Tomografía de microondas: algoritmos en coordenadas cilíndricas

• 1 1 1 l 1 l TÓMOGRAFIA DE MICROONDAS : ALGORITMOS EN COORDENADAS CILINDRICAS J.M. Rius, M. Baque o, J. Romeu, M. Fe ando, L. Jo e, E. de los Reyes, A. Elias Dp o. de Elec o ísica, E.T.S.I. Telecomunicaci6n Apa ado 30002 - 08080 Ba celona ABSTRACT This pape p esen s a new and e icien algo i hm in c lind ical coo dina es o mic owa e di ac ion omog aphy. In compa ision wi h algo i hms in cá esian coo dina es, i does no need mechanical o a ion o he objec and p o ides highe quali y econs uc ion wi h simila p ocessing ime. INTRODUCCION Pa a aplicaciones biomédicas, la omog a ía de mic oondas p esen a sob e la de ayos X la en aja de no se una adiaci6n ionizan e. En cuan o a algo i mos, ambién hay impo an es di- e encias en e la omog a ía de mic oondas y la de ayos X: Los algo i mos de econs ucción pa a ayos X se basan en el eo ema de p oyección: La ans o mada de Fou ie de una p oyección en una di-- ecci6n dada es igual a un co e en la misma di- ección de la ans o mada de Fou ie bidimensio nal del obje o p oyec ado. Como los ayos X no se di ac an, iajan en linea ec a, ·y po an o los campos medidos en una linea ec a pa alela a un en e de onda plano inciden e después de a a ~ sa el obje o son p opo cionales a la p oyecci6n del mismo en una di ecci6n pe pendicula a la de p opagaci6n. Repi iendo el p oceso pa a dis in as di ecciones ob enemos alo es de la ans o mada de Fou ie bidimensional del obje o. Con una in- e polaci6n podemos hace la ans o mada in e - sa y ob ene el obje o . [1·j • En omog a ía de mic oondas se p oduce di- acci6n, de o ma que pa a un en e de onda plano inciden e, la ans o mada de Fou ie de los campos medidos sob e una linea ec a pa ale- la al en e de onda es igual a un co eci cula de la ans o mada de Fou ie bidimensional del obje o. Repi iendo el p oceso pa a dis in as di- ecciones ob enemos un mues eo no uni o me de la ans o mada de Fou ie bidimensional del ob- je o en un ci culo de adio /2·Ko 111. Sin emba go, pa a aplicaciones biomédicas una geome ía cilínd ica p esen a la. en aja de se en ol en e y po an o no p ecisa una o a- ci6n mecánica del obje o. El inco enien e de los algo i mos en coo denadas cilínd icas es la apa- ición de . unciones de Bessel y ans o madas de Hankel, que no pueden calcula se numé icamen ede o ma an e icien e como las ans o madas de Fou ie . Sin emba go, puede educi se el p oble- ma ácilmen e al caso ca esiano, ob eniendo mues as de la ans o mada de Fou ie bidimen- sional del obje o equiespaciadas sob e co es ci cula es y pudiendo aplica la FFT bidimensio- nal pa a econs ui el obje o. Como aho a cono- cemos el espec o en un cí culo de adio 2 Ko, mayo que en el caso ca esiano, la esoluci6n, y po an o la calidad, de la imagen ob enida se á mejo . 1 - ' URSI'86 227 FUNDAMENTOS TEORICOS Sea un obje o de cons an e dieléc ica E1 (~) y magné ica ~=~o inme so en un medio de cons an e dieléc ica Eo. De inimos: o( )=1-El ( )/Eo (1) También de inimos "ampli ud de onda di ac- ada po el obje o"l11,121: + + -J'K s (~;~1l=Kij!Jo( )ljJ( ;~o)e 0 d2 (2) donde ljJ( ;§o) es el campo o al sob e el obje o (inciden e+di ac ado) cuando incide una onda plana en di ecci6n ~o, y Ko es el núme o de onda en el medio que odea al obje o. Según la ap oximaci6n de B~ n, el campo o- al es igual al inciden e si o( ) << 1 (obje o poco di ac an e), es deci , 1/J ( )=l/J (i ( l =e-jKo§o (3> En es e caso: (§;§o)=Kijjjo( )e-jKo(§+~o> con O(,)=TF-2D(o( )) (S) Po - an o, en es as condiciones (~;~~) es un co e ci cula de adio Ko cen ado en k=§o de la ans o mada de Fou ie bidimensional del obje o ( igu a 1). Pa a calcula (~;~ 0 ) u ilizamos el eo e- ma de ecip ocidad: ++ ++ JaEb d a = JbEa d b a b (6) !!~neo ~ iel~~d~~~~i~~;~se~is;~~;:se~n ~iu~~~u- b' yajb las co ien es en a b que inducen cam- pos Eb sob e a. Si enemos una an ena emiso a- ecep o a al- ededo del Qbje o ( ig. 2) omamos a=an ena( ) y b =obje o ( ~) • En onces, pa a campos y co ien- es pe pendicula es al plano de la an ena: + J = b co ien es equi alen es sob e el(obje o in- ducidas po el campo inciden e 1/J 1 ( ~,§ 0 ) y qu1sp~oducen el campo di ac ado Eb=l/J ( ). co ien es que si exis ie an sob e la an e- na ecep o a ac uando como ansmiso a p o- duci ían sob e el obje o una onda plana en di ecci6n ~ ! 'K o+- i =e-J o~ (7) a Las el campo co ien es equi alen es inducidas po inciden e sob e el obje o son 131: 1 -.--Kijo( -)1/J( ·;~o> (8) JW~o Así, pa a an ena ci cula y obje o bidimen- sional en el plano de la an ena enemos: + (s + an ena Ia( )ljJ ( ) ~l = ... ~ -. 1 - K 2 o( -)l/J( ··~ )e-JKo§ d2 (9) JW~ 0 O 1 O III Symposium Nacional del Comi é Español de la URSI De (3) y (9); con la geome ía de la ig.2: J2 7 I ( c ) 1/1 ~S ( c ; §o ) R dc = . w 1, ( §; §o ) ( 1 0) o a J ~o I (c ) debe se al que p oduzca una onda plana sSb e el obje o eñ di ección s = 1¿x 131: 'K g+, + + e-J 0 = -jw]l 0 g7 Ia(c lHF(Kol - 'J) R dc (11) Desa ollando ambos miemb os en se ie de Fou ie I' .-nJ (K ')ejn(c '-xl -ooJ n ° 1 oo -jn(c '-c ) -jWllo ~7 .Ia (c ) 4j ~oo H~ (KoR) Jn (Ko ') e Rdc In i iendo el o den de in eg al y suma o io: .-ne-jnx= -jw11ó H2 (K R)R/~7 I (c )e-jnc dc J 4j n ° a _ 4j ~ i-n ejn(c -x) (12) Ia(c )- -jw]lo27 R-oo H~(KoR) .-n · d ' · F ( ) 1 ~ J ejny_ F (-y) (13) s~ e ~n~mos Y= 27 ~ooH¿(KoR) - n 4' enemos: Ia(c ) . J R F (x-c l (14) -JWllo co ien es que p oducen una onda plana en di ec- ción § = 1¿x • De (10) y (14): (~;~ol = -4jn7 1/l~s(c ;§o)F (x-c l dc (15) siendo 1/J~s(c ;s 0 ) el campo di ac ado cuando in- cide una onda plana en di ección so = 1¿Xó" Pe o en nues o caso no incide una onda plana sino una onda cilínd ica gene ada po una uen e pun ual en R¿ 00 • Teniendo en cuen a que el campo di ac ado cuando incide una onda pla- na es la suma de los campos di ac ados debidos a una se ie de ondas cilínd icas cuya suma es la onda plana, y que es as ondas cilínd icas son las gene adas po las co ien es Ia: 1/l~s(c ;§ 0 ) = J~7 1/J~s(c ;c 0 )Ia(Xo-c o)R dc (16) con 1/l~s(c ;c 0 ) igual al campo di ac ado medido en c cuando incide una onda cilínd ica gene ada po una uen e pun ual uni a ia si uada en R¿c o y I (x0-c o) las co ien es en c o que p oducen unaaonda plana en di ección so = 1¿x 0• De (14), (15) y (16) enemos: (A·s l= ~J 2 7 J 2 1 1/J~s(c ;c 0 )F (x-c )F (xo-c ol S, O jW]l O O o ALGORITMO En luga de una an ena cilínd ica enemos un a ay ci cula de N an enas omnidi eccionales emiso as- ecep o as. con cada una de ellas consecu i amen e hiendo co el · es o ob enemos la ma iz que son mues as de 1/l~s(c ;c o). dc dc o(17) / con inúa, pun uales Emi iendo y eci-· 1/1 (n;no), Así, en el dominio olución pe iódica: disc e o enemos la con 00 . _J.!i.L: (21 )2 00 (m,mo)- . --;:; -N oo JWllo ~oo 1/1( )F (m-n)F (mo- n;no -no) (18) Es a·con olución se implemen a .e icien e- men e haciendo el p oduc o de se ies de Fou ie disc e as de las secuencias pe iódicas 1/l(n;nol y F (y;y 0) u ilizando la FFT bidimensional. Co- mo la se ie de Fou ie de F (y;yo) es .- (n+no) (27 ) 2 H~(KoR)Hn~KoR) podemos ene la abulada,y ob ene (m;mo) con 2 FFT bidimensionales. A pa i de (m;m 0 ), ob enemos O(u, ) in- e polando según las ó mulas: Xo a + ~ - ARCSEN ~~l (19) X X o- 7 + 2ARCSEN lEJ (20) 2Ko 228 ,.. con k = k¿a = (u, ) (21) La in e polación es bilineal, y al se un il ado paso-bajo del espec ~ del obje o, em- peo a la econs ucción pa a J l g andes. El ~ sul ado se mejo a aumen ando la densidad de mues as de (s;s 0) a base de añadi ce os a la se ie de Fou ie bidimensional de (s;so), con- s¡~uiendose econs ucciones independien es de J ¡. Con geome ía cilínd ica, ob enemos mues- as de (s;s 0) en un cí culo de adio 2Ko, mien as que en el caso ca esiano de onda plana in:: ciden e y an ena lineal el adio es 2Ko. De es- a o ma, la esolución de la imagen ob enida mejo a en un ac o 12. RESULTADOS El o denado u ilizado es un HP-9000 se ie 500 de 32 bi s y 4Mby es de memo ia in e na. Los esul ados se han ob enido con N = 64 an enas, y adio del a ay ci cula 10cm = 7.14A aumen ando la densidad de mues as de (m;mo) a 128 x 128 y con una econs ucción inal de 64x 64 mues as. La ecuencia u ilizada es de 2.45 GHZ. a) Respues a impulsional: Recons ucción de una del a en el o igen o(x,y) = o(x,y), pa a un medio sin pé didas ( ig. 3) y con pé didas ( ig. 4). El medio con pé didas es agua a 35°C y 2.45 GHz, e0 = 74-j7. b) Resolución: Recons ucción con "Zoom" de 2 del as sepa adas 0.5A pa a medio sin pé didas ( ig. 5). e) Uni o midad,· .de la imagen: Recdms ucción de una se ie de del as sepa adas A/4 si uadas en el eje x posi i o, pa a un medio sin pé didas (Fig. 6). Pa a > 5A empeo a la calidad de la econs ucción debido a un mues eo insu i- cien e de los campos di ac ados con 64 an e- nas. Es a econs ucción se ha ob enido con 256 x 256 mues as de (m;mol. d) Modelo de cue po biológico: Con el siguien e modelo de b azo: Hueso <2.5cm e = 5.5 - j0.8 o=0.92 Músculo 2.5cm< <4.2cm e=50-j17.1 o=0.27 G asa >5cm e=4.92-j1.49 o=0.93 Se han ob enido las siguien es econs uccio- nes: Fig. 7: Fig. 8: Fig. 9: Con los campos di ac ados calculados suponiendo que la ap oximación de Bo n es exac a, en medio sin pé didas Igual que la an e io con pé didas. Con los campos di ac ados calculados exac amen e (la ap oximación de Bo n no se cumple) • CONCLUSIONES Hemos is o como los algo i mos de econs- ucción en coo denadas cilínd icas pueden im- plemen a se de o ma e icien e e i ando las ans o madas de Hankel a base de educi el p Q blema al caso ca esiano. De es a o ma, la geome ía cilínd ica nos pe mi e e i a la o ación mecánica del obje o man eniendo la elocidad de cálculo del caso ca esiano y mejo ando la esolución, pudiendose d}; e encia cla amen e obje os sepa ados 0.5A. Con 64 an enas la econs ucción es uni o me has a un adio de 5A. También hemos is o que en el'caso de obje- os biológicos, la ap oximación de Bo n no es exac a, pe o no impide dis ingui ej~dos de e muy di e en e. Pa a los esul ados de las ig. 4 a 9 el iemp9 de cálculo ·e·s de unos 20 seg. con la e - sión ac ua+ del p og ?l ia, ~o óp i ,i:i;ada en elo- cidad.· En el u u o se espe a .eáliza la e- cons ucci,6n en · empo eal. G ~i REFERENCIAS 1 - S.X. Pan and A.C. Kak, "A Compu a ional S udy o Recons uc ion Algo i hms o Di ~ac ion Tomog aphy: In e pola ion e sus Fil e ed Backp opaga ion". IEEE T ans. on Acous ics, Speech, and Signal P ocessing, ol. ASSP-31, No.S, pp. 1262- 1275, Oc obe 1983. 2 - A.J. De aney and G. Beylin, "Di ac ion Tomog aP,hY Using A bi a y T ansmi e and Recei e Su aces". Ul asonic Imaging, ol. 6, pp. 181-193, 1984. 3 - R.F. Ha ing on, "Time Ha monic Elec o- magne ic ields". McG aw-Hill, 1961. db al,----------------- ---------------~ -5 -la -15 -2a db a A -5 -la -15 -21 -25 ~ ~ -38 -35 AA AA - -<18 ig. 4 -e 7 -s -s--<~ -3 -2 -1 a db Si ---------------------------------~ 8 -18 -15 -a.s a a.5 db a -s -11!1 -15 -21!1 -25 -3a -35 db . Si -----------------------------------, 1!1 -5 -11!1 -15 db 5·~----------------------------------; 1!1 -18 -15 db s -----------------------------------, a J-- -11!1 -15 229