Re is a ki e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 5,
3,
295-319( 1989)
MODELOS HIDRODINAMICOS
EN CUENCAS FLUVIALES
PABLO MIGUEL JACOVKIS*
Es udio G adowczyk
y
Asociados S.A.T.,
T es Sa gen os 401
3'
piso 1054 Buenos Ai es,
A gen ina
RESUMEN
Los mé odos implíci os de esolución numé ica de las ecuaciones hipe bólicas casilineales
de Sain -Venan de la hid odinámica u ilizados pa a analiza amos de íos o canales
unidimensionales en égimen impe manen e sob e ondo ijo pueden educi se en cada paso de
iempo de cálculo (bajo la mayo ía de los esquemas en di e encias ini as en uso) a
k
esolución
de un sis ema lineal
Ax
=
b,
donde
A
es una ma iz banda. En es e abajo el análisis de
amos unidimensionales se gene aliza a edes lu iales con es uc u a a bo escen e ( amos con
a luen es, a luen es de a luen es, e c.) man eniendo la es uc u a de la ma iz banda, con el
consiguien e bene icio en iempo y memo ia de compu ado a.
SUMMARY
The implici me hods o he nume ical solu ion o he quasilinea hype bolic equa ions o
hyd odynamics (Sain -Venan equa ions) used o analyse eaches o one-dimensional i e s o
channels o e ixed beds (uns eady case) may be educed, o each ime s ep (unde mos ini e
di e ences schemes cu en ly applied), o he solu ion o a linea sys em
Ax
=
b,
whe e
A
is a
band ma ix. In his pape is desc ibed he gene aliza ion o he analysis o one-dimensional
eaches o lu ial ne wo ks wi h an a bo escen s uc u e ( eaches wi h ibu a ies, ibu a ies o
ibu a ies, e c.) main aining he band ma ix s uc u e wi h he ob ious bene i s in compu e
un ime and ha d co e.
INTRODUCCION
El escu imien o impe manen e unidimensional de
un
luido con supe icie lib e a lo
la go de
un
canal o cauce lu ial no p ismá ico de sección ans e sal de o ma a bi a ia
sob e ondo ijo se desc ibe ap oximadamen e median e el sis ema de ecuaciones
di e enciales hipe bólicas casilineales de Sain -Venan
:
18
9
az
QIQI
D
=
-
o
--()+:(S)+- --
a
s
ax
*
Pa e de es e abajo ue ealieado mien as el au o se desempeñaba en el Depa amen o de Ma emá ica
de la Facul ad de Ingenie ía de la Uni e sidad de Buenos Ai es.
Recibido: Diciemb e 1986
@Uni e si a Poli ecnica de Ca alunya (Esp&)
ISSN
0213-1315
295
298
P.
JACOVKIS
Si
el sis ema di e encial
(1))
(2) ue a lineal, bajo cie as condiciones bas an e
gene ales se puede asegu a la exis encia de una solución del p oblema
(1))
(2))
(5)
de Cauchy, con inuamen e dependien e de la solución inicial, y la exis encia de una
solución del p oblema
(l),
(2),
(5))
(6)
mix o, dando an as condiciones de con o no en
la on e a z
=
2,
cuan os au o alo es posi i os enga la ma iz
A
y an as condiciones
de con o no en la on e a z
=
Z,
cuan os au o alo es nega i os enga la ma iz
A
( e ,
po ejemplo, Goduno 3). Dado que el sis ema
(1))
(2) no es lineal, la exis encia de una
solución al p oblema de Cauchy o mix o no puede asegu a se a p io i; la solución debe á
se una Solución gene alizada, con discon inuidades, aliendo ambién la condición sob e
el signo de los au o alo es ( e Rozdes enskii y Janenko4). El hecho de que la solución
iene discon inuidades no es en gene al mencionado, pues no malmen e los mé odos
numé icos más popula es igno an las discon inuidades, y és as no son ele an es pa a
las ap oximaciones usualmen e buscadas en modelización lu ial (con excepción, po
supues o, de modelizaciones de sal o hid áulico y o u a b usca de p esas, que usan
mé odos especiales).
La condición sob e el signo de los au o alo es implica que si
los dos au o alo es son posi i os, y es necesa io da dos condiciones de con o no "aguas
a iba" en z
=
2,
(suponemos en onces Q
>
O);
si
se á necesa io da una condición de con o no aguas a iba y o a "aguas abajo" en
z
=
2,.
Ambos casos indican, espec i amen e, un égimen del ío supe c í ico o
subc í ico. A los e ec os p ác icos, es usual que F;(Q,
2)
Q o F;(Q,
2)
2; po o a
pa e, es e abajo analiza exclusi amen e el caso subc í ico.
Exis en di e sos mé odos pa a esol e numé icamen e es e p oblema en una egión
aco ada
R
=
[z,, z,]
x
[ ,, TI. Una eseña de mé odos en di e encias ini as y de
ca ac e ís icas aplicables a es e p oblema puede e se en Ligge
y
Cunge6.
Sea aho a una g illa en la egión R,
=
[O,
z,]
x
[O,
TI, de paso espacial Ax y de paso
empo al A , o sea la g illa incluye los pun os de disc e ización
(x;,
n), con zi
=
iAz
y n
=
nA . Una ap oximación linealizada en di e encias ini as al sis ema
(l),
(2))
(3)
o
(4)
con dos ni eles empo ales ( e , po ejemplo, Rich mye
y
Mo on6) puede
esc ibi se ec o ialmen e como
donde B,"
=
B,"(A , Az)
y
B;+l
=
B +l (A , Az) indican ope ado es lineales en
di e encias ini as que eemplazan a las de i adas.
wn+' indica el ec o de alo es desconocidos, po ejemplo
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
299
(si las condiciones de con o no son
g,
( )
=
Q(0, ) y g,( )
=
Z(z,,,)). wn indica el ec o
de alo es conocidos en el iempo an e io
(2,")
Q ,
. . .
,
Z:,, QS)
y
cn es un ec o
conocido ob enido a pa i de las condiciones de con o no y del é mino de esis encia.
La solución se ob iene secuencialmen e a pa i de la condición inicial conocida.- Si
B +'
=
I
(ma iz unidad) pa a odos los in e alos de iempo
n,
se iene un esquema
numé ico explíci o; de lo con a io, se iene un esquema implíci o, y en cada in e alo
de iempo es necesa io esol e un sis ema lineal
~ +l~n+l
=
dn
(7)
con
dn
conocido. Dado que usualmen e los esquemas implíci os ga an izan es abilidad
numé ica usando in e alos empo ales A signi ica i amen e mayo es que los esquemas
explíci os (en elación con un mismo Az) son p e e idos a és os pese a que equie en
p cg ma compu acionales más complicados.
Usualmen e, cuando se analizan amos unidimensionales de íos, los esquemas
numé icos implíci os pa a esol e (7) conducen a una ma iz B +l en o ma de ma iz
banda, donde el ancho de la banda depende del núme o de pun os adyacen es que se
oman pa a la disc e ización numé ica. Es o pe mi e esol e el sis ema
(7)
en cada
paso de iempo usando un algo i mo de esolución de sis emas pa a ma ices banda,
con el consiguien e aho o en iempo de compu ado a y memo ia cen al, dado que pa a
ma ices banda an o la memo ia necesa ia como el núme o de ope aciones aumen an
linealmen e con el núme o de pun os de disc e ización sob e el eje
z
con una cons an e de
p opo cionalidad dependien e del ancho de la banda. Una desc ipción amplia y gene al
de algo i mos numé icos pa a esol e sis emas de ecuaciones con ma ices banda puede
e se en Rosenbe g7.
Median e mé odos numé icos que disc e izan las ecuaciones de Sain -Venan usando
p opiedades de ma ices banda se han podido modeliza ma emá icamen e en o ma
p ecisa y e icien e nume osos amos de íos y canales na u ales. Es impo an e
analiza , po consiguien e, si la es uc u a de ma iz banda se man iene al gene aliza
la modelización a edes lu iales (unidimensionales) más complejas, como íos con
a luen es, del as, e c. En es e abajo se mues a cómo se puede man ene el
esquema de ma iz bidiagonal, de ápida esolución, pa a edes lu iales con es uc u a
a bo escen e,
y
se indican esul ados numé icos ob enidos en modelizaciones ealizadas
con el esquema p opues o.
MODELO DE DESEMBOCADURA DE AFLUENTE
Pa a gene aliza el modelo
hid odinámica
desc ip o po las ecuaciones
(1))
(2))
con condiciones iniciales
(5)
y condiciones de con o no
(6))
a cuencas lu iales, o sea
a edes lu iales con es uc u a a bo escen e, es necesa io analiza las ecuaciones que
e lejan la modelización de la con luencia de dos amos lu iales. S oke e modelizó la
con luencia de dos amos en un pun o a pa i del cual con inúa uno solo di idiendo
dicha con luencia en es secciones ans e sales: dos aguas a iba de la con luencia y
una aguas abajo ( e Figu a
3).
Las ecuaciones de compa ibilidad de S oke son la
ecuación de conse ación de la masa
P.
JACOVKIS
Qi
+
Qj
=
Qk
y
las ecuaciones que elacionan las co as en las secciones ans e sales
2;
=
zj
=
Zk
Figu a
3.
Con luencia de dos cauces lu iales.
Los pun os
i,
j
y
k
ep esen an los ex emos aguas abajo de los amos que inalizan
en la con luencia
y
el ex emo aguas a iba del amo esul an e, espec i amen e. El
mismo análisis ale pa a una bi u cación, cambiando el signo de los caudales.
La condición de compa ibilidad de S oke (8) es ob ia; la condición (9) es una
ap oximación a las condiciones más p ecisas
donde
Uk
=
e,
U;
=
9,
Uj
=
%
indican las elocidades medias del escu i nien o
en las secciones ans e sales
k,
i,
j,
espec i amen e. Es as condiciones se deducen
di ec amen e de la ecuación de conse ación de la can idad de mo imien o
(l),
como
puede e se en
Li
e
al9.
Usualmen e los é minos de la de echa en (10) son
desp eciables,
y
se ob ienen así las condiciones de compa ibilidad de S oke (9).
El p opio S oke p opuso en la e e encia ci ada, un esquema explíci o de esolución
del modelo, que aplicó a la desembocadu a del ío Ohio en el Mississipi. Pos e io men e,
se usa on o os esquemas pa a modeliza , con las ecuaciones de compa ibilidad de
S oke , sis emas lu iales con pun os de aíiuencia
y
e luencia, en e los cuales igu an
no solamen e modelos de cuenca sino ambién sis emas del aicos ce ados. Así,
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
301
Quinn y Wylielo y E eadl' conside a on el esquema de un ío p incipal con un
único a luen e -el esquema
Y
simple- usando un algo i mo de New on-Raphson
pa a ob ene i e a i amen e la co a Z y el caudal
Q
en el pun o de con luencia.
G adowczyk y Jaco kisla modeliza on una ed lu ial del aica compleja (el del a del ío
Pa aná) esol iendo el sis ema lineal esul an e po un mé odo de Gauss con algunas
simpli icaciones. Wood, Ha ley y Pe kins13 conside a on una ma iz de coe icien es
ex e nos pa a los bo des y las con luencias, y modeliza on el ío' James en Es ados
Unidos, el es ua io de Pue o Co k, en I landa, y la cuenca del ío Bayamón en Pue o
Rico. Joli e14 p opuso una adap ación del mé odo gene alizado de New on-Raphson.
En odos los casos mencionados pa e del p oblema numé ico consis e en esol e
un
sis ema lineal donde la ma iz es ala pe o no banda. Po consiguien e, esul a muy
deseable, po azones no solamen e de iempo y memo ia de compu ado a sino ambién
de p og amación, pode usa un esquema di ec o de solución de sis emas lineales con
ma iz banda angos a. Se e á a con inuación que es o se puede hace 'pa a es uc u as
lu iales a bo escen es.
ALGORITMO DE PREPARACION DE MATRIZ BANDA
Sea un esquema en di e encias ñni as implíci o al que en la capa
n+'
in e engan
en cada ecuación en di e encias dos pun os con iguos x;, x;+, sepa adas po
un
in e alo
espacial Ax;, es deci , que cada pa de ecuaciones disc e izadas sea de la o ma
donde (1l.i)
y
(12.i) indican una disc e ización de las dos ecuaciones
(l),
(2), donde
se ha sup imido el supe índice
n
+
1
de las incógni as Qn+' y
2:".
Los Ak; y Bk;,
1
5
k
5
5,
son coe icien es deducidos según la disc e ización empleada.
Es ácil obse a que pa a amos unidimensinales, en que simplemen e se iene
el pa de ecuaciones (ll.i), (12.i) pa a
O
5
i
<
L (con un é mino menos -pues ya
es conocido- en el miemb o de la izquie da pa a (11.0) y (12.0) y pa a (ll.L
-
1)
y
(12.L-
1)
)
queda na u almen e plan eada una ma iz banda. In e esa e si, añadiendo
las ecuaciones de compa ibilidad
(8),
(9),
se puede man ene la es uc u a de ma iz
banda. Pa a ello se incluyen los es pun os en que se di ide cada con luencia ( e
Figu a
3)
como pun os de disc e ización de la g illa. La nume ación de los pun os es la
siguien e: los nodos de un amo en el cual desemboca o o ienen siemp e nume ación
consecu i a
y
pos e io a la del amo a luen e, como se indica en la Figu a
4.
Es
deci , p ime o se nume an los a luen es, después los íos en los cuales desembocan es os
a luen es
y
así
sucesi amen e.
Tomemos aho a un in e alo gené ico de disc e ización
(i,
i
+
1).
Si se es a
(12.i)
mul iplicado po de (1l.i) se ob iene

P.
JACOVKIS
Figu a
4.
Nume ación de nodos.
CliQi
+
CziZi
+
C,iQi+l
=
C4i
Res ando
(13.i)
mul iplicada po
e
de
(124
queda
Sea aho a
un
amo inicial
(zi,
2;+,)
donde en
z;
(ex emo aguas a iba) se
p esc ibe la condición de con o no:
a)
Condición de con o no dada aguas a iba del amo:
Qi
=
da o
En
es e caso, di idiendo con enien emen e se ob iene:
donde
Res ando
(15.i)
mu iplicada po
Dli
de
(14.i)
queda, di idiendo con enien emen e
Res ando
(16.i)
mul iplicada po
C1,;+,
de
(13.i
+
1)
queda, di idiendo
con enien emen e
con lo cual se o man i e a i amen e las ecuaciones
(15.
j)
y
(16.j)
l
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
303
es a Úl ima es ando (15.j) mul iplicada po
Dlj
de (14.j)
y
di idiendo
con enien emen e. Es e pa de ecuaciones se desa olla pa a
i
5
j
<
n, donde n
indica pun o de desembocadu a del amo en o o amo o pun o ex emo aguas abajo
del canal p incipal.
b) Condición de con o no dada aguas a iba del amo:
Z;
=
da o
En es e caso se ob iene
donde
y
a pa i de
allí
se p ocede análogamen e a como se p ocedió en a) pa a
1
5
j
<
n.
c) Desembocadu a de a luen e
Sea
m
-
1
el pun o de disc e ización del amo p incipal "inmedia amen e7' aguas
a iba de la desembocadu a,
m
el pun o "in~nedia amen e~~ aguas abajo
y
I
el pun o
ex emo co espondien e a la desembocadu a del del amo a luen e.
Se iene ( e Figu a 5)
Qm-i
-
F1,m-22,-1
=
Fz,m-2
O
sea (dado que
Zm
=
Zl
=
2,-,
y
Qm-,
+
Ql
=
Q,)
Qm
-
(F1,i-1
+
F1,m-z)Zm Fz,l-1
+
Fz,,-a
P.
JACOVKIS
Figu a
5.
Nodos in e inien es en el algo i mo pa a una con luencia.
con lo cual queda
Qm
-
Fi,m-íZm
=
Fa m-1
siendo
Fl,,-1
=
FlJ-1
+
F1,m-2
F2,m-1
=
Fa,,-1
+
F2,m-2
que es ando de (13 .m) (mul iplicada po
C,,)
da, di idiendo con enien emen e
zm
-
ElmQm+l
=
E2m
(15.m)
y así se sigue plan eando las ecuaciones. Si la nume ación de los pun os de disc e ización
de los a luen es es siemp e
an e io
a la de los cauces en los cuales desembocan, se
obse a que si
k
es el pun o ex emo aguas abajo del esquema a bo escen e (o sea el
Úl imo pun o en la nume ación adop ada), se ienen las siguien es al e na i as:
d) Condición de con o no dada aguas abajo:
Qk
=
da o
En onces
zk
=
(Qh-Fz,k-i)
F1,k-1
e) Condición de con o no dada aguas abajo:
Zk
=
da o
En onces
Qk
=
F2,k-1
+
Fi,k-iZk
El algo i mo de esolución del sis ema Lineal es en onces el siguien e: conocidos los
alo es de
Zk
y
Qk
en el ex emo aguas abajo, se e ocede, calculando las incógni as
po medio de las ecuaciones (15)) (16) has a llega a un pun o m con desembocadu a de
a luen e. En es e caso,
al
ene
Zm
se ob iene
2,-,
=
Zm
y
Qm-,
usando (16.m-2) y se
sigue e ocediendo has a llega a alguna o a desembocadu a de a luen e (en cuyo caso
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
se p ocede de igual modo) o al ex emo aguas a iba. Se sigue e ocediendo en onces
con los a luen es, a pa i de que se conoce la co a en los pun os de desembocadu a, y
se epi e el p ocedimien o con los a luen es de a luen es, e c.
ObsQ ese que si se a a de un amo único sin a luen es el esquema
p esen ado es simplemen e el mé odo del "ba ido doble" pa a esol e una ma iz
p e iamen e idiagonalizada, bien conocido en la li e a u a ( e po ejemplo Gel and
y Loku sie skyi6). El algo i mo p esen ado adecua el mé odo del ba ido doble a la
es uc u a a bo escen e.
El esquema p opues o pe mi e conside a sin di icul ades condiciones de con o no
in e io es, como inyecciones la e ales de caudal, o condiciones de con o no dadas po
elaciones uncionales en e
Z
y Q, como ya se ha hecho pa a amos unidimensionales
( e , po ejemplo, Ligge y Cunge5). Cabe obse a que las condiciones iniciales deben
espe a las ecuaciones de S oke de compa ibilidad (8))
(9))
pa a e i a inconsis encias.
REDES FLUVIALES COMPLEJAS
Cuando se iene un ío con un pun o de e luencia, es deci , un cauce que se ami ica
en dos (o sea el escu imien o del agua es en sen ido con a io al an es desc ip o) y luego
se sub ami ica, se puede aplica el algo i mo an e io con una nume ación de los pun os
de disc e ización en sen ido con a io a la an es indicada (pues es o equi ale a conside a
una es uc u a de a luen es con caudales nega i os). Pe o si la ed lu ial conside ada
iene bi u caciones que se cie an, o sea amas que son e luen es de un cauce y a luen e
del mismo ( ep esen ando, po ejemplo, islas en medio de un cauce, como indica la
Figu a
6)
o de algún o o amo, no se puede usa el algo i mo an e io : es necesa io
ine i ablemen e encon a un p ocedimien o pa a plan ea las ecuaciones (15) y (16) a
pa i de la bi u cación en las dos amas. Pe o de las ecuaciones (15.n
-
2)) (16.n
-
2),
(13.n)) (14.n), (13.j), (14.j) no se puede ob en=, pa a segui la i e ación, una ecuación
eliminando
Q
j,
y segui así a lo la go de la ama bi u cada.
El sis ema lineal disc e izado
(11))
(12), con las ecuaciones de compa ibilidad (8))
(9),
o igina en el caso de edes lu iales complejas un sis ema lineal a esol e dado
po la ecuación
(7))
donde en es e caso la ma iz
B +'
es una ma iz ala no banda
(la ubicación de los elemen os no nulos de la misma depende de la opología de la ed
lu ial conside ada. Cuando se in en a modeliza un del a como el del ío Pa aná, po
ejemplo, esa opología puede se ex emadamen e complicada). Pa a ma ices alas
suele suge i se eemplaza los mé odos di ec os de solución de los co espondien es
p oblemas lineales po mé odos i e a i os, ipo Jacobi o Gauss-Seidel, que ienen la
en aja de no des ui la alidad de la ma iz (los elemen os no nulos son los mismos
en cada i e ación y su ubicación no cambia en cada paso de iempo de cálculo) y que
pe mi en u iliza como ap oximación inicial en el ins an e n+I los alo es ob enidos
en el ins an e n. Desg aciadamen e es os mé odos no con e gen necesa iamen e
312
P.
JACOVKIS
Figu a 10. Compa ación de
h
y
u
en el nodo 34.
ob enidas' aguas a iba y los caudales ob enidos, aguas abajo en la p ime a co ida se
oma on como condiciones de con o no. Los esul ados ob enidos en las dos co idas
ue on coinciden es, lo cual ga an iza la consis encia de los mismos. Las condiciones de
con o no co esponden a una es abilización, según lo que se indica en la Tabla
V.
Se
usó
A
=
dos ho as,
8
=
0.85.
La es abilización ue muy ápida en ambos casos.
b)
Simulación de ma ea: pa a las mismas condiciones iniciales de las co idas
an e io es se conside ó un caudal cons an e aguas a iba y una ma ea sinusoidal aguas
abajo, con
8
=
0.85.
En la Tabla
VI
puede obse a se la in luencia de la ma ea
hacia aguas a iba: se ha a enuado conside ablemen e en la con luencia; se puede
obse a ambién que al comenza a subi la ma ea el caudal disminuye
y
al comenza a
baja la ma ea aumen a, ep oduciendo
un
enómeno na u al (pa a caudal aguas a iba

MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
313
Tiempo Pun o
6
Pun o
15
Pun o
27
Pun o
34
h
U
h
u
h
U
h
u
O
6.43 4.75 6.50 9.50 5.00 18.27 7.73 21.00
u13 6.59 5.09 4.82 10.18 4.63 20.63 8.37 19.63
2II/3 6.16 5.34 5.68 10.68 5.63 22.37 6.63 18.63
11
5.57 5.25 7.18 10.18 7.37 20.63 3.63 19.63
TABLA
11.
h
y
u analí icos
y
numé icos en dis in os pun os de disc e ización pa a
8
=
112
y
A
=
Ax.
Pun o Coo denada Co as Ancho A ea Coe icien es
espacial
x
(m) (m) (m2) de conducción
(km)
(m3/s)
1
O
99 20
o
o
109 40 300 6186
2
1
97 20
o
o
107 40 300 6186
3 2 95 20
O O
105 40 300 6186
4 3 93 20
O O
103 40 300 6186
5
O
98 100
O
O
108 120 1100 16500
6
1
97 100
O O
107 120 1100 16500
7 2 96 100
O O
106 120 1100 16500
8 3 95 100
O O
105 120 1100 16500
9 4 94 100
o o
104 120 1100 16500
1
o
5 93 100
o o
103 120 1100 16500
11
5 9 3 120
O
O
103 140 1300 25000
12 6 92 120
O
O
102 140 1300 25000
13 7 91 120
O O
101 140 1300 25000
14 8 90 120
O O
100 140 1300 25000
TABLA
111.
Da os del modelo de p ueba.
314
P.
JACOVKIS
TABLA
IV.
Condiciones iniciales de co ida de consis encia.
TABLA
V.
Consis encia de co idas de es abilización.
--
Pun o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Pun o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
O
11
12
13
14
Qím3/s)
310
310
310
310
540
540
540
540
540
540
850
850
850
850
z
(m)
112.50
110.00
107.50
105.00
110.90
109.90
108.70
107.50
106.20
105.00
105.00
103.50
101.90
100.00
Co ida
1
Co ida
2
=24
ho as
Q
(m3/s)
310
310
310
310
540
540
540
540
539
539
849
849
849
849
=12
ho as
=24
ho as
z
m
111.23
109.09
106.88
104.56
110.25
109.16
108.05
106.92
105.76
104.56
104.56
103.18
101.69
100.00
Q
(m3/s)
310
310
310
310
540
540
540
540
540
540
850
850
850
850
Q
(m3/s)
310
310
310
310
540
540
540
540
540
539
849
849
849
849
=12
ho as
z
m
111.23
110.09
106.88
104.56
110.25
109.16
108.05
106.92
105.75
104.56
104.56
103.18
101.69
100.00
z
m
111.23
109.09
106.88
104.56
110.25
109.16
108.05
106.92
105.76
104.56
104.56
103.18
101.69
100.00
Q
(m3/s)
310
310
310
310
540
540
540
540
540
540
850
850
850
850
z
m
111.23
109.09
106.88
104.56
110.25
109.16
108.05
106.92
105.76
104.56
104.56
103.19
101.70
100.01
l
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
315
TABLA
VI.
Simulación
de
ma ea.
Tiempo
(hs)
O
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
cons an e).
c)
Ope ación de embalse más c ecida ex ao dina ia: en es e caso se supone una
ope ación no mal dia ia de embalse en el pun o de disc e ización
5,
seguido de una
c ecida b usca que obliga a de i a caudal po el e ede o ubicado en el pun o de
disc e ización
1.
Aguas abajo se conside a una ma ea sinusoidal. Las condiciones de
con o no y esul ados en algunos pun os de disc e ización se exhiben en la Tabla
VII.
Se usó
8
=
0.85
y
A
=
3
ho as. Puede obse a se el e ec o de emanso con co a sob e
supe icie lib e ho izon al en el a luen e cuando el pun o
1
es á ce ado (no escu e
caudal) y las oscilaciones de caudal en dicho amo a luen e según la ope ación del
embalse, que incluye lujo en con apendien e.
Po su pa e, el modelo p og amado en FORTRAN
IV
se ha usado en
modelizaciones eales. El modelo cons a de al ededo de
700
ins ucciones y es á
Pun o de disc e ización
14
Q
(m3/s)
850
784
809
822
869
895
913
903
887
862
842
820
80
1
790
798
826
865
897
911
905
885
863
841
821
80
1
2
1
O
z
m
100.00
101.00
101.73
102.00
101.73
101.00
100.00
99.00
98.27
98.00
98.27
99.00
100.00
101.00
101.73
102.00
101.73
101.00
100.00
99.00
98.27
98.00
98.27
99.00
100.00
Q
(m3/s)
310
309
310
309
310
311
311
311
310
310
310
310
309
309
309
310
310
311
311
311
310
310
310
310
309
6
Q
(m3/s)
540
521
527
527
544
554
560
556
553
545
540
533
527
521
521
529
542
553
559
557
552
546
540
534
527
z
m
109.09
109.26
109.36
109.47
109.42
109.31
109.14
109.01
108.91
108.88
108.88
108.94
109.05
109.21
109.36
109.45
109.43
109.31
109.14
109.00
108.92
108.88
108.89
108.94
109.05
Q
(m3/s)
540
538
538
538
541
541
543
542
542
541
540
539
538
538
538
538
540
542
542
542
542
541
540
539
538
z
m
104.56
104.90
105.19
105.39
105.33
105.07
104.69
104.36
104.12
104.03
104.04
104.18
104.46
104.83
105.18
105.37
105.33
105.06
104.69
104.35
104.12
104.02
104.04
104.18
104.46
z
m
109.16
109.28
109.38
109.50
109.49
109.42
109.27
109.14
109.03
108.97
108.95
108.99
109.08
109.22
109.37
109.48
109.49
109.41
109.28
109.14
109.03
108.97
108.95
108.99
109.08
316
P.
JACOVKIS
TABLA
VII.
Ope ación de embalse
y
c ecida ex ao dina ia.
Tiempo
(hs)
O
6
12
18
24
27
30
36
42
45
48
54
60
66
72
Tiempo
(hs)
O
6
12
18
24
27
30
36
42
45
48
54
60
66
72
implemen ado en una compu ado a
IBM
4381.
Usa
40
Kb de memo ia in e na du an e
su ejeciición pa a una disc e ización con
60
pun os de cálculo. Pa a cada pun o z;, las
unciones S(Z, z;)
y
D(Z,
2;)
-á ea mojada
y
coe icien e de conducción pa a una co a
Z- se ep esen an median e ap oximaciones lineales a ozos, o sea median e ablas de
Pun o
1
Q
(m3/s)
O
O
O
O
O
300
300
300
300
300
O
O
O
O
O
z
m
102.70
101.92
101.94
103.51
103.50
104.19
108.66
110.91
111.41
111.55
105.76
102.17
101.97
103.28
103.46
Pun o
4
Q
(m3/s)
O
6
-2
-9
4
292
271
293
292
297
56
8
-2
-7
6
Pun o
5
z
m
102.70
101.92
101.94
103.51
103.50
104.02
103.72
104.08
105.74
106.25
104.68
102.14
101.97
103.28
103.46
Q
(m3/s)
600
300
600
900
600
450
300
600
900
750
600
300
600
900
600
pun o
i0
z
(m)
110.58
106.81
109.58
114.11
111.69
109.82
107.52
110.14
114.57
114.17
111.95
107.01
109.59
114.06
111.65
Q
(m3/s)
600
393
522
793
678
503
388
519
797
759
725
415
526
800
685
z
m
102.70
101.92
101.94
103.54
103.50
104.02
103.72
104.08
105.74
106.25
104.68
102.14
101.97
103.28
103.46
Pun o
12
Q
(m3/s)
600
406
519
772
687
788
664
806
1079
1049
804
434
523
786
697
Pun o
14
z
m
101.78
101.40
101.23
102.29
102.39
102.83
102.67
102.78
103.88
104.50
103.34
101.56
101.26
101.91
102.35
Q
(m3/s)
600
409
523
764
686
776
.
666
806
1077
1028
824
44
1
528
790
699
z
(m)
100.00
100.50
100.00
99.50
100.00
100.35
100.50
100.00
99.00
99.65
100.00
100.50
100.00
99.00
100.00
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
317
Figu a
11.
Modelo de ed pa a consis encia.
O
MlCHlHUAO
CENTRAL
PICHI PlCUN LEUFU
Figu a
12.
Esquema del modelo del ío Limay.
alo es de á eas y coe icien es de conducción co espondien e a dis in os alo es de
2.
Ac ualmen e, las ablas son de
60
pa es de alo es, y la memo ia necesa ia es pa a ablas
de es e amaño. Apa e, es necesa io conside a la memo ianecesa ia pa a el p og ama,
a chi os pe i é icos de pa áme os de cada co ida, de desc ipción del modelo, de
condiciones iniciales, de condiciones de con o no y compa ación, y de abajo. El
iempo de ejecución pa a una co ida con
120
in e alos empo ales de cálculo es de
37
segundos. Teniendo en cuen a que el iempo empleado en el a mado del modelo
es desp eciable, es o equi ale a algo menos de un e cio de segundo po in e alo de
iempo de cálculo. Es e modelo, con sus p og amas auxilia es de p epa ación de da os
de secciones ans e sales ( ans o mación de in o mación ca og áñca, al imé ica
y
ba imé ica en a chi os de ablas de á eas pa a dis in as co as), de op imización de
ajus e de coe icien es de conducción y de g añcación de da os
y
esul ados, se u ilizó en
1981 pa a la modelización de un amo del ío Limay, en A gen ina, en e las u u as
ep esas p oyec adas en Pichi Picún Leu ú y Michihuao po la emp esa es a al a gen ina
esponsable de es as ob as, que ue la que enca gó la modelización. El amo p incipal
del modelo iene como pun o ex emo aguas a iba la p oyec ada cen al hid oeléc ica

318
P.
JACOVKIS
en Pichi Picún Leu ú, y el a luen e es el canal de es i ución del e ede o p oyec ado,
al como se e en la Figu a
12.
El pun o ex emo aguas abajo es la cen al hid oeléc ica
de Michihuao. La ed lu ial se disc e izó en
57
pun os de cálculo,
16
co espondien es
al canal y
41
al amo conside ado p incipal. La longi ud del canal es de
5.83
km y la
del amo p incipal de
47.8
km.
El modelo se ajus ó con enien emen e en égimen na u al y se ealiza on
pos e io men e di e sas expe imen aciones numé icas con un año ípico, con ambas
cen ales abajando como cen ales de pasada, maximizando el uso de la po encia y
dis ibuyendo la ope ación dia ia de las cen ales en ho as de pun a, semipun a y alle,
desag egando el uncionamien o semanal en ope ación pa a días hábiles y ope ación
pa a días e iados, analizando in luencias de una c ecida ex ao dina ia, e c. En e
las conclusiones ob enidas cabe señala que se obse ó que los ni eles del embalse de
Michihuao no se e án p ác icamen e a ec ados po la ope ación de la cen al de Pichi
Picún Leu ú.
Las condiciones de con o no aguas a iba son los caudales de ope ación u binados
en Pichi Picún Leu ú y
un
caudal po e ede o (nulo o no); la condición de con o no
aguas abajo es el caudal u binado en Michihuao.
CONCLUSIONES
Se ha desc ip o en es e abajo
un
modelo ma emá ico, ya implemen ado con éxi o,
que pe mi e esol e el sis ema de ecuaciones hipe bólicas casilineales de Sain -Venan
de la hid odinámica pa a edes lu iales con es uc u a a bo escen e, median e un
mé odo que, aplicado a esquemas implíci os de esolución de las ecuaciones di e enciales,
esuel e un sis ema lineal de ma iz banda en cada paso de iempo
y
iene la misma
e iciencia, en iempo de cálculo y memo ia compu acional necesa ia, que un modelo
sob e
un
único amo que use el mismo mé odo implíci o y enga el mismo núme o de
pun os de disc e ización.
AGRADECIMIENTOS
El au o ag adece al Es udio G adowczyk y Asociados C.A.T. el apoyo p es ado
pa a es a in es igación, a Ma io
H.
G adowczyk, Guille mo Ma shall
y
a un censo
anónimo sus comen a ios y suge encias y a Es eban G. Tabak las p uebas del modelo
simpli icado en PAS CAL.
REFERENCIAS
1.
J.A.
Ligge , "Basic equa ions
o
uns eady low",
en:
K.
Mahmood
y
V.
Ye je ich
(eds),
Uns eady
Eow
in
open
channels, Vol.
1,
Wa e Resou ces Publica ions, Fo Coliins,
pp.
29-62, (1975).
2.
V.T. Chow,
"Open
channel hyd~au1ics~~,
Mc
G aw-HiU, Nue a Yo k, (1959).
3.
S.K.
Goduno , "Ecuaciones
de
la
i'sica ma emá icaJJ,
MIR,
Moscú, (1978).
MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES
319
4. B.L. Rozdes enskii y N.N. Janenko, "Sys ems o quasilinea equa ions and hei
applica ion o gas dynamick", Ame ican Ma hema ical Socie y, (T ansla ions o
Ma hema ical Monog aphs), P o idence, (1980).
5. J.A. Ligge y J.A. Cunge, "Nume ical me hods o solu ions o uns eady low equa ions",
en: K. Mahmood y V. Ye je ich (eds), Uns eady low in open channels, Vol.
1,
Wa e
Resou ces Publica ions, Fo Coiiins, pp. 89-178, (1975).
6. R.D. Rich mye y K.W. Mo on, "Di e ence me hods o ini ial alue p oblems",
In e science, Nue a Yo k, (1967).
7. D. on Rosenbe g, "Me hods o he nume ical solu ion o pa ial di e en ial equa ionsJJ,
Else ie , Nue a Yo k, (1963).
8.
J.J. S oke , "Wa e wa es", In e science, Nue a Yo k, (1957).
9. Z.C. Li, L.
J.
Zhan y H.L. Wang, "Di e ence me hods o low in b anch channel", Jou nal
o Hyd aulic Enginee ing, Vol. 109, pp. 424-447, (1983).
10. F. Quinn y B. Wylie, "T ansien analysis o he De oi Ri e by he implici me hod",
Wa e Resou ces Resea ch, Vol.
8,
pp. 1461-1469, (1972).
11.
D.C. F ead, "Techniques o implici dynamic ou ing wi h ibu a ies", Wa e Resou ces
Resea ch, Vol.
9,
pp. 918-926, (1973).
12. M.H. G adowczyk y P.M. Jaco kis, "Un modelo ma emá ico pa a egímenes impe manen es
en edes lu iales complejas", 2as Jo nadas La inoame icanas de Comu ación, UTN,
Buenos Ai es, (1974).
13. F.F. Wood, B.M. Ha ley y F.G. Pe kins, "T ansien low ou ing in channel ne wo k",
Resea ch Repo
75-1,
In e na ional Ins i u e o Applied Sys ems Analysis (IIASA),
Laxembu g, Aus ia, (1975).
14.
J.B. Joli e, "Compu a ion o dynamic wa es in channel ne wo ks", Jou nal o Hyd aulic
~n~ineeiain~, Vol. 110, pp. 1358-1370, (1984).
15. I.M. Gel and y O.V. Loku sie sky, "The double sweep me hod o solu ion o di e ence
equa ions", en: S.K. Goduno y V.S. Riabenki, Theo y o di e ence schemes, No h
Holiand, Ams e dam, (1964).
16. J.A. Cunge, "Un schéma de diF ences inies pou les équa ions hype boliques (une e deux
dimensions spaciales)", Tesis Doc o al, Facul ad de Ciencias, Uni e sidad de G enoble,
G enoble, (1966).