•
1
1
1
l
1
l
TÓMOGRAFIA
DE
MICROONDAS
:
ALGORITMOS
EN
COORDENADAS
CILINDRICAS
J.M.
Rius,
M.
Baque o,
J.
Romeu,
M.
Fe ando,
L.
Jo e,
E.
de
los
Reyes,
A.
Elias
Dp o.
de
Elec o ísica,
E.T.S.I.
Telecomunicaci6n
Apa ado
30002
-
08080
Ba celona
ABSTRACT
This
pape
p esen s
a
new
and
e icien
algo i hm
in
c lind ical
coo dina es
o
mic owa e
di ac ion
omog aphy.
In
compa ision
wi h
algo i hms
in
cá esian
coo dina es,
i
does
no
need
mechanical
o a ion
o
he
objec
and
p o ides
highe
quali y
econs uc ion
wi h
simila
p ocessing
ime.
INTRODUCCION
Pa a
aplicaciones
biomédicas,
la
omog a ía
de
mic oondas
p esen a
sob e
la
de
ayos
X
la
en aja
de
no
se
una
adiaci6n
ionizan e.
En
cuan o
a
algo i mos,
ambién
hay
impo an es
di-
e encias
en e
la
omog a ía
de
mic oondas
y
la
de
ayos
X:
Los
algo i mos
de
econs ucción
pa a
ayos
X
se
basan
en
el
eo ema
de
p oyección:
La
ans
o mada
de
Fou ie
de
una
p oyección
en
una
di--
ecci6n
dada
es
igual
a
un
co e
en
la
misma
di-
ección
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimensio
nal
del
obje o
p oyec ado.
Como
los
ayos
X
no
se
di ac an,
iajan
en
linea
ec a,
·y
po
an o
los
campos
medidos
en
una
linea
ec a
pa alela
a
un
en e
de
onda
plano
inciden e
después
de
a a ~
sa
el
obje o
son
p opo cionales
a
la
p oyecci6n
del
mismo
en
una
di ecci6n
pe pendicula
a
la
de
p opagaci6n.
Repi iendo
el
p oceso
pa a
dis in as
di ecciones
ob enemos
alo es
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimensional
del
obje o.
Con
una
in-
e polaci6n
podemos
hace
la
ans o mada
in e -
sa
y
ob ene
el
obje o
. [1·j •
En
omog a ía
de
mic oondas
se
p oduce
di-
acci6n,
de
o ma
que
pa a
un
en e
de
onda
plano
inciden e,
la
ans o mada
de
Fou ie
de
los
campos
medidos
sob e
una
linea
ec a
pa ale-
la
al
en e
de
onda
es
igual
a
un
co eci cula
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimensional
del
obje o.
Repi iendo
el
p oceso
pa a
dis in as
di-
ecciones
ob enemos
un
mues eo
no
uni o me
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimensional
del
ob-
je o
en
un
ci culo
de
adio
/2·Ko
111.
Sin
emba go,
pa a
aplicaciones
biomédicas
una
geome ía
cilínd ica
p esen a
la.
en aja
de
se
en ol en e
y
po
an o
no
p ecisa
una
o a-
ci6n
mecánica
del
obje o.
El
inco enien e
de
los
algo i mos
en
coo denadas
cilínd icas
es
la
apa-
ición
de
. unciones
de
Bessel
y
ans o madas
de
Hankel,
que
no
pueden
calcula se
numé icamen ede
o ma
an
e icien e
como
las
ans o madas
de
Fou ie .
Sin
emba go,
puede
educi se
el
p oble-
ma
ácilmen e
al
caso
ca esiano,
ob eniendo
mues as
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimen-
sional
del
obje o
equiespaciadas
sob e
co es
ci cula es
y
pudiendo
aplica
la
FFT
bidimensio-
nal
pa a
econs ui
el
obje o.
Como
aho a
cono-
cemos
el
espec o
en
un
cí culo
de
adio
2
Ko,
mayo
que
en
el
caso
ca esiano,
la
esoluci6n,
y
po
an o
la
calidad,
de
la
imagen
ob enida
se
á
mejo .
1 -
'
URSI'86 227
FUNDAMENTOS
TEORICOS
Sea
un
obje o
de
cons an e
dieléc ica
E1
(~)
y
magné ica
~=~o
inme so
en
un
medio
de
cons an e
dieléc ica
Eo.
De inimos:
o( )=1-El
( )/Eo
(1)
También
de inimos
"ampli ud
de
onda
di ac-
ada
po
el
obje o"l11,121:
+ +
-J'K
s
(~;~1l=Kij!Jo( )ljJ( ;~o)e
0 d2
(2)
donde
ljJ( ;§o)
es
el
campo
o al
sob e
el
obje o
(inciden e+di ac ado)
cuando
incide
una
onda
plana
en
di ecci6n
~o,
y
Ko
es
el
núme o
de
onda
en
el
medio
que
odea
al
obje o.
Según
la
ap oximaci6n
de
B~ n,
el
campo
o-
al
es
igual
al
inciden e
si
o( )
<< 1
(obje o
poco
di ac an e),
es
deci ,
1/J
( )=l/J
(i
( l
=e-jKo§o
(3>
En
es e
caso:
(§;§o)=Kijjjo( )e-jKo(§+~o>
con
O(,)=TF-2D(o( ))
(S)
Po
- an o,
en
es as
condiciones
(~;~~)
es
un
co e
ci cula
de
adio
Ko
cen ado
en
k=§o
de
la
ans o mada
de
Fou ie
bidimensional
del
obje o
( igu a
1).
Pa a
calcula
(~;~
0
)
u ilizamos
el
eo e-
ma
de
ecip ocidad:
++
++
JaEb
d a
=
JbEa
d b
a b
(6)
!!~neo
~ iel~~d~~~~i~~;~se~is;~~;:se~n ~iu~~~u-
b'
yajb
las
co ien es
en
a b
que
inducen
cam-
pos
Eb
sob e
a.
Si
enemos
una
an ena
emiso a- ecep o a
al-
ededo
del
Qbje o
( ig.
2)
omamos
a=an ena( )
y
b
=obje o
( ~)
•
En onces,
pa a
campos
y
co ien-
es
pe pendicula es
al
plano
de
la
an ena:
+
J =
b
co ien es
equi alen es
sob e
el(obje o
in-
ducidas
po
el
campo
inciden e
1/J
1
( ~,§
0
)
y
qu1sp~oducen
el
campo
di ac ado
Eb=l/J
( ).
co ien es
que
si
exis ie an
sob e
la
an e-
na
ecep o a
ac uando
como
ansmiso a
p o-
duci ían
sob e
el
obje o
una
onda
plana
en
di ecci6n
~
! 'K
o+-
i
=e-J
o~
(7)
a
Las
el
campo
co ien es
equi alen es
inducidas
po
inciden e
sob e
el
obje o
son
131:
1
-.--Kijo( -)1/J( ·;~o>
(8)
JW~o
Así,
pa a
an ena
ci cula
y
obje o
bidimen-
sional
en
el
plano
de
la
an ena
enemos:
+
(s
+
an ena
Ia( )ljJ
( )
~l
=
...
~
-.
1
-
K
2
o( -)l/J( ··~
)e-JKo§
d2
(9)
JW~
0 O 1 O
III
Symposium Nacional del Comi é Español de la
URSI
De
(3) y
(9);
con
la
geome ía
de
la
ig.2:
J2
7
I (
c )
1/1
~S
(
c ;
§o
) R
dc =
. w
1, (
§;
§o
) ( 1 0)
o a J
~o
I
(c )
debe
se
al
que
p oduzca
una
onda
plana
sSb e
el
obje o
eñ
di ección
s =
1¿x
131:
'K
g+,
+ +
e-J
0 =
-jw]l
0
g7
Ia(c lHF(Kol - 'J)
R
dc
(11)
Desa ollando
ambos
miemb os
en
se ie
de
Fou ie
I'
.-nJ
(K
')ejn(c '-xl
-ooJ
n ° 1
oo
-jn(c '-c )
-jWllo ~7
.Ia
(c )
4j
~oo
H~
(KoR)
Jn
(Ko ')
e
Rdc
In i iendo
el
o den
de
in eg al
y
suma o io:
.-ne-jnx=
-jw11ó H2
(K
R)R/~7
I
(c )e-jnc
dc
J
4j
n ° a
_
4j
~
i-n
ejn(c -x)
(12)
Ia(c )-
-jw]lo27 R-oo
H~(KoR)
.-n
· d
'
· F ( ) 1
~
J
ejny_
F
(-y)
(13)
s~
e
~n~mos
Y=
27
~ooH¿(KoR)
-
n
4'
enemos:
Ia(c )
. J R
F (x-c l
(14)
-JWllo
co ien es
que
p oducen
una
onda
plana
en
di ec-
ción
§ =
1¿x
•
De
(10)
y
(14):
(~;~ol
=
-4jn7
1/l~s(c ;§o)F (x-c l
dc
(15)
siendo
1/J~s(c ;s
0
)
el
campo
di ac ado
cuando
in-
cide
una
onda
plana
en
di ección
so = 1¿Xó"
Pe o
en
nues o
caso
no
incide
una
onda
plana
sino
una
onda
cilínd ica
gene ada
po
una
uen e
pun ual
en
R¿
00
•
Teniendo
en
cuen a
que
el
campo
di ac ado
cuando
incide
una
onda
pla-
na
es
la
suma
de
los
campos
di ac ados
debidos
a
una
se ie
de
ondas
cilínd icas
cuya
suma
es
la
onda
plana,
y
que
es as
ondas
cilínd icas
son
las
gene adas
po
las
co ien es
Ia:
1/l~s(c ;§
0
)
=
J~7
1/J~s(c ;c
0
)Ia(Xo-c o)R
dc
(16)
con
1/l~s(c ;c
0
)
igual
al
campo
di ac ado
medido
en
c
cuando
incide
una
onda
cilínd ica
gene ada
po
una
uen e
pun ual
uni a ia
si uada
en
R¿c o
y I (x0-c o)
las
co ien es
en
c o
que
p oducen
unaaonda
plana
en
di ección
so
=
1¿x
0•
De
(14),
(15)
y
(16)
enemos:
(A·s
l=
~J
2
7 J
2
1
1/J~s(c ;c
0
)F (x-c )F (xo-c ol
S,
O
jW]l
O O o
ALGORITMO
En
luga
de
una
an ena
cilínd ica
enemos
un
a ay
ci cula
de
N
an enas
omnidi eccionales
emiso as- ecep o as.
con
cada
una
de
ellas
consecu i amen e
hiendo
co
el
· es o
ob enemos
la
ma iz
que
son
mues as
de
1/l~s(c ;c o).
dc dc o(17)
/
con inúa,
pun uales
Emi iendo
y
eci-·
1/1
(n;no),
Así,
en
el
dominio
olución
pe iódica:
disc e o
enemos
la
con
00
. _J.!i.L:
(21 )2
00
(m,mo)-
. --;:; -N
oo
JWllo
~oo
1/1(
)F
(m-n)F (mo-
n;no
-no)
(18)
Es a·con olución
se
implemen a
.e icien e-
men e
haciendo
el
p oduc o
de
se ies
de
Fou ie
disc e as
de
las
secuencias
pe iódicas
1/l(n;nol
y F
(y;y
0)
u ilizando
la
FFT
bidimensional.
Co-
mo
la
se ie
de
Fou ie
de
F (y;yo)
es
.-
(n+no)
(27 )
2
H~(KoR)Hn~KoR)
podemos
ene la
abulada,y
ob ene
(m;mo)
con
2 FFT
bidimensionales.
A
pa i
de
(m;m
0
),
ob enemos
O(u, )
in-
e polando
según
las
ó mulas:
Xo
a +
~
-
ARCSEN
~~l
(19)
X X
o-
7
+
2ARCSEN
lEJ
(20)
2Ko
228
,..
con
k =
k¿a
=
(u, )
(21)
La
in e polación
es
bilineal,
y
al
se
un
il ado
paso-bajo
del
espec ~
del
obje o,
em-
peo a
la
econs ucción
pa a
J l
g andes.
El
~
sul ado
se
mejo a
aumen ando
la
densidad
de
mues as
de
(s;s
0) a
base
de
añadi
ce os
a
la
se ie
de
Fou ie
bidimensional
de
(s;so),
con-
s¡~uiendose
econs ucciones
independien es
de
J ¡.
Con
geome ía
cilínd ica,
ob enemos
mues-
as
de
(s;s
0)
en
un
cí culo
de
adio
2Ko,
mien
as
que
en
el
caso
ca esiano
de
onda
plana
in::
ciden e
y
an ena
lineal
el
adio
es
2Ko.
De
es-
a
o ma,
la
esolución
de
la
imagen
ob enida
mejo a
en
un
ac o
12.
RESULTADOS
El
o denado
u ilizado
es
un
HP-9000
se ie
500
de
32
bi s
y
4Mby es
de
memo ia
in e na.
Los
esul ados
se
han
ob enido
con
N = 64
an enas,
y
adio
del
a ay
ci cula
10cm =
7.14A
aumen ando
la
densidad
de
mues as
de
(m;mo)
a
128
x
128
y
con
una
econs ucción
inal
de
64x
64
mues as.
La
ecuencia
u ilizada
es
de
2.45
GHZ.
a)
Respues a
impulsional:
Recons ucción
de
una
del a
en
el
o igen
o(x,y)
=
o(x,y),
pa a
un
medio
sin
pé didas
( ig.
3) y
con
pé didas
( ig.
4).
El
medio
con
pé didas
es
agua
a
35°C
y
2.45
GHz, e0 =
74-j7.
b)
Resolución:
Recons ucción
con
"Zoom"
de
2
del as
sepa adas
0.5A
pa a
medio
sin
pé didas
( ig.
5).
e)
Uni o midad,· .de
la
imagen:
Recdms ucción
de
una
se ie
de
del as
sepa adas
A/4
si uadas
en
el
eje
x
posi i o,
pa a
un
medio
sin
pé didas
(Fig.
6).
Pa a
>
5A
empeo a
la
calidad
de
la
econs ucción
debido
a
un
mues eo
insu i-
cien e
de
los
campos
di ac ados
con
64
an e-
nas.
Es a
econs ucción
se
ha
ob enido
con
256 x 256
mues as
de
(m;mol.
d)
Modelo
de
cue po
biológico:
Con
el
siguien e
modelo
de
b azo:
Hueso
<2.5cm
e =
5.5
-
j0.8
o=0.92
Músculo
2.5cm< <4.2cm
e=50-j17.1
o=0.27
G asa
>5cm
e=4.92-j1.49
o=0.93
Se
han
ob enido
las
siguien es
econs uccio-
nes:
Fig.
7:
Fig.
8:
Fig.
9:
Con
los
campos
di ac ados
calculados
suponiendo
que
la
ap oximación
de
Bo n
es
exac a,
en
medio
sin
pé didas
Igual
que
la
an e io
con
pé didas.
Con
los
campos
di ac ados
calculados
exac amen e
(la
ap oximación
de
Bo n
no
se
cumple)
•
CONCLUSIONES
Hemos
is o
como
los
algo i mos
de
econs-
ucción
en
coo denadas
cilínd icas
pueden
im-
plemen a se
de
o ma
e icien e
e i ando
las
ans o madas
de
Hankel
a
base
de
educi
el
p Q
blema
al
caso
ca esiano.
De
es a
o ma,
la
geome ía
cilínd ica
nos
pe mi e
e i a
la
o ación
mecánica
del
obje o
man eniendo
la
elocidad
de
cálculo
del
caso
ca
esiano
y
mejo ando
la
esolución,
pudiendose
d};
e encia
cla amen e
obje os
sepa ados
0.5A.
Con
64
an enas
la
econs ucción
es
uni o me
has a
un
adio
de
5A.
También
hemos
is o
que
en
el'caso
de
obje-
os
biológicos,
la
ap oximación
de
Bo n
no
es
exac a,
pe o
no
impide
dis ingui
ej~dos
de
e
muy
di e en e.
Pa a
los
esul ados
de
las
ig.
4 a 9
el
iemp9
de
cálculo
·e·s
de
unos
20
seg.
con
la
e -
sión
ac ua+
del
p og ?l ia,
~o
óp i ,i:i;ada
en
elo-
cidad.·
En
el
u u o
se
espe a
.eáliza
la
e-
cons ucci,6n
en
· empo
eal.
G
~i
REFERENCIAS
1 -
S.X.
Pan
and
A.C.
Kak,
"A
Compu a ional
S udy
o
Recons uc ion
Algo i hms
o
Di ~ac ion
Tomog aphy:
In e pola ion
e sus
Fil e ed
Backp opaga ion".
IEEE
T ans.
on
Acous ics,
Speech,
and
Signal
P ocessing,
ol.
ASSP-31,
No.S,
pp.
1262-
1275,
Oc obe
1983.
2 -
A.J.
De aney
and
G.
Beylin,
"Di ac ion
Tomog aP,hY
Using
A bi a y
T ansmi e
and
Recei e
Su aces".
Ul asonic
Imaging,
ol.
6,
pp.
181-193,
1984.
3 -
R.F.
Ha ing on,
"Time
Ha monic
Elec o-
magne ic
ields".
McG aw-Hill,
1961.
db
al,----------------- ---------------~
-5
-la
-15
-2a
db
a A
-5
-la
-15
-21
-25
~ ~
-38
-35
AA
AA
-
-<18
ig.
4 -e 7 -s
-s--<~
-3 -2
-1
a
db
Si ---------------------------------~
8
-18
-15
-a.s a
a.5
db
a
-s
-11!1
-15
-21!1
-25
-3a
-35
db
. Si -----------------------------------,
1!1
-5
-11!1
-15
db
5·~----------------------------------;
1!1
-18
-15
db
s -----------------------------------,
a
J--
-11!1
-15
229