On some inexact relations in probabilized Boolean algebras
Abstract
This paper is devoted to characterize monotonicity, conditionality and transitivity of some rational relations defined in a probabilized Boolean Algebra
Full text
! " ¼ ! "# $%&' ( ! )* + * , - * + ,./ $0& * / £ ´ ¡ µ ´ µ 1 2 /** ' * /3, $4& 1 + / $5&+ /+ / /2 6 / 2 / 1 * + 2 * 7 / *2/ $( !& + 2 ¼ · ½ ´ µ· ¾ ´ µ· ¿ ´ ¡ µ ¼ · ½ ´ µ· ¾ ´ µ· ¿ ´ ¡ µ 8 * * 2+ * 2 2 , 2 2* $9& %:
4( ) * / 6 * 2 + ** 2*/ ; $( !& < 2 2 !+ 2 2 =*/ < 2*/ + ! 1 </ + # ( ! ! ( *Æ ! ! + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + =* ( ¼ ¼ ¼ + / * * , ; * !+ ( ! (+ 8+ 2 / , 1 £ ´ ¡ µ ´ µ 2 / 1 + (+ (+ (+ £ £ ´ ¡ µ ´ µ ´ ¡ µ ´ µ ! ´ ¡ µ ´ µ ´ ¡ µ ´ µ £ 1 2 2 2 + 2 2*/ ; $( !&+ 2*/ ; $( !& + 2 2 / + - ) 8 2 + >?# - ! ; ( ! ! " , ; * ( !+ (+ ! 8+ 2 / *+ + £ + / - $:& 2 / 2 + $( !& '
!"# $% &'( ) *% 4! -2 * + * </ 8+ + < 2 / 2 ¼ ¼ ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ , 2 <2 ! 2 + + 2 2 / + ¼ ½ ¾ ¿ ¼ ½ ¾ ¿ + * / 2 ¼ ¼ ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ - * * 2 ¼ (+ / ¼ ! - * ¼ ¼ !+ ½ ¾ ¿ ( ' + ! ½ ¾ ¿ </+ ½ ¾ ¿ ( ! 2 / 2 ½ ¾ ( , 2 -2 !+ ! ½ ¾ ¿ !2 ½ ¾ ¿ ( 1 * (+ ¾ ( 2 + ¾ ( + /+ (+ ½ ( /+2 ½ + ¾ (+ ¿ ½ ¾ + ½ ¾ ¿ ½ ¾ (+ ! ½ ¾ ¿ ! 8/+ 2 $9& ( 2 / 2 ½ + ¾ ! 12+ 6 + * ! ½ + ¾ ( )# 6 ! ½ ¾ ¿ , 2 - * 2/ =*/ ( ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ ! ! ½ ¾ ¿
49 / =* + *Æ ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ =* ½ ¾ (+ * 2 ¿ ½ ¾ * ½ ¾ ( ¼ ( ¼ ' ½ ¾ ( -2 ! ½ ¾ ¿ + !' + ½ ¾ ¿ ( , 2 -2 + 2 ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ 1 * ( + ( + * 2 ¿ ½ ¾ 2/+ ¾ ¾ ( (+ (+ ¾ ¾ ( ¾ ( "+ (+ ( + * ¾ ½ ( ' + ½ ( ¿ ( -2 ! ½ ¾ ¿ + !+ 2 ! + * ! ½ ¾ ¿ 2 / 2 ¾ ( , 2 -2 2 ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ 1 + ( (+ ¾ ( ¾ ( + * ¾ ( @ /+2 ¾ (+ * ! ½ ¿ ! ½ ¿ + ¿ ½ ' + ½ ( * + * 2 ½ ( ( 1 * < ! ½ ¾ ¿ A* ! + ( !
!"# $% &'( ) *% 4% 7 * /2 B $9& ! ½ ¾ ¿ + ¾ (+ 2 / 2 ½ ¾ + ! ½ ¾ ¿ 2 / 2 ½ ! 1 / ! ½ ¾ ¿ + ! 2 / ! ½ ¾ ¿ , 2 )# * 2 / 1 * ! (+ (+ * ½ ½ ´ µ !+ ! ½ ( ! ½ ¾ ¿ " # ! ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ ( + <+ ½ ¾ ! ( 7* ½ ¾ ( ! - + * * ! ! ½ ¾ ¿ - * * 2 ½ ¾ (+ ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ! ! C + 2 ½ ¾ (+ ! ! ½ ¾ ! ½ ¾ ¿ + * 2 1+ # / ½ (+ ¾ ( ½ (+ ¾ ( -2 ! ! ½ ¾ ¿ + 2 / 2 ½ ( ¾ ( , 2 )# * ½ (+ ¾ (
44 / /+ 2 / + ! ! ½ ¾ ¿ ! ! ½ ¾ ¿ * (+ (+ (+ (+ ½ (+ * 8+ * ¾ ( ½ ( "+ ¾ ( + ½ ( )# 2 ! ! ½ ¾ ¿ ! ! ½ ¾ ¿ + 2 -2 !+ * -2 + / ! ½ ¾ ¿ ! ½ ¾ ¿ + =*/+ ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ( * / *+ * 2 ¼ ¼ ( 1+ 2 / ! ! ½ ¾ ¿ + ½ ( ¾ (+ / -2 ! ! ½ ¾ ¿ + , 2 )# * 2 * ! + (+*2 ½ (+ ¾ (+ ( ! ! ! ½ ! ! ! ¾ ! 1 + / D 2 99+ ! ! ½ ¾ ¿ + ! ½ ( ¾ (+ 2 / 2 ½ !( ¾ ! , 2 -2 + + 2 ( ! ! ½ ¾ ¿ ! -2 * ! + (+ ½ ! -2 ¾ !+ ½ ¾ ¾ ½· ¾ !+ ½ ¾ ¾ ½· ¾ * ¼ ! + ! - + ! ! ½ ¾ ¼ ¿ ¼ ! ! ¾ ! ( ¾ ! ! ¼ + * 1 * ¾ ! C + 2 ½ !( ¾ !+
!"# $% &'( ) *% 40 ( ! ! ¾ ¾ ! 1 / ! ! ! ( ! 1 )*# ! ! + , 2 - 2+ =* ! ! ½ ¾ ¿ + ½ !+ ¾ ! ¿ ( - ¼ ¼ ¾ ¿ (+ ½ ( *' + ½ ´ µ· ¾ ´ µ· ¿ ´ ¡ µ ´ µ 2 ( ! 2 ( / ½ ! ½ ¾ ¿ !+ / !!+ <2/2 ½ ¾ ¿ ! ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ¾ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ + * < ( 2 / 2 ½ ¾ ( , 2 -2 2 ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ¾ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ (+ * ( ( * ½ ( 1 ( ( ( ¾ ½ ´ µ ´ µ +2/ + ¾ ( C + 2 ½ ¾ (+ / ( -2 (+ ; ! 2 / 2 ¾ ( ½ ! , 2 -2 2 ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ¾ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ !+ * (+ ½ ! *+ +* ( (+ ¾ ´½ ½ µ ´ µ ´ µ 2 * 2 *Æ/ + ¾ ( @ /+2 ¾ ( ½ !+ ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ !
4E + 6' ( ½ !+ ¾ (+ ¿ ! ½ ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ½ ¡ ¼ · ´ ¡ µ ´ µ 1 / ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ! , 2 C*/+ ! -2 + ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ½ ´ ´ ¡ µ ´ ¡ ¡ µµ· ´ ¡ ¡ µ ´ ¡ µ 2 / 7 +* (+ ¼ ( ¼ 1 ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ½ + ½ ' * ½ !+ ½ ! 8+ ´ µ ´ ¡ µ· ´ ¡ µ ´ µ ! 8+ / ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ +( ½ !+ / ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ +( ½ !+ - 2 + 2 ½ !+ , 2 -2 ½ !+ * (+ ¼ ( ¼ + + / ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ 2 / 2 ! 8+ 2 ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ + + ! , 2 ! / -2 + 2 / * ( ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ ! ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ -2 ( 0+ ¼ + !+ ! ½ + ½ ! ½ ´ ´ µ ´ ¡ µµ· ´ ¡ µ ´ µ 2 / 2 ½ (+ + 2 ´ ¡ µ ´ µ
!"# $% &'( ) *% 45 1 ,/ £ ´ ¡ µ ´ µ ½ ( * ; * ( !+ ´ ¡ µ ´ µ ´ µ ´ µ *+ + + / !" 1 * * ,2 F 1 2 ** * * *+ / + * / * /' ,2 2 * * */ 2 6 / / ! $!& G+ !:5:+ + H 8 =** ,* 90+ 1 F $9& *+ 8 !::%+ + , 1 8 * -2.+ D ,. H $%& "+ "3 !:IE+ + 6 - 9I+ 5!II $4& ,+ 3 !:II+ + H >*2 + 2 $0& ,./+ !:EE+ +1+ H $E& 8+ + 8+ !:I%+ + F " J+ " K $5& 1+ H8 !:II+ + -L . M)M + !!:!9! $I& 1+ F !::9+ + , -,HD#:9+ D - + E4:E00 $:& 1+ F !::%+ + - 3* 2 @+ L !+ 9+ !(5!%5 $!(& 1+ F+ + !::%+ ! " # # $% + */ 8 8/ 0%+ !!% $!!& 1+F+ *+ 8 !::4+ # + 3* 2 " )+ 4+ 9+ 9(!9!4