalha possua nnos pon os nodais. As unc6es de in e polacáo pa a elemen os quad ilá e os bilinea es, es i as aos elemen os sáo dadas po pa a o domínio de e e encia, [E = - 1, E = 11 x [q = - 1, q = 11, coiz o ine mos ado na Figu a 1. Na equacáo (4) o p iinei o soma ó io co esponde ii pa cela de es abilizaciio da o mulacáo SUPG, eiiquaii o que o segundo soma ó io ep esen a A pa cela do e izio de cap u a de descon inuidades. A exp essáo (5) co espoiide i pa cela de Gale kin e o ope ado de esíduo disc e o da equacáo de ad eccáo-di usáo é dado pela equacáo (6). Plaiio ísico (x, y) Plano de e e encia (E, 11) Figu a 1. Elemen o quad ilá e o bilinea - plano ísico e plailo de e e encia Na equacáo (4) nel é o núme o de elemen os na malha, ais que izel R=URe e @=R;nR;, i j e i,j=l, ...) 7zel (8) Conside a-se que a con ibuicáo descon ínua 2i inon an e das linhas de co en e é calculada pela exp essáo assin ó ica (B ool<s e Hughes2) sendo Pe o núme o de Pécle do elemen o, ou seja O comp imen o ca ac e ís ico do elemen o he, pode se calculado segundo Codina e aL3, is o é onde 11 .II indica a no ma euclidiana e é a p ojecáo de P no plano de e e encia. Pa a a pa cela de cap u a de descon inuidades, as g andezas co esponden es sáo de inidas como lzi P~II 7-2 = - min (?; O, 7) 2 onde o subíndice 11 indica a p ojecáo de P na di ecáo pa alela a Vq5. A exp essáo (12) é uma ap oximas50 assin ó ica ob ida a pa i da elacáo dada ein Codiiia4. Subs i uindo- se as ap oximac6es de Elemen o Fini os ein (4) A (6), chega-se a o ma ina icial do p oblema exp essa po K e F sáo ob idos de o ma usual, a pa i das con ibuicGes dos elemen os nel K = ~(KZ + K:, K:, KL,) e=l nel Conside ando-se as uiic6es de iii e polacáo bilinea es dadas pela exp essáo (7) e o eleinen o quad ilá e o da Figu a 1, as pa celas de K p esen es em (16) podem se explici adas como Ma iz de di usiio de Gale l in: [Kz] = /Re N6,jkGN,,idR, a,b = 1,. . .,4; i, j = 1,2 (l8) e Ma iz de ad eccáo de Gale l iii: [K:,] = / NbP VN,dR, a, b = 1,. . . ,4 Re (19) Ma iz de ad ecciío de Pe o -Gale kin: [K:,,] = / -Nb,jpi @@;N,,;, a,b = 1,. . .,4; i, j = 1,2 Re IlPll (20) Ope ado de cap u a de descoil iiluidades: onde A é a á ea do eleinen o dada po 1 A = -(.2'311/42 + 224~31) 2 pa a Tais in eg ais podem se a aliadas a a és da quad a u a de Gauss com um pon o, conduzindo a [~;](~)=~b;l;.;~~b', ~j=1,2 e n [=?=O (24) [K:,](') = ~~~bj&p;bT, i = 1,2 e n [ = q = 0 (27) onde, segundo Codiila4 ein-se 150 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO Obse a-se que pa a o ope ado de cap u a do ipo CAU (Galeáo e Du a do Ca ino8), P = 1. Nas exp essóes aciina, bl e b2 sáo as pa celas de VN = [bl b2], dadas po e o e o ep eseii a un1 ino iineii o de co po ígido As ina izes iii eg adas iio poii o (E = 0, 11 = O ) so de icieii es cle pos o, o que pode ocasioiia oscilacóes espú ias (Hayesg). Des a o ma, se az iiecessá ia a u ilizacáo de u na ine odologia capaz de aiiula os e ei os llega i os da de icieiicia de pos o das ina izes. Nes e aba1110 os e mos de co ecáo das oscilacóes espú ias se áo deseii ol idos coin base iios es udos de Liu e Bely sclil o10 e Bely scliko e al. pa a a equacáo de di usáo, e os abalhos de Malle e al. l1 e Dias6 pa a p oblemas p edominaii eineii e coii ec i os. Tais e mos sáo ob idos a pa i de uin p iiicípio a iacional do ipo Hu-Ilasliizu, como se á is o a segui . A o mulacáo aca e111 cada eleineii o, pelo uiicioilal de Hu-Wasliizu é onde S iiidica a a iacáo e k é o enso de di usi idade soinado i di usáo a i icial o iuiida da o inulacáo SUPG coin ope ado de cap u a de descoil iiluidades. A iii e polacáo de 4 pocle se esc i a coi110 45 = 450 + 4512 + 452~ + 4llh oiide a uiicáo 1% é dada po Pode-se p o a que sáo álidas as seguiii es p op iedades de o ogoiializacáo sendo o e o h, ideii i icado como o moclo lzozi glciss, dado po U iliza ido ais p op ieclades, juii aiileii e coin os alo es iiodais de 4, oinados a pa i de (35) cliega-se a esp essáo oiide o supe íiidice e indica que os alo es siio omados ein elacáo ao eleineii o e e o e o y é calculado seguiido Bely scliko e al.', de o ina que o pos o do g adieii e disc e o VN, seja 3. De iiiiiido-se as ap oxiinacoes onde onde g e q si50 as pa celas cle es abilizacáo do g adien e e do luxo espec i aineii e. 152 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO Subs i uindo-se (41) ein (34), e ainbéin as ap oximacóes (44) e (45), ein S,. 64eT(cT + bjxj + 7h)(pi(gj1) + gh,i) - )d l- 6qFT(bi + -yhji)(p{') + óh,i)d l+ S,. (6ql1lT + 6qT1x,;)(y{i) + yh,i - bTg5e - 7Tq5eh,i)dQ+ (1)T (1) + Le(6gi + 6~~h,i)(q, + jh,; + kijgjl) kijgh,j)dQ = 0, i = 1,2 A pa i da p imei a in eg al da equacáo (49) clzega-se A exp essao do l.uxo ad ec i o em cada elemen o, e a pa i da segunda, do luxo di usi o obse a-se que as duas p imei as pa celas co espondein ao e mo de ad eccáo de Gale kiii e as demais aos e inos de di usáo de Gale lcin e di usáo a i icial o iunda dos e mos do SUPG e do ope ado de cap u a de descon inuidades. Es as quando desmemb adas, o iiain possí el a iden i icacao das ina izes de co ecáo da de iciencia de pos o p o ocada pela in eg acáo eduzida. Des a o ma, em-se Ma iz de co ecáo da di usáo: Ma iz de co ecáo da ad eccáo: Ma iz de co ecao da ad eccáo de Pe o -Gale kin: Ma iz de co ecáo pa a o ope ado de cap u a de descon inuidades: Assim, as pa celas da izza iz K en1 (16) se 50 dadas pela soma dos e mos p o enien es da in eg agáo de Gauss con1 uin pon o, equacóes (24) a (27), e as ma izes de es abilizacao, equacóes (51) a (54)) is o é A o iiia esplíci a des as iiia izes eiicoii a-se 1x0 Apeiidice. e É iinpo aii e no a que pa a o cálculo do esíduo iio in e io do eleineii o, IL(C$~)~, oma-se os e mos a aliados iio poii o de coo cleiiadas ([ = O, q = O). Logo, es e e ino ambéiii de e á se es abilizado, u ilizaiido-se uina co ecáo seiiielliaii e a emp egada iios casos aii e io es, oiide e Nas equacóes (51) a (54), as in eg ais coiis i uem os cliainados pa ame os de es abilizagiio Él = E zih,;clR, i, j = 1,2 (pa, a acl ecciio de Gale liiii) S,. (61) & = E S, l~,;h,~dR, i = 1,2 (pa a os deinais casos) (62) e O coe icieii e li e E que apa ece iias equacóes (61) e (62) iios dá a possibilidade de ajus a a p ecisáo dos esul ados. Assiin, quaiido E = 1 e i ica-se que [Ke] se á exa a pa a inalhas de eleineii os e aiigula es e pa alelog ainos. Coin o obje i o de salieii a o papel da escollia do coe icieii e E iia qualidade das solucóes ob idas, Liii e Bely s~lilio~~ ap eseii a ain uina abela coinpa aiido as o inulag6es de Eleineii os Fiiii os pa a di e sos alo es de E coin as co espoiideii es moléculas de Di e eiigas Fiiii as pa a a equacáo de di usáo, coiiside aiido uina inallia de 4 eleineii os quad ados de lado An: e omaiido-se os esul ados eiii o iio do izó cen al. Aquí, ap eseli a-se iia Tabela 1 esul aclos seinelliaii e aos ci ados aii e io ilieii e, des a ez omaiido-se as moléculas co espoiicleii es a iiioii ageiii global en1 o iio clo lió cen al da mesilla inallia de 4 eleineii os ci ada aciina pa a as pa celas da ad ecg5o ob idas coin a o inulacáo aclui ap eseii ada, coin E = O e E = 1, pa a aiigulos de escoaiiieii o de 45" e O". Ve i ica-se iia Tabela 1 que as moléculas siio iden icas as ap eseii adas po Swamiiia liaii e Volle 13 pa a o iiié oclo SUPG coi11 in eg a550 2 x 2. Obse a-se iia Tabela 11 que as solucóes ob idas coi11 E = O, is o 6, sein es abilizacáo ap eseil ain oscilacGes espií ias. Já as solucóes ob idas com a ine odologia de es abilizacáo, conside aiido-se E = 1, siio simila es aos esul ados ob idos com a iii eg acáo com 2 x 2 poii os de quad a u a. Ein seguida, o mesino exemplo oi solucionado pa a os casos aii e io es, po ém com a iilallia iiáo-uili o ine da Figu a 3. Os esiil ados co espoiideii es eiicoii am-se iia Tabela 111. Es es esul aclos sáo bas aii e acei á eis cluaiido coizzpa ados coln os ob idos coi11 2 x 2 pon os de quad a u a. 160 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO Figu a 3. P obleilla de ad eccao pu a com iialha 11.50-uiii o ine P oblema de ad eccao-di usa0 com ope ado de cap u a de descoi~ inuidades Conside aiido-se o mesillo doiníiiio do exeinplo an e io , com le = lo-' e elocidade coiis aii e de inódulo uiii á io, pa a uin iingulo O = 26,5", o p obleina oi solucioiiado com uma malha egula de 20 x 20 elemen os a a és das o inulacóes es abilizadas com ope ado de cap u a de descoii inuidades. Os esul ados ob idos eiicoii am-se iia Figu a 4, oilde pocle-se isualiza a solucáo da So mulacáo SUPG, coi11 o ope ado de cap u a de Codiiia4 e com o ope ado CAU (Galeáo e Du a clo Ca mo8). Em odas as soluc6es conside ou-se E = 1. As solucóes aciina di e eiiz eii e si basicaineil e juil o A camada limi e. No a-se que a iii oducáo do ope ado de cap u a diminui sigiii ica i aineii e as oscilacóes p óximas As descoil iiiuidacles. Obse a-se ainbém que o ope ado CAU 6 isi elineii e mais dihsi o do que o ope ado dado coin a equaciio (28). Ein seguida, o l~ oblema oi solucionado pa a ou os alo es do pa aine o de es abilizacáo E. Os esul ados pa a E = O e E = 2 sáo plo ados iia Figu a 5, ambos pa a o ope ado CAU. Como pode se is o os esul ados con1 E = O ap eseii ain oscilacóes espií ias, eiiqua i o que os esul ados con1 E = 2 sáo bas an e sa is a ó ios. SUPG coin E = 1 SUPG + ope ado de Codiiia SUPG + ope ado CAU COlll E = 1 coin E = 1 Figu a 4. Tes es con1 ope ado de cap u a E = O Figu a 5. Tes es com E = O e E 164 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO 1. T. Bely schl o, J.S.J. Oiig, W.I<. Liu e J.M. Keililecly, "I-Iou glass Coil ol iii Liilea aild Non-Linea P obleius", Conzp. Me h. Appl. Mech. Eilg~zg., Vol. 43, pp. 251-276, (1984). 2. A.N. B oolís e T.J.R. 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De o ma ge al, a p imei a ma iz ep esen a o esul aclo da iil eg acáo coin uin poii o, eilquan o que a segunda iiia iz é o e mo de es abilizacáo. e Ad eccZo (Galeikin): ~4 = -2A - c 1y13 - c 2x31 Di usiio (Gale l in): (A.13) (A. 14) (A.15) 166 C.M. DIAS E A.L.G.A. COUTINHO clcl clc2 clc3 c1c4 1 C2C1 ~2~2 ~2~3 ~2~4 C3C1 C3Cz C3C3 C3C4 cqc1 C4C2 C4C3 C4C4 onde 1 12 = p,?/;1 + p Jx;3 + 2PzPyi~31.2'13 Ope ado de cap u a de descon inuidades: onde (A.22) (A.23) (A. 24) (A.25) (A.26) (A.27) (A.28)