Modelos hidrodinámicos en cuencas fluviales

Re is a ki e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 5, 3, 295-319( 1989) MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES PABLO MIGUEL JACOVKIS* Es udio G adowczyk y Asociados S.A.T., T es Sa gen os 401 3' piso 1054 Buenos Ai es, A gen ina RESUMEN Los mé odos implíci os de esolución numé ica de las ecuaciones hipe bólicas casilineales de Sain -Venan de la hid odinámica u ilizados pa a analiza amos de íos o canales unidimensionales en égimen impe manen e sob e ondo ijo pueden educi se en cada paso de iempo de cálculo (bajo la mayo ía de los esquemas en di e encias ini as en uso) a k esolución de un sis ema lineal Ax = b, donde A es una ma iz banda. En es e abajo el análisis de amos unidimensionales se gene aliza a edes lu iales con es uc u a a bo escen e ( amos con a luen es, a luen es de a luen es, e c.) man eniendo la es uc u a de la ma iz banda, con el consiguien e bene icio en iempo y memo ia de compu ado a. SUMMARY The implici me hods o he nume ical solu ion o he quasilinea hype bolic equa ions o hyd odynamics (Sain -Venan equa ions) used o analyse eaches o one-dimensional i e s o channels o e ixed beds (uns eady case) may be educed, o each ime s ep (unde mos ini e di e ences schemes cu en ly applied), o he solu ion o a linea sys em Ax = b, whe e A is a band ma ix. In his pape is desc ibed he gene aliza ion o he analysis o one-dimensional eaches o lu ial ne wo ks wi h an a bo escen s uc u e ( eaches wi h ibu a ies, ibu a ies o ibu a ies, e c.) main aining he band ma ix s uc u e wi h he ob ious bene i s in compu e un ime and ha d co e. INTRODUCCION El escu imien o impe manen e unidimensional de un luido con supe icie lib e a lo la go de un canal o cauce lu ial no p ismá ico de sección ans e sal de o ma a bi a ia sob e ondo ijo se desc ibe ap oximadamen e median e el sis ema de ecuaciones di e enciales hipe bólicas casilineales de Sain -Venan : 18 9 az QIQI D = - o --()+:(S)+- -- a s ax * Pa e de es e abajo ue ealieado mien as el au o se desempeñaba en el Depa amen o de Ma emá ica de la Facul ad de Ingenie ía de la Uni e sidad de Buenos Ai es. Recibido: Diciemb e 1986 @Uni e si a Poli ecnica de Ca alunya (Esp&) ISSN 0213-1315 295 298 P. JACOVKIS Si el sis ema di e encial (1)) (2) ue a lineal, bajo cie as condiciones bas an e gene ales se puede asegu a la exis encia de una solución del p oblema (1)) (2)) (5) de Cauchy, con inuamen e dependien e de la solución inicial, y la exis encia de una solución del p oblema (l), (2), (5)) (6) mix o, dando an as condiciones de con o no en la on e a z = 2, cuan os au o alo es posi i os enga la ma iz A y an as condiciones de con o no en la on e a z = Z, cuan os au o alo es nega i os enga la ma iz A ( e , po ejemplo, Goduno 3). Dado que el sis ema (1)) (2) no es lineal, la exis encia de una solución al p oblema de Cauchy o mix o no puede asegu a se a p io i; la solución debe á se una Solución gene alizada, con discon inuidades, aliendo ambién la condición sob e el signo de los au o alo es ( e Rozdes enskii y Janenko4). El hecho de que la solución iene discon inuidades no es en gene al mencionado, pues no malmen e los mé odos numé icos más popula es igno an las discon inuidades, y és as no son ele an es pa a las ap oximaciones usualmen e buscadas en modelización lu ial (con excepción, po supues o, de modelizaciones de sal o hid áulico y o u a b usca de p esas, que usan mé odos especiales). La condición sob e el signo de los au o alo es implica que si los dos au o alo es son posi i os, y es necesa io da dos condiciones de con o no "aguas a iba" en z = 2, (suponemos en onces Q > O); si se á necesa io da una condición de con o no aguas a iba y o a "aguas abajo" en z = 2,. Ambos casos indican, espec i amen e, un égimen del ío supe c í ico o subc í ico. A los e ec os p ác icos, es usual que F;(Q, 2) Q o F;(Q, 2) 2; po o a pa e, es e abajo analiza exclusi amen e el caso subc í ico. Exis en di e sos mé odos pa a esol e numé icamen e es e p oblema en una egión aco ada R = [z,, z,] x [ ,, TI. Una eseña de mé odos en di e encias ini as y de ca ac e ís icas aplicables a es e p oblema puede e se en Ligge y Cunge6. Sea aho a una g illa en la egión R, = [O, z,] x [O, TI, de paso espacial Ax y de paso empo al A , o sea la g illa incluye los pun os de disc e ización (x;, n), con zi = iAz y n = nA . Una ap oximación linealizada en di e encias ini as al sis ema (l), (2)) (3) o (4) con dos ni eles empo ales ( e , po ejemplo, Rich mye y Mo on6) puede esc ibi se ec o ialmen e como donde B," = B,"(A , Az) y B;+l = B +l (A , Az) indican ope ado es lineales en di e encias ini as que eemplazan a las de i adas. wn+' indica el ec o de alo es desconocidos, po ejemplo MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 299 (si las condiciones de con o no son g, ( ) = Q(0, ) y g,( ) = Z(z,,,)). wn indica el ec o de alo es conocidos en el iempo an e io (2,") Q , . . . , Z:,, QS) y cn es un ec o conocido ob enido a pa i de las condiciones de con o no y del é mino de esis encia. La solución se ob iene secuencialmen e a pa i de la condición inicial conocida.- Si B +' = I (ma iz unidad) pa a odos los in e alos de iempo n, se iene un esquema numé ico explíci o; de lo con a io, se iene un esquema implíci o, y en cada in e alo de iempo es necesa io esol e un sis ema lineal ~ +l~n+l = dn (7) con dn conocido. Dado que usualmen e los esquemas implíci os ga an izan es abilidad numé ica usando in e alos empo ales A signi ica i amen e mayo es que los esquemas explíci os (en elación con un mismo Az) son p e e idos a és os pese a que equie en p cg ma compu acionales más complicados. Usualmen e, cuando se analizan amos unidimensionales de íos, los esquemas numé icos implíci os pa a esol e (7) conducen a una ma iz B +l en o ma de ma iz banda, donde el ancho de la banda depende del núme o de pun os adyacen es que se oman pa a la disc e ización numé ica. Es o pe mi e esol e el sis ema (7) en cada paso de iempo usando un algo i mo de esolución de sis emas pa a ma ices banda, con el consiguien e aho o en iempo de compu ado a y memo ia cen al, dado que pa a ma ices banda an o la memo ia necesa ia como el núme o de ope aciones aumen an linealmen e con el núme o de pun os de disc e ización sob e el eje z con una cons an e de p opo cionalidad dependien e del ancho de la banda. Una desc ipción amplia y gene al de algo i mos numé icos pa a esol e sis emas de ecuaciones con ma ices banda puede e se en Rosenbe g7. Median e mé odos numé icos que disc e izan las ecuaciones de Sain -Venan usando p opiedades de ma ices banda se han podido modeliza ma emá icamen e en o ma p ecisa y e icien e nume osos amos de íos y canales na u ales. Es impo an e analiza , po consiguien e, si la es uc u a de ma iz banda se man iene al gene aliza la modelización a edes lu iales (unidimensionales) más complejas, como íos con a luen es, del as, e c. En es e abajo se mues a cómo se puede man ene el esquema de ma iz bidiagonal, de ápida esolución, pa a edes lu iales con es uc u a a bo escen e, y se indican esul ados numé icos ob enidos en modelizaciones ealizadas con el esquema p opues o. MODELO DE DESEMBOCADURA DE AFLUENTE Pa a gene aliza el modelo hid odinámica desc ip o po las ecuaciones (1)) (2)) con condiciones iniciales (5) y condiciones de con o no (6)) a cuencas lu iales, o sea a edes lu iales con es uc u a a bo escen e, es necesa io analiza las ecuaciones que e lejan la modelización de la con luencia de dos amos lu iales. S oke e modelizó la con luencia de dos amos en un pun o a pa i del cual con inúa uno solo di idiendo dicha con luencia en es secciones ans e sales: dos aguas a iba de la con luencia y una aguas abajo ( e Figu a 3). Las ecuaciones de compa ibilidad de S oke son la ecuación de conse ación de la masa P. JACOVKIS Qi + Qj = Qk y las ecuaciones que elacionan las co as en las secciones ans e sales 2; = zj = Zk Figu a 3. Con luencia de dos cauces lu iales. Los pun os i, j y k ep esen an los ex emos aguas abajo de los amos que inalizan en la con luencia y el ex emo aguas a iba del amo esul an e, espec i amen e. El mismo análisis ale pa a una bi u cación, cambiando el signo de los caudales. La condición de compa ibilidad de S oke (8) es ob ia; la condición (9) es una ap oximación a las condiciones más p ecisas donde Uk = e, U; = 9, Uj = % indican las elocidades medias del escu i nien o en las secciones ans e sales k, i, j, espec i amen e. Es as condiciones se deducen di ec amen e de la ecuación de conse ación de la can idad de mo imien o (l), como puede e se en Li e al9. Usualmen e los é minos de la de echa en (10) son desp eciables, y se ob ienen así las condiciones de compa ibilidad de S oke (9). El p opio S oke p opuso en la e e encia ci ada, un esquema explíci o de esolución del modelo, que aplicó a la desembocadu a del ío Ohio en el Mississipi. Pos e io men e, se usa on o os esquemas pa a modeliza , con las ecuaciones de compa ibilidad de S oke , sis emas lu iales con pun os de aíiuencia y e luencia, en e los cuales igu an no solamen e modelos de cuenca sino ambién sis emas del aicos ce ados. Así, MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 301 Quinn y Wylielo y E eadl' conside a on el esquema de un ío p incipal con un único a luen e -el esquema Y simple- usando un algo i mo de New on-Raphson pa a ob ene i e a i amen e la co a Z y el caudal Q en el pun o de con luencia. G adowczyk y Jaco kisla modeliza on una ed lu ial del aica compleja (el del a del ío Pa aná) esol iendo el sis ema lineal esul an e po un mé odo de Gauss con algunas simpli icaciones. Wood, Ha ley y Pe kins13 conside a on una ma iz de coe icien es ex e nos pa a los bo des y las con luencias, y modeliza on el ío' James en Es ados Unidos, el es ua io de Pue o Co k, en I landa, y la cuenca del ío Bayamón en Pue o Rico. Joli e14 p opuso una adap ación del mé odo gene alizado de New on-Raphson. En odos los casos mencionados pa e del p oblema numé ico consis e en esol e un sis ema lineal donde la ma iz es ala pe o no banda. Po consiguien e, esul a muy deseable, po azones no solamen e de iempo y memo ia de compu ado a sino ambién de p og amación, pode usa un esquema di ec o de solución de sis emas lineales con ma iz banda angos a. Se e á a con inuación que es o se puede hace 'pa a es uc u as lu iales a bo escen es. ALGORITMO DE PREPARACION DE MATRIZ BANDA Sea un esquema en di e encias ñni as implíci o al que en la capa n+' in e engan en cada ecuación en di e encias dos pun os con iguos x;, x;+, sepa adas po un in e alo espacial Ax;, es deci , que cada pa de ecuaciones disc e izadas sea de la o ma donde (1l.i) y (12.i) indican una disc e ización de las dos ecuaciones (l), (2), donde se ha sup imido el supe índice n + 1 de las incógni as Qn+' y 2:". Los Ak; y Bk;, 1 5 k 5 5, son coe icien es deducidos según la disc e ización empleada. Es ácil obse a que pa a amos unidimensinales, en que simplemen e se iene el pa de ecuaciones (ll.i), (12.i) pa a O 5 i < L (con un é mino menos -pues ya es conocido- en el miemb o de la izquie da pa a (11.0) y (12.0) y pa a (ll.L - 1) y (12.L- 1) ) queda na u almen e plan eada una ma iz banda. In e esa e si, añadiendo las ecuaciones de compa ibilidad (8), (9), se puede man ene la es uc u a de ma iz banda. Pa a ello se incluyen los es pun os en que se di ide cada con luencia ( e Figu a 3) como pun os de disc e ización de la g illa. La nume ación de los pun os es la siguien e: los nodos de un amo en el cual desemboca o o ienen siemp e nume ación consecu i a y pos e io a la del amo a luen e, como se indica en la Figu a 4. Es deci , p ime o se nume an los a luen es, después los íos en los cuales desembocan es os a luen es y así sucesi amen e. Tomemos aho a un in e alo gené ico de disc e ización (i, i + 1). Si se es a (12.i) mul iplicado po de (1l.i) se ob iene P. JACOVKIS Figu a 4. Nume ación de nodos. CliQi + CziZi + C,iQi+l = C4i Res ando (13.i) mul iplicada po e de (124 queda Sea aho a un amo inicial (zi, 2;+,) donde en z; (ex emo aguas a iba) se p esc ibe la condición de con o no: a) Condición de con o no dada aguas a iba del amo: Qi = da o En es e caso, di idiendo con enien emen e se ob iene: donde Res ando (15.i) mu iplicada po Dli de (14.i) queda, di idiendo con enien emen e Res ando (16.i) mul iplicada po C1,;+, de (13.i + 1) queda, di idiendo con enien emen e con lo cual se o man i e a i amen e las ecuaciones (15. j) y (16.j) l MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 303 es a Úl ima es ando (15.j) mul iplicada po Dlj de (14.j) y di idiendo con enien emen e. Es e pa de ecuaciones se desa olla pa a i 5 j < n, donde n indica pun o de desembocadu a del amo en o o amo o pun o ex emo aguas abajo del canal p incipal. b) Condición de con o no dada aguas a iba del amo: Z; = da o En es e caso se ob iene donde y a pa i de allí se p ocede análogamen e a como se p ocedió en a) pa a 1 5 j < n. c) Desembocadu a de a luen e Sea m - 1 el pun o de disc e ización del amo p incipal "inmedia amen e7' aguas a iba de la desembocadu a, m el pun o "in~nedia amen e~~ aguas abajo y I el pun o ex emo co espondien e a la desembocadu a del del amo a luen e. Se iene ( e Figu a 5) Qm-i - F1,m-22,-1 = Fz,m-2 O sea (dado que Zm = Zl = 2,-, y Qm-, + Ql = Q,) Qm - (F1,i-1 + F1,m-z)Zm Fz,l-1 + Fz,,-a P. JACOVKIS Figu a 5. Nodos in e inien es en el algo i mo pa a una con luencia. con lo cual queda Qm - Fi,m-íZm = Fa m-1 siendo Fl,,-1 = FlJ-1 + F1,m-2 F2,m-1 = Fa,,-1 + F2,m-2 que es ando de (13 .m) (mul iplicada po C,,) da, di idiendo con enien emen e zm - ElmQm+l = E2m (15.m) y así se sigue plan eando las ecuaciones. Si la nume ación de los pun os de disc e ización de los a luen es es siemp e an e io a la de los cauces en los cuales desembocan, se obse a que si k es el pun o ex emo aguas abajo del esquema a bo escen e (o sea el Úl imo pun o en la nume ación adop ada), se ienen las siguien es al e na i as: d) Condición de con o no dada aguas abajo: Qk = da o En onces zk = (Qh-Fz,k-i) F1,k-1 e) Condición de con o no dada aguas abajo: Zk = da o En onces Qk = F2,k-1 + Fi,k-iZk El algo i mo de esolución del sis ema Lineal es en onces el siguien e: conocidos los alo es de Zk y Qk en el ex emo aguas abajo, se e ocede, calculando las incógni as po medio de las ecuaciones (15)) (16) has a llega a un pun o m con desembocadu a de a luen e. En es e caso, al ene Zm se ob iene 2,-, = Zm y Qm-, usando (16.m-2) y se sigue e ocediendo has a llega a alguna o a desembocadu a de a luen e (en cuyo caso MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES se p ocede de igual modo) o al ex emo aguas a iba. Se sigue e ocediendo en onces con los a luen es, a pa i de que se conoce la co a en los pun os de desembocadu a, y se epi e el p ocedimien o con los a luen es de a luen es, e c. ObsQ ese que si se a a de un amo único sin a luen es el esquema p esen ado es simplemen e el mé odo del "ba ido doble" pa a esol e una ma iz p e iamen e idiagonalizada, bien conocido en la li e a u a ( e po ejemplo Gel and y Loku sie skyi6). El algo i mo p esen ado adecua el mé odo del ba ido doble a la es uc u a a bo escen e. El esquema p opues o pe mi e conside a sin di icul ades condiciones de con o no in e io es, como inyecciones la e ales de caudal, o condiciones de con o no dadas po elaciones uncionales en e Z y Q, como ya se ha hecho pa a amos unidimensionales ( e , po ejemplo, Ligge y Cunge5). Cabe obse a que las condiciones iniciales deben espe a las ecuaciones de S oke de compa ibilidad (8)) (9)) pa a e i a inconsis encias. REDES FLUVIALES COMPLEJAS Cuando se iene un ío con un pun o de e luencia, es deci , un cauce que se ami ica en dos (o sea el escu imien o del agua es en sen ido con a io al an es desc ip o) y luego se sub ami ica, se puede aplica el algo i mo an e io con una nume ación de los pun os de disc e ización en sen ido con a io a la an es indicada (pues es o equi ale a conside a una es uc u a de a luen es con caudales nega i os). Pe o si la ed lu ial conside ada iene bi u caciones que se cie an, o sea amas que son e luen es de un cauce y a luen e del mismo ( ep esen ando, po ejemplo, islas en medio de un cauce, como indica la Figu a 6) o de algún o o amo, no se puede usa el algo i mo an e io : es necesa io ine i ablemen e encon a un p ocedimien o pa a plan ea las ecuaciones (15) y (16) a pa i de la bi u cación en las dos amas. Pe o de las ecuaciones (15.n - 2)) (16.n - 2), (13.n)) (14.n), (13.j), (14.j) no se puede ob en=, pa a segui la i e ación, una ecuación eliminando Q j, y segui así a lo la go de la ama bi u cada. El sis ema lineal disc e izado (11)) (12), con las ecuaciones de compa ibilidad (8)) (9), o igina en el caso de edes lu iales complejas un sis ema lineal a esol e dado po la ecuación (7)) donde en es e caso la ma iz B +' es una ma iz ala no banda (la ubicación de los elemen os no nulos de la misma depende de la opología de la ed lu ial conside ada. Cuando se in en a modeliza un del a como el del ío Pa aná, po ejemplo, esa opología puede se ex emadamen e complicada). Pa a ma ices alas suele suge i se eemplaza los mé odos di ec os de solución de los co espondien es p oblemas lineales po mé odos i e a i os, ipo Jacobi o Gauss-Seidel, que ienen la en aja de no des ui la alidad de la ma iz (los elemen os no nulos son los mismos en cada i e ación y su ubicación no cambia en cada paso de iempo de cálculo) y que pe mi en u iliza como ap oximación inicial en el ins an e n+I los alo es ob enidos en el ins an e n. Desg aciadamen e es os mé odos no con e gen necesa iamen e 312 P. JACOVKIS Figu a 10. Compa ación de h y u en el nodo 34. ob enidas' aguas a iba y los caudales ob enidos, aguas abajo en la p ime a co ida se oma on como condiciones de con o no. Los esul ados ob enidos en las dos co idas ue on coinciden es, lo cual ga an iza la consis encia de los mismos. Las condiciones de con o no co esponden a una es abilización, según lo que se indica en la Tabla V. Se usó A = dos ho as, 8 = 0.85. La es abilización ue muy ápida en ambos casos. b) Simulación de ma ea: pa a las mismas condiciones iniciales de las co idas an e io es se conside ó un caudal cons an e aguas a iba y una ma ea sinusoidal aguas abajo, con 8 = 0.85. En la Tabla VI puede obse a se la in luencia de la ma ea hacia aguas a iba: se ha a enuado conside ablemen e en la con luencia; se puede obse a ambién que al comenza a subi la ma ea el caudal disminuye y al comenza a baja la ma ea aumen a, ep oduciendo un enómeno na u al (pa a caudal aguas a iba MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 313 Tiempo Pun o 6 Pun o 15 Pun o 27 Pun o 34 h U h u h U h u O 6.43 4.75 6.50 9.50 5.00 18.27 7.73 21.00 u13 6.59 5.09 4.82 10.18 4.63 20.63 8.37 19.63 2II/3 6.16 5.34 5.68 10.68 5.63 22.37 6.63 18.63 11 5.57 5.25 7.18 10.18 7.37 20.63 3.63 19.63 TABLA 11. h y u analí icos y numé icos en dis in os pun os de disc e ización pa a 8 = 112 y A = Ax. Pun o Coo denada Co as Ancho A ea Coe icien es espacial x (m) (m) (m2) de conducción (km) (m3/s) 1 O 99 20 o o 109 40 300 6186 2 1 97 20 o o 107 40 300 6186 3 2 95 20 O O 105 40 300 6186 4 3 93 20 O O 103 40 300 6186 5 O 98 100 O O 108 120 1100 16500 6 1 97 100 O O 107 120 1100 16500 7 2 96 100 O O 106 120 1100 16500 8 3 95 100 O O 105 120 1100 16500 9 4 94 100 o o 104 120 1100 16500 1 o 5 93 100 o o 103 120 1100 16500 11 5 9 3 120 O O 103 140 1300 25000 12 6 92 120 O O 102 140 1300 25000 13 7 91 120 O O 101 140 1300 25000 14 8 90 120 O O 100 140 1300 25000 TABLA 111. Da os del modelo de p ueba. 314 P. JACOVKIS TABLA IV. Condiciones iniciales de co ida de consis encia. TABLA V. Consis encia de co idas de es abilización. -- Pun o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Pun o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 11 12 13 14 Qím3/s) 310 310 310 310 540 540 540 540 540 540 850 850 850 850 z (m) 112.50 110.00 107.50 105.00 110.90 109.90 108.70 107.50 106.20 105.00 105.00 103.50 101.90 100.00 Co ida 1 Co ida 2 =24 ho as Q (m3/s) 310 310 310 310 540 540 540 540 539 539 849 849 849 849 =12 ho as =24 ho as z m 111.23 109.09 106.88 104.56 110.25 109.16 108.05 106.92 105.76 104.56 104.56 103.18 101.69 100.00 Q (m3/s) 310 310 310 310 540 540 540 540 540 540 850 850 850 850 Q (m3/s) 310 310 310 310 540 540 540 540 540 539 849 849 849 849 =12 ho as z m 111.23 110.09 106.88 104.56 110.25 109.16 108.05 106.92 105.75 104.56 104.56 103.18 101.69 100.00 z m 111.23 109.09 106.88 104.56 110.25 109.16 108.05 106.92 105.76 104.56 104.56 103.18 101.69 100.00 Q (m3/s) 310 310 310 310 540 540 540 540 540 540 850 850 850 850 z m 111.23 109.09 106.88 104.56 110.25 109.16 108.05 106.92 105.76 104.56 104.56 103.19 101.70 100.01 l MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 315 TABLA VI. Simulación de ma ea. Tiempo (hs) O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 cons an e). c) Ope ación de embalse más c ecida ex ao dina ia: en es e caso se supone una ope ación no mal dia ia de embalse en el pun o de disc e ización 5, seguido de una c ecida b usca que obliga a de i a caudal po el e ede o ubicado en el pun o de disc e ización 1. Aguas abajo se conside a una ma ea sinusoidal. Las condiciones de con o no y esul ados en algunos pun os de disc e ización se exhiben en la Tabla VII. Se usó 8 = 0.85 y A = 3 ho as. Puede obse a se el e ec o de emanso con co a sob e supe icie lib e ho izon al en el a luen e cuando el pun o 1 es á ce ado (no escu e caudal) y las oscilaciones de caudal en dicho amo a luen e según la ope ación del embalse, que incluye lujo en con apendien e. Po su pa e, el modelo p og amado en FORTRAN IV se ha usado en modelizaciones eales. El modelo cons a de al ededo de 700 ins ucciones y es á Pun o de disc e ización 14 Q (m3/s) 850 784 809 822 869 895 913 903 887 862 842 820 80 1 790 798 826 865 897 911 905 885 863 841 821 80 1 2 1 O z m 100.00 101.00 101.73 102.00 101.73 101.00 100.00 99.00 98.27 98.00 98.27 99.00 100.00 101.00 101.73 102.00 101.73 101.00 100.00 99.00 98.27 98.00 98.27 99.00 100.00 Q (m3/s) 310 309 310 309 310 311 311 311 310 310 310 310 309 309 309 310 310 311 311 311 310 310 310 310 309 6 Q (m3/s) 540 521 527 527 544 554 560 556 553 545 540 533 527 521 521 529 542 553 559 557 552 546 540 534 527 z m 109.09 109.26 109.36 109.47 109.42 109.31 109.14 109.01 108.91 108.88 108.88 108.94 109.05 109.21 109.36 109.45 109.43 109.31 109.14 109.00 108.92 108.88 108.89 108.94 109.05 Q (m3/s) 540 538 538 538 541 541 543 542 542 541 540 539 538 538 538 538 540 542 542 542 542 541 540 539 538 z m 104.56 104.90 105.19 105.39 105.33 105.07 104.69 104.36 104.12 104.03 104.04 104.18 104.46 104.83 105.18 105.37 105.33 105.06 104.69 104.35 104.12 104.02 104.04 104.18 104.46 z m 109.16 109.28 109.38 109.50 109.49 109.42 109.27 109.14 109.03 108.97 108.95 108.99 109.08 109.22 109.37 109.48 109.49 109.41 109.28 109.14 109.03 108.97 108.95 108.99 109.08 316 P. JACOVKIS TABLA VII. Ope ación de embalse y c ecida ex ao dina ia. Tiempo (hs) O 6 12 18 24 27 30 36 42 45 48 54 60 66 72 Tiempo (hs) O 6 12 18 24 27 30 36 42 45 48 54 60 66 72 implemen ado en una compu ado a IBM 4381. Usa 40 Kb de memo ia in e na du an e su ejeciición pa a una disc e ización con 60 pun os de cálculo. Pa a cada pun o z;, las unciones S(Z, z;) y D(Z, 2;) -á ea mojada y coe icien e de conducción pa a una co a Z- se ep esen an median e ap oximaciones lineales a ozos, o sea median e ablas de Pun o 1 Q (m3/s) O O O O O 300 300 300 300 300 O O O O O z m 102.70 101.92 101.94 103.51 103.50 104.19 108.66 110.91 111.41 111.55 105.76 102.17 101.97 103.28 103.46 Pun o 4 Q (m3/s) O 6 -2 -9 4 292 271 293 292 297 56 8 -2 -7 6 Pun o 5 z m 102.70 101.92 101.94 103.51 103.50 104.02 103.72 104.08 105.74 106.25 104.68 102.14 101.97 103.28 103.46 Q (m3/s) 600 300 600 900 600 450 300 600 900 750 600 300 600 900 600 pun o i0 z (m) 110.58 106.81 109.58 114.11 111.69 109.82 107.52 110.14 114.57 114.17 111.95 107.01 109.59 114.06 111.65 Q (m3/s) 600 393 522 793 678 503 388 519 797 759 725 415 526 800 685 z m 102.70 101.92 101.94 103.54 103.50 104.02 103.72 104.08 105.74 106.25 104.68 102.14 101.97 103.28 103.46 Pun o 12 Q (m3/s) 600 406 519 772 687 788 664 806 1079 1049 804 434 523 786 697 Pun o 14 z m 101.78 101.40 101.23 102.29 102.39 102.83 102.67 102.78 103.88 104.50 103.34 101.56 101.26 101.91 102.35 Q (m3/s) 600 409 523 764 686 776 . 666 806 1077 1028 824 44 1 528 790 699 z (m) 100.00 100.50 100.00 99.50 100.00 100.35 100.50 100.00 99.00 99.65 100.00 100.50 100.00 99.00 100.00 MODELOS HIDRODINAMICOS EN CUENCAS FLUVIALES 317 Figu a 11. Modelo de ed pa a consis encia. O MlCHlHUAO CENTRAL PICHI PlCUN LEUFU Figu a 12. Esquema del modelo del ío Limay. alo es de á eas y coe icien es de conducción co espondien e a dis in os alo es de 2. Ac ualmen e, las ablas son de 60 pa es de alo es, y la memo ia necesa ia es pa a ablas de es e amaño. Apa e, es necesa io conside a la memo ianecesa ia pa a el p og ama, a chi os pe i é icos de pa áme os de cada co ida, de desc ipción del modelo, de condiciones iniciales, de condiciones de con o no y compa ación, y de abajo. El iempo de ejecución pa a una co ida con 120 in e alos empo ales de cálculo es de 37 segundos. Teniendo en cuen a que el iempo empleado en el a mado del modelo es desp eciable, es o equi ale a algo menos de un e cio de segundo po in e alo de iempo de cálculo. Es e modelo, con sus p og amas auxilia es de p epa ación de da os de secciones ans e sales ( ans o mación de in o mación ca og áñca, al imé ica y ba imé ica en a chi os de ablas de á eas pa a dis in as co as), de op imización de ajus e de coe icien es de conducción y de g añcación de da os y esul ados, se u ilizó en 1981 pa a la modelización de un amo del ío Limay, en A gen ina, en e las u u as ep esas p oyec adas en Pichi Picún Leu ú y Michihuao po la emp esa es a al a gen ina esponsable de es as ob as, que ue la que enca gó la modelización. El amo p incipal del modelo iene como pun o ex emo aguas a iba la p oyec ada cen al hid oeléc ica 318 P. JACOVKIS en Pichi Picún Leu ú, y el a luen e es el canal de es i ución del e ede o p oyec ado, al como se e en la Figu a 12. El pun o ex emo aguas abajo es la cen al hid oeléc ica de Michihuao. La ed lu ial se disc e izó en 57 pun os de cálculo, 16 co espondien es al canal y 41 al amo conside ado p incipal. La longi ud del canal es de 5.83 km y la del amo p incipal de 47.8 km. El modelo se ajus ó con enien emen e en égimen na u al y se ealiza on pos e io men e di e sas expe imen aciones numé icas con un año ípico, con ambas cen ales abajando como cen ales de pasada, maximizando el uso de la po encia y dis ibuyendo la ope ación dia ia de las cen ales en ho as de pun a, semipun a y alle, desag egando el uncionamien o semanal en ope ación pa a días hábiles y ope ación pa a días e iados, analizando in luencias de una c ecida ex ao dina ia, e c. En e las conclusiones ob enidas cabe señala que se obse ó que los ni eles del embalse de Michihuao no se e án p ác icamen e a ec ados po la ope ación de la cen al de Pichi Picún Leu ú. Las condiciones de con o no aguas a iba son los caudales de ope ación u binados en Pichi Picún Leu ú y un caudal po e ede o (nulo o no); la condición de con o no aguas abajo es el caudal u binado en Michihuao. CONCLUSIONES Se ha desc ip o en es e abajo un modelo ma emá ico, ya implemen ado con éxi o, que pe mi e esol e el sis ema de ecuaciones hipe bólicas casilineales de Sain -Venan de la hid odinámica pa a edes lu iales con es uc u a a bo escen e, median e un mé odo que, aplicado a esquemas implíci os de esolución de las ecuaciones di e enciales, esuel e un sis ema lineal de ma iz banda en cada paso de iempo y iene la misma e iciencia, en iempo de cálculo y memo ia compu acional necesa ia, que un modelo sob e un único amo que use el mismo mé odo implíci o y enga el mismo núme o de pun os de disc e ización. AGRADECIMIENTOS El au o ag adece al Es udio G adowczyk y Asociados C.A.T. el apoyo p es ado pa a es a in es igación, a Ma io H. G adowczyk, Guille mo Ma shall y a un censo anónimo sus comen a ios y suge encias y a Es eban G. Tabak las p uebas del modelo simpli icado en PAS CAL. REFERENCIAS 1. J.A. Ligge , "Basic equa ions o uns eady low", en: K. Mahmood y V. 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