POSIZIONE DEL PROBLEMA, RICHIAMO
DEGLI STUDI PRECEDENTI
P eceden i ice che dello sc i en e sulla mo-
dellazione ma ema ica del enomeno della ‘ o cia’
allo sca ico delle u bine id auliche ipo FRANCIS
unzionan i a ca ico pa ziale si e ano concen a i
dapp ima sulla s u u a del lusso nella pa e in-
iziale (‘cono’) del di uso e (1988-1989), poi sul
meccanismo di ecci azione del ‘d a ube su ge’
che si e i ica in condizioni di o cia ca i a a
(1997) ed in p esenza di ‘gomi o’nel di uso e. In-
ine il con ibu o più ecen e (2001) app esen ò un
p imo en a i o di modella e in modo assai sempli-
ica o la complessa in e azione a il mo o nella
pa e iniziale del di uso e ed il mo o all’usci a da-
lla gi an e. In a i è uo di dubbio che in p esenza
di una o cia eccen ica il mo o nello spazio in e no
all’usci a della gi an e (e nella gi an e s essa) iene
dis o o, pe dendo la simme ia adiale che esis e a
pieno ca ico, o meglio in condizioni di ‘ze o swi l’.
Tu i ques i s udi e ano mo i a i dall’oppo u-
ni à di s iluppa e modelli ‘globali’, i quali cioè,
senza in eg a e le equazioni del mo o (NAVIER-
STOKES) in una complessa geome ia idimen-
sionale e empo-dipenden e, endesse o a collega e
a lo o i pa ame i mac oscopici del enomeno ai
ini da una pa e di giunge e ad una più sin e ica
iden i icazione dei pa ame i isici signi ica i i, da-
ll’al a dello s iluppo e en uale di modelli dinami-
ci ‘a blocchi’ dell’in e o impian o, des ina i ad in-
daga ne le condizioni di s abili à complessi a e nei
quali compa isse o, anco a una ol a, solo pa ame-
i globali, come è senza dubbio oppo uno se non
necessa io pe e i a e g a i complicazioni.
Il p esen e con ibu o mi a a ip ende e, su ba-
si più accu a e e isicamen e plausibili, il p oblema
già a on a o nella memo ia del 2001, e cioè a mo-
della e la s u u a cinema ica del campo di mo o
nello spazio in e no all’usci a della gi an e (sezioni
di passaggio a la gi an e ed il di uso e) in p esen-
za di una ‘ o cia’eccen ica.
27
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
Riassun o:
Men e abbondano gli s udi sia eo ici che spe imen ali sulla cinema ica e dinamica della o cia nel
di uso e a alle della gi an e, sono piu os o sca si i con ibu i sull’in e azione a la o cia ed il
campo di mo o all’in e no della gi an e, malg ado sia ce o che ale campo di mo o iene dis o o
dalla p esenza della o cia, pe dendo l’uni o mi à ci con e enziale che è ca a e is ica del egime a
pieno ca ico (cioè in condizioni di ci colazione nulla –‘ze o swi l’- all’usci a dalla gi an e).
Il p esen e s udio si p opone di a on a e il di icile p oblema ad un li ello di modellazione ma e-
ma ica sempli ica a, cos uendo pe appe successi e un campo di mo o a po enziale che soddis i
alle p esumibili condizioni cinema iche in p esenza della o cia. L’ipo esi che consen e di elabo a-
e un modello di ques o ipo consis e nell’amme e e che nella gi an e, so o condizioni di ca ico
pa ziale, la po a a non si iduca in misu a uguale pe u i i canali in e pala i, ma un ce o nume o
di canali enda a conse a e una po a a p ossima a quella della condizione di pieno ca ico, men e
nei canali es an i si ins au ano condizioni di po a a o emen e ido a (o p ossime allo s allo). Im-
ponendo che ale con igu azione uo i s abilmen e con la s essa eloci à angola e di p ecessione da
cui è anima o il ilamen o o icoso della o cia si iesce a chiude e ma ema icamen e il p oblema.
Il modello in ques ione pe me e di a e p e isioni che po ebbe o esse e e i ica e da oppo une
indagini spe imen ali.
Palab as cla e: Tu bina F ancis, Ca ico pa ziale, To cia, In e azione o cia-gi an e, Modellazione
ma ema ica, Mo o a po enziale, Vo ici à concen a a.
Michele Fanelli. Ex-di ec o de CRIS-ENEL Spa. Consul o . Via L.B. Albe , 5. 20149 Milán, I alia. E-mail: [email p o ec ed]
A ículo ecibido el 5 de sep iemb e de 2002, ecibido en o ma e isada el 20 de no iemb e de 2002 y acep ado pa a su publicación el 9 de ene o de
2003. Pueden se emi idas discusiones sob e el a ículo has a seis meses después de la publicación del mismo siguiendo lo indicado en las “Ins uccio-
nes pa a au o es”. En el caso de se acep adas, és as se án publicadas conjun amen e con la espues a de los au o es.
LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE
SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE
Michele Fanelli
Anco a una ol a, come già negli s udi del
1989 e del 2001, ci si i à la gamen e a modelli di
mo o ‘quasi o unque’ a po enziale, nella spe anza
che ques i possano abbas anza edelmen e app ossi-
ma e una con igu azione ‘media’ del campo di mo-
o, da cui siano s a e il a e le componen i u bolen-
e e le pe u bazioni a moniche ad al a equenza
(quali ad esempio quelle lega e al passaggio delle pa-
le mobili della gi an e da an i alle pale isse del dis-
ibu o e)1.
Ques i modelli, nel lo o dichia a o ca a e e di
en a i o eu is icamen e i ol o a p opo e schemi
sempli ica i ma plausibili della complessa s u u a
del campo di mo o indaga o, hanno al esì l’ambi-
zione di cos i ui e una possibile guida conce uale
alla piani icazione ed e e uazione di ilie i spe i-
men ali; ques i ul imi, come semp e, sono in de ini-
i a l’unico elemen o p oban e pe acce a e, espin-
ge e o modi ica e i modelli ma ema ici che l’in ui-
zione isica e l’applicazione di leggi ondamen ali
possono sugge i e al ice ca o e.
Linee ondamen ali del nuo o modello: la
dis o sione del campo di mo o nello spazio
in e no alla sezione di usci a dalla gi an e
Nel con ibu o FANELLI, 2001 sussis e ano
almeno due mo i i di sca so ealismo nella modella-
zione del campo di mo o in ques ione: ai ini della
de e minazione delle eloci à adiale e angenziale
della o cia il lusso in usci a dai a i canali in e pa-
la i e a implici amen e suppos o esse e uni o me nel
senso ci con e enziale (la po a a essendo, cioè, i-
do a in ugual misu a in u i i canali) e l’asso bi-
men o della po a a da pa e del di uso e e a app e-
sen a o da un unico pozzo concen a o posiziona o
sull’asse ( a l’al o ques ’ul ima schema izzazione
del modello compo e ebbe, a igo e, l’ins abili à de-
lla posizione adiale della o cia).
A dispe o di ques e de icienze, il modello in
ques ione pe mise di in a ede e alcune ca a e is i-
che in e essan i, a cui la p obabile endenza ad una
dis ibuzione non uni o me della po a a ido a a i
di e si canali in e pala i, di modo che si po esse ipo-
izza e che il mo o ce casse di conse a e la piena
po a a (e quindi l’usci a adiale) in alcuni dei canali,
a spese di una si uazione di po a a o emen e ido -
a, con p obabile s allo del lusso, nei es an i canali.
Lo sc i en e decise pe an o di ce ca e di s i-
luppa e un modello che, ispecchiando la endenza
appena desc i a, endesse a imuo e e i di e i ac-
cenna i p eceden emen e.
Nel nuo o modello pe an o il pozzo concen-
a o sull’asse iene impiazza o da una dis ibuzio-
ne con inua, ma non adialmen e simme ica, di
pozzi su u a l’a ea cen ale in e na alla sezione di
usci a dalla gi an e, e a le condizioni impos e al
mo o i è quella che su una pa e dei canali si ea-
lizzi app ossima i amen e la piena po a a (usci a
p essoché adiale).
Al o c i e io guida nello s iluppo del nuo o
modello è s a a –come del es o nei con ibu i p e-
ceden i- la ice ca della massima semplici à.
Fo mulazione ma ema ica del nuo o
modello
Come accenna o, all’in e no della sezione di
usci a dalla gi an e (assimila o ad uno spazio cilin-
d ico di aggio R) si ipo izza, nel piano gene ico
pe pendicola e all’asse di o azione, l’esis enza di
una dis ibuzione con inua, non uni o me e non azi-
mu almen e simme ica2, di pozzi che nel lo o com-
plesso asso bono la po a a ido a n.Q0, con n<1 e
Q0 = po a a di ‘ze o swi l’pe uni à di al ezza della
sezione di usci a dalla gi an e.
La dis ibuzione con inua di ‘pozzi’ipo izza a
all’in e no della sezione di usci a dalla gi an e (ci-
lind o di al ezza he di aggio R) si è assun a come
da a, in coo dina e pola i
ρ , ϑ
con cen o sull’as-
se di o azione, dall’esp essione
28
Michele Fanelli
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
1Il p esen e s udio a inge anche alle conside azioni ed al modello s iluppa i dallo sc i en e nella memo ia ‘La luidodinamica delle u bo-
macchine: il dualismo i o azionali à-ci colazione’ p esen a a al con egno di Ba eno dell’Associazione Id o ecnica I aliana (FANELLI 1993).
Si enga con o che la p esenza di una o cia, cioè di una o ici à concen a a, lascia suppo e di pe sé che i sia sca sa p esenza di o ici à
dis ibui a, ossia di u bolenza; dunque la p e esa di app ossima e ques o campo di mo o con un po enziale non appa e a p io i assu da,
(1)
(2)
do e 0 ≤ρ ≤R;
il co isponden e po enziale del mo o nel piano
anzide o, ale che , ale so o ques e ipo-
esi:
e le co isponden i eloci à adiale e angen-
ziale:
[nelle (3) e (4) si è omesso il pedice pozzi al sim-
bolo del po enziale Φ].
Aques o campo di eloci à occo e aggiunge-
e quelli causa i dalla o cia, di ci colazione
(con m dell’o dine dell’uni à) la cui posizio-
ne è pe o a incogni a, e dalla ci colazione ‘scom-
pensa a’ lungo quella pa e della sezione di usci a
dalla gi an e in cui la po a a dei canali in e pala i è
o emen e ido a e quindi il lusso in usci a non è
adiale.
Le linee ad ugual alo e del po enziale (2) so-
no a igu a e in FIG. 1 pe la pa e a simme ia a-
diale ed in FIG. 2 pe la pa e emisimme ica is-
pe o al diame o o izzon ale:
Le equipo enziali di FIG. 1 co ispondono
alla si uazione di ‘ze o swi l’, ossia n=1, in cui
l’usci a dalla gi an e è adiale e la o cia è assen e;
in ques a si uazione non i sono al i con ibu i al
po enziale nello spazio in e no alla sezione di usci-
a dalla gi an e, come isul a dalle eqq. (2), (6), (9)
ponendo n=1.
Nella seconda componen e del campo ( .
FIG.2) la eloci à adiale si annulla pe
nella pa e in e na a ale aggio la eloci à ha
componen e p e alen e e so l’al o della igu a,
men e ha componen e p e alen e e so il basso
nelle pa i es e ne e icine all’asse y, cosicché nella
pa e al a si ende a co egge e il de ici di po a a
nei canali in e pala i, nella pa e bassa ad agg a a -
lo (s allo pa ziale).
29
LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE
SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
2La dis ibuzione non simme ica isul an e si è assun a la più semplice possibile, cioè con dis ibuzione linea e ispe o alla coo dina a
y=ρsinϑ
, . (1); l’in ensi à è ale da ipo a e la po a a p o enien e dai canali in e pala i si ua i all’azimu
ϑ = π/
2 al alo e di ‘ze o swi l’.
(3)
(4)
(5)
Figu a 1. Equipo enziali del p imo addendo a II° memb o di (2)
(componen e a simme ia adiale di Φpozzi ).
Figu a 2. Equipo enziali del secondo addendo a ii° memb o dell’
eq. (2) [componen e emisimme ica del po enziale Φpozzi a meno
del a o e (1-n)].
Figu a 3. Equipo enziali di Φpozzi , eq. (2), pe
n
=0.75
(campo asimme ico a pa e il con ibu o della o cia e della ci co-
lazione ‘scompensa a’)
, . (3);
In FIG. 3 sono isualizza e le equipo enziali
del campo isul an e dalla so apposizione del po-
enziale di FIG. 1 con quello di FIG. 2.
In oduciamo o a il con ibu o della ci cola-
zione ‘scompensa a’, che ende a ip is ina e il a-
lo e di ci colazione ‘no male’a o no alle pale della
me à supe io e della igu a e a diminui la ul e io -
men e nella pa e in e io e (s allo pa ziale). A ale
scopo in oduciamo un anello di o ici dis ibui i,
lega i alle pale, di ci colazione an io a ia nella pa -
e supe io e ed o a ia nella pa e in e io e, di in en-
si à p opo zionale ad y= ρ. sin ϑe di in ensi à a-
le da ipo a e la ci colazione a o no alla pala che
si o a all’azimu ϑ = π / 2 al alo e co ispon-
den e alla condizione di ‘ze o swi l’.
Dopo in oduzione di ques a ul e io e co ezio-
ne (ma anco a senza il con ibu o della ‘ o cia’eccen-
ica) il po enziale del mo o assume l’esp essione:
e le co isponden i equipo enziali, pe il caso
pa icola e n = 0.75 ed m = 1 , sono app esen a e in
FIG. 4:
Res a o a da inse i e il con ibu o della o cia
eccen ica, . (5), ma p ima è necessa io de e mi-
na ne la posizione ( ,α) all’in e no del ce chio di
aggio R. Ciò si consegui à, analogamen e a quan-
o a o negli s udi p eceden i ( . FANELLI, 2001),
imponendo le due condizioni seguen i nel pun o:
(la o cia o bi a su un pe co so ci cola e s abile)
eloci à an-
gola e di p e-
cessione, causa a dalla o cia, della dis ibuzione
di o ici ‘scompensa i’ ( . sop a) lega i alle pa-
le (il sis ema di so gen i e o ici gene a o e del
campo di mo o segue la o cia nel suo mo o di
p ecessione nel empo).
Ques e due condizioni, da impo e u ilizzando
il po enziale (6) pe esplici a e l’esp essione di V e
Vϑnelle (7), (8)3, assicu ano, nei limi i delle a ie
app ossimazioni in odo e, che il campo di mo o si
‘au o ip oduca’con con inui à nel empo, uo ando
con la eloci à di p ecessione
ω
T[che isul e à de-
e mina a in base alla (8)].
Le linee cos i uen i i luoghi geome ici lungo
cui è soddis a a la (7) pe m= 1 ed n= 0.8, 0.7,
0.6 sono app esen a e in FIG. 5. Si no i che all’in-
e no di ognuna delle cu e è V > 0 , men e all’es-
e no si ha V < 0 , il che assicu a che la posizione
della o cia sulla cu a è s abile.
La (8) si esp ime in ia app ossima a come se-
gue:
e in FIG. 6 sono ipo a e le cu e lungo cui so-
no soddis a e an o la (7) quan o la (8*) pe m = 1,
n= 0.75 . Pe quan o osse a o sop a, dei due pun-
i di in e sezione delle cu e in ques ione quello
coinciden e con l’o igine degli assi è ins abile,
quindi solo l’al o è da p ende e in conside azione.
Dall’esame delle FIGG. 5 e 6 si conclude che
l’eccen ici à della o cia c esce al diminui e di n;
30
Michele Fanelli
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
(6)
(7)
Figu a 4. Equipo enziali del campo dis o o, a meno della o cia
eccen ica, pe n = 0.75 ed
m
= 1, . (6)
Figu a 5. Linee lungo cui V = (∂ΦS.T.)/∂ρ= 0, . eq. (6), pe
m
=1 ed
n
=0.6, 0.7, 0.8 pa endo ispe i amen e dalla cu a piu’ es e na.
(8)
(8*)
inol e la eloci à di p ecessione isul e ebbe (pe
m = 1) pa i a ωT= (1- n). ω0, do e ω0è la eloci-
à angola e della gi an e. Ques i isul a i non sono
in con as o con le isul anze spe imen ali.
Con l’in oduzione del po enziale polid omo
della o cia, assimila a ad un ilamen o o icoso
e icale, il po enziale o ale all’in e no dello spazio
cilind ico di aggio R assume in ine l’esp essione:
Le equipo enziali di ques o campo sono ap-
p esen a e in FIG. 7 pe m= 1, n= 0.75. Esse isul-
ano dalla combinazione delle equipo enziali di
FIG. 4 con quelle do u e alla sola o cia ( ascio di
e e uscen i dal cen o della o cia, che è il pun o
indi idua o in FIG. 6).
In e p e azione isica; in e p e azione
geome ica app ossima a
Si è così cos ui o un campo di mo o che is-
pecchia app ossima i amen e le ca a e is iche des-
ide a e. So ge na u almen e la domanda come si
possa acco da e ques o campo, che p esen a un in-
pu di po a a dis ibui a lungo la on ie a cilind i-
ca (componen e adiale), col campo a simme ia
elicoidale ( . FANELLI, 1989) che è a o a app e-
sen a e app ossima i amen e il mo o nella pa e in-
iziale (‘cono’) del di uso e, a p e alen e compo-
nen e assiale, in cui la on ie a cilind ica è in ece
impe meabile.
Poiché en ambi i campi, nella nos a schema-
izzazione, sono app esen a i da un po enziale, la
ia di usci a più immedia a consis e nell’ipo izza e
che in un b e e a o ( z1 ≤z ≤z2, con z2-z1< h ) de-
lla pa e più bassa dello spazio cilind ico di al ezza
h qui conside a o si abbia una ansizione g aduale
(ad es. con legge linea e in z) a i due po enziali:
[ . (9) pe ΦTOT e FANELLI, 1989 pe ΦCONO].
Ciò co isponde isicamen e ad una ansizione del
mo o da un asse o p e alen emen e adiale nella pa -
e al a dell’usci a dalla gi an e ad un asse o p e alen-
emen e assiale nella pa e bassa, cosa pe e amen e
coe en e con l’e e i a s u u a del lusso medio.
Con ques ’ul ima schema izzazione il p oble-
ma di app esen a e sin e icamen e sia l’in e azione
o cia-gi an e, sia la ansizione al mo o in p esenza
di o cia nella pa e iniziale del di uso e a ebbe o-
a o una soluzione app ossima a di p imo en a i o.
31
LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE
SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
Figu a 6. Localizzazione della o cia pe
m
= 1, n = 0.75: la cu a
elli ica piu’ piccola e’ il luogo dei pun i do e V = 0 , la cu a elli -
ica piu’ g ande e’ il luogo dei pun i do e la eloci a’ di p eces-
sione della o cia uguaglia la eloci a’ angola e media dei o ici
lega i alle pale della gi an e. la o cia si si ua pe an o all’in e se-
zione delle due cu e (escludendo l’o igine degli assi).
(9)
Figu a 7. Equipo enziali (in osso) del campo o ale [ . (9) ] pe
m
= 1, n = 0.75 ; in ne o le equipo enziali della sola o cia4il e -
so di ci colazione e’ an io a io.
3 Cioè a p escinde e dal con ibu o della o cia s essa, che come no o non in luisce sulla endenza al mo imen o del ilamen o o icoso.
4 Il pun o di localizzazione della o cia è quello di FIG. 6.
(10)
pe z1 ≤z ≤z2

Ap oposi o del po enziale ΦTOT , . (9), la sua
app esen azione g a ica in FIG. 7 sugge isce
un’in e essan e in e p e azione geome ica, ce a-
men e non alida in gene ale (cioè pe qualunque
alo e di n, . ol e) ma u a ia assai sugges i a
dal pun o di is a isico.
Si osse a che le equipo enziali di FIG. 7 so-
no so p enden emen e icine, pe la ga pa e del lo-
o accia o, ad a chi di e ol en i di ce chio ( . FIG.
8); inol e la dis anza a due equipo enziali succes-
si e, pu non isul ando cos an e, non p esen a a-
iazioni eccessi e sull’a ea del ce chio di aggio R.
Sulla base di ques e osse azioni, si può esse e in-
do i ad esamina e quali sa ebbe o le ca a e is iche
di un ipo e ico mo o a po enziale in cui le equipo-
enziali osse o a chi di e ol en i di ce chio (gene-
a e da un unico ce chio di aggio
τ
assai mino e di
Re cen a o p esso l’asse della o cia ) uni o me-
men e dis anzia i a lo o; il che compo a che il
campo di eloci à es e no al ce chio gene a o e
consis e ebbe di e o i eloci à di modulo uni o -
me V
τ
ed a en i di ezioni u e angen i al ce chio
gene a o e. Ques o modello e à indica o nel se-
gui o, pe b e i à, con la locuzione ‘modello ad
e ol en i’; occo e p ecisa e che, men e es e na-
men e al ce chio di base delle e ol en i le equipo-
enziali segui ebbe o le p ede e e ol en i equispa-
zia e, all’in e no del ce chio s esso, di aggio
τ
, si
ipo izza, nel caso la o cia non sia ca i a a, un mo-
imen o o a o io igido (quindi non a po enziale e
con o ici à dis ibui a uni o me), a o, a pa e le
dimensioni, a app esen a e la o cia, la cui eloci-
à pe i e ica sia cong uen e con la eloci à uni o -
me del campo es e no desc i o (in e mini di equi-
po enziali) dalle e ol en i equispazia e.
E’ acile ede e che in un campo così de ini o
esis e, all’es e no del ce chio di aggio
τ
, un sis-
ema di pozzi dis ibui i di in ensi à:
do e
α
τ
( con
α
≥0 ) è la dis anza del pun-
o in cui si alu a la densi à dei pozzi dis ibui i dal
pun o di angenza della di ezione di V
τ
al ce chio di
aggio
τ
; ed è al esì acile e i ica e che l’in eg a-
le della densi à (11) es eso all’a ea comp esa a il
ce chio di aggio
τ
ed il ce chio di aggio Rugua-
glia la po a a en an e a a e so la ci con e enza
di ques ’ul imo ce chio.
Quindi assegnando un’oppo una spazia u a
alle e ol en i (ed una oppo una posizione al cen-
o del ce chio di aggio
τ
) è possibile app ossima-
e una dis ibuzione non uni o me di po a e di en-
a a lungo la on ie a cilind ica, così come deside-
a o; inol e assegnando un oppo uno alo e al
aggio
τ
si può a sì che la ci colazione del mo o
igido di o azione in e no al ce chio di aggio
τ
uguagli quella della o cia, . (5), ossia
In de ini i a si può cos ui e in ques o modo
un modello al e na i o a quello is o nei pa ag a i
p eceden i, ma non oppo di e so da esso, che o -
e il an aggio di una più sin e ica de inizione ge-
ome ica; si ede inol e acilmen e che le compo-
nen i o izzon ali di ale mo o, essendo di modulo
cos an e su u a l’a ea del campo di mo o ( anne il
ce chio di aggio
τ
), soddis e ebbe o al p incipio
della minima ene gia cine ica, che si sa esse e is-
pe a o in gene ale nella luidodinamica5. Il a o
che il campo qui p opos o si a icini ad un mode-
llo che soddis a ale p incipio suppo a, a pa e e de-
llo sc i en e, la plausibili à isica della soluzione
app ossima a cos ui a nei pa ag a i p eceden i.
32
Michele Fanelli
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
(11)
Figu a 8. Con on o a una delle equipo enziali di ig. 7 (in osso)
ed una e ol en e del ce chio di cen o b (in blu) – il cen o eo i-
co della o cia coincide col pun o A
(12)
5 In eal à, pe soddis a e igo osamen e a ale p incipio occo e ebbe include e nella alu azione dell’ene gia cine ica locale anche la componen e
, il che po e ebbe a do e modi ica e lo schema ‘ad e ol en i’ onde e i a e in eg ali
di e gen i (
Vz → ∞
pe
α →
0).
e icale della eloci à,
Al o an aggio del modello in ques ione con-
sis e nell’assegna e una sezione ini a (anziché
pun i o me) alla o cia.
E’ e iden e pe al o che il ‘modello ad e ol-
en i’non po ebbe esse e acce abile che in un is-
e o in e allo di alo i di n; bas i osse a e che
pe n
→
1 (e cen o del ce chio di aggio
τ
coinci-
den e col cen o del ce chio di aggio R) secondo a-
le modello le eloci à ende ebbe o sì ad assume e
di ezione adiale, ma con modulo uni o me anziché
p opo zionale alla dis anza
ρ
dal cen o del ce chio
di aggio R, come de e in ece e i ica si in al caso.
Più in gene ale, un esame compa a o delle p op ie à
geome iche dell’e ol en e e della cu a gene ica
o ma a dalle in e sezioni ΦTOT = cos an e a cam-
po della sola o cia e campo de ini o dal po enziale
ΦS.T. mos a che le due en i à geome iche possono
esse e simili solo se la componen e linea e in
ρ
sin
ϑ
del secondo campo è di en i à non ascu abile is-
pe o alla componen e a simme ia cen ale.
D’al a pa e, se si ade isce al conce o che il
mo o enda ad accos a si al ‘modello ad e ol en i’,
pu ché ques o sia compa ibile coi incoli cinema i-
ci e dinamici, pe soddis a e al p incipio della mi-
nima ene gia cine ica, l’osse azione p eceden e
po ebbe ‘spiega e’ quali a i amen e pe ché la o -
cia eccen ica si mani es i s abilmen e solo in un
is e o in e allo di alo i di n: pe al i alo i, lo
schema ad e ol en i isul ando incompa ibile coi
incoli, e ebbe o p e e i e al e con igu azioni ci-
nema iche.
Commen i, oppo uni à di nuo e ice che
Il modello qui p opos o, anco ché ce amen e
di p ima g ossolana app ossimazione, p esen a il
an aggio di o ni e ‘p edizioni’ che do ebbe o
esse e acilmen e e i icabili (o alsi icabili) spe i-
men almen e: così ad esempio l’eccen ici à della
o cia in unzione di ne la sua posizione ispe o ai
canali in e pala i in egime di s allo pa ziale ( l’is-
pezione delle FIGG. 5 e 6 mos a che la o cia do-
ebbe p ecede e i canali s alla i di un angolo com-
p eso a ci ca 135° e ci ca 180°6) po ebbe o esse-
e susce ibili di e i ica spe imen ale.
Inol e il modello p esen a o consen i ebbe di
s ima e la dipendenza della spin a adiale ( o an e
con la eloci à angola e di p ecessione della o cia)
e del endimen o7dal pa ame o n, e di con on a-
e ali p e isioni, anco a una ol a, con le isul an-
ze spe imen ali.
E’ e iden e che mol e delle assunzioni a e
nel cos ui e il modello in ques ione sono c i icabi-
li e po ebbe o esse e susce ibili di a inamen i in
successi e elabo azioni; così pe esempio sono dis-
cu ibili an o l’ipo esi che pe ϑ = π/2 si ip is ini-
no esa amen e, nel co isponden e canale in e pa-
la e, la po a a e la ci colazione della condizione di
‘ze o swi l’, quan o l’ipo esi che la dis ibuzione di
pozzi en o l’a ea ci cola e sede del mo o sia linea-
e in y anziché segui e una legge più gene ale.
Somma io e conclusioni
Si è cos ui o pe appe successi e ( . FIGG.
1, 2, 3, 4, 7) un modello ma ema ico app ossima o
delle dis o sioni nel campo di mo o all’usci a della
gi an e di una u bina F ancis a ca ico pa ziale, ba-
sa o sull’ipo esi che la cinema ica in ques ione pos-
sa esse e mediamen e app esen a a da un mo o a
po enziale e che men e alcuni dei canali in e pala-
i endano a man ene e la po a a e la ci colazione
di ‘ze o swi l’(usci a adiale o p essoché ale), al i
canali in e pala i si o ino in condizioni di s allo
pa ziale. So o ali assunzioni si sono ica a e an o
le esp essioni app ossima e del po enziale quan o
le condizioni pe l’esis enza di una ‘ o cia’in posi-
zione eccen ica, s abile adialmen e ed anima a da
un mo o di p ecessione egola e. Le conclusioni de-
llo s udio, pa zialmen e s iluppa e nume icamen e,
appaiono susce ibili di e i ica spe imen ale. Sulla
base del modello p esen a o si sono s iluppa e con-
side azioni aggiun i e a anzando l’ipo esi che il
mo o così modella o app ossimi le condizioni di
‘minima ene gia cine ica’all’usci a dalla gi an e, il
che, se con e ma o, con e i ebbe c edibili à al mo-
dello s esso (pe ul e io i conside azioni sul mode-
llo ‘ad e ol en i’del § 4 . APPENDICE).
Si i iene che le basi del p esen e s udio pos-
sano o i e u ili spun i pe app o ondi e la com-
p ensione del complesso campo di mo o esis en e
all’in e no della sezione di usci a dalla gi an e in
condizioni di ca ico pa ziale; non i è dubbio pe al-
o che siano necessa i a ale scopo al i s udi e so-
p a u o e i iche spe imen ali.
33
LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE
SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
6Ques a conclusione con as a con quella di FANELLI, 2001, da cui isul e ebbe che l’angolo in ques ione sia comp eso a ci ca 35° e ci ca 40°; la
FIG. 7, pe al o, po ebbe sugge i e un di e so alo e, dell’o dine di 90° ci ca.
7Il modello p esen a o in ques a memo ia appa e in g ado di spiega e meglio, in con on o all’ipo esi della dis ibuzione uni o me in u i i canali in-
e pala i della po a a ido a, il man enimen o di endimen i su icien emen e al i pe n<1 che si osse a nelle u bine F ancis.
LISTA DEI SIMBOLI USATI
appo o a la po a a ido a e la po a a
di ‘ze o swi l’
po a a di ‘ze o swi l’pe uni à di al ezza
dello spazio cilind ico a alle dell’usci a
dalla gi an e
al ezza dello spazio cilind ico a alle de-
ll’usci a dalla gi an e
aggio dello spazio cilind ico a alle de-
ll’usci a dalla gi an e
coo dina e pola i nel piano gene ico no -
male all’asse
coo dina e ca esiane nel piano gene ico
no male all’asse
coo dina a ca esiana pa allela all’asse
in ensi à pe uni à di supe icie dei ‘poz-
zi’dis ibui i nel piano gene ico
ope a o e di Laplace
appo o a ci colazione della o cia e Q0
po enziale gene a o dalla dis ibuzione
dei ‘pozzi’( . sop a)
po enziale senza il con ibu o della o cia
po enziale o ale
po enziale nel ‘cono’del di uso e
eloci à adiale
eloci à angenziale
eloci à assiale
dis anza della o cia dall’asse
azimu della o cia
eloci à angola e di p ecessione della o cia
eloci à angola e della gi an e
aggio del ce chio gene a o e delle equi-
po enziali nel modello ‘ad e ol en i’
densi à dei ‘pozzi’dis ibui i nel modello
ad e ol en i
eloci à angenziale alla o cia nel mode-
llo ad e ol en i senza a iazione ciclica
coo dina e pola i cen a e sulla o cia
angolo a il aggio angen e alla sezione
d. o cia e il aggio e o e dall’asse
de ini o nel es o (APPENDICE)
a o e di a iazione sinusoidale delle e-
loci à angenziali a o no alla o cia
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Angelico, G. e Fanelli, M. (1997)– On he Exci a ion Mecha-
nism o Pa Load D a Tube Su ge in F ancis Tu bi-
nes, 8 h In e na ional Mee ing o he IAHR W. G. on
he beha iou o hyd aulic machine y unde s eady os-
cilla o y condi ions, Cha ou, 18-19 Sep . 1997
Doe le , P. (1982)– Vo ex ope exci ed oscilla ions in he
d a ube o F ancis u bines wo king a pa ial load
( hesis, in Ge man), 1982
Fanelli, M. (1989)– The o ex ope in he d a ube o F an-
cis u bines ope a ing a pa ial load: a p oposal o a
ma hema ical model, appo o in e no ENEL/CRIS,
1988; pubblica o sul Jou nal o Hyd aulic Resea ch,
1989
Fanelli, M. (1993) – La luidodinamica nelle u bomacchine:
il dualismo i o azionali à-ci colazione, Associazione
Id o ecnica I aliana, Cong esso Nazionale Macchine e
Appa ecchia u e Id auliche, Ba eno 25-28 Maggio
1993 (pagg. 209-250)
Fanelli, M. (1996) –Some p esen ends in hyd aulic machi-
ne y esea ch, In i ed Lec u e a he XVIII IAHR
Symposium on Hyd aulic Machine y and Ca i a ion,
Valencia, 1996
Fanelli, M. (2001) – On he p ecession a e o he o ex o-
pe in F ancis u bines ope a ing a pa ila loads, 10 h
In e na ional Mee ing o he IAHR W. G. on he beha-
iou o hyd aulic machine y unde s eady oscilla o y
condi ions, T ondheim, 26-28 June, 2001
F i sh, A. e Ma ía, D. (1987)–Dynamic Beha iou o a F an-
cis u bine a pa ial load, Thi d Round Table o IAHR
W. G. on he beha iou o hyd aulic machine y unde
s eady oscilla o y condi ions, Lille, Sep . 1987
Mag i, L. (1987)– P oblema iche delle u bomacchine id au-
liche pe p oduzione di ene gia ele ica, Ed. Pi ago a,
1987
OhashiI, H. (1991)– Vib a ion and Oscilla ion o Hyd aulic
Machine y, Ed. A ebu y, 1991
Raabe, J. (1989) – Hyd aulische Maschinen und Anlagen,
VDI Ve lag, 1989
Rheingans, W. J. (1940)– Powe Swings in Hyd oelec ic Po-
we Plan s, T ansac ions ASME, Vol. 62, 1940
APPENDICE
Il modello ‘ad e ol en i’: s iluppi
ma ema ici e conside azioni c i iche
Che lo schema ad e ol en i equispazia e, così
come succin amen e p esen a o sop a, sia eccessi-
amen e sempli ica o si ica a a l’al o dal a o
34
Michele Fanelli
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
n
Q0
h
R
ρ
,
,
ϑ
J
x , y
z
q
∇
—
2
2
m
Φ
F
pozzi
Φ
F
S.T.
Φ
F
TOT
Φ
F
cono
V
V
ϑ
J
Vz
α
a
ω
w
ω
w
0
τ
q
τ
V
τ
ρ
τ
,
,
ϑ
J
τ
ϕ
j
=
=
2
2
.
.
π
p
−
-
ϑ
J
τ
γ
g
ϑ
J
0
0
β
b
che in esso la eloci à angenziale
isul e ebbe nulla, e quindi non si a ebbe il mo o
p ecessiona io della o cia. Il modello do ebbe
quindi quan o meno esse e co e o in oducendo
una a iazione ciclica in
ϑ
dell’in e allo a due
equipo enziali consecu i e ( . anche FIG. 7).
Nel modello così come enuncia o sop a si
a ebbe o le elazioni seguen i:
in coo dina e pola i
ρτ
,
ϑτ
cen a e sul cen o
della o cia (si è pos o a bi a iamen e
Φ
S.T.= 0 pe
ρτ
=
τ
, ossia sul con o no della sezione della o -
cia; il po enziale in ques ione sa ebbe adialmen e
simme ico ispe o al cen o della o cia);
do e
ϕ
= 2.(
π
-
ϑτ
)e
ϑτ
= 0 sulla congiungen e il
cen o della egione cilind ica sede del campo con il
cen o della o cia; è qui l’eccen ici à della o cia.
Manca, a chiude e o malmen e il modello
ma ema ico, una elazione analoga alla (8*), da o
che non è possibile, come ci a o all’inizio di ques a
APPENDICE, esp ime e una eloci à di p ecessio-
ne della o cia; in a i il po enziale (A.1), essendo a
simme ia adiale ispe o al cen o della o cia, non
gene a eloci à angenziali della o cia s essa.
Se si olesse s iluppa e il modello in odu-
cendo una a iazione ciclica della dis anza a equi-
po enziali successi e [ . eq. V = V0. (1+
β
.cos
ϑ
0)
qui so o], si po ebbe o usa e le elazioni seguen i:
a) elazioni geome iche
- equazione pola e dell’equipo enziale gene i-
ca, con polo nel cen o della o cia:
(
ϑ
0 azimu dell’
equipo enziale gene ica all’in e sezione con la se-
zione della o cia di aggio τ; l’o igine degli azi-
mu è sulla congiungen e il cen o del ce chio di
aggio Rcon il cen o della o cia)
-in e sezione dell’equipo enziale col ce chio
di aggio R:
azimu
ϕ
:
- aggio e o e dal cen o o cia:
;
eliminando
ϕ
a le due ul ime elazioni si ica a
α
(
ϑ
0)sul ce chio di aggio R; sos i uendo nella
penul ima elazione si o iene
ϕ
(
ϑ
0); in oducendo
ques ’ul ima nell’ul ima equazione sc i a si o iene
ρ
τ(
ϑ
0)
-angolo γ a il aggio angen e alla sezione
o cia e il aggio e o e dal cen o del ce chio di
aggio Rda o da:
do e
α = α
(
ϑ
0), . sop a ; si ica a γ = γ(
ϑ
0)
b) elazioni cinema iche:
-ci colazione o cia:
35
LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE
SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE
INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003
8 La (A.1) si ica a in eg ando la
9 La (A.3) si ica a in eg ando la do e
(A.1)8
(A.2)
;
(A.3)9
,
(V0,
τ
incogni e)